湖北省随州市随县2024届中考数学四模试卷含解析

湖北省随州市随县2024届中考数学四模试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，已知AB是。O的直径，弦CDLAB于E,连接BC、BD、AC,下列结论中不一定正确的是（）

A.ZACB=90°B.OE=BEC.BD=BCD.AD=AC

2.下列运算正确的是()

A.X3+X3=2X6B.X6-rX2=X3C.(-3x3)2=2x6D.X2*X-3=X1

3.下列命题中，真命题是（）

A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

B.等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形

C.圆的切线垂直于经过切点的半径

D.垂直于同一直线的两条直线互相垂直

4.圆锥的底面半径为2,母线长为4,则它的侧面积为（）

A.87rB.167rC.4邪nD.47r

5.如图，A点是半圆上一个三等分点，3点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，。。的半径为1,则4P+

BP的最小值为

B/

A.1C."D.73-1

2

6.1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（

7.若抛物线丁=h2-2x-1与X轴有两个不同的交点，则女的取值范围为（）

A.k>-lB.k>-lC.左>一1且际0D.后一1且际0

8.下列计算正确的是（）

A.。2・。3=。6B.（。2）3=。6C.Q2+〃2=43D.〃6改2=。3

，,2

9.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB=1,点A在函数y=-一（x<0）的图象上，

k

将此矩形向右平移3个单位长度到A]B|O|G的位置，此时点在函数y=—（x>0）的图象上,CQi与此图象交于

11111x

点P,则点P的纵坐标是（）

lx-a1

10-若关于X的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（）

A.a>lB.a>lC.a>l且a声4D.a>l且a/

11.计算6m3+（—3m2）的结果是（)

A.—3mB.—2mC.2mD.3m

12.△ABC在网络中的位置如图所示，则cos/ACB的值为（)

A.1B.它7D.£

2223

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.因式分解：3a3-3a=.

14.若代数式x2-6x+b可化为（x+a）2-5,则a+b的值为.

15.如图，小红将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条,

且剪下的两个长条的面积相等.问这个正方形的边长应为多少厘米？设正方形边长为xcm,则可列方程为.

16.不透明的袋子里装有2个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸出白球

的概率是.

17.将161000用科学记数法表示为1.61x10，，,则n的值为.

18.含角30。的直角三角板与直线I，4的位置关系如图所示，已知,jiq，zi=6°°,以下三个结论中正确的是

（只填序号）.

@AC=2BC®ABCD为正三角形③AD=BD

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交BC边于点D,连接AD,过D作AC的垂线，交AC

边于点E,交AB边的延长线于点F.

（1）求证：EF是。O的切线；

（2）若/F=30。，BF=3,求弧AD的长.

20.（6分）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离5C为78w，从甲的顶部A处测得乙的顶部。处的俯角为48°,测

得底部。处的俯角为58°,求甲、乙建筑物的高度A3和。C（结果取整数）.参考数据：tan48。。：!.”，tan58°a1.60.

21.（6分）每年4月23日是世界读书日，某校为了解学生课外阅读情况，随机抽取20名学生，对每人每周用于课外

阅读的平均时间（单位：min）进行调查，过程如下：

收集数据：

306081504011013014690100

60811201407081102010081

整理数据:

课外阅读平均时间X

0力<4040夕<8080<x<120120<x<160

（min）

等级DCBA

人数3a8b

分析数据:

平均数中位数众数

80mn

请根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）填空：a=,b=_；m=,n=；

（2）已知该校学生500人，若每人每周用于课外阅读的平均时间不少于80机加为达标，请估计达标的学生数；

（3）设阅读一本课外书的平均时间为260帆加，请选择适当的统计量，估计该校学生每人一年（按52周计）平均阅读

多少本课外书？

22.（8分）已知关于x的一元二次方程（X一mA—2（x—根）=0（根为常数）.

（1）求证：不论机为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程一个根为5,求的值.

23.（8分）工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正

方形.（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？

24.（10分）定义：若某抛物线上有两点A、B关于原点对称，则称该抛物线为“完美抛物线”.已知二次函数y=ax2-2mx+c

（a,m,c均为常数且a蜜0）是"完美抛物线”:

（1）试判断ac的符号;

（2）若c=-l,该二次函数图象与y轴交于点C,且SAABC=1

①求a的值;

②当该二次函数图象与端点为M（-1,1）、N（3,4）的线段有且只有一个交点时，求m的取值范围.

25.（10分）如图，在RtAABC中，ZC=90°,以BC为直径的。。交AB于点D,过点D作。O的切线DE交AC

于点E.

（1）求证：ZA=ZADE；

（2）若AB=25,DE=10,弧DC的长为a,求DE、EC和弧DC围成的部分的面积S.（用含字母a的式子表示）.

26.（12分）如图，AB〃CD,以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB,AC于E,F两点，再分别以

1

E,F为圆心，大于］EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P,连接AP,交CD于点M,若/ACD=U0。，求NCMA

的度数.

27.（12分）如图①，在RtAABC中，ZABC=90o,A5是。O的直径，。。交AC于点。，过点。的直线交于点

E,交A3的延长线于点P,ZA=ZPDB.

p

①"②

(1)求证：尸。是。。的切线；

(2)若43=4,DA=DP,试求弧的长；

(3)如图②，点M是弧AB的中点，连结交A5于点N.若tanA=,求的值.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、B

【解题分析】

根据垂径定理及圆周角定理进行解答即可.

【题目详解】

/AB是。O的直径，

AZACB=90°,故A正确；

,二点E不一定是OB的中点，

；.OE与BE的关系不能确定，故B错误；

VABXCD,AB是。O的直径，

/.BD=BC,

.,.BD=BC,故C正确；

AD=AC,故D正确.

故选B.

【题目点拨】

本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键.

2、D

【解题分析】

分析：根据合并同类项法则，同底数累相除，积的乘方的性质，同底数腰相乘的性质，逐一判断即可.

详解：根据合并同类项法则，可知X3+X3=2X3,故不正确；

根据同底数累相除，底数不变指数相加，可知a6+a2=a4,故不正确；

根据积的乘方，等于各个因式分别乘方，可知（一3a3）2=9a6,故不正确；

根据同底数嘉相乘，底数不变指数相加，可得X2・X-3=X-1,故正确.

故选D.

点睛：此题主要考查了整式的相关运算，是一道综合性题目，熟练应用整式的相关性质和运算法则是解题关键.

3、C

【解题分析】

分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.

解答：解：A、错误，例如对角线互相垂直的等腰梯形；

B、错误，等腰梯形是轴对称图形不是中心对称图形；

C、正确，符合切线的性质；

D、错误，垂直于同一直线的两条直线平行.

故选C.

4、A

【解题分析】

1

解：底面半径为2,底面周长=4见侧面积=1'4/4=8凡故选A.

5、C

【解题分析】

作点A关于"N的对称点4,连接交MN于点P,则E4+P5最小，

...点A与4,关于MN对称，点4是半圆上的一个三等分点,

ZA'ON=ZAON=60°^A=PA',

丁点3是弧AN八的中点，

ZBON=30°,

ZA'OB=ZA'ON+ZBON=90°,

：.A'B=y[2

：.PA+PB=PA'+PB=A,B=y/2

故选：C.

6、D

【解题分析】

根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条

直线叫做对称轴.

【题目详解】

A、不是轴对称图形，故A不符合题意；

B、不是轴对称图形，故B不符合题意；

C、不是轴对称图形，故C不符合题意；

D、是轴对称图形，故D符合题意.

故选D.

【题目点拨】

本题主要考查轴对称图形的知识点.确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

7、C

【解题分析】

根据抛物线y=Ax2-2x-1与x轴有两个不同的交点，得出Z>2-4«c>0,进而求出左的取值范围.

【题目详解】

:二次函数y=kx2-2x-l的图象与x轴有两个交点，

bi-4ac—(-2)2-4xkx(-1)=4+软>0,

：.k>-1,

:抛物线丫=区2-2x-1为二次函数，

：.际0,

则大的取值范围为左>-1且时0,

故选C.

【题目点拨】

本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与X轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b%4ac的关

系是解题的关键.注意二次项系数不等于0.

8、B

【解题分析】

试题解析：A.。2.03=。5,故错误.

B.正确.

C.不是同类项，不能合并，故错误.

D・Q6+Q2=Q4.

故选B.

点睛：同底数能相乘，底数不变，指数相加.

同底数嘉相除，底数不变，指数相减.

9、C

【解题分析】

分析：先求出4点坐标，再根据图形平移的性质得出A1点的坐标，故可得出反比例函数的解析式，把点的横坐标

代人即可得出结论.

2

详解：；。5=148,0星点4在函数，=一—（x<0）的图象上，

x

：.当x=-l时，y=2,

•..此矩形向右平移3个单位长度到qqqq的位置，

，片（2,0）,

k

...点4在函数丁=一（*>0）的图象上，

：.k=4,

4

二反比例函数的解析式为y=一,。1（3,0）,

轴，

4

二当*=3时,y=w，

二尸（3,/

故选C.

点睛：考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移，解题的关键是运用双曲线方程求出点4的坐标，

利用平移的性质求出点为的坐标.

10、C

【解题分析】

试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为1求出a的

范围即可.

解：去分母得：2(2x-a)=x-2,

由题意得：1―4且一^―用，

解得：壮1且存4,

故选C.

点睛：此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为L

11、B

【解题分析】

根据单项式相除，把系数与同底数嘉分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商

的一个因式计算，然后选取答案即可.

【题目详解】

6m3+(-3m2)=[6+(-3)](m3+m2)=-2m.

故选B.

12、B

【解题分析】

作ADXBC的延长线于点D,如图所示:

在RtAADC中，BD=AD,则AB=71BD.

COSZACB=^£=1=卫,

AB2

故选B.

、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、3a(a+1)(a-1).

【解题分析】

首先提取公因式3a,进而利用平方差公式分解因式得出答案.

【题目详解】

解：原式=3a(a2-1)

=3a(a+1)(a-1).

故答案为3a(a+1)(a-1).

【题目点拨】

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.

14、1

【解题分析】

根据题意找到等量关系x2-6x+b=(x+a)2-5,根据系数相等求出a,b,即可解题.

【题目详解】

解：由题可知x2-6x+b=(x+a)2-5,

整理得：X2-6x+b=x2+2ax+a2-5,

即-6=2a,b=az-5,

解得：a=-3,b=4,

.'.a+b=l.

【题目点拨】

本题考查了配方法的实际应用，属于简单题，找到等量关系求出a,b是解题关键.

15、4x=5(x-4)

【解题分析】

按照面积作为等量关系列方程有4x=5(x-4).

2

16、3

【解题分析】

先求出球的总数，再根据概率公式求解即可.

【题目详解】

.不透明的袋子里装有2个白球，1个红球，

球的总数=2+1=3,

2

，从袋子中随机摸出1个球，则摸出白球的概率=可.

1.2

故答案为—.

【题目点拨】

本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答

此题的关键.

17、5

【解题分析】

【科学记数法的表示形式为axlOn的形式，其中仁口|＜10,〃为整数.确定”的值时，要看把原数变成“时，小数点

移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是

负数.

【题目详解】

,7161000=1.61x105.

.'.n=5.

故答案为5.

【题目点拨】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中心同＜10,〃为整数，表示时关键要

正确确定”的值以及”的值.

18、②③

【解题分析】

根据平行线的性质以及等边三角形的性质即可求出答案.

【题目详解】

由题意可知：ZA=30°,：.AB=2BC,故①错误；

'：lr//l2,：.ZCDB=Z1=6O°.

•：ZCBD=60°,...△■BCD是等边三角形，故②正确；

:△■BCD是等边三角形，/.ZBC£＞=60°,ZACD=ZA=30°,：.AD=CD=BD,故③正确.

故答案为②③.

【题目点拨】

本题考查了平行的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质，等边三角形的性质，含30度角

的直角三角形的性质，本题属于中等题型.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、（1）见解析;（2）2n.

【解题分析】

证明：（1）连接OD,

TAB是直径，

AZADB=90°,即AD_LBC,

\AB=AC,

二•AD平分NBAC,

.\ZOAD=ZCAD,

/OA=OD,

/.ZOAD=ZODA,

.\ZODA=ZCAD,

・・OD〃AC,

VDEXAC,

.\OD±EF,

.OD过O,

・・・EF是。O的切线.

(2)\OD±DF,

ZODF=90°,

ZF=30°,

/.OF=2OD,即OB+3=2OD,

而OB=OD,

OD=3,

,/ZAOD=90°+ZF=90°+30°=120°,

120义兀x3

4。的长度==2兀.

180

【题目点拨】

本题考查了切线的判定和性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助

线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.也考查了弧长公式.

20、甲建筑物的高度48约为125机，乙建筑物的高度。。约为38机.

【解题分析】

分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求

出答案.

详解：如图，过点。作垂足为E.

则/AED=/BED=90。.

由题意可知，5C=78,ZADE=48°,ZACB=58°,ZABC=90°,/DCB=90。.

可得四边形BCDE为矩形.

：.ED=BC=18,DC=EB.

AB

在Rt^ABC中，tanZACB=---,

BC

JAB=BC,tan58°«78x1.60«125.

在Rt.AED中，tanZAD£=,

△ED

：.AE=ED-tan48°.

：.EB=AB-AE=BCtan58°«78xl.60-78xl.ll«38.

.・・DC;EB=38.

答：甲建筑物的高度AB约为125根，乙建筑物的高度。。约为387n.

点睛：本题考查解直角三角形的应用“仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题,

难度一般.

21,(1)a=5,b=4；m=81,n=81；(2)300人；(3)16本

【解题分析】

(1)根据统计表收集数据可求a,b,再根据中位数、众数的定义可求机，n；

(2)达标的学生人数=总人数x达标率，依此即可求解；

（3）本题需先求出阅读课外书的总时间，再除以平均阅读一本课外书的时间即可得出结果.

【题目详解】

解：（1）由统计表收集数据可知”=5,b=4,m=81,«=81；

8+4

（2）500x—=300（人）.

答：估计达标的学生有300人；

（3）80x524-260=16（本）.

答：估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读16本课外书.

【题目点拨】

本题主要考查统计表以及中位数，众数，估计达标人数等，能够从统计表中获取有效信息是解题的关键.

22、（1）详见解析；（2）的值为3或1.

【解题分析】

（1）将原方程整理成一般形式，令A>。即可求解，（2）将x=l代入，求得m的值，再重新解方程即可.

【题目详解】

（D证明：原方程可化为x2-（2m+2）x+m2+2m=0,

；a=l,0=—（2加+2）,c=m2+2m,

."，△=枕-4ac=[-（2m+2）]2-4（m2+2m）=4>0,

，不论机为何值，该方程总有两个不相等的实数根.

（2）解：将x=5代入原方程，得：（5-m）2-2（5-m）=0,

解得：?=3,m=5.

二机的值为3或1.

【题目点拨】

本题考查了参数对一元二次方程根的影响.中等难度.关键是将根据不同情况讨论参数的取值范围.

23、裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dm2.

【解题分析】

试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm,则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm,宽为（6-2x）dm,根据长

方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.

试题解析：

设裁掉的正方形的边长为xdm,

由题意可#（10-2x）（6-2x）=12,

即X2-8X+12=0,解得x=2或x=6(舍去)，

答：裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dm2.

2、1

24、(1)ac<3；(3)①a=l；②m>或mV1.

【解题分析】

(1)设A(p,q).则B(-p,-q),把A、B坐标代入解析式可得方程组即可得到结论；

(3)由c=-l,得到P3=,，a>3,且C(3,-1),求得p=±、I，①根据三角形的面积公式列方程即可得到结果；

aVa

、37

②由①可知：抛物线解析式为y=x3-3mx-l,根据M(-1,1)、N(3,4).得到这些MN的解析式y=[x+彳(-l<x<3),

37311

联立方程组得到x3-3mx-l=彳x+T,故问题转化为：方程X3-(3m+：)*-丁=3在-lWx/3内只有一个解，建立新的二

4444

311

次函数：y=x3-(3m+-)x--,根据题意得到(I)若-公5<3且*3>3,(II)若Xi<-1且-KX3W3：列方程组即可

得到结论.

【题目详解】

(1)设A(p,q).则B(-p,-q),

把A、B坐标代入解析式可得：

ap2-2mp+c=q

<

ap2+2mp+c=-q'

c

3ap3+3c=3.即p3=一—,

a

.a#3,

c

・・一一〉3,

a

ac<3；

(3)Vc=-1,

.*.p3=-,a>3,且C(3,-1),

a

①$*。3出1=1,

..a=l；

②由①可知：抛物线解析式为y=x3-3mx-l,

VM(-1,1)、N(3,4).

37

MN：y=-7X+—(-l<x<3),

44

>=尤2-2mx-1

依题，只需联立_37在-1WXW3内只有一个解即可,

y——一x+一

37

x3-3mx-l=—x+—,

44

、311

故问题转化为：方程X3・(3m+x)x•下=3在"WxW3内只有一个解,

4

建立新的二次函数：y=x3-(3m+—)x-—,

311

V△=(3m+-)3+11>3_1.C=--<3,

44

，抛物线y=x3-(3m+1)x-4与x轴有两个交点，且交y轴于负半轴.

不妨设方程x3-(3m+[)x-w=3的两根分别为x3.(xx<x3)

311

则Xi+X3=3m+1xxx3=--

、311

方程x3-(3m+—)x--=3在-WxW3内只有一个解.

故分两种情况讨论：

(I)若-1WX]<3且X3>3：则

(%-3)G-3)<0fxx-3(x+x)+9<0

<G'+l)Q2+l)>0-即：(xx2+x+x+l>0

1I2,1212

2

可得：m>—.

(II)若\<-1且-KX3W3：贝1

(x-3)G-3)>0fxx-3(x+x)+9>0

'C+D(?+D〈O,即：|xx2+x+x+K0

I12l1212

1

可得：m<-,

、21

综上所述，m>w或m<,.

【题目点拨】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系，三角形面积公式，正确的理解题意是解

题的关键.

15

25、(1)见解析；(2)75--a.

4

【解题分析】

(1)连接CD,求出NADC=90。，根据切线长定理求出DE=EC,即可求出答案；

(2)连接CD、OD、OE,求出扇形DOC的面积，分别求出AODE和△OCE的面积，即可求出答案

【题目详解】

(1)证明：连接DC,

VBC是。O直径，

ZBDC=90°,

ZADC=90°,

,.ZC=90°,BC为直径，

.'.AC切。O于C,

:过点D作。O的切线DE交AC于点E,

：.DE=CE,

.,.ZEDC=ZECD,

,.ZACB=ZADC=90°,

ZA+ZACD=90°,ZADE+ZEDC=90°,

ZA=ZADE；

(2)解：连接CD、OD、OE,

\DE=10,DE=CE,

CE=10,

・•ZA=ZADE,

AE=DE=10,

.\AC=20,

VZACB=90°,AB=25,

.••由勾股定理得：BC=