2024年中考数学模拟考试试卷(含有答案)

2024年中考数学模拟考试试卷（含有答案）

（考试时间：120分钟；满分：120分）

学校:班级：姓名：考号：

注意事项：

1.本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.

2.答题前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码

粘贴在答题卡上的指定位置.

3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上无效.

4.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试卷上无

效.

5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

•祝考试顺利•

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）

1.10的相反数是（）

11

A-10B.10C.——D.—

1010

【答案】A

【解析】

【分析】根据相反数的定义直接求解.

【详解】解：10的相反数是一10.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答本题的关键.

2.下列运算正确的是（）

A.a2+a3a5B.a2-a3a5C.a2a3=a5D.（tz2y=a5

【答案】B

【解析】

【分析】根据同底数幕的加法，同底数累的乘除法，嘉的乘方这些公式进行运算即可.

【详解】A选项，/和/不是同类项，不能合并，故不符合题意;

B选项储/3=笳，正确，故符合题意;

C选项/?/61,不正确，故不符合题意;

D选项（。2丫=不正确，故不符合题意.

故选：B

【点睛】本题考查整式的运算，属于基础题，熟练掌握同底数幕的加法，同底数塞的乘除法，幕的乘方这

些运算法则是解题的关键.

3.中华鲸是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍

稀特有鱼类保护的旗舰型物种，3月28日是中华鲸保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续

并对野生资源形成持续补充.将140000000用科学记数法表示应为（）

A.14xl07B.1.4xl08C.0.14xl09D.1.4xl09

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1＜忖＜10,"为整数.确定”的值时要看把原

数变成。时小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时”是正数；当

原数的绝对值＜1时w是负数.

【详解】解：140000000=1.4xlO8

故选B.

【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键.

4.下列立体图形中，主视图是圆的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论.

【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意;

圆柱的主视图是矩形，不符合题意；

圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；

球体的主视图是圆，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

5.如图，直线A5CD,GELEF于点、E.若N6GE=60。，则NEED的度数是（)

A.60°B.30°C.40°D.70°

【答案】B

【解析】

【分析】延长GE,与。C交于点根据平行线的性质，求出/引磔的度数，再直角三角形的两锐角

互余即可求出NEED.

【详解】解：延长GE,与。C交于点M

/.NFME=NBGE=60°

,：GE±EF

：.NEFD=90°-60°=30°

故选：B.

【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的

关键.

x—a>2

6.已知不等式组，,的解集是—则（a+b）=（）

x+l<b'7

A.0B.-1C.1D.2023

【答案】B

【解析】

【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得2+a<x<A—1,再结合已知可得2+a=—1,

A-1=1然后进行计算可求出。，6的值，最后代入式子中进行计算即可解答.

x-a>2①

【详解】解:

x+1<。②

解不等式①得：x>2+a

解不等式②得：x<b-l

.•.原不等式组的解集为：2+a<x<〃—1

:不等式组的解集是—1<X<1

2+<2=—1/?—1=1

a=—3b=2

./,\2023/cC\2023/八2023,

..(a+b)=(-3+2)=(-l)=-l

故选:B.

【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键.

7.象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使

棋子“帅”位于点(-2,-1)的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解

析式为()

A.y=x+lB.y=x-lC.y=2x+lD.y=2x-l

【答案】A

【解析】

【分析】利用待定系数法求解一次函数即可得解.

【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得“马”所在的点(1,2)

设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为丁=近+可左/0）

,••丫=履+6过点（—2,—1）和（1,2）

2=k+b

-l=-2k+b

k=l

解得《

b=l

...经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为y=x+i

故选A.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键.

8.如图，在，A5C中NA5c=90°,NACB=30°和A5=4,点。为的中点，以。为圆心，08长

为半径作半圆，交AC于点。，则图中阴影部分的面积是（）

'§6-冬B.5百-4万C.5月-2万D.106—2万

【答案】C

【解析】

【分析】连接0。,BD,作交CD于点首先根据勾股定理求出的长度，然后利用解直

角三角形求出BD、CD的长度，进而得到.函）是等边三角形NBQD=60°,然后根据30。角直角三

角形的性质求出OH的长度，最后根据S阴影=SACB-SCOD-S扇形“B进行计算即可.

【详解】解：如图所示，连接0。，BD,作OHLCD交于点H

:在中ZABC=90°ZACB=3Q°,AB=4

BC=———=AB=4=46

tanZACBtan30°V3

T

..•点。为BC的中点，以。为圆心，08长为半径作半圆

是半圆的直径

NCOS=90。

VZACB=30°

•••BD；BC=2布CD=BCcosZBCD=4A/3x—=6

22

又：OB=OC=OD=-BC=2百

2

OB=OD=BD

，OBD是等边三角形

ZB。。=60。

OHVCDNOS=30。

：.OH=-OC=j3

2

.1厂1厂60万x(2&『

•・§阴影=S^ACB-SXCOD-S扇形0£(B=-X4X4V3--xv3x6=5,3—2万,

故选：C.

【点睛】本题考查了30。角直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾

股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

9.如图，已知抛物线丁=依?+法+c(aw0)的对称轴是直线x=l,且过点(—1,0),顶点在第一象限，

其部分图象如图所示，给出以下结论：①"<0；®4a+2b+c>0；③3a+c>0；④若

B(x2,y2)(其中王<%2)是抛物线上的两点，且不+々>2,则%>%，其中正确的选项是()

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数的性质可得a<0,〃=—2。且b>0,可判断结论①；由x=2处的函数值可判断结

论②；由x=—l处函数值可判断结论③；根据西+々〉2得到点A（石，x）到对称轴的距离小于点

3（%，%）到对称轴的距离可判断结论④.

【详解】解：二次函数开口向下，则。<0

b

二次函数对称轴为x=l,则——=1,〃=—2。且>>0

2a

ab<0,故①正确；

•过点（-1,0）

...由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为（3,0）

由函数图象可得X=2时y>0

4a+2b+c>0,故②正确；

%=_1时y=0

:.a—/?+c=0

〃=—2a代入得：3a+c=0,故③错误；

:对称轴是直线为=1

.,.若石；9=[即*+々=2时%=%

当％+%>2时

点A（玉,%）到对称轴距离小于点3（%,为）到对称轴的距离

:二次函数开口向下

.1•%>%，故④正确.

综上所述，正确的选项是①②④.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键.

3

10.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，。4=。3=36，点C为平面内一动点，BC=-,连接

AC,点M是线段AC上的一点，且满足CM:M4=1:2.当线段取最大值时点M的坐标是

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得点C在以点B为圆心，一为半径的08上，在x轴的负半轴上取点。-工,0,连

2I2J

接BD,分别过C、M作CFLQ4,MELQ4垂足为尸、E,先证_Q4Ms得

"=0_=2,从而当取得最大值时OM取得最大值，结合图形可知当O,B,。三点共线，且点

CDAD3

5在线段DC上时。取得最大值，然后分别证BDgCDF,一利用相似三角形的性

质即可求解.

3

【详解】解：：点C为平面内一动点BC=-

2

3

...点C在以点B为圆心，一为半径的08上

2

,连接30,分别过C、M作CFLQ4,垂足为产、E

：.AD=OD+OA=^~

2

.OA_2

"AD3

VCM:M4=1:2

.0A2CM

,*AD-3

ZOAM=ZDAC

：.,OAM^,DAC

,OMOA2

'，-cF-AD-3

•••当CO取得最大值时OM取得最大值，结合图形可知当。，B,C三点共线，且点B在线段DC上时

取得最大值

•OA=OB=3MOD=±

2

.BD=y/OB2+OD2=15

~2

.CD=BC+BD=9

OM2

CD3

•OM=6

•，轴，龙轴CFLOA

.NDOB=NDFC=9Q0

•/BDO=/CDF

.BDOsCDF

OB_BD^—

---=即m37R50

CFCD-----=-

CF9

解得。/=竺叵

5

同理可得/AEM^LAFC

ME_2

MEAM2

---=-----=—即cm18A/5-3

CFAC3

5

解得睚=吆5

5

•••OE=y/OM--ME2=.=—

\I5J5

（6751275^

，当线段OM取最大值时点M的坐标是

I33,

故选D.

【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握

相似三角形的判定及性质是解题的关键.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）

11.计算：716=.

【答案】4

【解析】

【分析】根据算术平方根的概念求解即可.算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的

算术平方根，由此即可求出结果.

【详解】解：原式="=4.

故答案为4.

【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误.

12.为了加强中学生“五项管理”，葛洪学校就“作业管理”、“睡眠管理”、“手机管理”、“读物管

理”、“体质管理”五个方面对各班进行考核打分（各项满分均为100）,九（1）班的五项得分依次为

95,90,85,90,92,则这组数据的众数是.

【答案】90

【解析】

【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据.

【详解】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中90出现2次，出现的次数最多，故这组

数据的众数为90.

故答案为：90.

【点睛】本题考查了众数，众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，注意：在一组数据中，众数可能

不止一个.

13.实数如〃分别满足加2—3根+2=0,1—3〃+2=0,且相则工+工的值是.

mn

3

【答案】一

2

【解析】

【分析】直接利用根与系数的关系进行求解即可.

【详解】解：由题可知，相和”是炉―3%+2=0的两个根

所以〃z+〃=3,mn=2

,11m+n3

所以一+—=------=-；

mnmn2

3

故答案为：一.

2

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握“若一元二次方程

双2+区+。=0（〃。0）的两个根分别为玉和42，则为+九2=-2，再与二色”。

一aa

AB「

14.如图，在平面直角坐标系中，ABC与△a^iG位似，原点。是位似中心，且Tf=3.若

A（9,3）,则4点的坐标是.

x

【答案】（3,1）

【解析】

【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长.

【详解】解：设4（加/）

・・・.ABC与△AgG位似，原点。是位似中心，且7^=3.若4（9,3）

A内

3

・・・位似比为丁

••—―9——

m1n1

解得m=3几=1

•••4（3,1）

故答案为：（3,1）

【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键.

15.如图，在平面直角坐标系中，直线％=左逮+6与双曲线%=§(其中左「左2彳0)相交于4(—2,3),

网以―2)两点，过点B作3P〃x轴，交y轴于点尸，则一A3P的面积是.

【解析】

【分析】把4(-2,3)代入到%=§可求得％2的值，再把3(〃-2)代入双曲线函数的表达式中，可求得

m的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可.

【详解】•.•直线+5与双曲线%=§(其中%"wO)相交于4―2,3),5(加,—2)两点

k2=—2x3=—2m

k2=-6,m=3

双曲线的表达式为：％=—96(3,—2)

X

:过点B作无轴，交y轴于点P

：.BP=3

・・・SA^=%><3X(3+2)=11

故答案为—.

2

【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上

点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键.

16.2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会.这次大会的会

徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”.如图，用四个全等的直

角三角形(RtAAHB名RtABEC名RtACFI泾RtADGA)拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与

正方形EFGH,连接AC和石G,AC与EG、BH分别相交于点尸、。、。，若BE:EQ=3:2,则

【答案】逝

3

【解析】

【分析】设£C=x(x>°)，£Q=2a(a>0)则BE=3a,证明一_CEQ,利用相似三角形的性

质求出EC=5〃=6。，可得QH=a,EH=3a利用勾股定理求出和AQ,进而可得的长，再

证明QEO卷尸GO(SAS),可得OP=OQ=平。，然后根据正方形的性质求出0E,即可得出答案.

【详解】解：设£C=x(x>0),£Q=2a(a>0)则5E=3a

ZAHQ=ZCEQ=90°ZAQH=ZCQE

AHQCEQ

.QHAH

"QE~EC

•；Rt_AHB^Rt_BEC

AH=BE=3dBH=EC=x

：.QH=BH-BE-EQ=x-5a

.x-5a_3a

2ax

整理得：x2-5ax-6a2=0

解得：xx=6a,x2=-a(舍去)

即==

：.QH=aEH=3a

；•BC=y/BE2+EC2=3旧aAQ=^AH2+QH2=yflOa

AC=41BC=3屈a

•»_1"_3何

,,CzA——AC-------a

22

•，.OQ=OA-AQ=^-a

:四边形TffiFG是正方形

ZQEO=ZPGOOE=OG

又：ZQOE=ZPOG

：.QEO=尸GO(SAS)

：.OP=OQ=--a

又,：EG=yfiEH=30a

V10

.OP__逐

"OE~3y/23

-----a

2

故答案为：逝.

3

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解

一元二次方程以及二次根式的混合运算等知识，证明，CEQ,求出EC的长是解题的关键.

三、解答题（本大题共8小题，17~21题每题8分，22~23每题10分，24题12分，共计72

分）

17.先化简，再求值：”-----^―,其中。=2.

a-1a--l

1

【答案］--

。+13-

【解析】

【分析】根据题意，先进行同分母分式加减运算，再将。=2代入即可得解.

【详解】解：原式==-------—

a2-la2-1

G—1

(a-1)(a+1)

1

<7+1

当a=2时原式=­--=—

2+13

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减，约分等相关计算法则是解决本题的关

键.

18.如图，点E是矩形ABCZ）的边上的一点，且AE=A£）.

（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作Z7ME的平分线A/，交的延长线于点R连接£）歹.（保留作

图痕迹，不写作法）;

（2）试判断四边形AEED的形状，并说明理由.

【答案】（1）见解析（2）四边形AEFD是菱形，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可;

（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出=结合角平分线的定义可得NEM=NE4/，则

AE=EF,然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论.

【小问1详解】

【小问2详解】

四边形AEFD是菱形;

理由：•.•矩形A8CD中AD//BC

/.ZDAF=ZAFE

：AF平分为ME

ZDAF=/EAF

:.ZEFA=ZEAF

/.AE=EF

AE=AD

AD=EF

AD//EF

，四边形AEFD是平行四边形

又：=

平行四边形AEED是菱形.

【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形

的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键.

19.为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织

了一次手抄报比赛.该班每位同学从A.“北斗卫星”；B.“5G时代”；C.“东风快递”；D.“智轨

快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题.统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，

请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）九（1）班共有名学生；

（2）补全折线统计图；

（3）。所对应扇形圆心角的大小为；

（4）小明和小丽从A、B、C、。四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相

同主题的概率.

【答案】（1）50；（2）见解析；（3）108°；（4）-

4

【解析】

【分析】（1）用B组频数除以所占百分比即可求解；

(2)用50减去A、B、C组频数，求出。组频数，即可补全折线统计图;

(3)用360。乘以。组所占百分比即可求解；

(4)列表得出所有等可能结果，根据概率公式即可求解.

【详解】(1)20-40%=50(人)

故答案为：50；

(2)50-10-20-5=15(人)

补全折线统计图如图：

(3)360°X—=108°

50

故答案为：108°；

(4)列表如下:

小明

ABcD

小丽

A(AA)(B，A)(CA)(DA)

B(AB)小⑹S)(D,B)

C(AC)(B©(CC)(D，C)

D(A。)(BQ)(CD)

由列表可知，一共有16种等可能的结果，他们选择相同主题的结果有4种

41

所以尸(相同主题)=—=—.

164

【点睛】本题考查了折线统计图与扇形统计图，求概率等知识，理解两幅统计图提供的公共信息是解题第

(1)(2)(3)步关键，列表得出所有等可能的结果是解题第(4)步关键.

20.鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅

游爱好者的青睐.今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动.如图2,景区工作人员小明准备

从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部厂点沿水平

方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为30。；接着他沿自动扶梯

4

AO到达扶梯顶端D点，测得点A和点。的水平距离为15米，且tan/DAB=—；然后他从。点又沿水

3

平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为45°.(图上各点均在同一个平面内，且

G,C,B共线，F,A,2共线，G、E、尸共线CD〃AB,GFLFB).

(1)求自动扶梯AD长度；

(2)求大型条幅GE的长度.(结果保留根号)

【答案】(1)25米(2)(110-10句米

【解析】

4DM4

【分析】(1)过。作ZWIAB于M,由tanNZMBu—可得——=—,求出的长，利用勾股定理即

3AM3

可求解；

(2)过点。作。NJ_G£于N,则四边形是矩形，得NF=DM,DN=FM由己知计算得出

CN的长度，解直角三角形得出GN的长度，在RLAE尸中求得所的长度，利用线段的和差，即可解决问

题.

【小问1详解】

解：过。作于M,如图：

DM4

在RtaADM中tan/DAM=——=一

AM3

：AM=15（米）

.•.DM=20（米）

由勾股定理得AD=1AM?+DM。=Jl52+2（）2=25（米）

【小问2详解】

如图，过点。作。N_LGE于N

•/DM±ABZGFB=90°

，四边形DAIFN是矩形

液=£＞河=20（米）£^=9=”+w=30+15=45（米）

由题意，C/V=CD+DN=45+45=90（米）

NDCG=45。

GN

：.tanZGCN=l=—

CN

，G2V=90（米）GF=GN+NF^90+20^110（米）

由题意NE4P=30°AF=30（米）

AtanZEAF=—=—

3AF

：.所=104(米)

GE=GF-EF=(110-10A/3)米

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，熟练掌

握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

21.1号探测气球从海拔10m处出发，以的速度竖直上升.与此同时2号探测气球从海拔20m处出

发，以am/min的速度竖直上升.两个气球都上升了lh.1号、2号气球所在位置的海拔%,为（单

位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示.请根据图象回答下列问题：

（2）请分别求出为，力与彳的函数关系式；

（3）当上升多长时间时两个气球的海拔竖直高度差为5m?

【答案】（1）30（2）%=x+10%=gx+20；（3）lOmin或30min

【解析】

【分析】（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算6的值，根据6的值、2号探测气球的出发海拔

和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值；

（2）由（1）可得％与%函数图象的交点坐标为（20,30）,分别代入计算即可；

（3）由题意可得%—%=5或％—%=5,分别计算即可.

【小问1详解】

解：6=10+20x1=3067=（30-20）-^20=1

故答案为：；，30；

【小问2详解】

由（1）可得%与内函数图象的交点坐标为（20,30）

设X=勺%+10y2=左2%+20

将（20,30）分别代入可得：30=20^+1030=20自+20

解得：冗=1k=—

2

，％=x+10y2=—x+20；

【小问3详解】

由题意可得%一%=5或%一%=5

当y_%=5时x+10_(；x+2o1=5

解得x=30

当%—%=5时gx+20—(x+10)=5

解得x=10

当上升lOmin或30min时两个气球的海拔竖直高度差为5m.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，从图中获取信息是解题的关键.

22.如图，AB为(。的直径，E为C。上一点，点C为曲的中点，过点C作CDLAE,交AE的延

长线于点。，延长。。交的延长线于点尸.

(1)求证：CD是：。的切线；

(2)若DE=1,DC=2,求O的半径长.

【答案】(1)证明见解析(2)-

2

【解析】

【分析】(1)连接OC,根据弦、弧、圆周角的关系可证ZDAC=ZCAF,根据圆的性质得ZOAC=ZOCA,

证明OC〃AD,得到NOB=NO=90°,根据切线的判定定理证明；

(2)连接BC,CE,根据勾股定理得到CE=J?的长，根据等弧对等弦得到EC=CB=J?，根据圆内

接四边形对角互补得NA3C+NAEC=180。，推出N£>EC=NABC,证明.DECs一四4,利用相似

三角形的性质即可求解.

【小问1详解】

证明：连接oc

:点C为防的中点

EC=CB

：.ZDAC=ZCAF

VOA=OC

：.ZOAC^ZOCA

：.?DAC?COA

：.OC//AD

ZOCF=ZD=90°

•/OC为半径

:.DC为O切线；

【小问2详解】

解：连接BC,CE

•/CDLAD

：.?D90?

VDE=1DC=2

CE=VCD2+£>E2=V22+l2=迅

是BC的中点

,•EC=CB

EC=CB=5/5

为：。的直径

/.NACB=90°

VZDEC+ZAEC=180°ZABC+ZAEC=180°

/./DEC=ZABC

：..DECjCBA

.DECE

"BC~AB

.1_V5

,,石一益

：.AB=5

AO=-AB=-

22

0。的半径长为g.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题

的关键.

23.某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究丁=依2（。＞0）型抛物线图象.发现：如图1所示，该类

型图象上任意一点P到定点的距离尸产，始终等于它到定直线/：y=-工的距离PN（该结

I4aJ4a

论不需要证明）.他们称：定点尸为图象的焦点，定直线/为图象的准线，y=-工叫做抛物线的准线方

4〃

程.准线/与y轴的交点为H其中原点。为EH的中点FH=2OF=—.例如，抛物线＞=2必，其

2a

焦点坐标为/（03],准线方程为/：y=-』，其中尸N=PNFH=2OF=-.

【基础训练】

（1）请分别直接写出抛物线y=工力的焦点坐标和准线/的方程：，；

4

【技能训练】

（2）如图2,已知抛物线y=上一点＞0）到焦点厂的距离是它到x轴距离的3倍，

求点尸的坐标；

【能力提升】

（3）如图3,已知抛物线y=的焦点为尸，准线方程为/.直线加y=gx-3交y轴于点C,抛物

线上动点尸到x轴的距离为4,到直线比的距离为乙，请直接写出4+4的最小值；

【拓展延伸】

该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线丁=依2（。＞0）平移至〉="无-/7）2+乂4＞0）.抛物线

y=〃（x-/z）2+%（〃〉（））内有一定点尸［九左+/■）,直线/过点左一且与x轴平行.当动点尸在

该抛物线上运动时点尸到直线/的距离2片始终等于点尸到点尸的距离（该结论不需要证明）.例如：抛物

线,=2(1)2+3上的动点尸到点F的距离等于点P到直线/：y=——的距离.

8

请阅读上面的材料，探究下题:

（4）如图4,点。是第二象限内一定点，点P是抛物线y=1上一动点，当PO+PD取最

小值时请求出一POD的面积.

y=T；(2)[0,g]；(3)2A/5-1(4)|

【答案】（1）（0,1）

【解析】

【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；

（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得/2=8%2+2%-1,然后根据为求出为，

进而可得吃,问题得解；

（3）过点P作尸石，直线机交于点E,过点尸作PGL准线/交于点G,结合题意和（1）中结论可知

PG=PF^dl+l,PE=《根据两点之间线段最短可得当产，P，E三点共线时4+4的值最小；待定

系数法求直线尸石的解析式，求得点尸的坐标为V5-1,，根据点E是直线QE和直线机的交

点，求得点E的坐标为即可求得&和4的值，即可求得；

（4）根据题意求得抛物线y=；x2—1的焦点坐标为p（0,0）,准线/的方程为y=-2,过点p作PG_L

准线/交于点G,结合题意和（1）中结论可知PG=P尸，则尸。+?£>=尸6+尸。，根据两点之间线段

最短可得当。，P,G三点共线时PO+PD的值最小；求得；，一：]，即可求得PQD的面积.

【小问1详解】

解：：抛物线y=2*2中q=J_

44

1

・・・1=11---=—1I

4〃4a

抛物线y=的焦点坐标为（0」），准线/的方程为y=—l

故答案为：（0,1）y=—l；

【小问2详解】

解：由（1）知抛物线y=的焦点E的坐标为（0,1）

•.•点0（％,%）（/>0）到焦点厂的距离是它到无轴距离的3倍

22

，+（%-]]=3%,整理得：x0=8y0+2y0-1

=8)^+2%—1

解得：%=5或为=一^（舍去）

,•XQ—\/2

点尸的坐标为

【小问3详解】

解：过点P作PE，直线m交于点E，过点P作PG,准线/交于点G,结合题意和（1）中结论可知

PG=PF=4+1,PE^d2如图:

若使得4+4取最小值，即P尸+。石―1的值最小，故当尸，p，E三点共线时PF+PE—1=EF—1,

即止匕亥！J4+4的值最小；

,/直线PE与直线加垂直，故设直线PE的解析式为y=-^x+b

将歹（0,1）代入解得：b=l

A直线PE的解析式为y=—；x+1

・・•点尸是直线形和抛物线y=的交点

令一x'=—x+1,解得：X=V5—1»x,=——1（舍去）

421-

故点尸的坐标为

.•.4=厚

12

:点E是直线小和直线机的交点

令—犬+1=-x~3f解得：x=4

22

故点石的坐标为（4,-1）

即4+d2的最小值为2逐-1.

【小问4详解】

11

解：•・•抛物线y=-x9-1中。二一

44

・1111

4〃4a

，抛物线y=的焦点坐标为F（0,0）,准线I的方程为y=-2

过点尸作PG，准线/交于点G,结合题意和（1）中结论可知尸G=P尸，则尸O+?D=PG+?D,如

若使得PO+PD取最小值，即PG+尸。的值最小，故当。，P,G三点共线时

PO+PD^PG+PD=DG,即此刻PO+PD的值最小；如图：

•.•点D的坐标为DGL准线/

13

点尸的横坐标为-1,代入y=—必一1解得丁=一一

44

即心—］吁

I24J244

199

则一POD的面积为SPOD=-x-x1=-.

248

【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次

函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论.

24.如图1,在平面直角坐标系中，直线轴，交y轴的正半轴于点A,且。4=2,点8是y轴右侧

直线/上的一动点，连接08.

y-y-

(1)请直接写出点A的坐标；

(2)如图2,若动点8满足NA6O=30°,点C为AB的中点，。点为线段06上一动点，连接

CD.在平面内，将△BCD沿翻折，点8的对应点为点尸，CP与03相交于点。，当CPLA5时

求线段DQ的长；

AB

(3)如图3,若动点B满足示=2,E尸为一Q46的中位线，将ZkBE/绕点B在平面内逆时针旋转，

当点O、E、尸三点共线时求直线与x轴交点的坐标；

(4)如图4,0C平分NA05交A3于点C,于点O,交0C于点E,A产为△AEC的一

条中线.设△ACE,_。。石和.04c的周长分别为G，。2和.试探究：在8点的运动过程中，当

2G+c,11

——1=V时请直接写出点B的坐标.

。38

20

【答案】(1)(0,2)(2)73-1(3)(4,0)或(y-,0)(4)(20,2)

【解析】

【分析】(1)根据。4=2,点A位于y轴的正半轴即可得出答案；

(2)根据折叠性质和特殊角解三角形，先求出3C=若，沙=2再过点。作QHLAB，得出

CH=DH,5〃=解三角形即可求出。3=3—百，从而求出。Q=3Q—=6—1

(3)将石尸绕点2在平面内逆时针旋转，当点。、E、歹三点共线时有两种情况，当将绕点B

在平面内逆时针旋转90。，可得点E、夕恰好落在无轴OE=AB=4,从而可得直线与无轴交点的坐

标；当将小归石尸绕点B在平面内逆时针旋转到08上方时可得Rt043三RtBOE(HL),从而得出

AD§

ZABO=ZBOE,O£=AB=4继而可求cosNA7?O=——=—,再由0K=---------即可求出交点

OR5cosZARO

坐标.

2G+G2c,Q2AF+OD11

(4)由已知可证明OACODE一AFC,进而可得一J~-=—+—=———=E由此可得

c3c3c3OA8

2AF=--OD,延长A/交OB于X点，可得AH=2AE=U—OD,DH=OH—OD=2—OD然

4