2024届江苏省南京鼓楼实验中学八年级数学第二学期期末统考试题含解析

2024届江苏省南京鼓楼实验中学八年级数学第二学期期末统考试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.下列各式中，能与行■合并的二次根式是（）

A.73B.78C.712D.V16

2.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为力的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形.根据图

形的变化过程写出的一个正确的等式是（）

A.(a-b)2=a2-2ab+b2B.a(a-b)=a2-ab

C.(a-b)2=a2-b2D.a2-b2=(a+方)(a-b)

3.关于x的一元一次不等式二2的解集为止4,则m的值为()

3

A.14B.7C.-2D.2

4.把边长为3的正方形ABC。绕点A顺时针旋转45。得到正方形AB'C'D'，边与DC交于点O,则四边形ABOD

A.6B.60C.372D.3+3行

5.下列多项式中，不能运用公式法进行因式分解的是（）

A.x2+2xy+y2B.x2-9C.m2-n2D.a2+b2

6.点力（1,-2）在正比例函数y=Ax（左#0）的图象上，则A的值是（）.

1

A.1B.-2D.

22

7.已知AC为矩形ABC。的对角线，则图中N1与N2一定不相等的是()

8.菱形的周长为8cm,高为1cm,则该菱形两邻角度数比为()

A.3：1B.4：1C.5：1D.6：1

m

9.如图，双曲线y=—与直线丫=履交于点M,N,并且点M坐标为(1,3)点N坐标为(-3,-1),根据图象信息可

x

得关于X的不等式—<kx+b的解为()

A.x＜一3B.—3＜%＜0

C.尤＜—3或0＜尤＜1D.—3＜无＜0或无＞1

10.如图，矩形ABC。中，E尸分别是线段5cA。的中点，A3=2,AD=4,动点P沿EC,CD,DE的路线由

点£运动到点尸，则AR43的面积$是动点P运动的路径总长x的函数，这个函数的大致图象可能是()

11.若二次根式，5x-1有意义,则x的取值范围是()

1

A.x>—B.x》—D.xW5

55

12.如图，在正方形ABC。中，AC,3。相交于点。，E,b分别为3C,CD上的两点，BE=CF,AE,BF,分别

交5RAC于M,N两点，^OE,OF,下列结论：®AE=BF-,②@CE+CF=-BD；④

A.①②B.①④C.①②④D.①②③④

二、填空题(每题4分，共24分)

13.如图，在矩形声切中，AB=6,对角线4C、物相交于点0,座1垂直平分用于点£,则相的长为

14.如果点4(1,〃)在一次函数y=3x-2的图象上，那么〃=.

15.如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点0,E、F分别为BC、CD上的两点，BE=CF,AE、BF分别交BD、

B

AC于M、N两点，连0E、OF.下列结论：①AE=BF；(2)AE±BF；®CE+CF=—BD;

2

④S四边形OECF二正方形"CD，其中正确的序数是-----•

16.要使分式」一有意义，x应满足的条件是

x-3

17.合作小组的4位同学在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图所示，学生B,C,D随机坐到其他三个座位上，则

B坐在2号座位的概率是

18.画在比例尺为1:20的图纸上的某个零件的长是32cm,这个零件的实际长是cm.

三、解答题(共78分)

19.(8分)在平面直角坐标系中，。为坐标原点.

(1)已知点4(3,1),连接04,作如下探究：

探究一：平移线段04,使点。落在点3,设点A落在点C,若点B的坐标为(1,2),请在图①中作出BC,点C的

坐标是.

探究二:将线段绕点。逆时针旋转90。,设点A落在点O,则点O的坐标是；连接AD,则AD=(图

②为备用图).

(2)已知四点。(0,0),A(a,b),C,B(c,d),顺次连接O,A,C,B,O,若所得到的四边形为平行四边形，则点C

的坐标是.

20.(8分)已知：一次函数丫=(1-m)x+m-3

(1)若一次函数的图象过原点，求实数m的值.

(2)当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数m的取值范围.

21.(8分)如图，等边三角形ABC的边长是6,点。、尸分别是BC、AC上的动点，且BZ>=CF,以AO为边作等边

三角形AOE,连接8REF.

(1)求证：四边形屈DE尸是平行四边形；

(2)连接。凡当50的长为何值时，ACOF为直角三角形？

(3)设BD^x,请用含x的式子表示等边三角形ADE的面积.

B

22.（10分）某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校2000名学生中，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名

学生只能填写一项自己喜欢的活动项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

A：踢毯子

B：乒乓球

C：跳绳

D：篮球

（1）被调查的学生共有—人，并补全条形统计图;

（2）在扇形统计图中，m,表示区域C的圆心角为一度;

（3）全校学生中喜欢篮球的人数大约有多少？

23.（10分）如图，在aABC中，点D、E、F分别是边AB、AC,BC的中点，且BC=2AF。

（2）若NC=30°、AF=2,写出矩形ADEF的周长。

24.（10分）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O,Z1=Z1.

（1）求证：四边形ABCD是矩形；（1）若NBOC=110°,AB=4cm,求四边形ABCD的面积.

25.（12分）A、B两店分另选5名销售员某月的销售额（单位：万元）进行分析，数据如下图表（不完整）:

(2)如果A店想让一半以上的销售员达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由.

26.如图，在平面直角坐标系中，矩形0A3C的顶点A在y轴上，C在x轴上，把矩形O45C沿对角线AC所在的直

k

线翻折，点B恰好落在反比例函数y=—(左wO)的图象上的点3'处，CB'与y轴交于点。，已知

DB'=2,ZACB=30.

(1)求，的度数；

(2)求反比例函数y=-(k^0)的函数表达式；

⑶若。是反比例函数、4*0)图象上的一点，在坐标轴上是否存在点P,使以P,Q,C,。为顶点的四边形是

平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、B

【解题分析】

先化成最简二次根式，再判断即可.

【题目详解】

解：A、若不能与拒合并，故本选项不符合题意；

B、&=2血，能与0合并，故本选项符合题意；

C、g=26，不能与&合并，故本选项不符合题意；

D、716=4,不能与血合并，故本选项不符合题意.

【题目点拨】

本题考查了同类二次根式和二次根式的性质等知识点，能理解同类二次根式的定义是解此题的关键.

2、D

【解题分析】

利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可.

【题目详解】

解：第一个图形阴影部分的面积是层-庐，

第二个图形的面积是(a+b)(a-b),

贝(]a2-b2—(a+Z>)(a-b),

故选D.

【题目点拨】

本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键.

3、D

【解题分析】

解不等式得到x>^m+3,再列出关于m的不等式求解.

2

【题目详解】

m-2x

------<-1,

3

m-lx<-6,

-lx<-m-6,

1

x>—m+3,

2

rn—2丫

•.•关于X的一元一次不等式W-1的解集为x>4,

—m+3=4,解得m=L

2

故选D.

考点：不等式的解集

4、B

【解题分析】

由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45。得到正方形AB'C'D',利用勾股定理的知识求出BC的长，再根据

等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO,ODS从而可求四边形ABOD，的周长.

【题目详解】

连接BC,

■:旋转角NBAB'=45o,NBAir=45。,

.♦.B在对角线AC，上，

•.•B©=AB，=3,

在RtAABC中,AC，=J^"=3a,

，BC，=3血-3,

在等腰RtAOBC中,OB=BC，=3叵-3,

在直角三角形OBO中,OC，=0(372-3)=6-372-

.,.00=3-00=30-3,

二四边形ABOD，的周长是：2A»+OB+OD，=6+30-3+30-3=60.

故选：B.

【题目点拨】

此题考查正方形的性质，旋转的性质，解题关键在于利用勾股定理的知识求出BU的长

5、D

【解题分析】

各项分解因式，即可作出判断.

【题目详解】

A、原式=(x+y)2,不符合题意；

B、原式=(x+3)(x-3),不符合题意；

C、原式=(m+n)(m-n),不符合题意；

D、原式不能分解因式，符合题意，

故选D.

【题目点拨】

此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键.

6、B

【解题分析】

直接把点(1,-2)代入正比例函数丫=1«(k#)),求出k的值即可.

【题目详解】

•.•正比例函数y=kx(k/0)的图象经过点(1,-2),

•\-2=k.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关

键.

7、D

【解题分析】

解：A选项中，根据对顶角相等，得N1与N2一定相等；

B、C项中无法确定N1与N2是否相等；

D选项中因为N1=NACD,Z2>ZACD,所以N2>/1.

故选：D

8、C

【解题分析】

菱形的性质；含30度角的直角三角形的性质.

【题目详解】

如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm,从而可得到高所对的角为30。，相邻的角为150。，则该菱形两邻角度

数比为5：1,故选C.

【解题分析】

求关于X的不等式一<kx+b的解，就是看一次函数图象在反比例函数图象上方时点的横坐标的集合.

X

【题目详解】

•.•点M坐标为(1,3),点N坐标为(-3,-1),

...关于X不等式一<kx+b的解集为：-3<xV0或x>l,

X

故选D.

【题目点拨】

此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，利用图象求不等式的解时，关键是利用两函数图象的交点横坐标.

10、C

【解题分析】

根据题意分析APAB的面积的变化趋势即可.

【题目详解】

根据题意当点P由E向C运动时，APAB的面积匀速增加，当P由C向D时，APAB的面积保持不变，当P由D向F

运动时，APAB的面积匀速减小但不为1.

故选C.

【题目点拨】

本题为动点问题的函数图象探究题，考查了一次函数图象的性质，分析动点到达临界点前后函数值变化是解题关键.

11、B

【解题分析】

根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可.

【题目详解】

解：由题意得，5x-1>0,

解得，x>|.

故选瓦

【题目点拨】

本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键.

12、D

【解题分析】

①易证得AABE丝Z\BCF(ASA),则可得结论①正确；

©SAABE^ABCF,可得NFBC=NBAE,证得NBAE+NABF=90。即可知选项②正确;

③根据ABCD是等腰直角三角形，可得选项③正确；

④证明AOBE四△OCF,根据正方形的对角线将面积四等分，即可得出选项④正确.

【题目详解】

解：①•••四边形ABCD是正方形，

/.AB=BC,ZABE=ZBCF=90°,

在AABE和ABCF中，AB=BC,NABE=NBCF,BE=CF,

/.△ABE^ABCF(SAS),

；.AE=BF,

故①正确；

②由①知：AABE^ABCF,

/.ZFBC=ZBAE,

ZFBC+NABF=NBAE+NABF=90。，

；.AE_LBF,

故②正确；

③；四边形ABCD是正方形，

；.BC=CD,ZBCD=90°,

ABCD是等腰直角三角形，

；.BD=0BC,

.\CE+CF=CE+BE=BC=—BD,

2

故③正确；

④；四边形ABCD是正方形，

.\OB=OC,NOBE=NOCF=45°,

在AOBE和AOCF中，OB=OC,ZOBE=ZOCF,BE=CF,

/.△OBE^AOCF(SAS),

•"•SAOBE=SAOCF,

•"•S四边形OECF=SACO£+SAOCF=SACOE+SAOBE=SAOBC=—S正方形ABCD,

4

故④正确；

故选：D.

【题目点拨】

此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质.注意掌握全等三角形的判定与性质

是解此题的关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、673

【解题分析】

由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出04=43=08=6,得出50=208=6,由勾股定理求出4。即可.

【题目详解】

解：•四边形48。是矩形，

：.OB=OD,OA=OC,AC=BD,

：.OA=OB,

垂直平分05,

：.AB=AO,

.•.OA=A5=O3=6,

：.BD=2OB=12,

22

：•AD二^BD-AB=6A/3.

故答案为：6^/3.

此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证

明三角形是等边三角形是解决问题的关键.

14、1

【解题分析】

把点A的坐标代入一次函数y=3x-2解析式中，即可求出n的值.

【题目详解】

•.,点4(1,")在一次函数y=3x-2的图象上，

H=3X1-2=1.

故答案为：1.

【题目点拨】

本题考查了点在一次函数图象上的条件，即点的坐标满足一次函数解析式，正确计算是解题的关键.

15、①②③④

【解题分析】

①易证得ABE注BCF(ASA),则可证得结论①正确；

②由ABEmBCF,可得NFBC=/BAE,证得尸，选项②正确；

③证明6CD是等腰直角三角形，求得选项③正确；

④证明一之一OCE,根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确.

【题目详解】

解：①四边形A3CZ＞是正方形，

：.AB=BC,ZABE=NBCF=90，

在A3E和一BCE中，

AB=BC

ZABE=ZBCF,

BE=CF

:gABE^^BCF(SAS),

:.AE=BF,

故①正确；

②由①知：ABE咨BCF,

：.ZFBC=ZBAE,

:.NFBC+NABF=NBAE+ZABF=9。，

.-.AE.LBF,

故②正确；

③四边形是正方形，

：.BC=CD,NBCD=90，

BCD是等腰直角三角形，

BD=J2BC，

:.CE+CF=CE+BE=BC=^=—BC,

412

故③正确；

④四边形是正方形，

：.OB=OC,NOBE=NOCF=45，

在.和一OCF中，

OB=0C

■<ZOBE=ZOCF,

BE=CF

:._OBE^OCF(SAS),

•v-V

-uOBE~uOCF9

四边形正方形从房。»

…SOECF=S.COE+S.OCF=S.COE+SOBE=S0BC=­S

故④正确；

故答案为：①②③④.

【题目点拨】

此题属于四边形的综合题•考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质•注

意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键.

16、

【解题分析】

本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为1.

【题目详解】

解：Vx-2/l,

:.印,

故答案是：x#2.

【题目点拨】

本题考查的是分式有意义的条件，当分母不为1时，分式有意义.

1

17、一.

3

【解题分析】

根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.因

此，

•坐至U1,2,3号的坐法共有6种方法：BCD、BDC>CBD、CDB、DBC、DCB,其中有2种方法(CBD,DBC)

B坐在2号座位，

21

/.B坐在2号座位的概率是一=一.

63

18、640

【解题分析】

321

首先设这个零件的实际长是xcm,根据比例尺的定义即可得方程一=),解此方程即可求得答案，注意单位换算.

x20

【题目详解】

解：设这个零件的实际长是xcm,根据题意得：

32_1

丁一方

解得：x=640,

则这个零件的实际长是640cm.

故答案为：640

【题目点拨】

此题考查了比例尺的应用.此题比较简单，注意掌握方程思想的应用.

三、解答题(共78分)

19、(1)探究一图见解析；(4,3)；探究二(一1,3)；275;

(2)(a+c,b+d)

【解题分析】

(1)探究一：由于点A(3,1),连接OA,平移线段OA,使点O落在点B.设点A落在点C,若点B的坐标为(1,

2),由此即可得到平移方法，然后利用平移方法即可确定在图1中作出BC,并且确定点C的坐标；探究二：将线段

OA绕点O逆时针旋转90度，设点A落在点D,根据旋转的性质和方向可以确定点D的坐标；

(2)已知四点O(0,0),A(a,b),C,B(c,d),顺次连接O,A,C,B.

若所得到的四边形为平行四边形，那么得到OA〃CB,根据平移的性质和已知条件即可确定点C的坐标；

【题目详解】

解：(1)探究一：•.,点A(3,1),连接OA,平移线段OA,使点O落在点B.

设点A落在点C,若点B的坐标为(1,2),

则C的坐标为(4,3),作图如图①所示.

探究二：•.•将线段OA绕点O逆时针旋转90度，

设点A落在点D.

则点D的坐标是(-1,3),如图②所示，由勾股定理得：OD2=OA2=12+32=10,

AD=y/o^+OEr=V10+10=2逐.

(2)(a+c,b+d)

•..四点0(0,0),A(a,b),C,B(c,d),顺次连接O,A,C,B,O,所得到的四边形为平行四边形，

AOAi^BC.

可以看成是把OA平移到BC的位置.

.•.点C的坐标为(a+c,b+d).

【题目点拨】

本题考查坐标与图形的变换、平行四边形的性质等知识，综合性比较强，要求学生熟练掌握相关的基础知识才能很好

解决这类问题.

20、(1)m=l；(2)l<m<l.

【解题分析】

根据一次函数的相关性质进行作答.

【题目详解】

(1)•••一次函数图象过原点，

1一根H0

m-3=0

解得：m=l

(2)・・•一次函数的图象经过第二、三、四象限，

fl-m<0

m—3<O'

【题目点拨】

本题考查了一次函数的相关性质，熟练掌握一次函数的相关性质是本题解题关键.

21、(1)见解析；(2)BD=2或4；(3)—(x-3)2+^JL(0WW6)

44

【解题分析】

(1)：要证明四边形BDEF是平行四边形，一般采用对边平行且相等来证明，因为已经有了DB=CF,只要有AABD全

等AACE,就能得到NACE=NABD=60。，CE=CF=EF=BD,再利用NCFE=6(T=NACB,就能平行，故第一问的证;

(2)：反推法，当ACDF为直角三角形，又因为NC=60。，当/CDF=90。时，可以知道

2CD=CF,因为CF=BD,BD+CD=6,；.BD=4,当NCFD=90。时，可以知道CD=2CF,因为CF=BD,BD+CD=6,；.BD=2,

故当BD=2或4时，ACFD为直角三角形；

(3)：求等边三角形ADE的面积，只要知道边长就可求出，但是AD是变化的，所以我们采用组合面积求解，利用四

边形ADCE减去ACDE即可，又因为AABDGAACE,所以四边形ADCE的面积等于AABD的面积，所以只需要求出

△ABC的面积与ACDE即可，从而即可求面积.

【题目详解】

解：(1)

VAABC是等边三角形，

；.AB=BC,NBAC=NABD=NBCF=60。，

VBD=CF,

.,.△ABD^ABCF(SAS),

ABD=CF,

如图1,连接CE,•••△ADE是等边三角形,

.\AD=AE,ZDAE=60°,

AZBAD=ZCAE,

VAB=AC,

AAABD^AACE（SAS）,

ZACE=ZABD=60°,BD=CE,

ACF=CE,

AACEF是等边三角形，

AEF=CF=BD,ZCFE=60°=ZACB,

・・・EF〃BC,

VBD=EF,

・•・四边形BDEF是平行四边形；

（2）二•△CDF为直角三角形，

・•・NCFD=90。或NCDF=90。，

当NCFD=90。时，VZACB=60°,

・・・NCDF=30。，

ACD=2CF,

由（1）知，CF=BD,

ACD=2BD,

即：BC=3BD=6,

.\BD=2,

；・x=2,

当NCDF=90。时，VZACB=60°,

・・・NCFD=30。，

.\CF=2CD,

VCF=BD,

.*.BD=2CD,

・・・BC=3CD=6,

ACD=2,

・・・x=BD=4,

即：BD=2或4时，4CDF为直角三角形;

(3)如图，

连接CE,由(1)AABD^AACE,

SAABD=SAACE,BD=CE,

：BD=CF,

/.△CEF是等边三角形，

.\EM=_CE=-X,

22

.,.SACDE=-CDxEM=-(6-x)x^2-x=—x.(6-x)

2224

1

；.BH=CH=-BC=3,

2

；.AH=35

•e•SAABC=-BC・AH=9B

=

•e•SAADES四边形ADCE-SACDE

=SAACD+SAACE-SACDE

—SAACD+SAABD-SACDE

=SAABC_SACDE

=96--^-x(6-x)

4

吟…T侬烂6)

G

BDHM

【题目点拨】

第一问虽然求证平行四边形，实际考查三角形全等的基本功

第二问，主要考查推理能力，把4CFD为直角三角形当做条件，来求BD的长，但是需要注意的是，写过需要先给出

BD的长，来证明4CFD为直角三角形，

第三问，考查面积，主要利用组合图形求面积

22、(1)学生总数100人，跳绳40人，条形统计图见解析；(2)144°；(3)200人.

【解题分析】

(1)用5组频数除以其所占的百分比即可求得样本容量；

(2)用A组人数除以总人数即可求得m值，用。组人数除以总人数即可求得〃值；

(3)用总人数乘以O类所占的百分比即可求得全校喜欢篮球的人数；

【题目详解】

解：(1)观察统计图知：喜欢乒乓球的有20人，占20%,

故被调查的学生总数有20+20%=100人，

(2)组有30人，。组有10人，共有100人，

.••A组所占的百分比为：30%,。组所占的百分比为10%,

.\m=30,n=10；

表示区域。的圆心角为一x360°=144°；

100

(3)I,全校共有2000人，喜欢篮球的占10%,

/.喜欢篮球的有2000x10%=200人.

【题目点拨】

考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条

形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

23、(1)证明见解析(2)2P+2

【解题分析】

(1)连接DE.根据三角形的中位线的性质即可得到结论；

(2)根据矩形的性质得到NBAC=NFEC=90°,解直角三角形即可得到结论.

【题目详解】

(1)连接DE,

•••E、F分别是AC,BC中点

/.EF//AB,EF=1AB

2

•.•点D是AB中点

,•.AD=1AB,AD=EF

2

・•・四边形ADFE为平行四边形

・・•点D、E分别为AB、AC中点

.*.DE=1BC,

2

VBC=2AF

ADE=AF

・•・四边形ADEF为矩形.

(2)・・•四边形ADFE是矩形,

AZBAC=ZFEC=90°,

VAF=2,F为BC中点，

ABC=4,CF=2,

■:ZC=30°

・・・AC=20CE=口，EF=1,

：,AE二口

，矩形ADEF的周长为2G+2；

【题目点拨】

本题考查三角形中位线定理及应用，矩形的判定和性质，学生应熟练掌握以上定理即可解题.

24、(1)详见解析；(1)16陋

【解题分析】

(1)因为N1=N1,所以BO=CO,1BO=1CO,又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=CO,BO=OD,则可

证AC=BD,根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定；

(1)在ABOC中，ZBOC=110°,则N1=N1=3O。，AC=1AB,根据勾股定理可求得BC的值，则四边形ABCD的面

积可求.

【题目详解】

(1)证明：VZ1=Z1,

/.BO=CO,即IBO=ICO.

•••四边形ABCD是平行四边形，

.\AO=CO,BO=OD,

.*.AC=1CO,BD=1BO,

.\AC=BD.

•.•四边形ABCD是平行四边形，

二四边形ABCD是矩形；

(1)在ABOC中,VZBOC=110°,

.\Z1