贵州省铜仁市石阡县2023-2024学年九年级上学期12月数学质量检测题

贵州省/铜仁市石阡县2023-2024学年九年级上学期12月数

学质量检测题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在直角三角形48C中，sin^=-,则//的度数为（）

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.若反比例函数了=勺的图象经过点［-3，）则左的值为（）

X\

A.-B.-1C.-3D.1

3

3.神奇的自然界处处蕴含着数学知识.动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的

直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的（）

A.平移B.旋转C.轴对称D.黄金分割

4.电路中在电压保持不变的条件下，电流/（A）与电阻尺（。）成反比例关系，其函数图

象如图所示，则/关于尺的函数表达式是（）

5.已知A/BCS△/力C',4D和力。分别是它们的高，若40=6,40=3,则与

夕C'的面积比是（）

A.2：1B.3：2C.4：1D.3：4

6.如果多项式（2x-l）2的值为9,则x的值为（）

A.2B.2或-2C.-1D.2或-2

试卷第1页，共6页

7.如图，在RtZ\48C中，ZC=90°,AC=1,BC=2,那么cosA的值为（）

D.|石

5

则。月的长是（）

D.7.5

9.如图，在RtZkZBC中，/3/。=90。,/。，5。于点。，下列结论正确的是（）

cosC=^tan/

C.sinC=—D.

ABCDBCBD

10.若关于'的一元二次方程*2+3%+2=0有实数根，则。的取值范围是（）

9r99r9

A.aM—且aw0B.a<—C.a2—且a/0D.aN—

8888

11.如图是某区域的平面示意图，码头/在观测站3的正东方向，码头N的北偏西60。

方向上有一小岛C,小岛。在观测站2的北偏西15。方向上，码头/到小岛C的距离

/C为（白+1）海里.观测站8到/C的距离是（）

V3+1

A.V3B.IC.2D.

2

12.如图在直角坐标系中有两点/（6,0）,8（0,8）,点C为4B的中点，点。在x轴上,

试卷第2页，共6页

若以点A,C,。组成的三角形与“03相似，则点。的坐标为（）

A.（3,0）C.（4,0）或（TO）D.（3,0）或

二、填空题

13.若一元二次方程3x2-9x-l=0的两个实数根为小，”，则加+〃的值为.

14.拦水坝的横断面如图所示，迎水坡A8的坡比是1:百，坝高2C=8m,则坡面

的长度是m.

15.如图1是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一

个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”.如图2是其工作

示意图，AB=AC,拉杆EF〃BC,AE==AB,EF=Q.35m,则尻C之间的距离为

图1图2

16.如图是反比例函数y=3和了=介（。＜6）在第一象限的图象，直线轴，并分

XX

别交两反比例函数的图象于点A,B.若%a=5,则的值为.

试卷第3页，共6页

三、解答题

17.王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程2--8x+3=0的过程如下:

解：移项，得2f_8x=-3.第一步

二次项系数化为1，得/一4X=-3.第二步

酉己方，得x?-4x+4=-3+4.第三步

因此(X-2)2=1.第四步

由此得x—2=1或x—2=—1.第五步

解得西=3户2=1.第六步

(1)王明的解题过程从第步开始出现了错误；

(2)请利用配方法正确地解方程2/-8x+3=0.

3—CL

18.已知反比例函数卜=——，其函数图象位于第一、三象限.

尤

(1)求。的取值范围；

⑵若点(2,必),(4,%)是该反比例函数图象上的两点，试比较切,力的大小.

19.如图，在平面直角坐标系中，尸是/a的边上的一点，已知点P的横坐标为6,

(1)求点P的纵坐标；

(2)cosa的值为.

20.如图，在平面直角坐标系中，”3C的各顶点都在小正方形网格的格点上.

试卷第4页，共6页

⑴以原点。为位似中心，在夕轴右侧画A/'B'C',使A/'B'C'与。3C的相似比是1：2；

(2)若AA8C的5c边上的中线长为。，贝！U/'B'C'的8'。’边上的中线长为.(用含。

的代数式表示)

21.如图1是一座瞭望塔，数学兴趣小组的同学利用无人机测量该瞭望塔的高度，如图

2是其示意图，当无人机飞至距地面31.5m的A处，即31.5m时，测得瞭望塔8c的

顶部。处的俯角为50°,底部8处的俯角为65。，求瞭望塔8c的高度(参考数据：

sin50°«0.8,cos50°«0.6,tan50°«1.2,sin65°«0.9,cos65°«0.4,tan65°«2.1)

22.如图，在Y4BCD中，48=8.在8C的延长线上取一点8,使CE=；3C,连接

AE与CD交于点F.

⑵求。尸的长.

23.某景区八月份的游客人数为64万人，九、十月份的游客人数持续下降，十月份的

人数为49万人.

(1)该景区九、十月份游客人数的月平均下降率为.

试卷第5页，共6页

（2）该景区内某商店销售一种纪念品，已知每件纪念品的成本是30元.如果每件的售价

定为40元，那么日销售量将达到100件.在库存不足的情况下，店主想提价销售，若

售价每提高5元，日销售量将减少10件，要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时

尽可能让利于游客，那么每件纪念品的售价应定为多少元？（利润=售价一成本）

24.如图，反比例函数＞="（左为常数，左W0）与正比例函数y=mx（比为常数，“Z*0）

x

的图像交于/（1,2）,5两点.

⑴求反比例函数和正比例函数的表达式；

（2）若y轴上有一点C（0,“）A/2C的面积为4,求点C的坐标.

25.某中学九（1）班的同学小章和小南在校园的操场边看见一棵特别高的黄果树，他

们准备测量这棵黄果树的高度.如图，小章在点/处观测到黄果树尸。的最高点尸的仰

角为45。，再沿正对黄果树的方向前进6m至点3处测得最高点P的仰角为60。，小南先

在点C处竖立一根长为2.6m的标杆CF,再后退至使其眼睛所在的位置点D、标杆顶F、

最高点尸在一条直线上，此时测得最高点P的仰角为30。，已知两人的眼睛距离地面的

高度均为1.6m（即BE=1.6m）.

⑴求黄果树P。的高度.（结果保留一位小数，参考数据：退士1.73）

（2）测量结束时小章站在点£处，小南站在原测量点，两人约在树下点。处见面，小章

步行的速度为L5m/s,小南步行的速度是他的2倍，谁先到达点。？请说明理由.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】

本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，根据特殊角的三

角函数值，即可求解；

【详解】•/sin4=；,

，//=30。，

故选：A.

2.B

【分析】

本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌

握待定系数法是解答本题的关键.

根据反比例函数图象上点的坐标的特征，把点(一3,5代入反比例函数即可求心

【详解】解：=:的图象经过1-3,；；

**•k=xy=(-3)x—=-1.

故选:B

3.D

【分析】根据黄金分割的定义即可求解.

【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为

0.618.这体现了数学中的黄金分割.

故选：D

【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分

的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为必二'，约等于0.618,这个比例被公认

2

为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割.熟知黄金分割的定义是解题关键.

4.A

【分析】

考查列反比例函数关系式，关键是根据题中所给的值确定常量电压的值.

根据电压=电流x电阻得到稳定电压的值，让/=固定电压即可.

R

答案第1页，共15页

【详解】解：：当火=20,/=11时,

电压=20x11=220,

,220

I=——.

R

故选：A.

5.C

【分析】

本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解

即可.

【详解】解：：和分别是它们的高，

/.^ABC与AA'B'C的面积比=AD~:A'D'2=62:32=4:1,

故选：C.

6.D

【分析】根据题意列出关于x的方程(2x-l)2=9,然后利用直接开平方法解方程.

【详解】解：依题意，得

(2x-l)2=9,

开平方，得

2x-l=±3,

则2x=l±3,

解得，x=2或x=-l.

故选D.

【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法.用直接开方法求一元二次方程的解的

类型有：x2=a(a>0)；ax2=b(a,b同号且存0)；(x+a)2=b(b>0)；a(x+b)2=c(a,c同

号且存0).法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1,再开平方取正负，分

开求得方程解”.

7.C

【分析】先利用勾股定理求解再利用余弦的定义直接求解即可.

【详解】-.■ZC=90°,AC=l,BC=2,

AB=Vl2+22=6

答案第2页，共15页

ACI乖

，cosA=

~AB~忑—T'

故选：C.

【点睛】

本题考查的是勾股定理，锐角的余弦的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角

形中，此外还有熟记三角函数的定义.

8.D

【分析】

本题考查平行线分线段成比例定理，根据/得出芸AR=笔DF，代入数值计算出

BCEF

DE,进而可求。尸的长.

【详解】解：40〃成〃CF,

.AB_DE

,,标一访'

•.・AB=2,BC=4,EF=5,

.2"E

••一=9

45

DE=-,

2

...DF=DE+EF=-+5=7.5

2f

故选D.

9.C

【分析】

本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可.

【详解】解：'：ZBAC=90°,AD1BC,

：.ZADB=ZADC=90°f

：.NB+/C=NB+/BAD=90°,

・•・AC=ABAD

AT

.•.sing=痣，故A选项错误;

BC

cosC=cos=C2=W2,故B选项错误;

ACAB

AR

sinC=—,故C选项正确;

z>C

答案第3页，共15页

tanC=tan/BAD=,故D选项错误；

AD

故选C.

10.A

【分析】

考查了根的判别式，总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）A>0o方程有两个不相等的实数根；

（2）A=0。方程有两个相等的实数根；

（3）A<0。方程没有实数根.

2、一元二次方程的二次项系数不为0.

方程有实数根，则A20,建立关于。的不等式组，求出。的取值范围.

【详解】解：由题意知，A=3?—8。20且awO,

9

二.。（一且QW0,

8

故答案为：A.

11.B

【分析】证是等腰直角三角形，得BP=PC,再由含30。角的直角三角形的性质得

PAfBP,然后由E4+PC=/C,得5尸+68尸=g+1,求解即可.

【详解】解：由题意得：/5/。=90。-60。=30。，NN5c=90。+15。=105。，

ZC=180°-ABAC-ZABC=45°,

U：BPLAC,

：.ZBPA=ZBPC=90°,

VZC=45°,

•••△5C尸是等腰直角三角形，

：.BP=PC,

ZBAC=30°,

:・PA=6BP,

9：PA+PC=AC,

:・BP+6BP=6+3

解得：BP=1（海里），

故选：B.

答案第4页，共15页

【点睛】本题考查了的解直角三角形的应用一方向角问题，熟练掌握方向角的定义是解题的

关键.

12.D

【分析】先根据勾股定理求出的长，进而可得出NC的长，再根据与

△AOBsdCD两种情况进行讨论.

【详解】点/(6,0),5(0,8),

OA—6,OB=8,

在RtZX/OB中，由勾股定理得：/BUJOT+OB，=用+82=io,

为N3中点，

AC=BC=5,

①如图，

当ZUOBS/XADC时，一=—,

ABAO

5AD

即弓=华，解得：4D=3,

106

：.OD=AO-AD=6-3=3,

点。(3,0),

②如图，

答案第5页，共15页

ArAD

当△NOBS"。。时，—

AOAB

即合与，解得：

257

：.OD=AD-AO=——6=—,

33

•••点哈,0；

综上可知：0(3,0)1-g,0)

故选：D.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是要进行分类讨论，不要漏解.

13.3

【分析】

本题考查一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，熟练掌握根与系数的关系“若王，入2

是一元二次方程办2+bx+C=0("0)的两根时，则为+尤2=-2，再•％=£”是解题的关键.

aa

【详解】

解：•・•冽，几是一元二次方程3——9x-1=0的两个实数根，

•—9Q

..m+n==3,

3

故答案为：3.

14.16

【分析】利用坡比的定义得出/C的长，进而利用勾股定理求出的长.

【详解】解：・・•迎水坡45的坡比是1：百，坝高8C=8m,

•_B_C____8____1_

,•AC一AC一e'

解得：AC=8也,

则=，心+3=16(m).

故答案为：16.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出/C的长是解题的关键.

15.2.1

【分析】

本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.根

答案第6页，共15页

据相似三角形的判定和性质可得”=—,即可求解.

BCAB

【详解】解：・・・.〃5C,

Z\AEFs^ABC,

,EF_AE

•・正一~AB"

'：AE=-AB,EF=Q35mi

6

0351

•••=_一,

BC6

/.BC=2A,

即两梯杆跨度优C之间距离为2.Im,

故答案为：2.1.

16.10

【分析】

本题考查反比例函数比例系数左的几何意义.应用反比例函数比例系数人的几何意义，表示

BOC、”OC的面积，利用黑呐-4/"=$人08构造方程即可.

【详解】

解：如图，设直线A8与y轴交于点C,

由反比例函数比例系数上的几何意义可知，

<?—2<?—q

"BOC-2，0c-2'

•S&BOC-S&AOC=S&AOB=5>

・。，=5

•,22，

解：b-a=10.

故答案为：10.

17.⑴二

答案第7页，共15页

（2）%=2+-^-,X2=2—

【分析】

本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键，

配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边

同时加上一次项系数一半的平方.

（1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤；

（2）由配方法解一元二次方程即可得到答案；

【详解】（1）

解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的-3未除以2,

故答案为：二；

（2）2X2-8X+3=0.

移项，得：2x2-8x=-3,

a

二次项系数化为1,得：x2-4x=-j,

酉己方，得：X2-4X+4=--+4,

因止匕（X—2）2=—,

由止匕得:x-2=或x—2=一,

22

解得：百=2+萼,％=2-半.

18.（l）a<3

(2)%

【分析】

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数的性质及反比例函数的图象，熟

知反比例函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解题的关键.

（1）根据题意得出关于左的不等式，求出发的取值范围即可；

（2）先根据函数解析式判断出函数图象所在的象限及增减性，进而可得出结论.

【详解】（1）解：•.•该反比例函数的图象位于第一、三象限，

答案第8页，共15页

/.3—Q〉0,

解得a<3.

(2)解：・该反比例函数的图象在第一、三象限,

，在每个象限内，v随x的增大而减小.

Xv2<4,

乂>%.

19.(1)点P的纵坐标为8

【分析】

本题考查了已知正弦值求边长,求角的余弦值,掌握三角函数值转化为边的比是解题的关键.

PM4

(1)由sina=^F=1，可设尸M=4x,OP=5x,利用勾股定理列方程，求出x的值即可.

(2)由余弦的定义即可求解；

【详解】(1)如图，过点尸作PMLx轴于点则/尸MO=90。，

•点P的横坐标为6,

.­.OM=6,

.4

sina=—,

5

,PM_4

••~~=一,

OP5

设尸加r=4x,则OP=5龙,

在Vi^PMO中，OM°+PM2=OP2,

6?+(4x『=(5x『，

解得尤=2(负数舍去),

.-.PM=4x=S,

答案第9页，共15页

.••点P的纵坐标为8.

(2)由(1)知，OP=5x=10,

OM63

cosa=--=—=—

OP105

3

故答案为：—.

20.⑴见解析

/、a

⑵5

【分析】

本题考查了位似变换，相似三角形的性质，掌握位似变换的作图是做题的关键；

⑴延长AO到H,使A'O=^AO,延长BO到"，使B'O=,延长CO到C，使,

则A/'B'C'即为所作;

(2)由相似三角形对应边成比例即可求解；

【详解】(1)解：如图，即为所作；

(2)•••A/'B'C'与28C的相似比是1：2,

^ABC的BC边上的中线与A4B'C'的B'C'边上的中线的比为1:2,

•••的BC边上的中线长为。，

A/'B'C'的8'C'边上的中线长为色，

2

故答案为：

2

21.瞭望塔3C的高度约为13.5m

【分析】

答案第10页，共15页

本题考查解仰角俯角问题的解直角三角形应用，解题的关键是构造直角三角形，合理利用三

角函数关系；过点/作于E交8c的延长线于点E,贝UBE=40=31.5米，在

RtA48E中，可求出NE,在RtA/CE中可求出CE,再利用8C=即可得到答案.

【详解】解：如图，延长3C交4于点E,ZAEC=90°,BE=AD=31.5m,

由题意知，ZBAE=65°,ZCAE=50°,

在Rtz\4BE中，

BE

,：tan/BAE=,

AE

.BEBE31.5

AE=-------------=----------«------=15(m

tanZBAEtan65°2.1

在RtA/CE中，

CF

■：tanZCAE=—,

AE

:.CE=AE-tanZCAE=,

5C=S£-C£=31.5-18=13.5(m).

答：瞭望塔3c的高度约为13.5切.

22.(1)见解析

⑵6

【分析】

（1）由平行四边形的性质可得出,从而得出=尸，ZADF=ZECF,

即证明△ADFSAECF；

AD

（2）由平行四边形的性质可得出ND=8C,AB=CD=8,即得出==3,再根据相似三

角形的性质可得出翁黑，即备=3,最后结合CO=O—即可求出”的长.

【详解】（1）证明：..•四边形/8CD为平行四边形,

答案第11页，共15页

AAD//BC,BPAD//BE,

：.ZDAF=/CEF,ZADF=ZECF,

・•・AADFs^ECF；

（2）解：•・•四边形45C。为平行四边形，

:・AD=BC,AB=CD=8,

iAn

：.CE=-AD,即2=3.

3CE

・・•AADFs^ECF,

即里=3.

CECFCF

CD=DF+CF,

3

：.DF=-CD=6.

4

【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质.熟练掌握三角形相似的判

定定理及其性质是解题关键.

23.（1）12.5%

（2）每件纪念品的售价应定为50元

【分析】

此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程增长率问题和一元二次方程营销问

题解题的关键；

（1）根据增长率问题列出方程，解方程即可得到答案；

（2）根据营销问题列出方程，解方程即可得到答案；

【详解】（1）解：设该景区九、十月份游客人数的月平均下降率为X,

根据题意得：64（l-x）2=49,

解得：%=0.125=12.5%,%=1.875（不符合题意，舍去）,

故答案为：12.5%.

（2）设每件纪念品的售价定为y元，则每件的销售利润为（了-30）元，日销售量为

100-10x2（=（180-2y）件，

由题意得（了-30乂180-2力=1600,

答案第12页，共15页

整理得/-120v+3500=0,

解得M=50,%=70,

••・尽可能让利于游客，

.■.y=50.

答：每件纪念品的售价应定为50元.

2

24.（l）y=-；y=2x

X

（2）C（0,4）或C（0,T）

【分析】（1）把/（1,2）分别代入函数的解析式，计算即可.

（2）根据反比例函数的中对称性质，得到川-1,-2）,设C（0,〃），根据=乙-/），

列式计算即可.

【详解】（1）：反比例函数＞=2（左为常数，左片0）与正比例函数＞=小（加为常数，机40）

X

的图像交于/（1,2）,3两点，

2=­,2=mxl,

1

解得k=2,加=2,

2

故反比例函数的表达式为y=—,正比例函数的表达式y=2x.

X

（2）•.•反比例函数卜=勺"为常数，后/0）与正比例函数＞（比为常