2024年中考数学训练-“一线三垂直”模型及其变形的应用（专项训练）（原卷版+解析）

“一线三垂直”模型及其变形的应用(专项训练)

1.如图，已知/C£)E=90°,ZCAD=90°,BE_LAD于B,且。C=OE,若BE=1,AB

=4,则BD的长为.

2.如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABC。的顶点重合，直角顶点E落在

边BC上，另一顶点尸恰好落在边。的中点处，若8c=12,则AB的长为.

3.在△ABC中，ZACB=90°,AC^BC,直线MN经过点C,且A£)_LMN于。，BE±MN

于E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①△ADC-CEB；

②DE=AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD,BE具有怎样的等量关系？

请写出这个等量关系，并加以证明.

4.感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1,点A在直线DE上，S.ZBDA=ZBAC

=ZAEC=90°,像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为

“一线三等角“模型.

应用：(1)如图2,中，ZACB=90°,CB=CA,直线皮>经过点C,过A作

AO_LEZ)于点。，过B作于点E.求证：△BECg△CD4.

(2)如图3,在△ABC中，。是BC上一点，ZCA£>=90°,AC=AD,NDBA=/DAB,

AB=2M，求点c到AB边的距离.

5.如图，ZVICB在平面直角坐标系中，ZACB=90°,AC^BC,。是AC的中点，点A的

坐标是(1,2),则点B的坐标为

6.已知，如图，Rt/VIBC中，ZACB=90°,AC^BC,D为BC上一点,CE_LA。于E,

若CE=2,贝USABEC—

7.在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，/AC8=90°,点A(0,5),

点C(-2,0),点8在第四象限.

(1)如图1,求点8的坐标；

(2)如图2,若AB交x轴于点。，BC交y轴于点M,N是BC上一点、,且BN=CM,

连接。N,求证CQ+DN=AM；

(3)如图3,若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC,0c为直角边在

第二、第三象限作等腰直角AACE与等腰直角△OCR其中/ACE=/05=90°,连

接£尸交x轴于尸点，问当点C在x轴的负半轴上移动时,CP的长度是否变化？若变化，

请说明理由，若不变化，请求出其长度.

8.如图，抛物线y=af+fct+6(aWO)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴

交于点C,顶点为D

(1)求抛物线的解析式；

(2)若在线段8C上存在一点使得/BMO=45°,过点。作OHLOM交8c的延

长线于点X,求点M的坐标；

(3)点P是y轴上一动点，点。是在对称轴上一动点，是否存在点P,Q,使得以点P,

Q,C,。为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

9.在数学探究活动中，小美将矩形ABC。纸片先对折，展开后折痕是ER点〃为8C边

上一动点，连接AM,过点M作交CO于点N.将△MCN沿翻折，点C

恰好落在线段EP上，已知矩形ABC。中A8=4,BC=6,那么的长为.

10.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点。落在BC边的点尸处

(1)求证：AABFsAFCE；

(2)已知AB=3,A£)=5,求tan/D4E的值.

11.已知：在△EPG中，NEFG=90°,EF=FG,且点E,尸分别在矩形ABC。的边AB,

A。上.

（1）如图1,填空：当点G在CD上，且。G=l,AE=2,则EG=；

（2）如图2,若歹是AQ的中点，FG与CD相交于点N,连接EM求证：ZAEF=Z

FEN；

12.问题情境：

数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形

纸片规格相同），已知矩形纸片宽AO=6.

动手实践：

（1）如图1,腾飞小组将矩形纸片ABCD折叠，点A落在DC边上的点4处，折痕为

DE,连接AE,然后将纸片展平，得到四边形AEAZX试判断四边形AEA。的形状，并

加以证明.

（2）如图2,永攀小组在矩形纸片ABCD的边BC上取一点F,连接OR使NCDP=30°,

将△CQP沿线段。F折叠，使点C正好落在4B边上的点G处.连接。G,GF,将纸片

展平，

①求△OFG的面积；

②连接CG,线段CG与线段DF交于点M,则CG=.

深度探究：

(3)如图3,探究小组将图1的四边形剪下，在边AD上取一点N,使。N：AN

=1：2,将△AMD沿线段AN折叠得到△ANU,连接A77,探究并直接写出4。的长度.

D_______________cD=____________________,rDyA'

AEB八GB4丁E

图1图2图3

“一线三垂直”模型及其变形的应用（专项训练）

1.如图，已知NC£)E=90°,ZCAD=90°,BE_LAD于B,且。C=OE,若BE=1,AB

=4,则BD的长为.

【解答】'：BE±AD,

：.ZEBD=ZCAD=90°,

ZBDE+ZADC=9O°,ZBDE+ZE=9O°,

ZE=ZADC,

在△AC£)和△2DE中，

'/CAD=/EBD

<ZADC=ZE，

CD=DE

(AA5),

:.BE=AD,

：.BD=AD-AB=BE-AB=1-4=3,

故答案为：3.

2.如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABC。的顶点重合，直角顶点E落在

边3C上，另一顶点尸恰好落在边的中点处，若BC=12,则AB的长为.

【解答】解：：四边形ABC。是矩形,

：.AB=CD,ZB=ZC=90°,

AZBAE+ZAEB^90°,

AA£F是等腰直角三角形，

：.AE=EF,NAE尸=90°,

AZFEC+ZAEB=9O°,

ZBAE=ZFEC,

在△ABE和△ECF中,

.♦.△ABEgAECF(AAS),

：.AB=CE,BE=CF,

:点尸是CO的中点，

：.CF=^CD,

2

：.BE=CF=^AB,

2

'：BE+CE=BC=12,

：.^AB+AB=12,

2

/.AB=8,

故答案为：8.

3.在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AO_LMN于。，BEVMN

于E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①△AD8ACEB；

②DE=AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD.8E具有怎样的等量关系？

请写出这个等量关系，并加以证明.

而AO_LMN于O,BELMN于■E,

：.ZADC=ZCEB=9Q°,ZBCE+ZCBE=90°,

ZACD=ZCBE.

在△ADC和ACEB中，，

△ADg^CEB,

J.AD^CE,DC=BE,

：.DE=DC+CE=BE+AD；

'ZADC=ZCEB=90°

(2)证明：在△ADC和△CEB中，，ZACD=ZCBE，

AC=CB

AADC^ACEB,

：.AD=CE,DC=BE,

：.DE=CE-CD=AD-BE；

(3)DE=BE-AD.

易证得△ADC0△CEB,

：.AD=CE,DC=BE,

：.DE=CD-CE=BE-AD.

4.感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1,点A在直线DE上，S.ZBDA=ZBAC

=ZAEC=90°,像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为

“一线三等角”模型.

应用：(1)如图2,RtAABC+,ZACB=90°,CB=CA,直线经过点C,过A作

A£)_L£D于点。，过B作8E_LED于点E.求证：ABEgACDA.

(2)如图3,在△ABC中，。是8C上一点，ZCA£>=90°,AC^AD,NDBA=NDAB,

AB=2a，求点C到AB边的距离.

AZBCE+ZACD=180°,

"：AD±ED,BELED,

：.ZBEC=ZCDA=90°,ZEBC+ZBCE=90a,

ZACD=Z.EBC,

在△BEC和△C7M中,

:.△BEgdCDA(.AAS)；

(2)解：过点D作DF±AB于点F,过点C作CE±AB于，交A4的延长线于点E,

：.AD=BD,

；.AF=BF=1AB=a，

"：ZCAD=90°,

：.ZDAF+ZCAE=90°,

VZDAF+ZADF=90°,

：.ZCAE=ZADF,

在△€>!£■和△AOB中，

/\CAE^/\ADF(AAS),

：.CE=AF=43,

即点C到AB的距离为«；

5.如图，ZVICB在平面直角坐标系中，ZACB=90°,AC=BC,。是AC的中点，点A的

坐标是(1,2),则点B的坐标为—.

C

【解答】解：过点C作C£)，x轴于点£),过点A作AEL无轴于点E,过点C作x轴的平

行线交AE的延长线于点F,则四边形DCFE是矩形，

,点A的坐标是(1,2),

；.OE=1,AE=2,

VCDLBD,AELOE,

.•./OOC=NA£O=90°,

VZAOE=ZDOC,OA=OC,

：./\AOE^/\COD(AAS),

：.AE=DC=2,OE=OD=1,

:・DE=CF=2,

VZACB=ZAFC=90°,ZBOC=ZAOE,

；・/CBD=NCAF,

又・.,8C=AC,

:•△BCgdACF(AAS),

：.BD=AF,CD=CF=2,

.\AF=4,

・・・BD=4,

OB=BD+DO=4+1=5,

：.B(-5,0).

故答案为：(-5,0).

6.已知，如图，RtZkABC中，ZACB=90°,AC=BC,D为BC上一点、,CE_LA。于石,

若CE=2,则SABEC=.

【解答】解：如图，过点3作3HJ_CE交CE的延长线于点H,

VZACB=90°,

AZACE+ZBCH=90°,

■:BH工CE,

：.ZBHC=90°,

・・・/HBC+NBCH=90°,

AZHBC=NACE,

在ABHC与ACEA中，

ABHC^ACEA(AAS),

:.BH=CE=2,

故答案为：2.

7.在平面直角坐标系尤Oy中，△ABC为等腰直角三角形，/ACB=90°,点A(0,5),

点C(-2,0),点2在第四象限.

(1)如图1,求点B的坐标；

(2)如图2,若交x轴于点。，8C交y轴于点M,N是BC上一点，且BN=CM,

连接。N,求证CD+DV=AM；

(3)如图3,若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC,0c为直角边在

第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF,其中/ACE=/OCP=90°,连

接EP交x轴于尸点，问当点C在x轴的负半轴上移动时,CP的长度是否变化？若变化，

请说明理由，若不变化，请求出其长度.

【解答】(1)解：如图1,过B作BFLx轴于凡

则尸C=90°,

;点A(0,5),点C(-2,0),

：.0A=5,OC=2,

•..△ABC为等腰直角三角形，ZACB=90°,

J.AC^BC,ZABC=45°,NFCB+NOCA=90°,

•：ZCOA=90°,

：.ZOAC+ZOCA^9Q°,

：.ZOAC=ZFCB,

'：ZCOA=ZBFC=90°,

.•.△CFB^AAOC(AAS),

：.FB=OC=2,FC=OA=5,

：.OF=FC-OC=5-2=3,

.,.点2的坐标为(3,-2)；

(2)证明：如图2,过3作交x轴于E,

则NC8E=90°=NACM,

由(1)得：BC=CA,NECB=/MAC,

・••△BCE注LCAM(ASA),

：.CE=AM,BE=CM,

■:BN=CM,

：.BE=BN,

'：ZCBE=90°,ZABC=45°,

：・NDBE=90°-45°=45°,

AZDBE=ZDBN=45°,

又・：BD=BD,

:•△BDE%ABDN(SAS),

:.DE=DN,

•；CD+DE=CE,

:,CD+DN=CE,

：.CD+DN=AM；

(3)解：。尸的长度不变化，。尸=$,理由如下:

2

如图3,过E作EGJ_x轴于G,

则NEGC=90°=ZCOA,

/.ZGEC+ZGCE=90°,

:•△ACE是等腰直角三角形，ZACE=90°,

：.CE^AC,ZGCE+ZOCA=90°,

：.ZGEC=ZOCA,

:•△GEgXOCN(A4S),

AGC=OA=5fGE=OC,

••,△Ob是等腰直角三角形，ZOCF=90°,

：・OC=CF,ZFCP=90°,

：.GE=CF,NEGP=NFCP,

又♦:/EPG=/FPC,

:•△EPG"AFPC(AAS),

：.GP=CP=^GC=^-.

22

8.如图，抛物线y=a*+Zzr+6(aWO)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴

交于点C,顶点为D

(1)求抛物线的解析式；

(2)若在线段BC上存在一点使得NBMO=45°,过点。作OHLOM交BC的延

长线于点X,求点M的坐标；

(3)点P是y轴上一动点，点0是在对称轴上一动点，是否存在点P,Q,使得以点P,

Q,C,。为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1).抛物线yn/+Zw+G经过点A(-1,0),B(3,0)两点,

.(a-b+6=0

l9a+3b+6=0,

解得：(2=-2,

lb=4

...抛物线的解析式为＞=-2/+4x+6；

(2)由(1)得，点C(0,6),

设直线BC的解析式为y=&+c,

.直线2C经过点8(3,0),C(0,6),

.f3k+c=0

Ic=6

解得：，=-2

\c=6

直线BC的解析式为y=-2x+6,

设点M的坐标为(力,-2m+6)(0<m<3),

如图1,过点M作MNLy轴于点N,过点H作HKLy轴于点K,

则/MNO=NOKH=90°,

'：OH±OM,

：.ZMOH=9Q°,

VZOMB=45°,

^MOH是等腰直角三角形，

：.0M=0H.

:/MON+NKOH=90°,ZOHK+ZKOH=90°,

ZMON=ZOHK,

:.△OMN"AHOK(A4S),

：.MN=0K,0N=HK.

'.H(-2m+6,-m),

■：点H(-2m+6,-m)在直线y=-2x+6上，

-2(-2m+6)--m,

解得：加=旦，

5

把他=旦代入y=-2x+6得：,

55

...当/OMB=45°时，点”的坐标为(旦，—)；

55

(3)存在，理由如下：

:抛物线的解析式为y=-2/+4x+6=-2(x-1)2+8,顶点为

.•.点。的坐标为(1,8),

分两种情况讨论：

①当C£)为菱形的边时，

如图2,过C作CE_L£)。于E

VC(0,6),D(1,8),

CD=yJ(1-0)2+(8-6)2=显,

：.DQ=CD=y/5,

；.。点的坐标为(1,8-y)或(1,8的)；

②当C。为菱形的对角线时，

如图3,设点。(1,m),P(0,ri'),

VC(0,6),D(1,8),

徵+几=6+8=14,

*.n=14-m,

：.P(0,14-m),

/.PC=14-m-6=8-m,

,:CQ=V(l-0)2+(m-6)2=Vl+(m-6)2'PC=CQ,

.•①片五+一产，

解得：m=—,

4

...点。的坐标为(1,普)；

综上所述，点。的坐标为(1,8-炳)或(1,8+V5)或(1，—).

图2

9.在数学探究活动中，小美将矩形A3C。纸片先对折，展开后折痕是ER点加为BC边

上一动点，连接AM,过点M作交C。于点N.将△MCN沿MN翻折，点C

恰好落在线段跖上，已知矩形A8CC中A8=4,BC=6,那么8M的长为.

【解答】解：连接CC'交MN于点、G,

由折叠得：

MN是CC的垂直平分线，

；./MGC=90°,CN=C'N,

设BM=x,贝I]CM=BC-BM=6-x,

•.•四边形ABCD是矩形，

：.ZB=ZBCD=90°,AB=CD=4,

：.ZBAM+ZAMB=90°,

"：MNLAM,

：.ZAMN=90°,

:.NAMB+NCMN=90°,

：.ZBAM=ZCMN,

：.4ABMS/\MCN,

.AB=BM

"MCCN;

.4_x

•,宣一丽’

；.CN=2^,

4

：.CN=C'N=,

4

由折叠得：

CF=LCD=2,ZCFE=90°,

2

：.FN=CF-CN=2-=8-6x+x2,

44

'：ZBCC'+ZC'CF=90°,ZBCC'+ZCMN=90°,

：.ZCCF=NCMN,

：.ZCCF=NBAM,

；NB=NCFC'=90°,

:.XkBMsXCFC,

•AB_BM

"CFFC，，

.4一x

"2~^

:.FC'=工，

2

在RtAFNC'中，CF2+FN2=CN1,

...工)2+(8-6X+X2)2=(6X-X%2,

244

；.x=4或x=4,

5

.♦.BM的长为:4或生

5

故答案为：4或2.

5

10.如图，将矩形4BCQ沿AE折叠，使点。落在BC边的点F处

(1)求证：△ABFs^FCE；

(2)已知AB=3,AD=5,求tan/ZME的值.

BF

【解答】(1)证明：•.•四边形ABCD是矩形,

:.NB=NC=ND=90°,

：.ZBAF+ZAFB=90°,

由折叠可得：

ZD=ZAFE=90°,

ZAFB+ZEFC=180°-ZAFE=90°,

NBAF=ZEFC,

(2)解：：四边形ABC。是矩形,

：.AB=CD=3,AD=BC=5,

由折叠可得：

AD=AF=5,

:，BF=I/AF2-AB2==4'

:.CF=BC-BF=l,

:△ABFsMCE,

•CE=CF

"BFAB

.CE_1

••--------，

43

4

CE=

3

：.DE=CD-CE=3-A=A,

33

5

•—瑞=弓1

3

.♦.tanNDAE的值为工.

3

11.已知：在△£1]”?中，NEFG=90°,EF=FG,且点E,尸分别在矩形A8CD的边AB,

AO上.

(1)如图1,填空：当点G在CD上，且。G=l,AE=2,则EG=；

(2)如图2,若尸是的中点，FG与C。相交于点N,连接EN,求证：/AEF=/

FEN；

(3)如图3,若AE=AD,EG,FG分别交CD于点M,N,求证：M〃=MN・MD.

AZAFE+ZDFG=90°,

VZAEF+ZAFE=90°,

：.ZAEF=ZDFG,

又,.・NA=N£)=90°,EF=FG,

：./\AEF^^DFG(A4S),

：.AE=FD=2,

l2+22=V5，

.•.EG=V2FG=A/10>

故答案为：Vio；

(2)证明：延长EA、NF交于■点、M,

•.•点尸为4。的中点，

：.AF^DF,

,JAM//CD,

:./M=/DNF,ZMAD=ZD,

：./\MAF^/\NDF(A4S),

：.MF=FN,

'CEFLMG,

：.ME=GE,

：.NMEF=NFEN；

(3)证明：如图，过点G作GPLAO交AD的延长线于尸,

同(1)同理得，AAEF咨APFG(A4S),

：.AF=PG,PF=AE,

*：AE=ADf

：.PF=AD,

：.AF=PD,

:.PG=PD,

VZP=90°,

・・・NPDG=45°,

・・・NMQG=45°,

在RtZ\ER7中，EF=FG,

：.ZFGE=45°,

・•・ZFGE=NGDM,

'：ZGMN=ZDMG,

：.AMGNs工MDG,

•・•一MG——MN,

DMMG

:.M0=MN-MD.

12.问题情境：

数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形

纸片规格相同），已知矩形纸片宽AD=6.

动手实践：

（1）如图1,腾飞小组将矩形纸片ABCD折叠，点A落在。C边上的点A处，折痕为

DE,连接4E,然后将纸片展平，得到四边形AE4D试判断四边形AEA。的形状，并

加以证明.

（2）如图2,永攀小组在矩形纸片ABCD的边BC上取一点F,连接。孔使/CDF=30°,

将△C。F沿线段。尸折叠，使点C正好落在A8边上的点G处.连接。G,GF,将纸片

展平，

①求△。/G的面积；

②连接CG,线段CG与线段交于点则CG=.

深度探究：

(3)如图3,探究小组将图1的四边形AEAD剪下，在边A'D上取一点N,使DN：A'N

=1：2,将△AND沿线