2024年银川高三高考一模理科数学合试卷（含答案）

绝密★启用前

2024年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

那中2.作答时;务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合力={xeN|x2-2x-340},B={^eR|log2023x<0},则力=

A.（0,1]B.[0,1]C.{1}D.0

Z1

毅M2.已知用=1一『则|N|=

A.V2B.yC.2D.1

3.若直线/的一个方向向量>=（1,0,1）,平面a的一个法向量7=（0,-1,1）,则/与a所成角为

K°兀-兀2兀-7T,、57t

A.—B.—C.彳或.D.7■或二

633366

4.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计

成绩，得到如下所示的列联表：

优秀非优秀总计

甲班10b

乙班C30

合计

附:

Pg/0.050.0250.0100.005

Ao3.8415.0246.6357.879

数学（理科）试卷第1页（共6页）

已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为4,则下列说法正确的是

7

A.列联表中c的值为30,6的值为35

B.列联表中c的值为15,6的值为50

C.根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”

D.根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”

5.已知向量2=(1,2),b=(-4,t),则

A.若则1=8B.若则f=2

C.若|£+昨5,贝卜=2D.若£与3的夹角为钝角，则，＜2

6.将顶点在原点，始边为x轴非负半轴的锐角二的终边绕原点逆时针转过;后，交单位圆

4

于点尸(-1/),那么cosa的值为

A.也B.巫C.逑D.逑

1051010

7.贺兰山岩画公园不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展.下图1是岩画公园

C.y=yf-x2+2\x\D.y=-J-x2+2x

8.已知/(-2,0),8(2,0),点尸满足方程nx土卯=0("?>0,〃>0),且有以|一|尸邳=2,

则巴的取值范围是

m

A.(0,1)B.。百)C.(l,x/3)D.(6,2)

9.若数列｛可｝满足q=-1,贝心V*%+“=4%''是"｛。“｝为等比数歹『'的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

数学(理科)试卷第2页(共6页)

10.若经过点(db)可以且仅可以作曲线y=lnx的一条切线，则下列选项正确的是

A.a<0B.b=\naC.a=\nbD.a<0或b=lna

11.多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选

错的得0分，部分选对的得3分.若选项中有4其中，=2,3,4)个选项符合题目要求,

随机作答该题时(至少选择一个选项)所得的分数为随机变量6(其中〃=2,3,4),则

有

A.E(&)+2E(&)<3E(&)B.E(&)+2E(8)>3£(品)

C.2E(&)+E(&)<3E(&)D.2E(S)+E(&)〉3E(&)

12.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终

保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动(如图甲)，利用这一原理，科技

人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的

棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体力BCD的棱长

为2,则下列说法正确的是

A.勒洛四面体力BCD被平面ZBC截得的截面面积是8(兀-6)

B.勒洛四面体ZBCO内切球的半径是4-痛

C.勒洛四面体的截面面积的最大值为27t-2出

D.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2-迈

3

二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.

13.记c^ABC的内角4B,C的对边分别为Ac,若asinC=y/iccosA»则角A.

14.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、

乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说:

“你当然不会是最差的“，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有种不同的

情况.(用数字作答)

数学(理科)试卷第3页(共6页)

15.斜率为左的直线/与抛物线产4x相交于4B两点,与圆G-5）耳必=9相切于点”，

且“为线段48的中点，则后.

4Q

16.已知函数/（、）=公mX+反05、（而00）的图象关于工=—对称，且/（玉））二一4,

65

则sin（2%+看）的值是.

三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17.（12分）

已知数列｛%｝的首项ai=2,且（n+l）an_I-nan=0（〃22）.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

23

（2）若数列下》的前〃项和为小证明：Tn<~.

I*2

18.（12分）

已知菱形438边长为1,

AC=5以8。为折痕把

和△C5D折起，使点

A到达点E的位置，点C到

达点R的位置，E,尸不重合.

（1）求证：BD1EF；

3

（2）若EF==求点8到平面。跖的距离.

2

19.（12分）

某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让

它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝

宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以

持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司

研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制

频率分布直方图（如图1）：

数学（理科）试卷第4页（共6页）

产品的性能指数在［50,70）的适合小小班幼儿使用（简称4类产品），在［70,90）的适合

小班和中班幼儿使用（简称5类产品），在［90,110］的适合大班幼儿使用（简称C类产品）,

A,B,C,三类产品的销售利润分别为每件1.5,3.5,5.5（单位：元）.以这100件产品的

性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.

（1）求每件产品的平均销售利润；

（2）该公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响,

对近5年的年营销费用玉，和年销售量匕。=1,2,3,4,5）数据做了初步处理，得到的散点图

（如图2）及一些统计量的值.

5

§(%—矶q叫S(w/-»)2

/=!/=1

16.3024.870.411.64

表中%=ln%,vlny,,”=二吃,

根据散点图判断，y=可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用X（万元）的

回归方程.

（7）建立y关于X的回归方程；

5）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达

到最大？（收益=销售利润-营销费用，取e4E=64）.

参考公式对于一组数据他刈）,（孙巧），其回归直线。=。+的的斜率和截

U5

距的最小二乘估计分别为B=~——-2---，a-v-pu.

决一可

数学（理科）试卷第5页（共6页）

20.（12分）

已知。为坐标原点，椭圆C：5■+£■=l(a>b>0)的上焦点厂是抛物线i=4。

|W|_V6

的焦点，过焦点厂与抛物线对称轴垂直的直线交椭圆。于〃,N两点，且]OF\=~

过点尸(2从,0)的直线/交椭圆C于48两点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若点E(-1,0),记的面积为SiABPE的面积为$2,求何瓦的取值范

围.

21.（12分）

已知函数/'（x）=1e'-3x,其中awO.

(1)若/(x)有两个零点，求。的取值范围;

(2)若/(x)Na(l-2sinx),求。的取值范围.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的

第一题记分.

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］

在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为^^°s。，(e为参数)，以原点

为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。2=石短花.

(1)求曲线Q的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；

(2)若直线切=质与曲线的、曲线C2在第一象限交于P,Q,且|OQ|=|PQ|,点M的直角

坐标为(1,0),求APM。的面积.

23.［选修4-5：不等式选讲］

已知均为正实数，函数/(x)=|x-4a|+|x+叫+c的最小值为4.

(1)求证：ab+bc+ca>9abc；

(2)求证：6y［ab+3y［bc+2y［ca<4.

数学(理科)试卷第6页(共6页)

2024届高三第一次模拟数学(理科)参考答案

1.【答案】C由X2-2X-340,解得—14x43,

又因为xeN,所以/={0,1,2,3},

又由1限023、40,可得唾2023*4唾20231，解得0<工41,

所以8={XGR|0<X41},所以408={1},

2.由石=l-：=l+i,得z=(1+i)2=2i,贝际=-2i,所以闭=2.故选：C.

3.A

4.【答案】C【解析】由题意知，成绩优秀的学生数是30,成绩非优秀的学生数是75,所以c

105x(10x30—20x45)2

=20,6=45,选项A、B错误.根据列联表中的数据，得到*!=~~一———-

55x50x30x75

~6.109>5.024,因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”.

5.【答案】B

1解析】对于A,若£〃加贝(J有lx/=-4x2,所以，=-8,A错误；

对于B,若足,贝!!有一4+2/=0,所以f=2,B正确;

对于C,a+b^(-3,t+2),所以|Z+B|=j9+(/+2)2=5,解得f=2或/=-6,C错误；

若公与5的夹角为钝角，则7否=-4+2?<0,即/<2,且公与5不能共线且反向，

由A选项可知，当f=-8时，b=-4a,此时£与5共线且反向，

所以若£与在的夹角为钝角，贝卜<2且，/-8,D错误，故选:B.

6.【答案】A

【详解】由点尸在单位圆上，则［-1)+/=1,解得歹=±1,

由锐角即a+［下TJ，则fecosla+-l=--,sinla+-1=~,

(717l\(7U^Tt.(兀、九3拒4板J5

cosa=cosa+----=cosa+—cos—+sina+—cos—=一一x—+—x—=二.故选A.

k44jI4j4I4j4525210

7.【答案】C_____

【分析】利用基本不等式可求得y=|x|67<2,知A错误由xe(-2,0)时，y=Xy/^<()

可知B错误；根据y=尸而41、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C正确；根

据函数定义域可知D错误.

【详解】对于A,...尸国0=正正可4=2(当且仅当X2=4-V,即

x=±五时取等号)，

■在(-2,2)上的最大值为2,与图象不符，A错误；

对于B,当xe(-2,0)时，y=小/匚7<0,与图象不符，B错误；

对于C,...y=J一X：+2|x［=(国-+1,当、=±1时，Jmax=1；

又尸尸不［过点(-2,0),(2,0),(0,0)；

由--+2卜性0得：H(H-2)<0,解得：-24x42,即函数定义域为［-2,2］；

又J-(-x)2+2卜司=yj-x2+2\x\>

.•.7*+2区为定义在卜2,2］上的偶函数，图象关于丁轴对称；

当xe［0,2］时，蚱J—X2+2X=J-(x-lp+1,则函数在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减;

综上所述：与图象相符，C正确；

对于D,由-/+2xN0得：04x42,y=J—f+2r不存在xe(-2,0)部分的图象,D错误.故

选：C.

8［答案JB

【详解】由题意，点4(-2,0),3(2,0)且满足闷|一阀|=2,

根据双曲线的定义，可得点尸的轨迹表示以±£为焦点的双曲线C的右支，

其中2a=2,2c=4,可得a=1,c=2,则6=Jc：-a?=VJ，

可得双曲线c的渐近线方程为歹=±2x=±心,

a

又因为点P满足方程〃X土叩=0(/7?>Q,n>0),即y=±'x,

m

结合双曲线的几何性质，可得0<二<6,即2的取值范围是(0,6).故选：B.

mm

9.【答案】A

a=aa

解：“Vm,〃eN,，m+nm„取m=1,则a“+i=Ta“，

・•.MJ为等比数列.

反之不成立，｛可｝为等比数列，设公比为人9。0),则-

44,=(-产)x(-尸)=尸-2,只有g=-1时才能成立满足勺+“=%4.

,数列SI满足〃=-1,则“Vm,WeN*,金+“=44,”是为等比数列”的充分不必要条

件.

10.【答案】D

设切点P(Xo，lnx。).因为y=ku,所以/=,，所以点尸处的切线方程为V-1叫)=’(x-x。)，

X

又因为切线经过点(db),所以人1叫=’(。-x°),即Hl=lnx°+?.

令/(x)=lnx+?(x>0),则了=6+1与/(x)=lnx+£(x>0)有且仅有1个交点,

x-a

/,W=--T=

XXX

当。<0时，>5x)>0恒成立，所以/(X)单调递增，显然X->+00时，〃X)f+8,于是符合题意;

当。>0时，当0<x<a时，/'(x)<0,/(x)递减，当X>。时，、x)>0,/⑶递增，所以

/('焉=/(")=lna+1,贝必+l=lna+l,即b=Ina.综上，a«0或b=lna.故选：D

11.【答案】B次

12.【答案】C/7\\

对A选项结合勒洛三角形得到其截面图，利用扇形面积和三角形面积公//\\

式即可得到答案，而A选项的截面积为C选项的最大截面积，对B选项//\\

需要利用正四面体的高以及外接球半径与棱长的关系，得到外接球半径/\\

为手，再根据图形得到勒洛四面体的内切球半径，而此半径即为该勒洛乂\c

四面体的能够容纳的最大球的半径，即可判断D选项.-----J

【详解】对于AS破=(%膈客-£，~).3+5“8c=(；x**22-乎x21x3+中x2?=27t-26

故A错误，截面示意图如下：

对于B,由对称性知，勒洛四面体Z8C。内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心。，

如图：

正△BCD外接圆半径a8=2.2.cos3(r=述，正四面体NBC。的

33

22

高/«=y]AB-OtB=手，令正四面体ABCD的外接球半径为R,

在用ABOQ中,R2=[半一]+j半],解得R=如，

此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：

图中取正四面体ABCD中心为。，连接BO交平面ACD于氤E,交：

于点F,其中々与△力8。共面，其中8。即为正四面体外接球半径/?=4，设勒洛四面体内切

球半径为r,则由图得尸=0尸=8/-8。=2-巫，故B错误；

2

对于C,显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体

某三个顶点的截面，由对A的分析知(S彼)侬=2万-26，故

C正确；

对于D；勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个

弧面都相切，即为勒洛四面体内切球，所以勒洛四面体ABCD能B

够容纳的最大球的半径为2-诬，故D错误.故选：C.

2

呜

14.54

由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，

先排乙，有第二、三、四名3种情况，

再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，

其他三名同学排在三位置全排列有A；种，

由分步乘法计数原理可知共有3x3xA：=54种，故答案为：54.

15.【详解】设/5,力),B力),M5,yo),则产又『再'两式相

[y]+y2=2y0.[只=4々，

减得(必+%)(y-％)=4(%-X2),则Z=-——=---=Z.设圆心为C6,0),则kOM=-^-7

X一々yt+y2%x0-5

2

因为直线/与圆相切，所以——三=一1，解得飞=3,代入(x-5)2+/=9得

%Xo-5

,r,22,25/5

Jo=±V5^=—=-7==±-—

y0±J55

16.先对函数化简变形，然后由题意可得卜闺卜行石，求得6=再由/(不)=|。

可得sin[x°=*,再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果

【详解】因为/(x)=asinx+bcosx=+〃sin(x+0),abfO

b

其中sin。=/，COS(p=—j=-

Va2+b2\la2+b2

由于函数的图象关于x=g对称，所以=正谊,

616J

即上4+也6=，化简得6=氐，

22

8即sin|\+工]=,，

所以/(*0)=45而飞+7§'。85》=245111X。-a

5I°3)5

所以

.八n.f_2乃乃7

sin2XQ4—=sin2xnH----------------9

k6yl°3225

故选：c.

17.(i)叫=(〃+i)，,i，

二占=也，且g=i,

••数列[占]是以每一项均为1的常数列，贝！)4=1,即%=〃+l(〃e“)；

[〃+lJZ7+1')

22211

②由⑴得。，,=〃+1，

,,7；(<1_l+l_l+l_l+...+l__L=1+l_J_一_L<3.

32435n〃+22n+\n+22

18.(1)证明：菱形力BCD中，AC1BD,设ZC,BD交于点0,连接E。，FO,

则E0_L3。，FO1BD,又EO1FO=O,EOu平面EOF,FOu平面EOF,

所以8。J■平面EOF；又EFu平面EOF,所以BO-LE/7；

(2)因为菱形为BCD边长为1,AC=日所以OE=OF=OA=OC=LAC=叵,则

_________22

BD=2y/AB2-OA2=\>

又EF=W，所以cosNE0P=-!，则NEOF=120°，

22OE-OF2

所以S.OEF=」OE•。尸•sinl20°=—

216

则cos/功/=ED-+DF]EF?=

2DE-DF

所以sin/EDb=£Z,

8

所以SDEF=1QE••sin/E。尸=

△£/cr2

设点B到平面DEF的距离为力，由题意，—B-DEF=KB-OEF+°D-OEF

即*—3S64DE匕Fk,卜=3—ASCZAZ^OIEF,OBH—3SOEF"OD=3—S△Cz°C/E^F'BD,

S&OEF•BD_3x]=

则为=

SGEFH7

19.【详解】（1）设每件产品的销售利润为4元，则4的所有可能取值为1.5,3.5,5.5,

由直方图可得，A,B,。三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4,

所以，P（舁1.5）=0.15,尸质=3.5）=0.45,P体=5.5）=0.4,所以随机变量J的分布列为:

41.53.55.5

P0.150.450.4

所以，^=1.5x0.15+3.5x0.45+5.5x0.4=4,故每件产品的平均销售利润为4元;

(2)(z)由y=得，Iny=ln(a,x")=lna+blnx,

令〃=lnx,v=\ny,c=\na,贝!|u=c+6〃，

“，叫0.41

由表中数据可得，1=0.25,

21.61

—A—741X/I0SiI

贝丘=。—加=^-0.25x^i=4.159,所以，i)=4.159+0.25M,

即Iny=4.159+0.251nx=lng」59.xrj,因为《4/59=64,所以夕=64,，

故所求的回归方程为y=64x：；

5）设年收益为二万兀，则z=（EJ）.y-x=256x，-x，设/=/，/0=256f-/,

则/（）=256-4/=4（64-打，当/40,4）时，广（7）＞0,/（，）在（0,4）单调递增，

当/《4,+冲时，/'（/）＜0,/（，）在（4,+«）单调递减，

所以，当/=4,即x=256时，二有最大值为768,

即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.

20.【小问1详解】

因为炉=4回的焦点坐标为伍,虎），所以川0,、©,

所以=2-,|。可=c=虚.因为,所以a巫,化简可得匕=

11«11|明3~^2=~a3

2

又/一62=。2=2,解得/=3,/=1,所以椭圆C的标准方程为匕+Y=1.

3

【小问2详解】由（D可知P（2,0）,可知过点P的直线/的斜率存在且不为0,

设直线/的方程为》=%(x—2),

y=k^x-i)

由“22,化简可得仅2+3)/一4心+4/一3=0,

,T+x=

设，(X”弘)，8(工2，%)，则X]+々=UX62=W

由△=(—4*)2—402+3)(4*一3)>0,解得0<二<1.

根据弦长公式可得\AP\-\BP\=Jl+公|2-*J1+公|2-X2|

=(1+/)R-不卜口一X21=(1+*,一2(X]+电)+j]X2|

4(A:2+3)-8A:2+(4A:2-3)9(1+公)

=(1+用.

一+3/+3•

因为VAPE的面积为尸石的面积为$2,

J-34

设点E到直线/的距离为4,根据点到直线的距离公式可得

“2+1

所以用=；,耳a52=；怛尸|3,

9(公+1)(|-3fe|V—肛公_8不3、

因此S/S2，研阳•/=:标+31^77)一丁丁+3二了1公+3,

0j/3

因为。/<],所以3<公+3<4,则。。1-百

9

从而0<<—,

料」屋4

_____(a

所以5瓦的取值范围是[o，I

13x

21.【解析】(1)由/(X)有两个零点，得方程一=可有两个解,

ae

设r(x)=1^，贝！l/(x)=*0,

由/(x)>0,可得x<l,r(x)单调递增，由/(x)<0,可得x>l,r(x)单调递减,

3

所以r(x)的最大值为/，(1)=一，当x->+oo时r(x)fO,当XT•-8时，r(x)^-oo,

所以可得函数r(x)的大致图象，

13e

所以0〈一<2,解得。>三，

ae3

所以，/(X)有两个零点时，。的取值

(Q\

范围是-,+°0；

"7

(2)设g(x)=/(x)-a(l-2sinx),

(3)即g(x)=；e，-3x-a(l-2sinx),则g(x)20恒成立，

1(1三-

由g(0)=一一«>0,g-=-e6-3x->0,可得0<aWl,

a\6Ja6

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下面证明当OcaWl时，一e"-3x-a(l-2sinx)20(*),即证——x+2siirc-l20,

令6=一,则证<e*-36x+2sinx-1NO,b€[h+°°)»

令h(b)=b2ex-3bx+2sinx-1为开口向上的二次函数，对称轴为b=卷,

由(D可知6=亍：《厂<1,故6(6)在641,+8)时单调递增，

贝||6(b)N}⑴=e*-3x+2sinx-1,

3x-2