人教A版高中数学选择性必修第三册 第6章 章末复习课+练习课（原卷版）

第第页章末复习课一、两个计数原理1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明导致增(漏)解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性．2．掌握两个计数原理，提升逻辑推理和数学运算素养．例1(1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为()A．484B．472C．252D．232(2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？反思感悟应用两个计数原理计数的四个步骤(1)明确完成的这件事是什么．(2)思考如何完成这件事．(3)判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类．(4)选择计数原理进行计算．跟踪训练1(1)从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中，若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个．(用数字作答)(2)由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有________种．二、排列与组合的综合应用1．排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合的综合问题要树立先选后排，特殊元素(特殊位置)优先的原则．2．明确排列和组合的运算，重点提升数学建模及数学运算的素养．例2在高三(1)班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．(1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？反思感悟解决排列、组合综合问题要注意以下几点(1)首先要分清该问题是排列问题还是组合问题．(2)对于含有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，再考虑是分类还是分步，分类时要不重不漏，分步时要步步相接．(3)对于含有“至多”、“至少”的问题，常采用间接法，此时要考虑全面，排除干净．跟踪训练26个女生(其中有1个领唱)和2个男生分成两排表演．(1)若每排4人，共有多少种不同的排法？(2)领唱站在前排，男生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？三、二项式定理及其应用1．二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于三项式相应展开式项的系数求解．2．二项式原理所体现的是一种数学运算素养．命题角度1二项展开式的“赋值问题”例3(1)若(2x＋eq\r(3))4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为()A．－1B．0C．1D．2(2)若(3x2－2x＋1)5＝a10x10＋a9x9＋a8x8＋…＋a1x＋a0(x∈C)，求①(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2；②－a2＋a4－a6＋a8－a10.反思感悟“赋值法”在二项展开式中的应用(1)观察：先观察二项展开式左右两边式子的结构特征．(2)赋值：结合待求和上述特征，对变量x赋值，常见的赋值有x＝－1，x＝0，x＝1等等，具体视情况而定．(3)解方程：赋值后结合待求建立方程(组)，求解便可．跟踪训练3若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．命题角度2二项展开式的特定项问题例4已知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,\r(3,x))))n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.(1)求展开式中的所有有理项；(2)求展开式中系数的绝对值最大的项；(3)求n＋9Ceq\o\al(2,n)＋81Ceq\o\al(3,n)＋…＋9n－1Ceq\o\al(n,n)的值．反思感悟二项式特定项的求解策略(1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素．(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项．(3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数．(4)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质．跟踪训练4已知(eq\r(x)－eq\r(3,x))n的展开式中所有项的二项式系数之和为1024.(1)求展开式的所有有理项(指数为整数)；(2)求(1－x)3＋(1－x)4＋…＋(1－x)n的展开式中x2项的系数．1．(2019·全国Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12B．16C．20D．242．(2018·全国Ⅲ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))5的展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．803．(2020·新高考全国Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A．120种B．90种C．60种D．30种4．(2020·全国Ⅰ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为()A．5B．10C．15D．205．(2020·全国Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．再练一课(范围：§6.1～§6.2)1．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，则不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种2．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有()A．36个B．24个C．18个D．6个3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种B．35种C．42种D．48种4．有六名队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A．34种B．48种C．96种D．144种5.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是()A．120B．140C．240D．2606．若Aeq\o\al(3,m)＝8Ceq\o\al(2,m)，则m＝________.7．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法．(用数字作答)8．连接正三棱柱的6个顶点，可以组成________个四面体．9．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求：(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？(3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？10．4位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同的得分情况？11．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有()A．6种B．10种C．8种D．16种12．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有()A．96个B．78个C．72个D．64个13．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72B．120C．144D．16814．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法有________种．15．若自然数n使得n＋(n＋1)＋(n＋2)不产生十进位现象，则称n为“良数”．例如：32是“良数”，因为32＋33＋34不产生十进位现象；23不是“良数”，因为23＋24＋25产生十进位现象．那么，小于1000的“良数”的个数为()A．27B．36C．39D．4816．已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，求：(1)不定方程正整数解的组数；(2)不定方程自然数解的组数；(3)不定方程满足x1≥3，x2≥－2，x3，x4∈N的解的组数．(x1，x2∈Z)再练一课(范围：§6.3)1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()A．30B．20C．15D．102．二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,\r(x))))12的展开式中的常数项是()A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项3.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,\r(x))))n的展开式中所有奇数项系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是()A．790B．680C．462D．3304．设a∈Z，且0≤a<13，若512020＋a能被13整除，则a等于()A．0B．1C．11D．125．(多选)若(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2021x2021(x∈R)，则()A．a0＝1B．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝eq\f(32021＋1,2)C．a0＋a2＋a4＋…＋a2020＝eq\f(32021－1,2)D.eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a2021,22021)＝－16．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))n的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．7．已知(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＋a6＝________.(填数字)8．(1＋x＋x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6的展开式中的常数项为______．9．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,\r(x))))n的展开式中二项式系数之和比(2x＋xlgx)2n的展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1120，求x的值．10．在二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(x))))n的展开式中，前三项的系数成等差数列．(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式中系数最大的项．11．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)的值为()A．45B．60C．120D．21012．(多选)对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9，则下列结论成立的有()A．a2＝－144B．a0＝1C．a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1D．a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－3913．若(2x＋3y)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－4))n－4的展开式中x2的系数为()A．－304B．304C．－208D．20814．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2＋\f(b,x)))6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为_______