2024届山东考试联盟高三年级下册开学考试数学试题（含答案）

机密★启用前

试卷类型A

山东名校考试联盟

高三年级下学期开学联考

数学试题2024.2

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.二项式(3x+2)4的展开式中常数项为()

A.4B.8C.16D.32

2.欧拉公式e'?=cose+isin。(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它

将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.已知z=iei",则忖=()

A.1B.V2C.2D.272

3.已知非零向量葡满足同第，且归+2q=唐同，则或与瓦夹角为()

TCTC2〃"5兀

A.—B•—C.—D.—

6336

4.已知函数/(力=111(、/711+。q是定义在口上的奇函数，则实数a的值是()

A.1B.±1C.2D.±2

5.已知数列｛4｝是以q为首项，q为公比的等比数列，则“％(1-q)〉0”是“｛4｝是单调递减数列”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.若曲线〃x)=e，在x=l处的切线与曲线g(x)=lnx+a也相切，则“=()

13

A.—B.1C.—D.2

22

7.已知点尸是直线/:x+y+4=0上一动点，过点尸作圆C:(%+1)2+(y+l)2=1的两条切线，切点分别

为4,3，则「403的服小值为（）

A.0B.1C.V2D.2

22

8.已知双曲线C:二—二=1（。〉02〉0）的左、右焦点分别为耳,E,O为原点，以耳鸟为直径的圆与双

a"b~

24

曲线交于点尸，且tan/POF,=—,则双曲线C的离心率为（）

27

A.2B.3C.4D.5

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.进入冬季哈尔滨旅游火爆全网，下图是2024年1月1.日到:T月7日哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游

人数的折线图，贝I（）

A.中央大街日旅游人数的极差是1.2B.冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3

C.冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大D.冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大

10.已知函数/（X）=sin（ox+0〉0,悯＜TJ的部分图像如图所示，贝U（）

A.。=2

jr

B.x是/(x)图象的一条对称轴

C.于2(x)-(a++a=0在％e10微

上有两个不相等的解，则ae14

D.已知函数g(x)=/(x)+；sin2%,当g(x)取最大值时，sin2x=

11.在长方体ABC。—4耳。］2中，=A&=2,AO=1,石为4月的中点，点尸满足

DP=ADBl(O<A<V),则()

A.若M为4。的中点，则三棱锥P-BEM体积为定值

B.存在点P使得APLBE

C.当彳=|时，平面P3C截长方体A5CD—A4GA所得截面的面积为

D.若Q为长方体A3CD—A31G2外接球上一点，2=|,则QE+3QP的最小值为J值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.从2,3,4,5,6,7,8中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数的和为偶数”，事件8为“取

到的两个数均为偶数”，则P（回力=.

13.已知△ABC的内角A,5,C所对的边分别为a,4c,已知6（l+cosA）=a（2-cos5）,b=c=2,则

AABC外接圆的半径为.

14.已知函数/（x）=alnx—x,若不等式2e"+2e"（x）恒成立，则实数a的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知数列｛a“｝满足。1=l,a“+i+2”.

（1）求数列｛q,｝的通项公式；

（2）bn=（-1）"（4+〃—1）,求数列也｝的前2。项和S2n.

16.（15分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），每一局

比赛中两人都要决出胜负，不出现平局，且甲获胜的概率为夕（0<°<1）.

2

⑴若p=—,求甲以3:2获胜的概率；

3

⑵若p=L求比赛结束时，比赛局数X的分布列及数学期望.

2

17.（15分）已知四棱锥尸―平面,四边形ABC。为梯形，AD//BC,

BC=2AD=4,A3=DC=PA=2.

(1)证明：平面PAB,平面PAC；

(2)平面PAB与平面PCD的交线为/,求直线/与平面尸C3夹角的正弦值.

18.(17分)已知函数/(x)=ln(x+l).

(1)讨论函数R(x)=ox-/eR)的单调性；

(2)设函数g(x)=(x+l)/[4]—/]4+1

(i)求g⑴-g(-2)的值;

(ii)证明：存在实数相，使得曲线y=g(x)关于直线％=加对称.

19.(17分)已知抛物线W:必=4%A,8,C是W上不同的三点,过三点的三条切线分别两两交于点4,B',C,

则称三角形A'B'C'为抛物线的外切三角形.

(1)当点。的坐标为(2,1),3为坐标原点，且&i=3C时，求点8'的坐标；

(2)设外切三角形A'6'C'的垂心为"，试判断〃是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明

理由；

(3)证明：三角形ABC与外切三角形A'3'C'的面积之比为定值.

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2024年2月高三年级下学期开学考数学试题

参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

题号12345678

答案CACBBDAD

6•【解析】由题意得，/(0=^在》=1处的切线为,=4，设该直线与曲线8(0=111%+。相切的切点为

,

(x0,lnx0+a),g(x0)=—=e,所以%=-,所以切点，,a-1］在直线y=ex上，所以a=2,故选：D.

玉)eIe)

7.【解析】圆C：(x+1)2+(y+l)2=1的圆心为(―1,—1)半径为1,点C到直线/：x+y+4=0的距离

|—1—1+4|I—

d=------产----=V2.

V2

解法一：附=阿=-4,设NAPB=26,则在RtAPAC中，sin^=,所以

cosZAPB=cos2^=1-2sin2^=1-,所以西.丽=pH|P3|cosNAP5=(PC?一注j=

PC-+-3,

因为PCmin=、/5,所以=3,所以西•丽的最小值0.

解法二：当CP，/时，NAPB取得最大值工,此时两•方=0取得最小值0,其他位置丽・丽〉0,所以

2

西•丽的最小值0.

故选：A.

.【解析】解法一：由题意得，

8ZFXPF2=90°,OP=OF„ZPOF2=20=2ZPF.O,

,0?4opFq

tan/POK=tan26=—半一=一,所以tan。=tan/P片。=士，即^~4=-,

2

1-tan^74\PFX\4

又|P£|-|尸段=2。，所以|PK|=8a,|尸乙k=6a.在△尸耳工中，由勾股定理得:

(8a『+(6a)2=(2C)2,解得e?=25,所以双曲线C的离心率为5.

7c24c

解法二：点P一定在右支上，不妨设点P在第一象限，由于tan/PO《=一,所以尸

2725，^5-

一"定满足二—匚=1,

化简得，4962c2_576a2c2=625a2b?,

结合=1+52,整理得，49c4—2x625。2c2+625/=0,同除/得，

25

49/-2x625e2+625=0,解得，02=25或02=—（舍），所以双曲线C的离心率为5,

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

题号91011

答案BCABDACD

10.【解析】对于A：因为周期7=肛。〉0,所以ty=2.

对于B：代入［g,—1］得sin［F+(|=—1,所以『+°=2左乃++(左eZ),

则(p=2kn+—{keZ),因为冏(工，所以°=工，则/(%)=sin|2x+—|,其对称轴为

62616J

X=~k7l+~(k^t),所以无二代是“X)的对称轴.

266

对于C：因为尸++〃=0,所以〃％)=1或=〃，

因为所以令r二2%+££［彳，V］，所以sin%=1或sin1=〃有两个解，

结合y=sin%的图象，y=1与y=sin，有一个交点，y=3与y=sin%有一个交点，共两个交点，所以〃二;

符合题意，答案错误.

T工r/、6.C11V13f2739.c713c11

对于D：g(%)=—sin2xH—cos2xH—=--------sin2xH-----cos2xH—,

44

,所以g（%）=—^sin（2%+e）+；

令cos。=-----,sin。二

所以当2x+6=2左万+]（%eZ）时取到最大值，止匕时sin2x=sin12k兀+（一9

213

答案：ABD

11•【解析】

对于A：因为〃为4。的中点，E为4用的中点，所以DB//EM,所以。耳〃面BEM,

则尸到面的距离为定值，所以体积为定值.

对于B：AP在平面ABB.A,的投影为ABX,由三垂线定理得,若AP，BE,则AB}1BE,因为四边形ABBX\

为正方形，所以A片与BE不垂直，所以B错.

对于C：平面PCD与平面及CD重合，平面与CD与平面A重合，所以延长CP会与人与有交点，因

--2-----

为DP=DBi，所以延长CP与4用交于点E，取GA中点/，则平面PBC截长方体A5CD—A4G2

所得截面为矩形所以面积为6.对于D：长方体ABC。-A4G2外接球球心为耳。中点，半径

3—•2——•

为3，DP=gDB「由阿氏球得，在直线与。上必存在一点N,使得3QP=QN,此时点N在。用延长线

上，且满足用N=3,以。为原点，建系如图，。用=3,£>N=6所以而=2函，则N（4,2,4）,因为

^（1,1,2）,所以（QE+3QP）1mli=（QE+QN）1nm=NE=g.答案：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.-；13.冬A；14.[0,e].

13•【解析】解法一：由正弦定理得，sinB（l+cosA）=sinA（2-cosB）,

化简得，sinB+sinBcosA=2sinA-sinAcosB,

所以sinB+sinBcosA+sinAcosB=sinB+sin（A+3）=siaB+sinC=2sinA

由正弦定理得Z?+c=2〃，因为b=c=2,所以△ABC为正三角形,

,ab2

由一=2R,2R=------

sinAsinBsinC.71

sin—3

3

所以AABC外接圆的半径二二.

3

(722_2A(n12—A2A

解法二：由余弦定理得，b1+——土=L=a2--—,化简得6+c=2a,

(2bcJIlac)

因为b=c=2,所以AA5c为正三角形，

由，一=―也=」二=2H，得2尺=二一=幽，所以△ABC外接圆的半径为”.

sinAsinBsinC.sm»—33

3

14.【解析】只需保证——21n——120恒成立.

e%e%

令g(%)=%-2hix-l,则g(%)在(0,2)上递减，在(2,+8)上递增,

当％—+8时g(x)f+oo,g(3)=2—21n3<0,故存在七〉3,使得g(%())=0.

又g(l)=0,故0<一《1或一2%恒成立.

exex

又当xf+00时——>0,则一2%不恒成立，于是0〈一〈1恒成立.

e"e*e"

当〃<0时，若%90,显然不成立；

当a=0时，满足题意；

当〃>0时，a\wc<x,若显然成立；

Y

若%>1时，则——恒成立，求导可得0<〃<e.

lux

综上所述，实数〃的取值范围为[0,e].

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15•【解析】

因为4+1=4+2”，所以=a,i+2(〃一1),

a,i=an_2+2（“-2）,…％=4+2,

累加得：〃〃=〃]+21——-n+1,

2

经检验”=1时符合，所以a“=〃2—〃+1

【注：丢捕对”=1的检监不扣分】

（2）因为d=（一1）"（4+〃—1）,所以2=（一1）"（"2一〃+1+〃—1）=（_1），/2,

2

所以S2,=-I+2-—3?+4?+…一（2〃-1）2+（2〃）2=1+2+3+…+2〃=2/+n

【注：此处没有使用并项法求和，而是使用不完全归纳法得出规律求和，不扣分】

16.【解析】（1）记A表示甲以3:2获胜，则前4局两人比分为2:2平，第5局甲获胜,

216

所以P（A）x—=—

381

【注：浸有列出式子，直接给出答束，扣3分】

（2）X的可能取值为3,4,5

P(X

3

p(X=4)=C；.C；x

P(X=5)=C*-C；x

'724UJ8

故E（X）=3x—+4x—+5x—=—；

v'4888

【注：1.不列出分布列的娄格，不扣分；

2.没有单独给出随机变童的取值，后面求概时有体现，不扣分；

3.每一个概值的计算只有结来没有式子，各和1分；

4.数学期望只有结果，没有式子，和1分；

5.结果没有化成最简分数，不扣分】

17•【解析】

（1）证明：连接AC,过4做8C的垂线交3C于点/，

所以BE=1,因为AB=2,所以4歹=百，

又因为尸。=3,所以AC=2g\所以NR4c=90。，所以A3_LAC

【注：其他方法证得ABLAC,同样得分】

因为尸4,面A3CD,ACu面ABC。，所以ACLP4,

尸4与交于点A,所以AC上面248,

因为ACu面PAC,所以面面P4C

【注：1.此处铁少AC，面PAB,直接得面PAB1面PAC,扣1分;

2.证得PA，面A3CD后建系，由两平面的法向量重直得两平面垂直也同样得分】

（2）延长A4,CD交于点E，

因为Ee面PAB,且Ee面PCD,所以Ee/,

PE即为面PAB与面PCD的交线，

以4为原点建系如图：

B（0,2,0）,C（2V3,0,0）,E（0,-2,0）,P（0,0,2）,

PB=（O,2,-2）,PC=（2V3,O,-2）,PE=（O,-2,-2）,

设面PCB的方向量为n=（x,y,z）,

2y-2z=0

则《取拓=（1,百,百）,

2cx-2z=0

设直线/与平面PCB的夹角为a,所以

PEn

sina=|cos(PE,n

7

所以直线/与平面PCB夹角的正弦值为这.

7

解法二：延长区4,CD交于点E,

因为Ee面PAB,且Ee面尸CD,所以Ee/,

PE即为面PAB与面PCD的交线

如图建立空间直角坐标系：

所以丽=(-2,0,-2),PC=(0,2A/3,-2),PE=(2,0,-2),

设面PCB的方向量为五=(x,y,z),

则〈厂，取拓=—正,1,立，

2V3y-2z=0''

设直线l与平面PCB的夹角为a,

_PEn_\473|_V42

所以sma=cos=।“―-二—产—-i=\------,

\/|PE||H||2行.疗|7

所以直线/与平面尸C3夹角的正弦值为严.

7

解法三：延长54,CD交于点E,因为Ee面PAB,MEeffiPCD,所以Ee/,

PE即为面PAB与面PCD的交线

做A/_L3C于点E,连接PW,因为P4上面ABC。，由三垂线定理可知：BCLPF.

在RtZ\B4R中，AF=®PA=2,所以PF=5.

4J2I

设点E到平面PBC的距离为h,由VE_PBC=VP_BCE,得力=,

因为P4L面A3CZ),所以在RtZkPAE中，PE=272.

hJ42

设尸E与平面PBC得夹角为a,则sina='='—,

PE7

所以直线/与平面尸C3夹角的正弦值为^—.

7

18•【解析】

(1)由题意可知*x)=ax—ln(x+l),则歹(x)的定义域为(—1,+oo),

x+lX+1

当a<0时，F\x)=a———<0,则歹(x)在(―L+oo)上单调递减;

JC+1

w八一什1^l-aI\ax+a-I

当a>0时，右一----=----1,F(冗)=---------<0；

aax+1

若x〉4-l尸(x)=ax+a—l〉0,

ax+l

贝1JP(X)在l,L—l上单调递减，在—l,+oo］上单调递增.

综上所述，当。<0时，E(x)在(-1,+00)上单调递减;

0时，/(x)在11」-1上单调递减，在1,+ooj上单调递增.

当〃>

【注：1.丢接。=0的情况，扣1分；2.单调区间未用区间表示，共扣1分】

)函数g(x)=(x+l)ln[l+』]_ln(2+L4

(2)(i则g(l)=21n2—ln3=ln),

i334

g(-2)=-In--In-=-In-=In-,故g⑴-g(-2)=0.

(ii)函数g(x)的定义域为(-<»,-l)U(O,+s).若存在加，使得曲线y=g(x)关于直线％=相对称，则

(一00,-1)0(。,+°0)关于直线％=加对称，所以机=—g

-ln|2+^—

由g(_1-X)=(-X)ln|1+—

\-1-XV-1-x

1x12%+1+112%+1(、+11%+112%+1

=-xln------In------=xln-------In------=(1+x)ln-------In-----In------

x+lx+lXx+lXXX+1

x+1[2x+l/、

=(1+xJln------In------=g⑴.

X

可知曲线y=g(X)关于直线X=-g对称.

【注：1.由(i)的计算结果猜想得出对称轴为直线x=-L,也得2分；

2

2.只要出理g(—1—x)=g(x)或g，g+x"g]—；—j或两者做差等于0等式子，即得2分;

没有最后一句结论，不扣分】

19•【解析】

（1）由题意可知A（—2,1）,求导得y=],则切线A'B'的方程为丁=*一1,8'为切线48'与y轴的交点,

则点8'的坐标为（0,-1）.

【注：求导正确得1分；正确求解点C或A处的切线得1分；正确求得点8'的坐标得1分】

(J1、(2A

(2)设Ax19—,Bx2,—,C0号，

44

<4JI4J7

2

则抛物线在点A处的切线B'C的方程为y=]x-上

2

同理可得切线A'C的方程为y=/x-全

【注：得由其中一条切线方程即可得1分】

X]+xxx、

联立可得交点C22，-r2j

y

x+xxx，冗3+石X3X,、

同理可得A2323

、2'丁,B'I2丁

【注：得由其中1个顶点的坐标即可得1分】

%入2X2X3x.x}

X

~4V=2y一丁

设垂心〃的坐标为（x,y）,则心©=

石+xx+x2B'HX,+x

223X----------

222

y-

由A'C.LBfH可知k.•k,=5•

ACBHX,+X]

X----------

2

口rtcXyX.X,

即2%+=%3+%1H----------

【注：由现解之积为-i,即得i分】

同理可得2%+/y=玉+%+

两式相减可得（%3-％2）丁=%2一%3，即丁=一1.

因此垂心H在定直线y=-1上.

【注：出理定直线y=-1,即得1分】

(3)直线AB的方程为丁=心Lx—以」A.=J1+%*