2024年河南省普通高中毕业班高考适应性测试数学试题

2024年河南省普通高中毕业班高考适应性测试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

L已知集合河={乂7^<4}川="|一2<苫（3,工€2卜则MCN=（）

A-{x|l<x<3}B-{x|l<x<3}仁{2,3}D.{1,2,3}

2.在复平面内，复数句对应的点与复数Z2=J—对应的点关于实轴对称，则4=

21+i

（）

3.已知lg2。0.3010,lg3。0.4771，则bg/2的值大约为（）

A.1.79B.1.81C,1.87D.1.89

4.已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，

则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（）

A.2B.坟C.&D.还

1-丁25

5.函数的图象由函数y=2sin]4+J的图象向左平移以0>°）个单位长度

得到，若函数y=/（x）的图象关于原点对称，则。的最小值为（）

A.-B.-C.—D.—

4242

6.已知抛物线了2=2x的焦点为尸，过点尸的直线/与抛物线交于4台两点，若dOF

的面积是尸的面积的两倍，则（）

试卷第11页，共33页

7.已知tan

8.对于数列｛%｝，定义4=%+3g+…+3"［为数列｛叫的“加权和”•设数列

｛°“｝的''加权和"4=〃.3"，记数列｛%+8+1｝的前〃项和为7；，若对任意的

〃eN*恒成立，则实数〃的取值范围为（）

16712_75_12169

T3T，-32，-TT，-4

二、多选题

9.约翰逊多面体是指除了正多面体、半正多面体（包括13种阿基米德多面体、无穷多

种侧棱与底棱相等的正棱柱、无穷多种正反棱柱）以外，所有由正多边形面组成的凸多

面体.其中，由正多边形构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体，台塔，又叫帐塔、平

顶塔，是指在两个平行的多边形（其中一个的边数是另一个的两倍）之间加入三角形

和四边形所组成的多面体.各个面为正多边形的台塔，包括正三、四、五角台塔.如图

是所有棱长均为1的正三角台塔，则该台塔（）

A.共有15条棱B.表面积为3+26

C.高为逅D夕卜接球的体积为3

试卷第21页，共33页

10.已知定义在R上的函数〃X）,满足2/（x+力〃x-j）=〃2x）+〃2y），且

/⑴=_1，则下列说法正确的是（）

A-/（0）=1B./（x）为偶函数

C.y（2x）=/（x）D.2是函数“X）的一个周期

11.泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星

星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交

汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点/已，。），直线/:x=2,动点，到点”的距离是点尸

2

/?P

到直线的距离的若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”.

则下列结论中正确的是（）

P22

A.点的轨迹方程是二+匕=1

95

B.直线《一+上=1是“最远距离直线”

95

C.点P的轨迹与圆°：/+/_2工=0没有交点

D.平面上有一点“（T1）,则2/+3附的最小值为史

2

三、填空题

12.已知圆。1：/+_/+4》一4了一1=0，圆。2：/+/一2x—6y+9=0，直线/分别与圆

£和圆G切于两点，则线段的长度为

13.卜+工_2y］的展开式中x2j?的系数为

试卷第31页，共33页

14.已知正实数"，"满足：a+b=X,则+的最大值是

u+6a+b

四、解答题

15.己知A/8C中，角/,8,C的对边分别是q,6,c,c=26，且V^sin2C-2cos2c=1,

⑴求角C的大小；

⑵若向量玩=(l,sim4)与向量方=(sinB,-2)垂直,求。的值.

16.在如图所示的四棱锥尸-4BCO中，四边形48co为矩形，上4_L平面48c£),£为

线段加上的动点.

，、…PB//BH4EC—PE…士

⑴若平面，求一的值；

PD

⑵在(1)的条件下，若24=40=1,48=2,求平面48c与平面/EC夹角的余弦值.

17.已知函数y(x)=e"1'+x'—加xj"eR.

⑴求函数/(x)在点(oj(o))处的切线方程；

⑵若对于任意xe[-1/，都有f(x)4e恒成立，求实数加的取值范围.

18.已知44分别为双曲线。工-二=1(4>0力>0)的左、右顶点，/4|=2,动直线,

ab

与双曲线C交于P,Q两点.当P0//X轴，且|叫=4时，四边形尸。44的面积为3指•

试卷第41页，共33页

(1)求双曲线C的标准方程.

(2)设尸,0均在双曲线c的右支上，直线吊尸与4。分别交v轴于两点，若

ON=2OM'判断直线/是否过定点.若过，求出该定点的坐标；若不过，请说明理由

19.甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方

式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3,则甲将球传给乙，若点数不大于3,则甲将

球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4,则乙将球传给甲，若点数不大于4,则

乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3,则丙将球传给甲，若骰子点数

不大于3,则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.

(1)设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为丫，求随机变量丫的分布列和数学期望;

⑵投掷九次骰子后(〃eN*)，记球在乙手中的概率为2，求数列｛心｝的通项公式;

求证：…〈攻+区+...+&<

⑶设4,=13P“T「2一〃£N

23d242、

试卷第51页，共33页

参考答案:

1.D

【分析】首先求集合河，再求McN.

【详解】石^1<4，即0。—1<16,得l«x<17，

即M={邓4x<17}，且N=3-2<xV3,xeZ}'

所以"nN={l,2,3}.

故选：D

2.A

【分析】根据复数的除法运算求得Z2=fy对应的点，即可得4对应的点的坐标，从而可

得答案.

【详解】由题意得复数Z2=」一=3一>=上比,对应的点为(1」)，

1+i(l+i)(l-i)222

则复数句对应的点为则Z1=g-gi,

故选：A

3.A

【分析】借助对数运算法则计算即可得.

【详解】log.l2=log,（22X3）=-X2log,2+-log,3=1+®1+0,4771«1.79.

2\J2221g22x0.3010

故选：A.

4.B

【分析】设出底面半径，由题意可得高，即可计算圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，即可得

解.

【详解】设这个圆柱和圆锥的底面半径为八

答案第11页，共22页

由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高〃=2〃

2

则圆柱的侧面积H=2兀2x4tr>

圆锥的侧面积邑=应](〃丫+/”

J1|Z「47t4?5_j.

2

S2V57tr5

故选：B.

5.D

【分析】首先利用平移规律求函数/(x)的解析式，再根据函数是奇函数的性质，即可求解

。的值.

【详解】由题意可知，f(x)=2sin/x+夕)+],

因为函数/(次)关于原点对称，所以/(o)=2sin(芥+3二0，

则为+-=foi,得卬=_二+2包ka，且

242

所以0=3£7r.

故选：D

6.C

【分析】有"'。厂的面积是的面积的两倍可得乙-2xs=g，设出直线方程联立曲线,

得到相应韦达定理即可计算出.、/，即可得解・

答案第21页，共22页

【详解】令,为点o到直线的距离,

1

贝司，S^0F=^d-\BF\,

\AF\=2\BF\

V一、

,3AOFAF

由《-----=2,故

◎ABOFBF

由抛物线定义可知，|4F|=S+g,\BF\=XB+^,

AB_1y1-2x

设直线方程为x=^"+，，联立抛物线方程[

x=my+~

有j/-2加y-1=0，A=4m2+4>0J

故"+%=2加，yAyB=-1

则XX=（无为）=L则有2/=，一，故孙-2/=孙-/-=1，

AB442猫,孙’

有2只一/—1=0,故猫=1或一工（负值舍去），则L=L

“234猫4

111o

故\AB\=XA-\----l-XnH---=1+ld----=—.

1125244

故选：C.

7.A

【分析】首先利用两角和差的正切公式化解，并求得.加，再根据二倍角的正切公式,

LailZOC

答案第31页，共22页

即可化解求值.

【详解】由条件可知，l+tana」Tana=4,

1-tan（z1+tancr

2tana_tan2a=2

即Rn------=2,贝!]

1-tana

2tan2a44

所以tan4a=

1-tan22a1^43

故选：A

8.B

【分析】借助“"与S"的关系可计算出数列｛%｝的解析式，即可得7＞（2+P）〃；（6+P）〃,

则分p=-2及pH-2两种情况分类讨论，当°片-2时，7；为有特殊定义域的二次函数，结

2+夕<0

合二次函数的性质可得96+p11，解出即可得.

2-_2(2+/?)-T

【详解】当”22时，4T则4一-("1>3"T=(2〃+1〉3"T，

即3"一%"=(2〃+1>3"7，故氏=2〃+1，

当力=1时，4=].31=3=%,符合上式，故q=2〃+1，

贝产+,"+]=(2+0)"+2,故r=[4+/+(2+?)=+21?=(2+?)/+(6+0〃,

因为［〈笃对任意的„eN*恒成立，

当p=-2时，有2力410,即“W5，不符合要求,

答案第41页，共22页

p^—22+夕<0

当时，则有.9V6+夕<11，

2-2(2+7)

々4127

角牛得----<p<—•

53

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在得到7；=（2+P）"；1+PA后,可知当时，T"为

有特殊定义域的二次函数，即可结合二次的函数的性质解题.

9.ACD

【分析】由台塔的结构特征，数棱的条数，计算表面积和高，由外接球半径计算体积.

【详解】台塔下底面6条棱，上底面3条棱，6条侧棱，共15条棱，A选项正确；

台塔表面有1个正六边形，3个正方形，4个正三角形，由所有棱长均为1,

表面积为s=6x—xlxlx——+3xlxl+4x—xlxlx——=3+-——，B选项错误;

22222

上底面正二角形ABC在下底面正K边形DEFGHI内的投影为B'C''

则0点是正六边形DEFGHI的中心，也是“EC的中心，

△H5C'和△ODE都是正三角形，。'是的中心,

由棱长为1,则

3

答案第51页，共22页

所以台塔的高CC，=，m;2_改,2=/I=显C选项正确;

V93

设上底面正三角形"'0的外接圆圆心为a，则半径尸=2,

13

下底面正六边形。EFGm的外接圆圆心为a，则半径4=1，

设台塔的外接球半径为&,oo2=a

、2(aY、24=0

贝I］有/+F=a+限+或/+?=----a+,解得

3333

7J7J

所以R=々=1,台塔的外接球体积忆=3忒3=3,D选项正确.

33

故选：ACD

10.ABD

Iy=-x

【分析】对A：借助赋值法，令x=y=L,计算即可得；对B：借助赋值法，令,

2

结合偶函数定义即可得；对c：计算出其与/⑴不满足该关系即可得；对D：借

助赋值法，令）='-;，结合/

I的值与周期函数的定义计算即可得.

答案第61页，共22页

【详解】对A：令『j则有"⑴-⑴+川)，又/⑴一,

故有-2/(0)=-2,故/⑼=1，故A正确；

对B：令了=一心则有2/(0)/(2X)=/(2X)+/(-2X)，又/⑼=1，

故有/(2x)=/(-2力，即/(x)=/(-x)，又其定义域为R，

故/(x)为偶函数，故B正确；

对C：令x=；,尸°’则有=/⑴+八0)=-1+1=0，

故/&[=(),又〃D=T,不符合，故C错误；

对D：令广x-g,则有2/(2x-£|/gJ=/(2x)+/(2xT),

由/g)=0,故〃2X)+〃2XT=0,则/(X)+〃X-1)=0,故〃X+1)+/(X)=0,

两式作差并整理得了(x+l)=/(x-l)，故2是函数y(x)的一个周期，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，对D选项，需借助

=再令y=x—；,从而消掉所给式子中的一项，再结合周期函数的定义得解.

11.AC

【分析】对A：设出尸(x)),结合题意计算即可得；对B、C：联立两方程，借助A判断

有无交点即可得；对D：借助题目定义，将归6转化为点尸到直线/的距离，从而得到

答案第71页，共22页

2\PA\+3\PF\=21PH+2附，计算出网|+\PB\的最小值即可得・

【详解】对于A,设尸GJ）,则有J（x_2y+F=gx-：,整理可得二+己=1，

95

P22

故点的轨迹方程是土+匕=1，故A正确;

95

4PKZ=17X2-45X+162=0

对于B,联立直线与点的轨迹方程，有「252,可得

A=452-4X7X162=2025-4536<0，故直线与点尸的轨迹方程没有交点，

则直线4：工+2=1不是“最远距离直线”，故B错误;

195

CPx2,+y2-2x—04x~—18无+45=0

对于C,联立圆与点的轨迹方程，有,,丫22，可得

上+匕=1

195

A=182-4x4x45=324-720<0>

故点P的轨迹与圆°：/+/-2工=0没有交点，故C正确;

PPRIQB9

对于D,过点作直线/:x=：于点，由题意可得|尸尸|=才尸到,

故2回+可产引=2|以+2陷=2（|B4|+附），

则当A、一三点共线，产直线小彳时,

有（也+囱）3=|+1=与，故2网+3附的最小值为2x1=11,故D错误.

故选：AC.

答案第81页，共22页

【点睛】关键点点睛：本题中D选项的判断需要注意结合题目所给定义，将户口转化为点

P到直线/的距离，从而得到2|尸旬+3附|=21P/|+2\PB\-

12.巫

【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解.

【详解】圆G：(x+2y+(y_2)2=9，圆心G(-2,2)，半径外=3，

圆。2：口-1『+(了-3)2=1，圆心。20，3)，半径马=1，

圆心距|GC2|=卜2-1)2+(2-3『=而，由3-1〈而＜3+1,

所以两圆相交，则对={(而)2_(3一1,=&.

答案第91页，共22页

故答案为：戈

13.

-560

123

【分析】首先将X+，看成一个整体，再结合XV的形式，利用二项式定理的通项公式求

2x

解・

71-r

一

【详解】x+———2y|的通项公式为7包=c>.(-2H，

2x2x

当"3时,4

W-2。一I•产

2x

4

h+L1中，含V项的系数为C；，3.工=2尤2,

2x

所以展开式中W的系数为c；.（一2）3.2=-560-

故答案为：-560

14.26+3.

3

2clb2a\-aa+\+日古土"曰0＜。＜1

【详解】试题分析：F—+--7=-;-----+------7=r----，由题意得，

a+ba+bci+1—。a+(l—a)Q—Q+1

tz+l=?e(l,2)Hi_t11_273+3

A22

令，a-a+l(Z-l)-(f-l)+lf+3_3-273-33，当且仅当

/=石=°=6-1,6=2一后时，等号成立，即所求最大值为2百+3,故填：26+3.

33

考点：基本不等式求最值.

答案第101页，共22页

15.(1)C=-

3

(2)2

【分析】(1)利用二倍角公式化解，再结合三角形内角的范围，即可求解角c的大小;

(2)根据向量垂直的坐标表示，再结合正弦定理边角互化，得到6=2”再根据条件和

(1)的结果，利用余弦定理，即可求解.

【详解】⑴因为底出2(3-2cos2c=1，所以6sin2C-(l+cos2c)=1，

所以sin12C.

即sin2C--cos2C=2,=1,

2J

因为c是“'C的内角，所以c=g.

(2)因为向量比=(1⑸必)与向量力=(sin8,-2)垂直,所以sinB-2sirU=0.

由正弦定理可得b-2a=0-所以b=2a，

由余弦7E理可得。2=/+从-2abcosC,c=2G，

即12=a24-(2a)2-2'a-2a-.

解得3/=12,a=2,所以"的值为2.

2

(2)y

答案第111页，共22页

【分析】(1)借助线面平行的性质定理可得线线平行，结合中位线的性质即可得;

(2)建立适当空间直角坐标系，借助空间向量计算即可得.

【详解】(1)如图1,连接加，交/c于点0，连接

;尸8〃平面AEC,PBu平面PBD,平面PBD口平面4EC=EO,

:.EO//PB,又。为2。的中点，

二.EPD即空」

为的中点H,

PD2

(2)如图2,以人为坐标原点，4氏尸所在直线分别为％轴，y轴，z轴建立空间直角

坐标系.

则/(0,0,0),“2,1,0),8(2,0,0),40,；,；

.•.%=(2,1,0),分=(0,；,；］

PA±平面ABCD，

答案第121页，共22页

•••平面ABC的一个法向量可为玩=（0,0,1）.

设平面AEC的法向量为。=(x,»z)，

n-AC=2x+y=0

贝人一一.i1,

n•AE=—y+—z=0

I22

令尸-2，得)=(1,-2,2)，

"平面ABC与平面AEC的夹角的余弦值为:.

17.⑴尸1

⑵[-5

【分析】（1）求出导数以及切点坐标，根据导数的几何意义，即可求得答案.

（2）将原问题转化为对于任意都有恒成立，即需4e；从而结

合函数的单调性，确定函数的最值在哪里取到，由此列出不等式[e"'+l-加We,构造函数

[e'w+1+m<e

A（x）=ex-x-e+P利用导数即可求解•

【详解】（1）由于f（x）=emx+x2-mx,mGR»故/（0）二1，切点为

（0,1）,=mQmx+2x-m，

/'(0)=me0+2x0-m=0，

答案第131页，共22页

所以切线的斜率为o,在点(0,〃0))处的切线方程为y=l.

(2)令g(x)=/'(X)=%e"'"+2x—加'则g'(x)="/e"'*+2>0，

所以g(x)为R上单调递增函数，

因为g(O)=/(O)=O,所以xe［-l,o)时，r(x)<O;xe(O,l］时，

所以〃x)在［T0)单调递减，在(0,1］单调递增.

若对于任意xe［T,l］，都有/(x)4e恒成立，即只需“冷侬2

因为〃x)在卜1,0)单调递减,在(0/单调递增，

所以的最大值为和/(1)中最大的一个,

ra

所以|〃l)Ve.1e+l-m<e；

，m

［/(-l)<e"［e-+l+rn<e

®/?(x)=ev-x-e+l,/z,(x)=eJC-1，

当x<0时，当x>0时，无)>0，

所以在(-项0)单调递减，在(0,+8)单调递增.

A(l)=0,/?(-l)=-+2-e<0,故当时，"x)40.

e

当加«T，1］时，〃(加)(°，〃(一加)4°,则1a+1一加4e成立

e-w+l+m<e

当相>1时，由的单调性，得加)〉0，即《加_加+1〉「不符合题意.

当加<—1时，h(-m)=e~m+m—e+1>/z(l)=0,即e."+加+l>e，也不付合题思・

答案第141页，共22页

综上，加的取值范围为

【点睛】关键点睛：本题考查了导数几何意义的应用以及利用导数解决恒成立问题，解答

的关键是将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题.

18.（I）X2_£=I

2

（2）直线PQ恒过定点（3,0）

【分析】（1）首先求点尸（今,孙）的坐标，根据坐标表示梯形的面积，即可求解双曲线方

程；

（2）首先根据条件设M（0,/）,N（02）«*0），并利用方程联立求点尸，。的坐标，并求直线

尸。的方程，化简后即可求定点坐标.

【详解】（1）由|44|=2知，4（-1,0），4（1，0），。=1，

当尸0〃尤轴时，根据双曲线的对称性，不妨设点尸（马,孙）在第一象限，

则由俨4=4,可得巧＞=2.代入双曲线C的方程，得。石二下=回.

a

因为四边形尸的面积为3C,所以|尸=»fx扬=3面.

22

解得人友.

所以双曲线0的标准方程为^_£=i.

2

答案第151页，共22页

因为两=2磁，所以可设*0)•

直线同尸的方程为y=(X+1)，直线4。的方程为y=-2?(X-l).

又双曲线C的渐近线方程为y=土叵X，

显然直线4尸与双曲线c的两支各交于一点，直线A2Q与双曲线c的右支交于两点,

＜

则有必Izl|＞V2也解得V三2州||/—

y

卜=[x+1)(尸一2卜2+2tlX+"2+2)=0

由＜..2消去，得

X丫2-------11

设点尸(马,力)，则X..(T)=R.解得呼=_£

t—2t

所以力=(r+2

\t2-2

=-2/(x-l)),(2〃一1卜2一期2%+(2〃+1)=0

由＜2y2消去.

X2-'1

2

设点。(x°，%)，则i=2〃+l.解得=2r+1

22»-1°2产一1

答案第161页，共22页

所以坨=-2t

ypy

当直线0?不垂直于“轴时，k-~Q=_L.

Xp_XQJ_]

所以直线p0的方程为y+4t(r+2)

X+t2-2

2—2产—1\1乙)

所以丫=旦+，「+2),也即y=；](x—3).

x+——

-〃-2产一1^2-2j

显然直线尸0恒过定点(3,0).

当直线P0垂直于x轴时，由%=%,得d=1.此时与=q=3

直线PQ的方程为x=3，恒过定点(3,0〉

综上可知，直线尸。恒过定点(3,0)・

【点睛】思路点睛：一般求直线过定点问题，需求出直线方程，转化为含参直线过定点问

题.

19.(1)分布列见解析；期望为口

8

(3)证明见解析

【分析】(1)根据传球游戏的规则，可得X=0,l,2,