2023-2024学年九年级上开学考试数学试卷含答案解析

2023-2024学年九年级上入学考试数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的.

1.下列分式中，是最简分式的是（)

3xyx-1%+y1-x

AB.——C.D.-----

--x2-l2xx-1

2.下列说法不一定成立的是（

A.若a>b,则a+c>b+cB.若a+c>b+c,贝!Ja>b

C.若d>b,贝Uac>bcD.若ac2>bc2,则a>b

3.如图，在平行四边形A3CQ中，对角线AC、8。相交于点O,E、尸是对角线AC上的两

点，当E、尸满足下列哪个条件时，四边形。EBP不一定是平行四边形（）

A.DE=BFB.OE=OFC.ZADE=ZCBFD.ZABE=ZCDF

CL—b

4.分式一;的值为。时，实数〃，b应满足的条件是（）

a-2

A.B.

C.a=b,#2D.以上答案都不对

5.以如图（1）（以。为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：

①只要向右平移1个单位；②先以直线A3为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③

先绕着点。旋转180°,再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转180°即可.其中

能得到图（2）的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②

6.小李在计算20233-2023时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是

（）

A.2023,2024,2025B.2022,2023,2024

C.2021,2022,2023D.2020,2021,2022

7.在平面直角坐标系内，一次函数y^ax+b的图象如图所示,那么下列说法正确的是（

A.当x>l时，j<0B.方程以+6=0的解是尤=-2

C.当y>-2时，x>QD.不等式办+6W0的解集是xWO

8.下列说法，不正确的是（）

X—1777

A.若关于x的分式方程——=—有增根，则机的值为-5

%+4%+4

B.在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

C.夹在两条平行线间的平行线段一定相等

D.用反证法证明"三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中有一个内角

大于60°

9.如图，所过口ABC。对角线的交点。，交A。于点E,交BC于点F.则：①OE=OF；

1

②右AB=4>AC=6>则2<8D<14；③S^AOB=4s.4BCD；④S四边形ABFE=S/\ABC.其中

正确的结论有（）

10.如图，在△ABC中，AB=BC,由图中的尺规作图痕迹得到的射线8。与AC交于点E,

点P为的中点，连接ER若BE=AC=2,则△CEP的周长为（）

A.V3+1B.V5+3C.V5+1D.4

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.已知-3,a+b—2.则代数式/人+减^的值为.

12.关于龙的方程3%-2根=1的解为正数，则m的取值范围是.

13.如图，一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西25°的方向行驶120海里到达8地，再

由B地向北偏西35°的方向行驶120海里到达C地，则A,C两地相距海

14.如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形

①和②的内角都是108°,则正多边形③的边数是.

15.小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的

优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额。元后，再购买的商品按原价的90%收费；在

乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费.若累计购物x元，当x

>a时，在甲商场需付钱数班=0.9尤+10,当尤>50时，在乙商场需付钱数为下列说法：

①*=0.95x+2.5；②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；

③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；④a=100.

其中正确的说法是（填序号）

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

(—x+1

>1①（要求用数轴表示不等式的解集）;

16.（10分）（1）解不等式组:2

、5—2x>

（2）化简：（”1一。）+4井

17.(9分)如图，△ABC的顶点坐标分别为A(-4,5),8(-5,2),C(-3,4).

(1)画出△ABC关于原点。对称的图形△ALBICi,并直接写出Ai点的坐标；

(2)将△ABC绕B点顺时针旋转90°得到△A2BC2,画出△A2BC2并直接写出4点的

18.(9分)如图，点E、尸是平行四边形A8C。对角线AC上两点，BE//DF.

(1)求证：四边形BED尸是平行四边形;

(2)若AC=8,BC=6,ZACB=30°,求平行四边形ABCD的面积.

F

BC

19.(9分)如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=36°,8。是/ABC的平分线，交AC

于点。，E是的中点，连接即并延长，交8C的延长线于点儿连接AF,

(1)求证：EFLAB；

(2)若AF=8,BC=3,求的长.

20.(9分)2022年10月16日在第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极

稳妥推进碳达峰碳中和”.某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和8型两

款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进

A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆.

(1)A型和8型汽车的进价分别为每辆多少万元？

(2)该公司决定用不多于3600万元购进A型和8型汽车共150辆，最多可以购买多少

辆A型汽车？

21.(9分)如图，在△ABC中，ZACB=90°，AB=5,BC=3,点P从点A出发，沿射线

AC以每秒1个单位长度的速度运动.设点P的运动时间为f秒。＞0).

(1)当点尸在AC的延长线上运动时，CP的长为；(用含f的代数式表示)

(2)若点尸在NABC的角平分线上(如备用图所示)，求此时t的值；

(3)在整个运动中，直接写出△A2P是等腰三角形时f的值.

备用图

22.(10分)阅读材料：要将多项式加分解因式，可以先把它的前两项分成一

组，再把它的后两项分成一组，从而得到：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a

(m+n)+b(m+n),这时a(m+n)+b{m+n')中又有公因式(〃+”),于是可以提出(m+n),

从而得至！J(m+n)Ca+b),因此有am+an+bm+bn—Cam+an')+(bm+bn)—a(m+n)+b

{m+n}=(m+力)(a+b),这种方法称为分组法.请回答下列问题：

(1)尝试填空：2x-18+xy-9y=；

(2)解决问题:因式分解；ac-bc+a2-b2.

(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是a,b,c,且满足a2-2a6+2/-2fc+c2=0,

试判断这个三角形的形状，并说明理由.

23.(10分)如图1,在△ABC中，D,E分别是边AB,AC上的点.对''三角形中位线定

理”逆向思考，可得以下3则命题：

1

I.若。是A8的中点，DE=^BC,则E是AC的中点；

1

II.若DE〃BC,DE=*BC,贝I。，E分别是AB,AC的中点;

III.若。是AB的中点，DE//BC,则E是AC的中点.

(1)小明通过对命题I的思考，发现命题I是假命题.

他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题I条件的点E,从而直观判断E

不一定是AC的中点.

小明尺规作图的方法步骤如下：

①在图2中，作边8C的垂直平分线，交BC于点M,

②在图2中，以点。为圆心，以的长为半径画弧与边AC交于点E和E.

请你在图2中完成以上作图.

(2)小明通过对命题II和命题III的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命

题中选择一个，并借助于图1进行证明.

2023-2024学年九年级上入学考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.

1.下列分式中，是最简分式的是（）

3xyx-1x+y1-x

A.——B.——C.-------D.

，%z-l2xx-1

解：4岑=亚，不是最简分式，不符合题意；

X

x-1x-1二T，不是最简分式，不符合题意;

x2-l(x+l)(x-l)

爰是最简分式，符合题意;

1—Y

D、——=」2=一1,不是最简分式，不符合题意;

x-1x-1

故选：C.

2.下列说法不一定成立的是（）

A.若a>b,则〃+c>Z?+cB.若〃+c>Z?+c,贝

C.若〃>/?,贝!Jac>Z?cD.若〃（/>拉，，贝IJ〃>/?

解：A、若a>b,贝！JQ+C>Z?+C,所以A选项的说法正确；

B、若〃+c>Z?+c,则〃>/?,所以3选项的说法正确；

C、若a>b,当c>0时，则QC>/?C,所以C选项的说法不正确；

D、若用2>儿2,则cwo,a>bf所以。选项的说法正确；

故选：C.

3.如图，在平行四边形A3CD中，对角线AC、5。相交于点O,E、尸是对角线AC上的两

点，当E、尸满足下列哪个条件时，四边形。防厂不一定是平行四边形（）

A.DE=BFB.OE=OFC.ZADE=ZCBFD.ZABE=ZCDF

解：A、・・,四边形ABC。是平行四边形,

：.OA=OC,OB=OD,

由03=00,DE=BF,NDOE=NBOF,不能判定石也△50尸,

.•.不能得出OE=OF,

不能判定四边形DEBF是平行四边形，故选项A符合题意；

8、：四边形A8C。是平行四边形，

：.OB=OD,

•；OE=OF,

.•.四边形。E2F是平行四边形，故选项8不符合题意；

C、：四边形A8C。是平行四边形，

：.OA=OC,OB=OD,AD=CB,AD//CB,

：.ZDAE^ZBCF,

又,:/ADE=/CBF,

.'.△ADE经ACBF(ASA),

：.AE=CF,

：.0A-AE^OC-CF,

即OE=OF,

"：OB=OD,

四边形QE8F是平行四边形，故选项C不符合题意；

D、同上得：AABE咨ACDF(ASA),

J.AE^CF,

：.OA-AE=OC-CF,

即OE=OF,

"：OB=OD,

.•.四边形。EBF是平行四边形，故选项。不符合题意；

故选：A.

n—b

4.分式一;的值为。时，实数4,6应满足的条件是()

a-2

A.a=bB.a#b

C.a=b,D.以上答案都不对

解：：分式一的值为0,

a-2

-b=0且。-2W0,

解得a=b#2,

故选：c.

5.以如图（1）（以。为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：

①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③

先绕着点。旋转180。，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转180。即可.其中

能得到图（2）的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②

解：由图可知，图（1）先以直线48为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，

或先绕着点。旋转180°,再向右平移一个单位，

或绕着08的中点旋转180°即可得到图（2）.

故选：B.

6.小李在计算20233.2023时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是

（）

A.2023,2024,2025B.2022,2023,2024

C.2021,2022,2023D.2020,2021,2022

解：20233-2023

=2023X(20232-1)

=2023X(2023-1)X(2023+1)

=2023X2022X2024.

故选：B.

7.在平面直角坐标系内，一次函数y^ax+b的图象如图所示,那么下列说法正确的是()

A.当%>1时，y<0

B.方程ax+b—O的解是尤=-2

C.当y>-2时，尤>0

D.不等式依+6W0的解集是xWO

解：由函数y=or+b的图象可知，

A、当x>0时，y>-2,原说法错误，不符合题意；

B、方程依+b=0的解是x=l,原说法错误，不符合题意；

C、当y>-2时，尤>0,正确，符合题意；

D、不等式依+6W0的解集是xWl,原说法错误，不符合题意.

故选：C.

8.下列说法，不正确的是（）

X—1772

A.若关于x的分式方程---=----有增根，则根的值为-5

x+4x+4

B.在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

C.夹在两条平行线间的平行线段一定相等

D.用反证法证明"三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中有一个内角

大于60°

解：A、方程两边同乘x+4,得x-l=祖，

解得：尤=7"+1,

..•当x=-4时，分式方程有增根，

...加=-5时，分式方程有增根，本选项说法正确，不符合题意；

2、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，说法正确，不符合

题意；

C、夹在两条平行线间的平行线段一定相等，说法正确，不符合题意；

。、用反证法证明"三角形中必有一个角不大于60。”，先假设这个三角形中三个内角大

于60°,故本选项说法错误，符合题意；

故选：D.

9.如图，EF过oABCD对角线的交点O,交AD于点、E,交BC于点F.贝U：①OE=OF；

1

②右AB=4fAC=6f则2VBDV14；③S&AOB=~^^^\ABCD»④S四边形其中

正确的结论有（）

E

A，D

HF0

A.4个B.3个C.2个D.1个

解：①•・•四边形ABC。为平行四边形，

：.AO=CO,AD//BC.

：.ZOAE=ZOCF,ZAEO=ZCFO.

在△AOE和△CO/中，

Z.OAE=乙OCF

乙AEO=乙CFO,

AO=CO

：.AAOE^ACOF.

：.OE=OF.

故①正确.

②・・,四边形ABC。为平行四边形，

：.A0=^AC=3,BD=2BO.

又A8=4,

：.2<BD<14.

故②正确.

③・・・O为的中点，

••^^AOB=2S/kZBQ•

・_1_1

•,^LAOB~2S/kABQ=4S回ABCD•

故③正确.

@V△AOE四△co/，

S四边形AOFB+SAAOE=S四边形AO尸B+S^COF.

・二S四边形A8FE=S4A8C.

故④正确.

故选：A.

10.如图，在△ABC中，AB=BC,由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E,

点尸为8C的中点，连接EF,若BE=AC=2,则△CEF的周长为（）

A.V3+1B.V5+3C.V5+1D.4

解：由图中的尺规作图得：BE是NABC的平分线，

'：AB^BC,

：.BE±AC,AE=C£=1AC=1,

AZB£C=90°,

：.BC='BE?+CE2=V22+l2=V5,

:点尸为2C的中点，

1

：.EF=^BC=BF=CFf

AACEF的周长=CF+EF+CE=CF+BF+CE=BC+CE=V5+1,

故选：C.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.已矢口〃匕=-3,a+b=2.则代数式Gb+a侪的值为-6.

解：由题意，a2b+ab2=ab（〃+。），

•：ab=_3,a+b=2,

a2b+ab2=-3X2=-6.

故答案为：-6.

12.关于x的方程3%-2m=1的解为正数，则m的取值范围是m〉-.

解：解方程3尤-2加=1得：尤=等%,

:关于尤的方程3x-2m=l的解为正数，

解得：m〉-5,

故答案为：m>—2.

13.如图，一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西25°的方向行驶120海里到达2地，再

由2地向北偏西35°的方向行驶120海里到达C地，则A,C两地相距120海里.

•••一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西25°的方向行驶120海里到达8地，再由8地

向北偏西35°的方向行驶120海里到达C地，

ZABC=60°,AB=3C=120海里，

.1.△ABC是等边三角形，

：.AC=AB=120海里.

故答案为：120.

14.如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形

①和②的内角都是108°,则正多边形③的边数是10.

解：360°-108°-108°=144°,

180°-144°=36°,

360°+36°=10.

故答案为：10.

15.小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的

优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额。元后，再购买的商品按原价的90%收费；在

乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费.若累计购物x元，当x

>a时，在甲商场需付钱数m=0.9x+10,当x>50时，在乙商场需付钱数为下列说法：

①*=0.95尤+2.5；

②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；

③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；

④4=100.

其中正确的说法是①③④（填序号）

解：根据题意得当x>50时，在乙商场需付钱数yB=50+（尤-50）X95%=0.95x+2.5,

可判断①正确；

根据题意得当x>a时，在甲商场需付钱数yA=a+（x-a）X90%=0.9X+0.1<7,

"."yA—0.9x+10,

/.0.1a=10,解得a=100,

可判断④正确；

当地>中时，0.9x+10>0.95x+2.5,解得x<150,

即当累计购物50<尤<150时，选择乙商场一定优惠些,

当地时，0.9x+10<0.95x+2.5,解得尤>150,

即当累计购物x>150时，选择甲商场一定优惠些，

当地=”时，0.9x+10=0.95x+2.5,解得尤=150,

即当累计购物x=150时，两个商场需付钱数一样多.

可判断②错误，③正确，

故答案为：①③④.

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

（r+1>1①

16.（10分）（1）解不等式组：2,〈J（要求用数轴表示不等式的解集）;

、5—2%>—1（2）

,a、12—4a+4

（2）化简:

%(——1i—a))+CL—1

解：（1）解不等式①，得-1,

解不等式②，得XW3,

把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为:

-5-4-3-2-1

・,•原不等式组的解集为iV-1;

〜aa2-aa-1

⑵原式=(----)•-——

Q—1(2-1((2—2)2

-0(0-2)^^-1

(a-2)2

a

CL—2,

17.(9分)如图，/XABC的顶点坐标分别为A(-4,5),5(-5,2),C(-3,4).

(1)画出△ABC关于原点。对称的图形△A131C1,并直接写出A1点的坐标；

(2)将△ABC绕5点顺时针旋转90°得到AA23c2,画出AA23c2并直接写出A2点的

坐标.

y八

解：(1)如图，△A181Q即为所求，点4的坐标为(4,-5)；

y八

A

(2)如图，△A2BC2即为所求，点上的坐标为(-2,1).

18.(9分)如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE//DF.

(1)求证：四边形8EZ邛是平行四边形；

(2)若AC=8,BC=6,ZACB^30°,求平行四边形的面积.

(1)证明：平行四边形A8CQ中，AD//BC,AD=BC,

：.ZACB=ZCAD,

y.'：BE//DF,

；./BEC=NDFA,

在△3EC和△。曲中,

~BEC=^DFA

\^ACB=/.CAD,

(BC=AD

：./\BEC^/\DFA(A4S),

:.BE=DF,

又BE〃DF,

...四边形BEDE是平行四边形；

(2)解：过A点作AGLBC,交CB的延长线于G,

在RtzXAGC中，AC=8,ZACB=30°,

：.AG=4,

'：BC=6,

平行四边形ABCD的面积=BC・AG=4X6=24.

19.(9分)如图，在△ABC中，AB^AC,N54C=36°,3。是N4BC的平分线，交AC

于点。，E是的中点，连接并延长，交8C的延长线于点尸，连接AF,

(1)求证：EFLAB-,

(2)若AP=8,BC=3,求CE的长.

(1)证明：VAB=AC,NBAC=36°,

1

/.ZABC=(180°-36°)=72°.

又,：BD是NA3C的平分线，

11

ZABD=^ZABC=Wx72°=36°,

：.ZBAD=ZABD=36°,

：.AD=BD,

又YE是AB的中点，

：.DE±ABfBPFELAB(三线合一)；

(2)WVFE1AB,AE=BE,

・・・FE垂直平分A5,

：.BF=AF=8

：.CF=BF-BC=8-3=5.

A

20.（9分）2022年10月16日在第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极

稳妥推进碳达峰碳中和”.某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两

款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆8型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进

A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆.

（1）A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？

（2）该公司决定用不多于3600万元购进A型和2型汽车共150辆，最多可以购买多少

辆A型汽车？

解：（1）设8型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆1.5x万元，

解得：尤=20,

经检验，尤=20是方程的解，且符合题意，

贝I」1.5^=1.5X20=30,

答：A型汽车的进价为每辆30万元，2型汽车的进价为每辆20万元；

（2）设购买辆A型汽车机辆，则购买（150-加）辆8型汽车，

依题意得：30/M+20（150-m）W3600,

解得：加《60,

答：最多可以购买60辆A型汽车.

21.（9分）如图，在△ABC中，ZACB=90°，AB=5,BC=3,点尸从点A出发，沿射线

AC以每秒1个单位长度的速度运动.设点P的运动时间为f秒G>0）.

（1）当点P在AC的延长线上运动时，CP的长为L4；（用含f的代数式表示）

（2）若点P在/A8C的角平分线上（如备用图所示），求此时f的值;

（3）在整个运动中，直接写出AABP是等腰三角形时f的值.

解：（1）在△ABC中,

由勾股定理得：AC=yjAB2-BC2=4,

V已知点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度运动,

，当点P在AC的延长线上时，点尸运动的长度为：AC+CP=t,

：AC=4,

CP—t-AC—t-4.

故答案为：t-4.

（2）过点尸作尸于点如图所示:

C.PCLBC,

,/点P在NA8C的角平分线上，PM1AB,

:.PC=PM,

又,：PB=PB,

：.RtAPCB^RtAPMB(HL),

:.CB=MB,

：.AM=AB-MB=AB=BC=5-3=2,

设PM=PC=x,贝i]AP=4-x,

在RtAAPM中，AM2+PM2=AP2,

22+X2=(4-x)2,

解得：%=

：.PC=

：.AP=4-

:•若点尸在/a%的角平分线上，则，的值为|.

(3)当AB作为底边时，如图所示：

则用=尸8,设E4=a,则尸C=AC-AP=4-a,

在RtZXPCB中，PB2=PC2+CB2,

a2=(4-a)2+32,

解得：a=等，

此时t=学;

当AB作为腰时，如图所示：

APi=AB=5,此时f=5；

当AB=B尸2时，

'：BC.LAP2,

；.AP2=2AC=8,

此时£=8,

综上分析可知，t的值为卷或5或8.

22.(10分)阅读材料：要将多项式+即+加计加分解因式，可以先把它的前两项分成一

组，再把它的后两项分成一组，从而得到：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a

(m+n)+Z?(m+n),这时a(M+〃)+/?(济+〃)中又有公因式(nt+几)，于是可以提出(M十几)，

从而得至！J(m+n)(〃+/?),因止匕有am+an+bm^-bn=(am+an)