人教版高中数学选修二5.3.1函数的单调性（一） -B提高（解析版） 同步练习

5.3.1函数的单调性(1)-B提高练一、选择题1．（2021·全国高二课时练）若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】设导函数的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为，其中，故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在单调递增．故选：D．2．已知是函数的导数，则“在上为减函数”是“在内恒成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若在上为减函数时，在内不恒成立，如，显然在递减，但当时，则；若在内恒成立，设任意，则在点处的切线的斜率，所以在上为减函数．所以“在上为减函数”是“在内恒成立”的必要不充分条件．故选B．3．（2020·全国高二课时练习）函数（）A．在上是增函数B．在上是减函数C．在上是减函数，在上是增函数D．在上是增函数，在上是减函数【答案】A【详解】，当时，，∴在上是增函数．故选：A4．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是()A．B．C． D．【答案】C【解析】由，得，由题意知，对恒成立，即对恒成立，令，显然在上递减，所以，所以．故选C．5．（多选题）（2020·广东揭阳市高二期中）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】对于A，既不是奇函数也不是偶函数，且单调递增，故A错误；对于B，的定义域为，且，是奇函数，又恒成立，故是减函数，故B正确；对于C，的定义域为，且，是奇函数，，故是减函数，故C正确；对于D，的定义域为，且，是奇函数，又是减函数，故D正确.故选：BCD.6．（多选题）（2020·湖南师大附中高二月考）素数分布问题是研究素数性质的重要课题，德国数学家高斯提出了一个猜想：，其中表示不大于x的素数的个数，即随着x的增大，的值近似接近的值．从猜想出发，下列推断正确的是（）A．当x很大时，随着x的增大，的增长速度变慢B．当x很大时，随着x的增大，减小C．当x很大时，在区间（n是一个较大常数）内，素数的个数随x的增大而减少D．因为，所以【答案】AC【详解】设函数且，则且，且，当时，，所以当x很大时，随着x的增大，的增长速度变慢，故A正确；函数的图象如图所示：由图象可得随着x的增大，并不减小，故B错误；当x很大时，在区间（n是一个较大常数）内，函数增长得慢，素数的个数随x的增大而减少，故C正确；，故D错误．故选：AC．二、填空题7．（2021·山东菏泽三中高二期末）函数的单调减区间是______．【答案】【解析】函数的定义域为，，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.8．（2021·全国高二课时练）函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是__________.【答案】【解析】，当时，，；当时，；当时，；当时，，故函数的单调增区间是和.9．（2021·全国高课二时练）若函数在上为减函数，则实数的取值范围是__________．【答案】(－∞，－1]【解析】因为是R上的减函数，所以恒成立，即，即恒成立，因为，所以，故答案为.10．（2021·全国高二课时练）若函数f(x)＝ax3＋x恰有3个单调区间，则a的取值范围为________．【答案】(－∞，0)【解析】由f(x)＝ax3＋x，得f′(x)＝3ax2＋1.若a≥0，则f′(x)>0恒成立，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不满足题意；若a<0，由f′(x)>0得－<x<，由f′(x)<0，得x<－或x>，即故当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－，)，单调递减区间为(－∞，－),(，＋∞)，满足题意．答案为：(－∞，0).三、解答题11．已知函数．（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数的单调递减区间是，求实数的值；（3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．【解析】由，得．（1）因为在上单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，只需，而，所以，经检验，当时，符合题意，故的取值范围是．（2）令，因为的单调递减区间是，则不等式的解集为，所以和是方程的两个实根，所以，得．（3）因为函数在区间上单调递减，所以对恒成立，即对恒成立，易得函数的值域为，所以，即实数的取值范围是．12．（2021·甘肃武威市十八中高二课时练）已知a是实数，函数．（1）若，求a的值及曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数在区间上的单调性．【详解】（1），，则，，，，因此，曲线在点处的切线方程为，即；（2），，令，得，．①当时，即当时，对任意的，，此时，函数在区间上单调递增．②当时，即当时，此时，当，则；当时，．