2023-2024学年四川省眉山市高中数学高一年级上册期末考试试题含解析

2023-2024学年四川省眉山市高中数学高一上期末考试试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的

1.设当％=夕时，函数y=3sinx—cosx取得最大值，则sin6=()

yioTio

15.--------

lo-10

3屈D.题

1010

2.函数/(%)=Asin(以+°)其中(A>0,网<夕的图象如图所示,为了得到了(%)图象，则只需将g(x)=sin2x

的图象()

C.向右平移J个单位长度D.向左平移?个单位长度

6o

3.已知函数/(x)=。[,函数y=/(x)—a有四个不同的的零点X1,巧，x3)x4,且石<%2〈%〈％4,

(X-2)2,X>1'"'，

则。

A.a的取值范围是(0,；)B.々-%的取值范围是(0,1)

23+2*1

C.%3+冗4=2D.——

&+2

4.已知集合4="|心一16<0},5={-5,0,1},则()

A.AB=0B.BoA

C.A3={0,l}D.AcB

5.将函数y=5sin(-3x)的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移三，得到图象对应解析式是()

3x

A.y=5cos—B.y=5sin

C.y=5sin[?-6x]D.y=5sin37r3x

~2___2

6.过点(LD且与直线y=2x垂直的直线方程为

A.x-2y+l=0B.2x-y-l=0

C.2x+y-3=0D.％+2y-3=0

7,若函数/(冗)=2*+%3+〃的零点所在的区间为(0,1),则实数〃的取值范围是()

A.[-3,-1]

C.(-3,-1)D.(-2,-1)

/[\0.3

8.设a=log[3,-j，c=2、则。，b,c的大小关系是()

2

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<a<c

9.设P,Q分别是X轴和圆C:(x-2)2+(y—3)2=1上的动点，且点A(0,3),贝!||24|+山。|的最小值为()

A.2B.2V10-1

C.3D.3标-1

10.若关于X的方程4'+(a+4)2+4=0在[-1,2]上有实数根，则实数。的取值范围是。

B.

C.[-25,-8]D.[-8,+8)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体的表面积为.

x-y+l〉O

12.设x、y满足约束条件x+y—120,则z=2x-3y的最小值是.

3

13.若2、=3,则实数％的值为.

14.已知角a终边经过点P(—1,3),贝!)tanc=.

,2

15.当时/0时,炉十二的最小值是.

X

冗3X〉0

16.已知f(x)=''贝!Jf(T)+“l)=________

3\%<0,

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知函数/(%)=(〃—3a+3)优是指数函数

(1)求了(尤)的解析式；

(2)若log/1-x)>log“(x+2),求x的取值范围

18.函数/a)=log2(2'—l)

(1)解不等式

(2)若方程〃力=1。84(〃7-41有实数解，求实数机的取值范围

2*-1

19.已知函数/(%)=是定义在R上的奇函数

2,+1

(1)用定义法证明"％)为增函数;

(2)对任意都有/(必+「+3]+/[依—£]〉0恒成立，求实数★的取值范围

12

20.(1)已知角a的终边过点P(5,“)，且tana=---,求sina+cosa的值；

]]3TC

(2)已知cosa=1,cos(a-0=五，且0</?<。<]，求£.

21.2021年8月，国务院教育督导委员会办公室印发《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》，通知指出,

加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理(简称“五项管理”)，是深入推进学生健康成长的重要举措.宿州

市要对全市中小学生“体能达标”情况进行摸底，采用普查与抽样相结合的方式进行.现从某样本校中随机抽取20

名学生参加体能测试，将这20名学生随机分为甲、乙两组，其中甲、乙两组学生人数之比为3：2,测试后，两组各

自的成绩统计如下：甲组学生的平均成绩为75分，方差为16；乙组学生的平均成绩为80分，方差为25

(1)估计该样本校学生体能测试的平均成绩；

(2)求这20名学生测试成绩的标准差s.(结果保留整数)

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的

1、D

【解析】利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简解析式：/(x)=^0sin(.r-«),并求出COS&和sin。，由条件和正

弦函数的最值列出方程，求出。的表达式，由诱导公式求出sin。的值

【详解】解：函数y=/(x)=3sin尤一cosx

=J10(-sinx--^=cosx)

Viovio

3

=V10sin(x-a)(其中c°s==1^,sina=

又时/(%)取得最大值，

JlJI

0—ex.=2kjiH—kGZ,即。=2k兀H---cckeZ,

2929

7171

sin6=sin(2fcrH---\-a)=sin(——Fa)

22

33M

=cosa=—；==----

Mio

故选：D

2、D

=2,再代入点计算得到〃x)=sin2唱，根据平移法则得到

【解析】根据图像计算周期和最值得到A=l,①

答案.

T_7TCTI故7=兀=生，

【详解】根据图象：A=l,0=2,故/(x)=sin(2x+0),

~4~~L2~34CD

sinfy+^j=0,口rt27c,72兀T”

即——(p—kitf(p—ku——9左wZ,

当左=1时，0=3■满足条件，贝！|/(x)=sin[2x+mj=sin21x+tj,

故只需将g(x)=sin2x的图象向左平移$个单位即可.

6

故选：D.

3、D

【解析】将问题转化为了(尤)与丁=。有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范围及数量关系，即

可判断各选项的正误.

【详解】y=/(x)—。有四个不同的零点为、巧、/、5，即/(x)=a有四个不同的解

所以-工1〉0，即%2的取值范围是+00)

由二次函数的对称性得：退+%=4,

2A1+291

因为1—2再=2数一1，即2』+2*=2,故-------=-

x3+x42

故选：D

【点睛】关键点点睛：将零点问题转化为函数交点问题，应用数形结合判断交点横坐标的范围或数量关系.

第n卷

4、C

【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合A,再根据集合的基本运算进行求解即可

【详解】因为A={x|V-16<0}={x|-4<x<4}tB={-5,0,1},

所以A5={0,1},

故选c

【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为

元素间的关系.

5、D

【解析】直接利用函数图象的与平移变换求出函数图象对应解析式

【详解】解：将函数y=5sin(-3x)的周期扩大为原来的2倍，

3Jr

得到函数y=5sin(-5%),再将函数图象左移],

得至！J函数y=5sin[—上(x+—)]=5sin(—)=5sin一匹)

232222

故选O

【点睛】本题考查函数y=Asin(a)x+(p)的图象变换，属于基础题.

6、D

【解析】所求直线的斜率为-g,故所求直线的方程为y—1=—g(x—1),整理得x+2y-3=0,选D.

7、C

【解析】由函数的性质可得/'(x)在(0,1)上是增函数，再由函数零点存在定理列不等式组，即可求解得。的取值范围.

7(0)<0[1+«<0

【详解】易知函数/'(x)在(0,1)上单调递增，且函数/(x)零点所在的区间为(0,1),所以，;二。八，

/(1)>0[3+a>0

解得-3<a<-1

故选：C

8、A

【解析】根据指数函数与对数函数的图像与性质,结合中间量法，即可比较大小.

【详解】由指数函数与对数函数的图像与性质可知

a=log13<log11=0

22

c=23>2°=1

综上可知，大小关系为a<b<c

故选:A

【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质的应用，中间值法是比较大小常用方法,属于基础题.

9、B

【解析】取点A关于x轴的对称点C(0,-3),得到|24|+|?。|=忸。|+忸。|,最小值为—1+百前=—1+2碗.

故答案为B.

点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候

较少；再者在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，

分别得到最大值和最小值

10、A

【解析】当L2］时，令/=2%1,4,可得出产+(。+2"+4=0,可得出—(a+2)=/+±,利用函数的单

4Fl

调性求出函数g“)=/+—在区间-,4上的值域，可得出关于实数。的不等式，由此可解得实数。的取值范围.

tL，_

【详解】当九目—1,2］时，令/=2%1,4,则/+(。+2*+4=0,可得—(a+2)=/+±,

4「1］r1

设g«)=f+7,其中fe-,4,任取％、t2G-A,

则g&)-g(幻-吟2=g坐2—4).

\hJ\12)降2中2

当;时，1<4,则g(4)_g«2)〉0，即g(%)〉g«2)，

4「1一

所以，函数g«)=f+—在-,2上为减函数；

t_

当24?!</244时，4<Z/2<16,则g(%)_g«2)<0，即g«i)<g(，2)，

所以，函数8。)=/+；在［2,4］上为增函数.

所以,gOL^g⑵=4,g(4)=5,则g⑺max=g1］=5，

4「11「17一

故函数gQ)=t+-在-,4上的值域为4,—,

1725

所以，4<-(a+4］<—,解得—一-<a<-8.

''22

故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、3万

【解析】以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体为圆锥，圆锥的底面

半径r=l,母线长1=2,

该几何体的表面积为：S=7t/+加！=71+2兀=3万.

故答案为37r

12、-6

【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x-3y过可行域内的点A时,

从而得到z=2x-3y的最小值即可

2z

【详解】解：由z=2x-3y得y=—g,

作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：

2z2z2z

平移直线丁=—X——，由图象可知当直线y=—X-一，过点A时，直线y=-X—三截距最大，此时Z最小,

■333333

由hx-=y3+「。得［\x==31即AM），

代入目标函数z=2x-3y,

得z=2x3-3x4=6-12=-6

/.目标函数z=2尤-3y的最小值是-6

故答案为：-6

【点睛】本题考查简单线性规划问题，属中档题

13、log23

【解析】由指数式与对数式的互化公式求解即可

【详解】因为解=3,

所以x=log23,

故答案为：log23

14、-3

【解析】根据正切函数定义计算

3

【详解】由题意tano=—=—3

-1

故答案为：-3

15、2\/2

【解析】直接利用基本不等式的应用求出结果

【详解】解：由于xwO,

所以尤2+4.2、限卫=2应(当且仅当=2时，等号成立)

XV%

故最小值为20

故答案为：20

4

16、一

3

【解析】分段函数的求值，在不同的区间应使用不同的表达式.

.a4

【详解】/(-1)+/(1)=3-'+13=-,

1.4

故答案为：一.

3

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)/(x)=2x

⑵1V]

【解析】(1)由指数函数定义可直接构造方程组求得。，进而得到所求解析式；

(2)将不等式化为log?。-x)>log2(x+2),根据对数函数单调性和定义域要求可构造不等式组求得结果.

【小问1详解】

“X)为指数函数，

a?-3ct+3—1

a>°,解得：4=2,

awl

.■.f(x)=2\

【小问2详解】

由(1)知：log2(l-x)>log2(x+2),

1-x>x+2

..<1-x>0,解得：—2<x<—,.

2

x+2>0

\X的取值范围为12,—；；

18、(1){x|0<x<log23}

(2)m>l

【解析】(1)由/(%)<1，根据对数的单调性可得2'-1<2,然后解指数不等式即可.

(2)由“了)=1084(〃2-4，)实数根，化为2x—1=而不有实根，令f=2'，2・«)2—24+1—相=0有正根即可,

对称轴♦=开口向上，只需A20即可求解.

2

【详解】⑴由即log?。—1)<1,所以0<2'—1<2,

1<2工<3,解得0<x<log23

所以不等式的解集为3|0<%<log23}.

(2)由“可=1。84(〃2-4,)实数根，即k)g2(2-1)=$082(〃2—4)有实数根，

所以2"—1=/n-4,有实根，两边平方整理可得2-(2x)2-2-2x+l-m=0

令"21且f>l,由题意知2•⑺2—24+1—m=0有大于1根即可，即2・«)2—24+1=机，令

g(t)=2-(t)2-2-t+l,t>l,故g«)>l

故〃2>1.

故实数机的取值范围相>1.

【点睛】本题考查了利用对数的单调性解不等式、根据对数型方程的根求参数的取值范围，属于中档题.

19、(1)证明见解析

(2)(-26+oo)

【解析】（1）根据函数单调性定义及指数函数的单调性与值域即可证明；

、1k

（2）由已知条件，利用函数/（*）的奇偶性和单调性，可得必+=+3>——左对尤>1恒成立，然后分离参数，利用

XX

基本不等式求出最值即可得答案.

【小问1详解】

2项一12巧—12（2七一2巧）

证明：设玉<%,则/（玉）一/（%，）=:^一—7==--V-----V，

21+122+1（21+1）（22+1）

由玉<龙2，可得2$<2也，即2*1—2*<0，又2为+1>0,2热+1>0,

<0,即"%)</(%2),则f（x）在任上为增函数;

【小问2详解】

解：因为任意xe(1,+8),2

f^x+—+3]+f^kx--\>0恒成立，且函数/（九）是定义在R上的奇函数,

所以f+7+3]〉1=ff--Ax)对X>1恒成立,

1k

又由（1）知函数/（无）在R上为增函数，所以J+F+3>——左对尤>1恒成立,

XX

由%>1,0<—<1,有---x<0,

xx

+3+3

所以左〉一产一对X>1恒成立，

-------X

X

设£=,一羽%>1,由/=,一元（L+8）递减，可得/V0,

XX

X2+4+3

r+5

所以一千一=-2亚,当且仅当。=-逐时取得等号,

—-X

X

所以上〉—2逐，即左的取值范围是（—2百,+oo）.

/、7，、冗

20、(1)——；(2)—

133

【解析】（1）利用三角函数的定义求出。，再根据三角函数的定义求出sin。、COSY即可得解;

（2）根据同角三角函数的基本关系求出sin。、sin（。-分），再根据两角差的余弦公式求出

cos/7=cos[tz-(dz-/?)],即可得解；

12

【详解】解：(1)因为角a的终边过点P(5,a),且tana=-1，

所以tana=1=-《，解得a=—12,即P(5,—12),所以|。尸|=J5r不可二⑶

.-125

所CCH以Isine=----,cosa=一,

(2)因为cosa=—,0<6Z<—,所以sin。=Jl—cos?or=4

727

ISjrjr

又cos(a-/7)=