2024年山东省聊城市阳谷县中考数学一模试卷

2024年山东省聊城市阳谷县中考数学一模试卷

一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合要求。）

1.（3分）下列各数为无理数的是（）

A.3.14B.AC.V8D.-27

3

2.（3分）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”,这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会

时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形（）

A._________

C.D.

3.（3分）体重指数（BMI）是体重（千克）与身高（米），是反映人体胖瘦的重要指标（如

表所示）.小张的身高1.70米，则小张的体重状况是（）

体重指数（BMD的范围体重状况

体重指数＜18.5消瘦

18.5W体重指数W23.9正常

23.9〈体重指数W26.9超重

体重指数＞26.9肥胖

A.消瘦B.正常C.超重D.肥胖

4.（3分）小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如图四种图形，则既是

轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.B.C.D.

5.（3分）下列运算正确的是（）

A.（4。6）2—Sa2b2B.2a2+a2—3a4

C.a6-ra4=a2D.(a+b)2=a2+b2

6.（3分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里,

弩马日行一百五十里，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里,慢马每天

行150里，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（)

Ax=x+12B.12

.240240150

C.240(x-12)=150尤D.240x=150(x+12)

7.（3分）有数字4,5,6的三张卡片,将这三张卡片任意摆成一个三位数（)

0i

A4B-4D-2

8.（3分）如图，AC,为O。的两条弦，BC的中点，O。的半径为2.若NC=45°（）

C.3D.&

2

9.（3分）如图，在△ABC中，ZABC=50°,点M是射线AB上的一个动点，过点M作

MN〃BC交射线AC于点N,则NMN3的度数不可能是（）

A.25°B.30°C.50°D.65°

10.（3分）若一个点的坐标满足/，2k）,我们将这样的点定义为“倍值点”.若关于尤的

二次函数>=（/+1）x2+（t+2）x+s（s,f为常数，4-1）总有两个不同的倍值点（）

A.5<-1B.s<0C.0<5<1D.-1<5<0

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）计算：遍•、,后-3、匡=.

12.（3分）如图，矩形ABCD中，AB=4,使BE=BC,过点C作CFA.BE,则BF的长

a,b,规定〃㊉。=—-—.若（2x-l）,则x的值

ab

为

14.（3分）把量角器和含30。角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移

动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处（即OC=2cm,ZBOF=

120°）.则阴影部分的面积为

15.（3分）如图，要围一个矩形菜园4BCD其中一边是墙，其余的三边A3,BC,且

这三边的和为40〃?，有下列结论：①的长可以为6川；③菜园ABCD面积的最大值为

200m2.其中，正确结论是

A

菜园

BC

16.（3分）如图，在反比例函数尸艮（x〉0）的图象上有尸1，尸3,…，P2024等点，它们的

X

横坐标依次为1,2,3,2024,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为Si,S2,

S3,…，S2023,S2024,则Sl+S2+S3+"・+S2023+S2024=

三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（8分）（1）解方程组：12x+y=3①；

l3x+y=5②

2」1

（2）计算：一5----

a2-2a+laa-1

18.（8分）为建设美丽城市，改造老旧小区.某市2021年投入资金1000万元，2023年投

入资金1440万元.现假定每年投入的资金年增长率相同.

（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；

（2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区80万元.2024年为提高老旧小区品质，

每个小区改造费用增加15%.如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2024

年最多可以改造多少个老旧小区？

19.（8分）如图1,某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图

1）,可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方案,

并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：

课检测新生物到皮肤的距离

题

工医疗仪器等

具

示

图

说如图2,新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物；再

明在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为/ECN.

测ZDBN=35°,ZECN=22°,BC=9cm

量

数

据

请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离.（结果精确到（Maw）

（参考数据：sin35°20.57,cos35°弋0.82,tan35°^0.70,sin22°弋0.37,cos22°心

0.93,tan22°-0.40）

20.（8分）【数据的收集与整理】

根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，

抽样比例为5%。.根据抽样结果推算，死亡率为8%。，人口自然增长率为-2.5%。（％。表示

千分号）.

（数据来源：衢州市统计局）

【数据分析】

（1）请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系.

（2）已知本次调查的样本容量为11450,请推算a的值.

（3）将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如图统计图.根据统计图分析：

①对图中信息作出评判（写出两条）.

②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议.

2018—2022年年末全国、衢州市人口自然增长率统计图

20182019202020212022年松（年）

21.(9分)如图，点A在反比例函数y=&(k#O)的图象上，△O4C的面积是4.

x

(1)求反比例函数的解析式；

(2)当点A的横坐标为2时，过点C的直线y=2尤+6与反比例函数的图象相交于点P,

求交点P的坐标.

22.(9分)如图，矩形ABC。的对角线AC,8。相交于点O,CE//BD.

(1)求证：四边形OCEZ)是菱形；

(2)若2C=3,DC=2,求四边形0cM的面积.

23.(10分)如图，是O。的直径，E为O。上的一点会的中点，连接BC，交朋的延

长线于点P.

(1)求证：PC为。。的切线；

(2)若尸C=2&8。，PB=10

24.(12分)某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=aS(«>0)型抛物线图象.发

现：如图1所示，该类型图象上任意一点尸到定点F(0,-k)的距离PFy=_L的距离

4a4a

PN(该结论不需要证明).他们称：定点B为图象的焦点，丫=,叫做抛物线的准线的

丫4a

表达式.准线/与y轴的交点为凡其中原点。为切的中点，FH=20F=—•

例如，抛物线y=27,其焦点坐标为F（0,上），准线表达式为/：y=」，其中PF=

88

PN，FH=20F=4-

4

图1图2图3图4

【基础训练】

（1）请分别直接写出抛物线yJx2的焦点坐标和准线I的表达式；

8

【技能训练】

（2）如图2,已知抛物线上一点尸（无0，yo）（xo>O）到焦点厂的距离是它到X

8

轴距离的3倍，求点尸的坐标；

【能力提升】

（3）如图3,已知抛物线的焦点为R抛物线上动点尸到无轴的距离为力，到

8

直线m的距离为d2,请直接写出di+d2的最小值；

【拓展延伸】

（4）把抛物线沿>轴向下平移2个单位得抛物线刀，如图4,点D（-l,鼻）是

82

第二象限内一定点，点尸是抛物线yi上一动点.当尸。+尸。取最小值时，请求出△POD

的面积.

2024年山东省聊城市阳谷县中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合要求。）

1.（3分）下列各数为无理数的是（）

A.3.14C.我D-V<7

【解答】解：A.3.14是有限小数，故本选项不符合题意；

B.工是分数，故本选项不符合题意；

7

C.我是无理数；

。・V<7=-3,属于有理数.

故选：C.

2.（3分）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会

时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形（）

【解答】解：这个立体图形的主视图为:

故选：B.

3.（3分）体重指数（BMI）是体重（千克）与身高（米），是反映人体胖瘦的重要指标（如

表所示）.小张的身高1.70米，则小张的体重状况是（）

体重指数（BMD的范围体重状况

体重指数＜18.5消瘦

18.5W体重指数W23.9正常

23.9<体重指数W26.9超重

体重指数＞26.9肥胖

A.消瘦B.正常C.超重D.肥胖

【解答】解：由题意可得，小张的体重指数为：70,

1.722

V23.9<24.7^26.9,

小张的体重状况是超重.

故选：C.

4.（3分）小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如图四种图形，则既是

轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【解答】解：A、原图既不是轴对称图形，故此选项不合题意；

8、原图是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、原图是轴对称图形，故此选项不合题意；

。、原图既是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

5.（3分）下列运算正确的是（）

A.2—8a2b2B.2/+/=3/

C.a6-r-a4—a2D.（a+b）2—cr+b2

【解答】解：A、（44?）1=16a1b1,故A不符合题意；

B、2a4+a2—3a4,故B不符合题意；

C、a6-^-a4—a7,故C符合题意；

D、（a+b）2=cT+1ab+b1,故Q不符合题意；

故选：C.

6.（3分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里,

弩马日行一百五十里，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天

行150里，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）

AX—X+12RX—X_in

,240150,240150

C.240（x-12）=150xD.240x=150（x+12）

【解答】解：..•慢马先行12天，快马x天可追上慢马，

.•.快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天.

根据题意得：240%=150（x+12）.

故选：D.

7.（3分）有数字4,5,6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数（）

A.2B.Ac.AD.A

3432

【解答】解：

百456

+/'/\/\

645

/\/\1

454

个656

三位数456465546564645654

三位数有6个，是5的倍数的三位数是：456,564；

三位数是3的倍数的概率为：U-,

63

故选：A.

8.（3分）如图，AC,8c为。。的两条弦，BC的中点,。。的半径为2.若NC=45°()

J4

A.2B.V3C.-3D.V2

VZC=45°,

：.ZAOB=2ZC=90°,

VOO的半径为2,

.•.AO=BO=4,

:.AB=2五,

;点。、G分别是AC,

:.DG=3AB=®

2

故选：D.

9.（3分）如图，在△ABC中，NABC=50°,点M是射线AB上的一个动点，过点M作

MN〃BC交射线AC于点N,则/MNB的度数不可能是（）

【解答】解：如图1中，当点N在线段AC上时,

图1

则ZMNB=ZMBN,

,JMN//BC,

：.ZAMN=ZABC=5Q°,

NMNB=25

如图2中，当时,

当时，/BNM=±,

2

图2

综上所述，选项8符合题意，

故选：B.

10.(3分)若一个点的坐标满足2k),我们将这样的点定义为“倍值点”.若关于尤的

二次函数>=(f+1)x2+(f+2)x+s(s,f为常数，-1)总有两个不同的倍值点()

A.-1B.s<0C.0<5<1D.-1<5<0

【解答】解：将Qk,2k)代入二次函数，+(f+8)4+s,整理得G+l)lc+tk+s—4.

•；(f+l)F+於+s=4是关于人的一元二次方程，总有两个不同的实根，

A=p-4s。+7)>0.

令/(f)=P-3s(Z+1)=？-2st-4s

,：f(Z)>0,

；.△=(8s)2+165=16r+165<7,

即A=s(5+1)<0,解得6>S>-1.

故选：D.

二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)

11.(3分)计算：遍•遍-31=」近_.

【解答】解：原式="8X6-5><汉茎

6

=4日-473

=2。

故答案为：2a.

12.（3分）如图，矩形ABC。中，AB=4,使BE=BC,过点C作C凡LBE,则2尸的长为

【解答】解：：四边形A2CD是矩形,

：.AD//BC,ZA=90°,

/AEB=NFBC,

•/CF±BE,

：.ZCFB=9Q°,

：.ZCFB=ZA,

在△ABE和△FCB中，

，ZA=ZCFB

-ZAEB=ZFBC>

BE=CB

.,.△ABE义AFCBCAAS）,

：.FC=AB=4,

:四边形ABC。是矩形，

：.BC^AD=6,

在RtAFCB中，由勾股定理得BFWBC'-FC2=I/S6-42=5遍,

故答案为：274.

13.（3分）对于非零实数a,b,规定若（2x-l）,则x的值为A.

ab-6一

【解答】解：由题意得：

-J1=4,

2x-42

解得：x=a.

6

经检验，x=—,

6

,\x=—.

7

故答案为：回.

6

14.(3分)把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移

动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处(即OC=2cm,ZBOF=

120°).则阴影部分的面积为(8\/3-cm2.

【解答】解：连接05

・・・A3与半圆相切于耳

・•・半径OELAB,

：.ZBEO=90°,

VZBOF=120°,

：.ZFOC=18Q°-120°=60°,

VZACB=90°,

：.ZOFC=90°-60°=30°,

・・・OF=2OC=2X2=4cm,

9：ZB=30°,

：.BE=y/3OE=4y/3,

•••△506的面积=」56・0右=工我><4=8«2,

42

VZEOD=90°-ZB=60°,

Q

8

扇形DOE的面积=@°兀X2.=BTT(cm),

3603

阴影的面积=Z^BOE的面积-扇形DOE的面积=(8\(3-cm2.

3

故答案为:(5百-In)cm2.

4

15.(3分)如图，要围一个矩形菜园ABC。，其中一边A。是墙，其余的三边48,BC,且

这三边的和为40口，有下列结论：①的长可以为6m2；③菜园ABCZ)面积的最大值为

200%2.其中，正确结论是(2)(3).

A

菜园

BC

【解答】解：设边长为尤加，则边长为40-X”?,

2

当AB=6时，也工=6,

8

解得：x=28,

,：AD的长不能超过26m,

；.xW26,故①不正确;

:菜园ABCD面积为192m2,

•x.40-x192,

2

整理得：X?-40尤+384=0,

解得：尤=24或无=16,故②正确;

设矩形菜园的面积为5小,

根据题意得：S=x•处wA*2-40%)=-▲(%-20)2+200,

223

：-A<o,2

6

当尤=20时，S有最大值,故③正确;

正确结论是②③.

故答案为：②③.

16.(3分)如图，在反比例函数y=g(x>0)的图象上有Pl，P3,--P2024等点，它们的

横坐标依次为1,2,3,2024,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为Si,S2,

S3,S2023,S2024,则S1+S2+S3+…+$2023+52024=_2m_

—2025—

y

【解答】解：当x=l时，尸1的纵坐标为4=8；

当尤=6时，尸2的纵坐标为色■=4；

2

当x=3时，尸8的纵坐标为亘；

3

当x=6时，尸4的纵坐标为旦=2；

2

当x=5时，尸3的纵坐标为反；

5

当天=〃时，鸟的纵坐标为工.

n

则Si=l义(7-4)=8-4；

S2=IX(3--§-)=3-竺

33

53=1X(__o)=__o；

8N4N

54=7X(2-A)=2-旦；

34

S"=1X(&__=&__

nn+1nn+1

「•S1+S2+S3++S2023+S2024=8-4+4--+—_o+2--―--——6---—2°",

2332024202520252025

故答案为：7题LL

2025

三、解答题(本题共8小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(8分)(1)解方程组：[2x+y=3①；

[3x+y=5②

(2)计算：一W----•乱二

a2-2a+laa-1

【解答】解：⑴(2x+y=3?

I2x+y=5②

②-①得：x=2,

把％=5代入①得：4+y=3,

解得：y=~2,

故原方程组的解是：/x=2;

ly=-l

311

(2)—---------

&2-2a+5&a-^

_a2.a一11

(旷1)2.aa-6

_a_1

a-la-2

_a-l

a-l

=3.

18.(8分)为建设美丽城市，改造老旧小区.某市2021年投入资金1000万元，2023年投

入资金1440万元.现假定每年投入的资金年增长率相同.

(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；

(2)2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区80万元.2024年为提高老旧小区品质，

每个小区改造费用增加15%.如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2024

年最多可以改造多少个老旧小区？

【解答】解：(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为尤，

依题意得：1000(1+无)2=1440,

解得：X3—0.2—20%,X3—-2.2(不合题意，舍去).

答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%.

(2)设该市在2024年可以改造y个老旧小区，

依题意得：80X(5+15%)yW1440X(1+20%),

解得：亦维，

-23

又为整数，

的最大值为18.

答：该市在2024年最多可以改造18个老旧小区.

19.（8分）如图1,某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图

1）,可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方案,

并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下:

课检测新「生物到皮肤的距离

题

工医疗仪器等

具

示

意Eg{p皮J]

夫acVB

―"

一新生物

图2

图1

说如图2,新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的8处照射新生物；再

明在皮肤上选择距离8处9c7"的C处挥W射新生物，检测射线与皮肤的夹角为/ECN.

测/DBN=35°ZECN=22°,BC=9cm

量

数

据

CF=BC+BF=(x+9)cm,

在RtZkAB尸中，/ABF=4DBN=35°,

/.AF=BF,tan35°七5.7x（cm）,

在RtZ^ACF中，ZACF=ZECN=22°,

：.AF=CF-tan22°心0.3（x+9）cm,

.,.0.8元=0.4（x+4）,

解得：x=12,

：.AF=0Jx=lA（czn）,

新生物A处到皮肤的距离约为8.2cm.

20.（8分）【数据的收集与整理】

根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，

抽样比例为5%。.根据抽样结果推算，死亡率为8%。，人口自然增长率为-2.5%。（%。表示

千分号）.

（数据来源：衢州市统计局）

【数据分析】

（1）请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系.

（2）已知本次调查的样本容量为11450,请推算。的值.

（3）将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如图统计图.根据统计图分析：

①对图中信息作出评判（写出两条）.

②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议.

2018—2022年年末全国、衢州市人口自然增长率统计图

20182019202020212022年松（年）

【解答】解：（1）根据题意可知，人口自然增长率=出生率-死亡率.

（2）5%。。=11450,解得。=2290000.

（3）①近5年来，我市及全国人口自然增长率逐年下降，我市人口呈现负增长（答案不

唯一；

②建议国家加大政策优惠力度和补贴力度，降低生育成本，合理即可）.

21.（9分）如图，点A在反比例函数y支色卉0）的图象上，△OAC的面积是4.

x

（1）求反比例函数的解析式；

（2）当点A的横坐标为2时，过点C的直线y=2尤+6与反比例函数的图象相交于点P,

求交点P的坐标.

【解答】解：（1）如图：AC与y轴交于点M,

,/C是点A关于y轴的对称点，△OAC的面积是8,

••S/^AOM~4,

.\AAM'MO=4,

2

：.AM-MO=3,

・•・左=4,

...反比例函数的解析式：＞=&;

X

（2）:点A的横坐标为7,

；.x=2时，y=4,

：.A（8,4）,

：.C(-2,6),

:直线y=2x+6过点C,

：.-2X3+b=4,

6=8,

直线y=2x+8,

y=2x+5

联立,4,

yj

X

Jx=-2+VV或jx=_2-V^

ly=4+2V5ly=3-2V6

--P（-2+A/S'4+3A/SV6，4-25/5）.

22.（9分）如图，矩形ABC。的对角线AC,BD相交于点。，CE//BD.

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）若BC=3,DC=2,求四边形。CED的面积.

AD

BC

【解答】（1）证明：'."DE//AC,CE//BD,

四边形OCED是平行四边形，

;矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,

：.AC=BD,OC=k,OD=亘,

22

OC=OD,

...四边形OCED是菱形；

（2）解：：四边形ABC。是矩形，BC=3,

OA—OB^OC—OD,S矩形ABCD=3X2=6,

.".SAOCD=-S矩形ABCO=—X6=1.4,

47

:四边形OCED是菱形，

菱形OCED的面积=2SAOCD=2X4.5=3.

23.（10分）如图，A8是。。的直径，E为。。上的一点窟的中点，连接BC,交8A的延

长线于点P.

(1)求证：PC为。。的切线;

(1)证明：连接0C,

•・•点。是金的中点，

・•・/ABC=/DBC,

•・•OC=OB,

：.NABC=NOCB,

：.ZDBC=ZOCBf

：.OC//DB,

VPDXBD,

：.PD±CO,

・••尸C为。。的切线；

・..O尸=4,+(4&-r)2=7r，

•・・尸5=10,

.*.3r+r=10,即r=~.

4

OC//DB,

.,.△PCO^APDB,

•••-O-C--P-O,

BDPB

_5_15_

.7V

••------,

BD10

：.BD=^-,

3

「AB是。。的直径，

.'.AE±BD,

J.AE//PD,

•••B-E=--BA,

BDBP

.BE2

,,至"I?

V

：.BE=^.

3

24.（12分）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究>=/（a>0）型抛物线图象.发

现：如图1所示，该类型图象上任意一点尸到定点F（0,工）的距离PFy=’的距离

4a4a

PN（该结论不需要证明）.他们称：定点P为图象的焦点，y=-X叫做抛物线的准线的

y4a

表达式.准线/与y轴的交点为其中原点。为切的中点，