2024年六年级下册小升初数学思维拓展-环线问题（含答案）

环线问题一2024年六年级下册小升初数学思维拓展含答案

环线问题

板块一：知识精讲m

【知识点归纳】

1.环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相

遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追

上一次）.第几次追上就多跑几圈.

环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程-甲程=跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程=跑道长.

2.解题方法：

（1）审题：看题目有几个人或物参与；看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间

后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多.看方向是同向、背向还是相向；看事件指的

是结果是相遇还是追及相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大

帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断.追击问题中一个重

要环节就是确定追上地点，从而找到路程差.比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速

度差.这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差

（2）简单题利用公式

（3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来.相遇问题就找路程和，追

击问题就找路程差.

板块二：典题精练m

1.如图，8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A,B两地顺时针方向沿长方形ABCD

的边走向D点.甲8时20分到D点后，丙、丁两人立即以相同速度从D点出发.丙由D向A走去,8时24分与

乙在E点相遇；丁由D向C走去，8时30分在F点被乙追上.问三角形BEF的面积为多少平方米?

试卷第1页，共19页

2.圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时,

甲跑了23圈，乙跑了13圈.不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？

3.如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当

乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长.

4.一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，甲以每秒4厘米的速度不停的

爬行，乙爬行了15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问爬虫

乙原来的速度是多少？

5.环形跑道一圈长为400米，甲、乙两人同时从同一起跑线沿跑道同向而行，甲每分钟走120米，乙每分

钟走100米.问（1）甲第一次追上乙时，两人各走了多少米？（2）甲第二次追上乙时，在起跑线前多少米？

（3）甲第二次追上乙时，两人各走了多少圈？

试卷第2页.共19页

6.在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而行40秒

相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？

7.一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A,B,C分别在这3个点上.它们同时出

发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3

只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？

30

8.如下图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A与C同时出发，绕圆周相向而行.它们第一次相遇在

离A点8厘米处的B点，第二次相遇在离C点处6厘米的D点，这个圆周的长是多少？

试卷第3页，共19页

9.一条环形跑道长400米，小青每分钟跑260米，小兰每分钟跑210米，两人同时出发，经过多少分钟两

人相遇

10.（2005年《小学生数学报》优秀小读者评选活动）有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，

其中长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有200厘米的公用跑道（如下图）.机器人甲按逆时针方向以

每秒6厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒4厘米的速度在短跑道上跑动.如果甲、

乙两个机器人同时从A点出发，那么当两个机器人在跑道上第3次迎面相遇时，机器人甲距离出发点A点

多少厘米？

11.在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按

逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人各跑一圈需要几分钟？

试卷第4页,共19页

12.2000年华校入学试题）甲、乙两车同时从同一点A出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶.甲

车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米.一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面

追上一车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离有多少米？

13.下图中有两个圆只有一个公共点A,大圆直径48厘米，小圆直径30厘米.两只甲虫同时从A点出发,

按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行.问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?

14.甲、乙两人在跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，甲每秒钟跑8米，乙每秒钟跑6米。

（1）如果甲、乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？

（2）如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？

试卷第5页，共19页

15.甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒

钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？

16.小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是200米/分.⑴小张和小王

同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？⑵小张和小王同时从

同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？

17.如图，A、B是圆直径的两个端点，小华在点A,小明在点B,他们同时出发，反向而行.他们在C点

第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米.求这个圆的周长.

试卷第6页.共19页

18.幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每

秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？

19.如图，在400米的环形跑道上，A,B两点相距100米。甲、乙两人分别从A,B两点同时出发，按逆

时针方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么甲追上乙需要时间

是多少秒？

20.一个圆的周长为1.44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行.1分钟后它们都调

头而行，再过3分钟，它们又调头爬行，依次按照1、3、5、7,...（连续奇数）分钟数调头爬行.这两只

蚂蚁每分钟分别爬5.5厘米和3.5厘米，那么经过多长的时间它们初次相遇？

试卷第7页，共19页

21.小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他

们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？

22.甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原

来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。

23.有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行.甲

每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米.在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇.问：这个

花圃的周长是多少米？

24.两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑.甲每分钟跑25。米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同

向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？

试卷第R页.共19页

25.在一条长400米的环形跑道上，正在进行一场5000米的长跑比赛.1号队员的平均跑步速度是每秒6

米，2号队员平均每分钟跑0.8圈.当1号队员与2号队员在比赛开始一段时间后又并肩而跑的时候，1

号队员距离终点还有多远？

26.在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点,

又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？

27.下图中有两个圆只有一个公共点A,大圆直径48厘米，小圆直径30厘米.两只甲虫同时从A点出发,

按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行.问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?

试卷第9页，共19页

28.已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同。而猫跑3步的

时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆

形跑道，同时同向同地出发。问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？

29.上海小学有一长300米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6米，小胖每秒钟

跑4米.

⑴小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？

（2）小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？

30.绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以每小时4千米的速度每走

1小时后休息5分钟，小张以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟.两人出发后经过多长时间第

一次相遇？

试卷第10页.共19页

31.如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动,

当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长.

32.三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为210厘米；甲、乙两只爬虫分别从A、8两地按箭头所

示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字形循环运动，

已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟20厘米和每分钟15厘米，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬

了多少厘米？

33.一条环形跑道长400米，甲骑自行车每分钟骑450米，乙跑步每分钟250米，两人同时从同地同向出

发，经过多少分钟两人相遇？

试卷第11页，共19页

34.如图，学校操场的400米跑道中套着300米小跑道，大跑道与小跑道有200米路程相重.甲以每秒6米的

速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点A处出发,

当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？

■甲乙.

35.甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时乙在前，甲在后，出发后8分钟

甲、乙第一次相遇，出发后的24分钟时甲、乙第二次相遇.假设两人的速度保持不变，你知道出发时乙在

甲前多少米吗？

36.乌龟和兔子从同地点出发，背向而行，在环形跑道上赛跑，经过25分钟相遇。这条跑道长多少米？相

遇时兔子比乌龟多跑了多少米?

试卷第12页,共19页

37.运动员小明在环形公路上练长跑，小明离开教练一小时后，教练才想起小明忘带了记时表，立刻骑上

自行车送表给小明，已知环形公路全长35千米，小明每小时跑15千米，教练骑自行车的速度是每小时25

千米，那么教练送表给小明至少需要多少小时？

38.两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米.甲、乙两车同时分别从相

距90米的A、B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车过B点

后恰好又回到A点.此时甲车立即返回（乙车过B点继续行驶），再过多少分与乙车相遇？

39.公园环湖跑道长3600米，淘气和爸爸两人同时反方向跑步，淘气每分钟跑250米，爸爸每分钟跑350

米。

（1）估计两人在何处相遇，在环形图中标出来。

（2）多长时间后两人相遇？

试卷第13页，共19页

40.如图所示，大圈是400米跑道，由A到8的跑道长是200米，直线距离是50米.父子俩同时从A点

出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到8点便沿直线跑.父亲每100米用20秒,

儿子每100米用19秒.如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲相遇？

41.如图，在长为400公尺的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长100公尺。甲从A点、乙从B点同时

出发相背而跑。两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时乙恰好跑到B。继续跑若甲追上乙时

,甲从出发开始算起共跑了多少公尺？

42.有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米。如果3个人同

时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后3人又可以相聚？

43.小林和小军沿着公园的环湖跑道跑步，跑道一圈的长度是4500m。他们两人同时从同一地点反方向跑

步，如图所示。小林每分跑170m,小军每分跑130m,多长时间后两人相遇？

4500m

试卷第14页,共19页

44.绕湖一周是20千米，甲乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行，甲以每小时4千米的速度每走1小

时后休息5分钟，乙以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇用了

多少分钟？

45.甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了

100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长?

46.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是70分钟,

如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？

47.在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑

则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？

试卷第15页，共19页

48.三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为210厘米；甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所

示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字形循环运动，

已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟20厘米和每分钟15厘米，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬

了多少厘米？

49.甲用45秒可绕一环行跑道跑一圈，乙与甲同时从同地反向跑，每隔15秒，与甲相遇一次，乙跑完一

圈用多少秒？

50.丁丁和丽丽从圆形街心花园的同一地点出发，同向而行，20分钟后两人再一次相遇。丽丽每分钟走70

米，丁丁每分钟走85.7米。这个圆形街心花园的占地面积是多少？

试卷第16页,共19页

51.如图，在长为490米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从A、B两点出

发反向奔跑。两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25%,乙把速度提高了20%。

结果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B。如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从

一开始算起，甲一共跑了多少米？

52.如图，一个长方形的房屋长13米，宽8米.甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行3米,

乙每秒钟行2米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?

53.甲、乙两人沿环形跑道相对运动，从相距200米的两点出发，如果沿小弧运动，甲与乙在10秒后相遇;

如果沿大弧运动，经过15秒后相遇.当甲跑完环形跑道一圈时，乙只跑了125米，求环形跑道的周长及甲、

乙两人的速度.

试卷第17页，共19页

54.如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分

钟走72米.当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？

55.甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时5.4千米，乙速度是每

小时4.2千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，在过5分钟，乙与丙

相遇.那么绕湖一周的行程是多少？

56.小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.

(1)小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分?

(2)小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？

57.如图，两只小爬甲和乙虫从A点出发，沿长方形ABCD的边，按箭头方向爬行，在距C点32厘米的

E点它们第一次相遇，在距D点16厘米的F点第二次相遇，在距A点16厘米的G点第三次相遇，求长方

形的边AB的长。

试卷第1区页,共19页

58.两人在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒

后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇。

59.下图中，外圆周长40厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A,B同时爬行.甲蚂蚁从A出

发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘

米.两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少米？

A

60.甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒

钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？

试卷第19页，共19页

参考答案:

1.2497.5

【详解】如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置.

时24分乙丙

M0分8«20»

甲丙丁

一上

的0分___C,Z.T

先分析甲的情况，甲1。分钟，行走了AD的路程；再看乙的情况，乙的速度等于甲的速度,

乙14分钟行走了60+AE的路程，乙20分钟走了60+AD+DF的路程.

所以乙10分钟走了（6O+AD+DF）-（AD）=6O+DF的路程.

AD60+AE60+DFAD=60+DF

有五=—14~=—W—'W17(AE-£D)=5(60+AE)

然后分析丙的情况，丙4分钟,行了走ED的路程，再看丁的情况,

丁的速度等于丙的速度，丁10分钟行走了DF的距离.

有UFD=DF即5ED=2DF.

410

AD=AE+ED=60+DFAE=87

联立｛7（AE+ED）=5（60+AE）,解得｛£。=18

5ED=2DFDF=45

于是，得到如下的位置关系:

9718

^ABEF=S四边形ABCD-^AABE—^AEDF-^AFCB

=60x(87+18)――x60x87--xl8x45--xl5x(87+18)

222

二2497.5

2.5次

【详解】设每两面旗子间距离为1,即跑道周长为2015.因为叫：v乙=23:13,设叫=23%,巳=13x,甲

要追上乙则需比乙多跑八圈，（23X-13X“=2015〃，10xxt=2015”，即甲追上乙时所花时间公幽，则甲

2x

追上乙时，所走路程为23元＞＜用=空普”；要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即〃为偶

2x2

数，所以〃=2,4,6,8,10（最多多跑10圈）；综上所述，甲正好在旗子位置追上乙5次.

答案第1页，共20页

3.480

【详解】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完2圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙

共走完1+2=］圈的路程.所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3,因而第二次相遇时乙行走

的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100x3=300米.有甲、乙第二次相遇时，共行走（1圈一

3

60）+300,为J圈，所以此圆形场地的周长为480米.

4.3.75厘米/秒

【详解】根据题意，甲共行了70—30=40（厘米），所需的时间是40+4=10（秒）.在10秒内乙按原速爬了

15厘米，按2倍的速度爬行了15+30=45（厘米），因此，不难求出乙原有的速度.

解：因为，甲共行了70—30=40（厘米），所需的时间是40+4=10（秒）.10秒内乙爬行：15+30=45（厘米），

假设10秒乙全是按原速爬行，可爬行：15+45+2=37.5（厘米），所以，乙原有的速度是：37.5-10=3.75（厘

米/秒）.

5.（1）甲第一次追上乙时，甲走了2400米，乙走了2000米.

（2）甲第二次追上乙时，甲恰好在起跑线上.

（3）甲第二次追上乙时，甲走了12圈，乙走了10圈.

【详解】（1）甲第一次追上乙时所用时间：400-（120-100）=20分钟）

这时：甲走了120x20=2400（米）乙走了100x20=2000（米）

（2）第二次追上乙时所用时间为第1次的2倍，即40分钟，这时甲走了120x40=4800（米）

4800-400=12（圈），说明甲此时在起跑线上.

（3）甲第二次追上乙时，甲走了120x40^400=12（圈）

乙走了100x40^400=10（圈）

答：甲第一次追上乙时，甲走了2400米，乙走了2000米.甲第二次追上乙时，甲恰好在起跑线上.这时

甲走了12圈，乙走了10圈.

6.64

【详解】甲乙的速度和为：400+40=10（米/秒），甲乙的速度差为：400+200=2（米/秒），甲的速度为：

（10+2）+2=6（米/秒）,乙的速度为：（10-2）+2=4（米/秒）.

7.60

【详解】先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.

开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5-3）厘米.

30+(5-3)=15(秒)

答案第2页，共20页

因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要

90+（5-3）=45（秒）

B与C到达同一位置，出发后的秒数是15,60,105,150,195,……

再看看A与B什么时候到达同一位置.

第一次是出发后，30-（10-5）=6（秒）

以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要：90+（10-5）=18（秒）

A与B到达同一位置，出发后的秒数是6,24,42,60,78,96,...

对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.

答：3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置.

8.36

【详解】如图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从A点出发的小虫爬了8厘米，第二

次相遇，两只小虫又爬了一个圆周，所以两只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从A点出发的应爬行

8x3=24（厘米），比半个圆周多6厘米，半个圆周长为8x3-6=18（厘米），一个圆周长就是：（8x3-6*2=36

（厘米）

9.8分钟

【详解】小青每分钟比小兰多跑50米一圈是400米400/50=8所以跑8分钟

10.120

【详解】第一次在片点相遇，这时甲、乙共跑了400厘米（见左下图）；

第二次在当点相遇，这时甲、乙又共跑了700厘米（见右上图）；

同理，第三次相遇时，甲、乙又共跑了700厘米.

那么到第三次相遇时两者共跑了400+700+700=1800厘米，共用时间1800+（6+4）=180（秒），甲跑了

6x180=1080（厘米），距A点400*3-1080=120（厘米）.

II.6分钟12分钟

【详解】把这个跑道的长度看做整体“1”，

答案第3页，共20页

则较快的速度为：（1+:）+2

124

12

~6

较慢的速度是：

所以跑完一圈较快的需要时间：1：2=6（分钟）

较慢的跑完一圈需要时间：=12（分钟）

答：各跑一圈时，较快的需要6分钟，较慢的需要12分钟。

12.3000

【详解】首先是一个相遇过程，相遇时间：6+（65+55）=0.05小时，相遇地点距离A点：55x0.05=2.75千

米.然后乙车调头，成为追及过程，追及时间：6+（65-55）=0.6小时，乙车在此过程中走的路程：55x0.6=33

千米，即5圈余3千米，那么这时距离A点3-二-5=0三千米.甲车调头后又成为相遇过程，同样方法可

计算出相遇地点距离A点聃解融诵窗源千米，而第4次相遇时两车又重新回到了A点，并且行驶的方向与

开始相同.所以，第8次相遇时两车肯定还是相遇在A点，又11+3=3……2,所以第11次相遇的地点与

第3次相遇的地点是相同的，距离A点是3000米.

13.2

【详解】我们知道，大小圆只有一个公共点（内切），而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在A

点，另一只在过A的直径另一直径端点B,

所以在小圆甲虫跑了n圈，在大圆甲虫跑了m+；圈；于是小圆甲虫跑了30n,大圆甲虫跑了48（m+g）=

48m+24.因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同，所以30n=48m+24；即5n=8m+4,有不

定方城知识，解出有n=4,m=2,所以小甲虫跑了2圈后，大小甲虫相距最远.

14.（1）28秒；

（2）196秒

【分析】（1）相遇时间=（跑道一圈的长度一8米）-（甲的速度+乙的速度）；

答案第4页，共20页

（2）求两人首次相遇就是求甲追上乙的时间，从开始到相遇甲比乙多跑了（400-8）米，追及时间=路程

差一（甲的速度一乙的速度）；据此解答。

【详解】（1）（400-8）-（6+8）

=39274

=28（秒）

答：经过28秒两人首次相遇。

（2）（400-8）+（8-6）

=392+2

=196（秒）

答：经过196秒两人首次相遇。

【点睛】掌握环形中相遇和追及问题的解题方法是解答题目的关键。

15.100

【详解】从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为

300x10=3000米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了

BOOOxS^nMOO米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300-200=100米才

3.5+4

能回到出发点.

16.3003

【详解】⑴两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是500+1-200=300（米/分）.

⑵在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是：

500^（300-200）=5（分）.300x5+500=3（圈）.

17.440米

【分析】第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两人合起来走了一圈，因此，从开始出发到第

二次相遇，两人合起来走了一圈半.也就是说，第二次相遇时两人合起来走的路程是第一次相遇时合起来

所走路程的3倍，因此，不难看出AD的距离是AC距离的3倍，所以再求圆周的长度就比较简单了.

【详解】解：因为AC=100米，AD的长度是AC长度的3倍.AD=ACx3=100x3=300（米）

半个圆的周长：300-80=220（米）

整个圆的周长：220x2=440（米）

18.600400,64

【详解】这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致.因此，当冬冬第一

答案第5页，共20页

次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长（200米），又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，

根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程.

①冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：200+（6-4）=100（秒）

②冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6x100=600（米）

③晶晶第一次被追上时所跑的路程：4x100=400（米）

④冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：（600x2）+200=6（圈）

⑤晶晶第2次被追上时所跑的圈数：（400义2）+200=4（圈）

19.140秒

【分析】如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的时间为100+（5-4）=100（秒）；此时甲跑了100x5=500

（米），乙跑了100x4=400（米）；而实际上甲跑500米，在前4个100米处都要停10秒，所以一共停了4

个10秒，则跑500米所需的时间为100+4x10=140（秒），所以140秒时甲跑了500米，即是从A点跑了

一圈多100米，正好在B点上；而乙跑400米，在前3个100米处都停10秒，一共停了3个10秒，则跑

400米所需的时间为100+3x10=130（秒），所以130时乙跑了400米，即从B点跑了一圈，正好在B点上；

所以，甲追上乙需要时间是140秒。据此解答。

【详解】100-（5-4）

=100x1

=100（秒）

100x5=500（米）

（500-100）4-100

=400700

=4（次）

100+4x10

=100+40

=140（秒）

答：甲追上乙需要时间是140秒。

【点睛】本题主要考查环形跑道追击问题，要利用追击路程+速度差=追击时间，求出正常情况不停下的追

击时间，再求到实际追击的路程，找到停下的时间，最后与正常追击的时间相加即可。

20.64分

【详解】解：因为圆的半周长是：1.44+2=0.72（米）=72（厘米）.如果不考虑往返的情况，两只蚂蚁所需

的相遇时间是：72+（5.5+3.5）=8（分）.然后再考虑往返的情况，如下表：

答案第6页，共20页

经过时间（分）1357911131516

向上半圆爬行的时间12221

向下半圆爬行的时间2222

不难看出，第15分钟后，两只蚂蚁向下半圆爬行刚好都需要8分钟.

根据表格分析，它们初次相遇的时间是：1+3+5+7+9+11+13+15=64（分）.

【点睛】利用列表法进行分析，也是解决行程问题常用的手段.

21.60

【详解】小新第一次超过正南时比正南多跑了一圈，根据5差=%乙可知小新第一次超过正南需要：

800+（250-210）=20（分钟），第三次超过正南时比正南多跑了三圈，需要800x3+（250-210）=60（分钟）.

22.7工米/秒

3

【分析】因为相遇前后甲乙的速度和没有改变，如果相遇后两人合跑一圈用24秒，则相遇前两人合跑一圈

也用24秒。以甲为研究对象，甲以原速V跑了24秒的路程与以（V+2）跑了24秒的路程之和等于400

米，据此解答。

【详解】解：设甲的原有速度为V米/秒

24V+24（V+2）=400

24V+24V+48=400

48V=400-48

48V=352

V=352+48

V=7-

3

答：甲原来的速度是7,米/秒。

3

【点睛】发现相遇前后甲乙速度和不变，是解答本题的关键。

23.8892米

【详解】第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）x3=228（米）第一个追及：这228

米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追及过程，可求出甲、乙

相遇的时间为228+（38-36）=114（分钟）

第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程

答案第7页，共20页

所以花圃周长为（40+38）X]14=8892（米）

【点睛】这个三人行程的问题由两个相遇、一个追及，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3

分钟”的时间.把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰.

24.5

【详解】在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题.同地出发，其实追及路程或相隔

距离就是环形道一周的长.这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度.环形道一周的长度可根据两

人同向出发，45分钟后甲追上乙，由追及问题，两人速度差为：250-200=50（米/分），所以路程差为：

50x45=2250（米），即环形道一圈的长度为2250米.所以反向出发的相遇时间为：2250+（250+200）=5（分

钟）.

25.1400米

【详解】先统一两个队员跑步的速度单位：1号队员：6x60=360（米/分钟）；2号队员：400x0.8=320（米

/分钟）

追及时间：400-（360-320）=10（分钟）

此时1号队员跑了：360x10=3600（米）

距离终点：5000-3600=1400（米）

答：1号队员距终点还有1400米.

26.2030

【详解】由题意知，甲行4分相当于乙行6分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）

从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12分，而乙行12分相当于甲行8分，所以甲环行一周

需12+8=20（分），乙需20+4x6=30（分）.

27.4圈

【详解】我们知道，大小圆只有一个公共点（内切），而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在A

点，另一只在过A的直径另一直径端点B,

所以在小圆甲虫跑了n圈，在大圆甲虫跑了m+]圈;

答案第8页，共20页

于是小圆甲虫跑了30n,大圆甲虫跑了48（m+1）=48m+24

因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同，

所以30n=48m+24；

即5n=8m+4,由不定方程知识，解出有n=4,m=2,

所以小圆甲虫跑了4圈后，大小甲虫相距最远.

28.猫跑8437.5米,狗跑23437.5米,兔跑16537.5米

【分析】由题意，根据路程、时间之间的关系，可以求得猫与狗的速度之比为9：25,猫与兔的速度之比为

25：49。设单位时间内猫跑1米，则狗跑］25米，兔跑I49I米；据此可求狗追上猫一圈需要的时间以及兔追

上猫一圈需要的时间；进而求出猫、狗、兔再次相遇的时间，则各自跑的路程可求。

【详解】由题意可知，猫与狗的速度之比为9：25,猫与兔的速度之比为25：49。

设单位时间内猫跑1米，则狗跑2了5米，兔跑4石9米；

狗追上猫一圈需300+（々-1）=—（单位时间）

94

兔追上猫一圈需300+49=券625（单位时间）

猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是半的整数倍，又是竽的整数倍。

42

号与修的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数，即

675625[675,625]

[7=8437.5

(4,2)

上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第1次相遇。此时，猫跑了8437.5米，狗跑了：8437.5x—

=23437.5（米），

49

兔跑了8437.5x^=16537.5（米

答：当它们出发后第一次相遇时，猫跑了8437.5米，狗跑了23437.5米，兔跑了16537.5米。

【点睛】首先根据它们的速度比求出狗追上猫一圈、兔追上猫一圈所需的时间单位是完成本题的关键。

29.900600,46

【详解】第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要300+（6-4）=15。秒，小亚跑了6x150=900（米）.小

胖跑了4x150=600（米）；第一次追上时，小胖跑了2圈，小亚跑了3圈，所以第二次追上时，小胖跑4圈,

小亚跑6圈.

30.2小时40分

答案第9页，共20页

CJA

【分析】根据题意，可以发现，每1小时5分，小王走4千米，休息5分钟，每1小时小张走6x」二=5（千

60

米），休息10分钟，而湖一周的长度是24千米，很容易估算出两人相遇的时间应该在2个多小时.这样在

两轮休息后不用休息两人就可以相遇.因此只要求出两轮休息后到相遇所用的时间，就可以使问题得以解

决.

【详解】解：到第二轮休息时，也就是2小时10分，小王共走了4x2=8（千米），而小张走了5x2+6x'=11

60

（千米）.这时两人还相距24—（8+11）=5（千米）.由于从此时到相遇已经不需要休息，因此，共同走完

这5千米两人共需的时间是：5-（4+6）=0.5（时）=30（分）.所以，他们第一次相遇共需2小时10分+

30分=2小时40分.

31.480

【详解】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完g圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙

共走完1+；=］圈的路程.所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3,因而第二次相遇时乙行走

的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100x3=300米.有甲、乙第二次相遇时，共行走（1圈一

3

60）+300,为J圈，所以此圆形场地的周长为480米.

32.300

【详解】根据题意，甲爬虫爬完半圈需要210+2+20=5.25分钟，乙爬虫爬完半圈需要210+2+15=7分钟.由

于甲第一次爬到1、2之间要5.25分钟，第一次爬到2、3之间要10.5分钟，乙第一次爬到2、3之间要7分

钟，所以第一次相遇的地点在2号环形跑道的上半圈处.

由于甲第一次爬到2、3之间要10.5分钟，第二次爬到1、2之间要15.75分钟，乙第一次爬到1、2之间要

14分钟，所以第二次相遇的地点在2号环形跑道的下半圈处.

当两只爬虫都爬了14分钟时，甲爬虫共爬了20x14=280米，210+2+210-280=35侏），所以甲在距1、

2交点35米处，乙在1、2交点上，还需要35+（20+15）=1（分钟湘遇，所以第二次相遇时，两只爬虫爬了

14+1=15分钟.

所以甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了20x15=300厘米.

33.2

【详解】400+（450-250）=2（分钟）.

34.660

【详解】根据题意可知，甲、乙只可能在AB右侧的半跑道上相遇.易知小跑道上A3左侧的路程为100米,

答案第10页，共20页

右侧的路程为200米，大跑道上AB的左、右两侧的路程均是200米.我们将甲、乙的行程状况分析清楚.当

甲第一次到达8点时,乙还没有到达8点，所以第一次相遇一定在逆时针的某处.而当乙第一次到达B点时,

所需时间为200+4=50秒，此时甲跑了6x50=300米，在离B点300-200=100米处.乙跑出小跑道到达A点

需要100+4=25秒，则甲又跑了6x25=150米，在A点左边(100+150)-200=50米处.所以当甲再次到达B处

时，乙还未到B处，那么甲必定能在B点右边某处与乙第二次相遇.从乙再次到达A处开始计算，还需

(400-50)+(6+4)=35秒，甲、乙第二次相遇，此时甲共跑了50