福建省厦门市2024届高中毕业班第二次质量检查基础巩固练习数学试题

厦门市2024届高中毕业班第二次质量检查

数学基础巩固练习

满分：150分考试时间：120分钟

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上

粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合「={%62—2cx<4},Q={%W+2X—3<o},则尸Q二=()

A.(-2,1]B.[-3,4)C.{-1,1}D.{-1,0,1}

2.如图，一组数据X],尤2，无3，…，％,苞0的平均数为5,方差为S；,后号除为,税后，平均数为X,

方差为S；,则()

朽

9-.:

••

5-•……-...............+•

•*

1---------------------,

o910i

A.x>5,B.x<5,C.x-5,D.x=5,s；<S]

3.已知sin[a-力=[,则sin12a+f=()

181877

A.——B.----C.——D.----

25252525

、(iY,8、、

4.设o=[zJ,b=log030.2,c=log030.4,则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

5.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,己知人—c=4a

,2sinB=3sinC,则

4

cos4=(

6.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是

()

A.156B.210C.211D.216

7.一个人骑自行车由A地出发向正东方向骑行了4km到达B地，然后由3地向南偏东30。方向骑行了

6km到达C地，再从C地向北偏东30。方向骑行了16km到达。地，则A,D两地的距离为()

A.4V19kniB.10j5kmC.D.26km

8.如图，。的半径等于2,弦3C平行于无轴，将劣弧8c沿弦BC对称，恰好经过原点。，此时直线

y=-*+根与这两段弧有4个交点，则机的可能取值为()

357

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设z为复数(i为虚数单位)，则()

A.若zeR,贝!lz=zB.若deR,则zeR

C.若(l+i)z=l—i,则目=1D,若z2+l=0,则z=i

10.已知函数/(x)的定义域为R,对任意实数X,>满足/(x+y)=/(x)+/(y)+j且=

当时，/(x)>0,贝!!()

1Q1

A./(O)=--B.y(-l)=-|C./(%)为减函数D.〃x)+］为奇函数

11.如图，在棱长为2的正方体ABC。—AgGA中，点E，尸分别是。。和的中点，则()

B

A.CXF//AE

B.CXF±AXD

C.点尸到平面E4C的距离为巫

3

D.过£作平面a与平面ACE垂直，当a与正方体所成截面为三角形时，其截面面积的范围为

6叵

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知点尸为抛物线9=2p%（〃＞。）的焦点，点A（4,加）在「上，且|AF|=5,则根=.

13.将函数/（x）=sin，x+；j（。〉。）的图象向右平移3个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，若

函数y="x）和y=g（同在（0,兀）上都恰好存在两个零点，则3的取值范围是.

14.在“维空间中（〃之2,neN）,以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为"维坐标

（a1M2，1，％），其中qe｛0,l｝（lWz,W〃,ieN）.则5维“立方体”的顶点个数是；定义：在“维

空间中两点（勾吗,..，a“）与伯也,.也）的曼哈顿距离为何一"+同一4++,“一优卜在5维"立方

体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则E（X）=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱

子中任选一个箱子，再从中随机摸出一球.

（1）求摸出的球是黑球的概率；

（2）若已知摸出的球是黑球，用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.

16.（15分）

,、1a“-301,“为奇数

已知S“为等差数列的前〃项和，bn=\"一，4=32,S5=20.

（1）求｛4｝的通项公式；

⑵记为数列也｝的前力项和，若2J-S2“〉0,求”的最小值.

17.（15分）

22

双曲线C：%=1（。〉0力〉0）的离心率为百，点T（0,0）在C上.

(1)求C的方程；

(2)设圆0：f+y=2上任意一点p处的切线交C于〃、N两点，证明：以MN为直径的圆过定点.

18.(17分)

如图，在四棱锥£—A8CD中，底面ABC。为平行四边形，△E45为等边三角形，NA6c=60°,

BC=CE=2AB,EF=AAB+/JAD(JU>0),EF=^BC.

(1)求证：EB±AC；

(2)若FD=FC,

①判断直线跖与直线8c的位置关系，并说明理由；

②求平面ABE与平面FCD的夹角.

19.(17分)

已知函数〃x)=e*-依.

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)设g(x)=/(x)—心,若西<尤2<%且g&)=g(%)=g(%).

①求。的取值范围；

②设机为整数，当。<3时，对任意的马，*3，都有〃22々+%3，求机的最小值•

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数学基础巩固练习

一、单选题

1-4DCCD5-8ADBB

二、多选题

9.AC10.ABD11.BCD

11.D选项：在四边形与5。。中，过E作交4。于M,易证项平面EAC,

由△MDiEsAED。,喋=所以等

如图，设截面与AA交于点G,与G2交与点”.过点，作QNLGH,连接EN.

112

易证NELGH.设GD]=a,HD】=b,由GH恒过点所以一+―=2,a,be-,2

ab3

由等面积法〃N=A®=Jl+-f^r-所以

V77FVa2+b2

2

=1(/+匕2、11+、=J_Jq2+/?2+々2/?2=—y/5a/j--2ab=—.--,

2Va2+b2222vl5)5

又由上+上=2,ae-,2,所以人ab=-^—e

abl_3」2a—12a-1

所以S&EGH=

三、填空题

,[55180

12.±413.14.32；—

(3231

14.(1)%的可能值为0,1(1W/W5,ieN).故五维立方体的顶点有25=32个.

（2）依题意，样本空间的样本点记为｛〃,N｝,M,N为五维立方体的顶点

样本点总数：〃（O）=C；2

当*=左时，有左个第，维坐标值不同，有5—左个第i维坐标值相同.

满足X=%的样本点｛M,N｝个数为。5222=C；♦2".

所以尸(*=左)=-^=嵩(左=1,2,3,4,5).

故分布列为:

X12345

5101051

P

3131313131

1QQ

E(X)=—(5+20+30+20+5)=—

四、解答题

15.【详解】（1）记事件A表示“球取自甲箱”，事件，表示“球取自乙箱”，事件3表示“取得黑

球”，……1分

则「⑷一⑸彳，P（B|A）=|=|,P（B|A）=|,

由全概率公式得：

P（B）=P（A）P（JB|A）+P（A）P（B|A）……3分

111211

—X——|——X—=——6分

232530

（2）该球取自乙箱的可能性更大，理由如下:

11

X

P(A)P(B|A)_23^5

该球是取自甲箱的概率P（A|B）=9分

P(B)1111

30

12

AP（BA）

_pt\\25_6

该球取自乙箱的概率尸（彳）乙\I）12分

'1>P（B）1111

30

因为尸（川3）<尸（33）,所以该球取自乙箱的可能性更大.……13分

16.（1）设数列｛%｝的公差为d,

5(%+%)_2Q

依题意,22分

2&=32=25

/=4I<7,=2

即13解得11,……4分

&=5[d=1

所以｛4｝的通项公式是%=2+("—1)=〃+1.……5分

300,“为奇数

（2）由⑴知。.=〃+1,所以。“=<

2叫谢偶数

52,=2〃(%；出")=2"(2；2"+1)="(2“+3),……7分

(“=31+4++82"-1)+92+A4++人2")

〃(—299+2〃—301)+23(1—4")

4计2-16

2T2n-S2n=---------603〃〉0恒成立，……11分

由G—C”T=4"+1—603〉0,得“24.……13分

所以q>c2>c3<c4<c5<

所以n的最小值为4....15分

[A_A=i

//一

17.方法一：(1)依题意：<c2=tz2+Z?2,....2分

9=6

a

解得：4=1,b2=2,……3分

2

所以双曲线方程为f—匕=1.……4分

2

（2）设NH，%），

①当切线斜率存在时，设直线方程为y=+

因为直线与圆相切，所以J।=0,整理得m2=2+2左2,……6分

2_/_

联立《x2=1=^>^2-A:2%2-2kmx-m1-2=Q,

y=kx+m

则％+x2=,xxx2=；j,A=4左2M2+4（2一左2）（7n2+2）=8（加之+2一k2）........8分

由对称性知，若以MN为直径的圆过定点，则定点必为原点.……9分

OMON=XyX2+yxy2.......10分

xYx2+（g+m）（Ax2+〃z）=（1+左番九2+相左（石+%2）+疗11分

—m2—22km2

=（1+刊+mk+m

2-k12-k2

苏-2-2左2

分

-2-k2-12

又加2=2+2左2,所以OM-ON=0,

所以。MLON,故以MV为直径的圆过原点.……13分

②当直线斜率不存在时，直线方程％=±0,止匕时圆方程为（x±0『+y2=2,恒过原点.

综上所述，以MN为直径的圆过原点,……15分

方法二：（1）同方法一；

⑵设”（七,%）,NH，%）,

①当切线斜率存在时，设直线方程为y=Ax+m,

因为直线与圆相切，所以=0,整理得m2=2+2左26分

V1+F

2_d=1

联立|一万一^＞（2-k2）x2-2krm-nr-2=Q,

y=kx+m

2kmx1x=；/2，A=44之机2+4（2-左2）（加22

则芯+9=2+）=8（加之+2—左2）.......8分

2-k2

以,改■（%2，%）为直径的圆的方程为（无一%）（工一工2）+（丁一%）（丁一%）二°，

即12_（%+%）%+Nw+J—（%+%）、+%%=°，……9分

22

因为再%2+%%=项％2+（依+m）（Ax2+m）=（k+1）玉龙2+版（玉+x2）+m,

/21\—加2—22km2冽2—2k2—2

所以』/+%%=（左+1）・2—心+6・^p■+一二一厂必一二0,II分

且X+乃=左（/+%2）+2根=匕£^+2根=^^，

所以所求的圆的方程为/一—2—y=。，……12分

2-k22-k2

所以MN为直径的圆过原点.……13分

②当直线斜率不存在时，直线方程％=±0,此时圆方程为（X土行了+/=2,恒过原点.

综上所述，以MN为直径的圆过原点.……15分

18.解：（I）不妨设AB=2,则5C=CE=4,

VZABC=60°,BC=2AB,

：.ZBCA=30°,ZBAC=90°,

即ABLAC,……2分

所以AC=2

又因为AC2+AE2=12+4=CE?,

所以AC_LAE.……4分

ABAE=A,

所以AC_L平面AEB,

3Eu平面AEB,

所以EBLAC.……5分

（2）①EF与8c异面，理由如下：

取的中点为O,连结E。，△E45为等边三角形.

所以£O_LB4,EO=百由（I）知AC_L平面AE8,

所以EOLAC,AB±AC,ABAC=A,

所以EO，平面A3C.……7分

以A为原点，AB,AC分别为x轴，y轴，以过A平行于E。的直线为z轴,建立空间直角坐标系.

4（0,0,0）,5（2,0,0）,D（-2,2A0）,C（0,26,0）,E（l,0,豆），

设石），EF=（x-l,j,0）,AB=（2,0,0）,

AD=（-2,273,0）,£>C=（2,0,0）,CF=（x,y-2出网,……8分

因为EF=@，所以(％—1『+/=7,

因为阳=PC,所以jY+(y—2百『+3=J(x+2『+(y—2G『+3,

所以跖=卜2,6,0),5c=(—2,26,0),

所以EFKkBC,£尸与8C不平行，……11分

又因为E尸=XAB+〃AD,

则EF和平面ABCD共面，

则E尸在平面ABC。内，或石尸〃平面A2CD

又E在平面A8CD外，所以石尸〃平面A8CD

所以EF与BC不相交.

即即与BC异面;……12分

②由⑴知AC=(0,2后,0)为平面AEB的法向量，……13分

设平面FCD的法向量为m=(九],%,zj,

DF=[1,—6网,£>C=(2,0,0),

m・DF=。x-A/3Y+A/3Z,=0口..

<,，所以<，取％=1,则nlZ]=1,

m•DC=012再=0

m=（0,1,1）...15分

设平面ABE与平面FCD夹角为。

273

cosO=cos（AC,m

2A/3A/2当所以。

TT

所以平面ABE与平面FCD的夹角为一.……17分

4

19.解：（1）/r（x）=ex-a,....1分

①当〃《0时，/(x)>0,所以/(%)为增函数;2分

②当〃〉0时，令/'(x)=0,得％=lna,

当x<lna时，当尤>lna时，

所以/(%)在区间(TO,Ina)上单调递减，在区间(Ina,+00)上单调递增.5分

综上，当aWO时，“X)为增函数；当a>0时，/(%)在区间(fo,lna)上单调递减，在区间(lna,y)

上单调递增.

(2)①因为g'(x)=e*+ef—a,且1+尸22,

所以当aW2时，g'(x)»O,所以g(x)为增函数，不满足g(玉)=g(w)=g(%)；……6分

当a>2时，令/z(x)=g'(x),

/z,(x)=ex-e-\则〃(x)为增函数,令"(x)=O,得x=O,

所以当x>0时，”(x)>0,当x<0时，//(x)<0,

所以g'(x)在区间(f。,0)上单调递减，在区间(0,+oo)上单调递增，

所以g'(xL=g'(°)=2-。<。，

且X9—00