2024年广东高中学业水平合格性考试数学模拟试卷试题（含答案详解）

2024年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试

数学模拟试卷

本试卷共4页，共22小题，满分150分.考试用时90分钟.

注意事项：L答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号

和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴

在答题卡右上角“条形码粘贴处”.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不

按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合4={》€2|-1＜》〈2},则集合A的非空真子集有（）个

A.5B.6C.7D.8

2.已知无2+4y2=4,贝+二的最小值为（）

厂y

D.2

A.-B.9C.1

24

3.已知向量a,b满足a=（1,2）,。二二(-2,1),贝lj|a+b|=()

A.A/10B.V5C.3D.4

4.函数〃尤）=华学（e为自然对数的底数）在卜2,2］的大致图象是（）

e+e

5.函数/（x）=cosx,xeg,5的最小值为（）

A.-gB.BC.--D.1

2222

6.下列与120。角的终边相同的角的表达式中，正确的是（）

A.2%无+三（左eZ）B.kn+^keZ）

C.ht+^-（keZ）D.2祈+5%eZ）

7.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”B.“至少有一个黑球”与“都是红球”

C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D.“至少有一个黑球”与“都是黑球”

8.已知。=lgg,b=301,c=sin3,则（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

f尤3元<0

9.已知函数/=一八,若『（无）=8,贝!|x=（）

A.-3B.-2C.3D.3或一2

10.某市6月前10天的空气质量指数为35,54,80,86,72,85,58,125,111,53,则这组数据的第

70百分位数是（）

A.86B.85.5C.85D.84.5

11.已知a>b>0,则“加>0”是产'的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是（）

1「1一1八2

A.-B.—C.—D.一

6323

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.

13.若复数z=再，则目=___.

1—31

14.已知角a的终边经过点（3,4）,则cosa=.

15.若一个圆锥的轴截面是面积为旧的等边三角形，则该圆锥的侧面积为.

16.某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人.教育部门为了了解本地区中小学生的近视

率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本

试卷第2页，共4页

量为150,那么在高中生中抽取了人.

17.已知函数〃x)=4*+log4X,则.

18.已知，，卜1,忸卜2,a-b=^,贝!!(a-b)・(a+26)=.

三、解答题：本大题共4个大题，第19-21题各10分，第22题12分，共42分.解答须写出

文字说明、证明过程和演算步骤.

19.在4ABe中，内角A氏C所对的边分别为。，仇。，已知tanB=75,cosC=；,且6=3".

⑴求cosA的值；

(2)求_ABC的面积；

20.某果园试种了A8两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，

记两个品种各10棵产量的平均数分别为最和工，方差分别为s：和s>

A(单位：kg)60504560708080808590

B(单位：kg)40606080805580807095

(1)求x>y>S1，s2；

(2)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适?并说明理由.

21.1.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹

车距离”.刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素.在一个限速为40km/h的弯道上，现场勘查测得

一辆事故汽车的刹车距离略超过10米.已知这种型号的汽车的刹车距离$(单位:m)与车速x(单位:km/h)

之间满足关系式s=«?+反，其中。方为常数.试验测得如下数据：

车速xkm/h20100

刹车距离,m355

⑴求的值；

(2)请你判断这辆事故汽车是否超速，并说明理由.

22.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，E为必的中点.

s

⑴证明：S3〃平面ACE；

(2)若SA_L平面ABC。，证明：SC±BD.

试卷第4页，共4页

1.B

【分析】根据题意，得到集合A={。,1,2},结合非空真子集的概念，即可求解.

【详解】由集合A={xeZ|-l<xV2}={0,l,2},

所以集合A的非空真子集为：{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},共有6个.

故选：B.

2.D

111

【解析】利用三+=二:(%92+49/),展开后应用基本不等式可得最小值.

xy4

【详解】由题意4+」=：(/+4/)(3+与］=；〔5+g+=］之!5+2^^=?,

22222

x/4(炉y2j4(xy)4(\xyJ4

42Y249

当且仅当V冬=，，即/J,V=3时等号成立.

尤y33

故选：D.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，

则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这

个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

3.A

【分析】根据平面向量的坐标运算求解.

【详解】因为a=(1,2)/=(-2,1),所以。+人=(一1,3),

所以|4+》|="??=痴,

故选:A.

4.B

【分析】根据函数的奇偶性和特殊值可得答案.

【详解】由题知人无)的定义域为R,

2(—x)sin(—x)2xsinx

又因为/(-尤)==f(x),

e-x+exe'+e-'

答案第1页，共7页

所以/'(X)为偶函数，即图象关于y轴对称，排除A、C；

又"2)=萼4si上n2＞0,排除D.

e+e

故选：B.

5.D

【分析】由/(x)=cosx的图像，即可得出xe-三弓时/⑴的最小值.

【详解】由〃x)=cosx的图像可知，xe时，f(%)e[1,l],

所以〃x)m,“=g，

故选：D.

【分析】根据终边相同角的定义即可求解.

【详解】120。角用弧度制表示为2与兀，B、D错误；

终边相同应加上2E,故C错误.

故选：A.

7.A

【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答.

【详解】对于A,恰好有一个黑球的事件与恰好有两个黑球的事件不能同时发生，可以同时

不发生，

因此“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而不对立的两个事件，A是；

对于B,至少有一个黑球的事件与都是红球的事件是对立事件，B不是；

对于C,至少有一个黑球的事件与至少有一个红球的事件可以同时发生，不互斥，C不是;

对于D,至少有一个黑球的事件与都是黑球的事件可以同时发生，不互斥，D不是.

故选：A

8.B

答案第2页，共7页

【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可.

【详解】因为6=3°>>3°=1,a=lg1<lgl=O,

兀71

又因为一<3<兀，所以O=sin无<sin3<sin—=1,即0<c<l,

22

所以6>c>a.

故选：B

9.C

【分析】分与尤>0两种情况，求出答案.

【详解】当xWO时，3=8,解得x=2,不满足要求，舍去；

当x>0时，2*=8,解得x=3,满足要求.

故选：C

10.B

【分析】把数据从小到大的顺序排列，然后用百分位数的定义求解.

【详解】从小到大的顺序排列数据为：35,53,54,58,72,80,85,86,111,125,因为

10x70%=7,所以这组数据的第70百分位数是"匹=85.5.

故选：B.

11.C

【分析】根据幕函数性质，结合已知判断条件间推出关系，进而确定它们的充分、必要关系.

【详解】由a>6>0,

当相>0时，由暴函数的性质知：心>加"必成立，

当相'>少"时，也有机>0,

：；'m>0”是“腔>bm”的充要条件.

故选：C

12.B

【分析】根据题意，打电话的顺序是任意的，打电话给甲乙丙三人的概率都相等均为g,从

而可得到正确的选项.

【详解】：打电话的顺序是任意的，打电话给甲、乙、丙三人的概率都相等，

•••第一个打电话给甲的概率为1.

故选B.

答案第3页，共7页

【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同,

vn

其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A).

n

13.^?##-V2

22

【分析】利用复数的四则运算与复数模的运算公式即可得解.

l+2i(l+2i)(l+3i)-5+5i11.

【详解】因为z=-----F—1

l-3i(l-3i)(l+3i)1022

故答案为：见.

2

14.3

5

【解析】利用任意角的三角函数的定义直接求解即可

【详解】解：因为角a的终边经过点(3,4),

一%3_3

所以cosa=-=

A^2+42-5

、3

故答案：—

【点睛】此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题

15.2TI

【分析】利用三角形面积公式求得人再利用圆锥的侧面积公式即可得解.

【详解】依题意，设圆锥的底面半径小则母线长为2厂，

贝Ij'x2rx2rxsin60o=2，x^=V5,解得尸=1,

22

所以该圆锥的侧面积为兀xlx2=2兀.

故答案为：2兀.

16.30

【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解.

3000

【详解】高中生中抽取了xl50=30人,

3000+6000+6000

故答案为：30

17.-##1.5

2

【分析】由指数与对数的运算法则求解.

答案第4页，共7页

1

【详解】f（x）=4^+log4x,贝==：

3

故答案为：—

2

18.--

2

【分析】利用数量积的运算法则将（。-3«+2匕）展开，结合1=|却=182=时=4求解即

可1.

【详解】因为W=l，W=2,。仍=|,

所以/=,「=],匕2=网=4,

O11

所以+26）=/+&必一2b2=1+—-8=-■—.

故答案为：.

19.（1）2--1

6

（2）6A/2+8A/3

【分析】（1）根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式以及两角和的余弦公式求得正确答

案.

（2）先求得A,然后利用三角形的面积公式求得正确答案.

【详解】（1）tanB=^,0<B<7i,.-.B=y.

1/---------2-72

cosC=—,0<B<TI,:.sinC=，l-cos~C=-----.

33

/.cosA=-cos（B+C）=-cos]+=f11A/32>/6-l

——X---------------X-----------=--------------------

（2323）6,

3&巫

由正弦定理二=二—可得。=然=—^=8.

sinBsinCsinB

2

（2）,sinA=sin（5+C）=sin[+CV3112A/2V3+2V2

—X+X—，

23236

-x8x3«x612拒=6点+8丁

所以ABC的面积SABC=-bcsinA=-

20.（1）元=70,歹=70,s：=215,=235

答案第5页，共7页

⑵选择A品种，理由见解析

【分析】(1)根据平均数和方差公式求解即可；

(2)比较平均值和方差的大小可得答案.

【详解】(1)x=^(45+50+60+60+70+80+80+80+85+90)=70,

s；=^(252+202+2X102+02+3X102+152+202)=215,

y=1-(40+55+60+60+70+80+80+80+80+95)=70,

(302+152+2x102+02+4x102+252)=235.

(2)由还3=70可得AB两个品种平均产量相等，

又则A品种产量较稳定，故选择A品种.