清华附中朝阳学校2023年八年级数学第一学期期末调研试题含解析

清华附中朝阳学校2023年八年级数学第一学期期末调研试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.分式,有意义，x的取值范围是（）

x+2

A.x^2B・毋-2C.x=2D.x=-2

2.已知x=—2,/+8工3+16%2的值为（）

A.11-77B.77+3C.3D.9

3.如图，点P是NBAC的平分线AD上一点，且NBAC=30。，PE〃AB交AC于点E,已知AE=2,则点P到AB的

A.1.5B.73C.1D.2

4.如图，已知△ABEgAACD,下列选项中不能被证明的等式是（）

A.AD=AEB.DB=AEC.DF=EFD.DB=EC

5.如图，在AABC中，点D,E,F分别在三边上，点E是AC的中点，AD,BE,CF交于一点G,

BD=2DC,SABGD=8,SAAGE=3,贝必人8（3的面积是（）

A

A.25B.30C.35D.40

6.如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF,若NEFC，=125。，那

么NABE的度数为（）

7.下列是世界各国银行的图标，其中不是轴对称图形的是（）

“舞©D合

8.一次函数尸〃x+5与产而x在同一个平面直角坐标系中的图象不可能是（）

9.如图，AB±BC,BE±AC,Z1=Z2,AD=AB,贝!)()

A.Z1=ZEFDB.BE=ECC.BF=DF=CDD.FD//BC

10.如图，在应AABC中，NC=90。，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，

当AC=4,5c=2时，则阴影部分的面积为（）

A.4B.47rC.—71D.8

2

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.若一个正方形的面积为片+4出?+482,则此正方形的周长为

12.如图，AABC的三个顶点均在5x4的正方形网格的格点上，点M也在格点上（不与B重合），则使AACM与AABC

15.若直角三角形斜边上的高和中线长分别是6cm,8cm,则它的面积是

16.甲、乙二人两次同时在一家粮店购买大米，两次的价格分别为每千克。元和b元（加6）.甲每次买100千克大

米，乙每次买100元大米.若甲两次购买大米的平均单价为每千克a元，乙两次购买大米的平均单价为每千克2元,

则：2=,a=.（用含。、〃的代数式表示）

17.把厚度相同的字典整齐地叠放在桌面上，已知字典的离地高度与字典本数成一次函数，根据图中所示的信息，给

出下列结论：①每本字典的厚度为5cm；②桌子高为90cm；③把11本字典叠成一摞，整齐地放在这张桌面上，字典

的离地高度为205cm；④若有x本字典叠成一摞放在这张桌面上，字典的离地高度为y（cm）,则y=5x+l.其中说法

正确的有.

f"一T

pzd

18.如图，两个四边形均为正方形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式.

三、解答题（共66分）

19.（10分）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发.家到公园的距离为2500机，如图

是小明和爸爸所走的路程s（⑼与步行时间t（m加）的函数图象.

⑴直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；

⑵小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？

⑶在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？

643x+5

20.(6分)先化简，后计算：(——+^—)+=—,其中尤=2

x-1x-1x-1

21.（6分）如图，已知正方形ABC。，AB=S,点E是射线。C上一个动点（点E与点。不重合），连接AE,BE,以

BE为边在线段AD的右侧作正方形BEFG,连结CG.

AB

备用图

(1)当点E在线段。。上时，求证：△BAE丝△8CG；

(2)在（1）的条件下，若CE=2,求CG的长;

(3)连接CF,当△CVG为等腰三角形时，求OE的长.

22.（8分）如图，分别以△ABC的边A3,AC向外作两个等边三角形△A3。，AACE.连接5E、CD交点F,连接

AF.

（1）求证：△AC。g△AE8；

（2）求证：A尸+5尸+CF=C£）.

23.（8分）如图，M,N两个村庄落在落在两条相交公路A。、8。内部，这两条公路的交点是。，现在要建立一所中

学G要求它到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等.试利用尺规找出中学的位置（保留作图痕迹，不写

作法）.

24.（8分）如图，在AABC中，ZB=NC,。是的中点，DEYAB,DF±AC,E,歹是垂足，现给出以

下四个结论：®ZDEF=ZDFE；®AE=AF,③4。垂直平分EE；®ZBDE=ZCDF.其中正确结论的个数是

25.（10分）如图，在△△3c中，ZABC^15°,AB=72，BC^2,以45为直角边向外作等腰直角△5A。，且NR4£>=90。；

以5c为斜边向外作等腰直角ABEC,连接DE.

（1）按要求补全图形；

（2）求OE长；

（3）直接写出AABC的面积.

26.（10分）某校为了培养学生学习数学的兴趣，举办“我爱数学”比赛，现有甲、乙、丙三个小组进入决赛.评委

从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录.甲、乙、丙三个小组各项得分如表:

比赛成绩/分

比赛项目

甲乙丙

研究报告908379

小组展示857982

答辩748491

(1)如果根据三个方面的平均成绩确定名次，那么哪个小组获得此次比赛的冠军？

(2)如果将研究报告、小组展示、答辩三项得分按4：3：3的比例确定各小组的成绩，此时哪个小组获得此次比赛的

冠军？

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、B

【分析】分式中，分母不为零，所以X+2W0,所以xW-2

【详解】解：因为工有意义，所以X+2W0,所以xW-2,所以选B

【点睛】

本题主要考查分式有意义的条件

2、D

【分析】先将/+8/+16必因式分解，再将％=近-2代入，借助积的乘方公式(陵•夕=(。6)",本题中为逆运

用)和平方差公式＜.(a+b)(a-b)=a2-bh求解即可.

【详解】解：x4+8x3+16x2=%2(%2+8x+16)=%2(%+4)2,

将x=J7—2代入，

原式=(77-2)2(77-2+4)2

=(近一2)2(近+2)2

=[(V7-2)(77+2)]2

=(7-4)2

=9.

故选：D.

【点睛】

本题考查因式分解的应用，积的乘方公式，平方差公式，二次根式的化简求值.解决此题的关键是①综合利用提公因

式法和公式法对原代数式进行因式分解；②利用积的乘方公式和平方差公式对代值后的式子进行适当变形.

3、C

【分析】过P作PFLAC于F,PMJ_AB于M,根据角平分线性质求出PF=PM,根据平行线性质和等腰三角形的判

定推出AE=PE=2,根据含30度角的直角三角形性质求出PF即可.

【详解】解：过点P作PFLAC于F,PMLAB于M,即PM是点P到AB的距离，

TAD是NBAC的平分线，PF±AC,PM_LAB,

・・・PF=PM,NEAP=NPAM,

VPE/7AB,

・・・NEPA=NPAM,

AZEAP=ZEPA,

VAE=2,

.\PE=AE=2,

VZBAC=30°,PE〃AB,

.*.ZFEP=ZBAC=30o,

VZEFP=90°,

1

APF=-PE=1,

2

.\PM=PF=1,

故选：C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形性质，平行线性质，角平分线性质等知识点的综合运用.

4、B

【解析】试题解析：1•△ABE乌4ACD,

；.AB=AC,AD=AE,ZB=ZC,故A正确；

.\AB-AD=AC-AE,即BD=EC,故D正确；

在ABDF和ZkCEF中

NB=NC

<ZBFD=ZCFE

BD=CE

/.△BDF^ACEF(ASA),

/.DF=EF,故C正确；

故选B.

5、B

【解析】在△BOG和△GZ>C中

；BD=2DC,这两个三角形在3c边上的高线相等

SABDG=2SAGDC

/.SAGZ>C=4.

同理SAGEC=SAAGE=3.

/.SA«£C=SABDG+SAGOC+SAGEC=8+4+3=15

:.SAABC=2SABEC=30.

故选B.

6、B

【解析】试题解析：由折叠的性质知，ZBEF=ZDEF,NEB。、NBC生都是直角,

：.BE//C'F,

.,.ZEFC,+ZBEF=180°,

又EFC'=125°,

；./BEF=NDEF=55。，

在RtAABE中，可求得NABE=9(T-NAEB=20。.

故选B.

7、D

【解析】本题考查的是轴对称图形的定义.把图形沿某条直线折叠直线两旁的部分能够重合的图形叫轴对称图形.A、

B、C都可以，而D不行，所以D选项正确.

8、D

【分析】根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论.

【详解】当ab>0,a,b同号，y=abx经过一、三象限，

同正时，y=ax+b过一、三、二象限；

同负时过二、四、三象限，

当ab<0时，a,b异号，y=abx经过二、四象限

a<0,b>0时，y=ax+b过一、二、四象限；

a>0,b<0时，y=ax+b过一、三、四象限.

故选D.

【点睛】

此题考查一次函数的图象性质，解题关键在于要掌握它的性质才能灵活解题.

9、D

【解析】由SAS易证4ADF丝△ABF,根据全等三角形的对应边相等得出NADF=NABF,又由同角的余角相等得出

ZABF=ZC,则NADF=NC,根据同位角相等，两直线平行，得出FD〃BC.

解：在aADF与4ABF中，

VAF=AF,Z1=Z2,AD=AB,

.,.△ADF^AABF,

:.ZADF=ZABF,

又,.•NABF=NC=90°-ZCBF,

/.ZADF=ZC,

...FD〃BC.

故选B.

10、A

【分析】先根据勾股定理求出AB,然后根据S阴影=S半圆Ac+S半圆Bc+SaABC—S半圆AB计算艮口可・

【详解】解：根据勾股定理可得AB={AC?+6c2=26

；・S阴影=S半圆Ac+S半圆Bc+SaABC—S半圆AB

=—X7TX+—X»XH——x4x2----X7TX

22

故选A.

【点睛】

此题考查的是求不规则图形的面积，掌握用勾股定理解直角三角形、半圆的面积公式和三角形的面积公式是解决此题

的关键.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、4a+Sb.

【分析】由正方形的面积是边长的平方，把4++4〃分解因式得边长，从而可得答案.

【详解】解：a2+4ab+4Z?2=(tz+2Z?)2.

•••正方形的边长是：a+2b.

•••正方形的周长是：4(a+2b)=4a+8b.

故答案为：4a+85

【点睛】

本题考查的是因式分解，掌握利用完全平方式分解因式是解题关键.

12、3

【分析】根据AACM与AABC全等，在网格上可以找到三个M点，可利用SSS证明AACM与ZkABC全等.

【详解】根据题意在图中取到三个M点，分别为Mi、M2、M3,如图所示：

M2

M3

AB=CM1

•：IBC=AM,

AC=AC

/.△ABC^ACMiA

AB=AM,

V\BC=CM]

AC=AC

.'△ABC四△AM2c

AB=CM3

VJBC=AM3

AC=AC

.,.△ABC^ACM3A

故答案为：3

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，本题主要利用SSS方法得到两个三角形全等.

13、145°

【分析】根据三角形外角性质求出Z4DE=NB+4,Z1=ZA+ZADE,代入求出即可.

【详解】解：々=50。，ZF=35°,

:.ZADE=ZB+ZF=85°,

ZA=60°,

Z1=ZA+ZADE=600+85°=145°,

故答案为：145°.

【点睛】

本题考查了三角形的外角性质，能熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不

相邻的两个内角的和.

14、sfs+1

【分析】设J”J10+2岔+，4+J10-26=t'将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化

简即可得出结论.

【详解】解：设G-向店+伞+向盛=t，由算术平方根的非负性可得t》o,

则『=4_710+W?+4+J10+2逐+2,16-(10+26

=8+256-2/

=8+2点序万

=8+2(75-1)

=6+2/

=(0+1产

t-y/5+1•

故答案为：75+1.

【点睛】

此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键.

15、48

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜边的长，然后根据三角形的面积公式计算即可.

【详解】解：•••直角三角形斜边上的中线长是8m

，该直角三角形的斜边长为8X2=16cm

•.•直角三角形斜边上的高是6cm

，该直角三角形的面积为：X16X6=48cm2

故答案为：48

【点睛】

此题考查的是直角三角形的性质和求三角形的面积，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的面积公

式是解决此题的关键.

a+blab

16、----------

2a+b

【分析】根据单价义数量=总价即可列出式子.

【详解】解：・・•两次大米的价格分别为每千克a元和b元(aWb),甲每次买100千克大米，乙每次买100元大米，

...甲两次购买大米共需付款100(a+b)元，乙两次共购买他+四千克大米

ab

・・,甲两次购买大米的平均单价为每千克Qi元，乙两次购买大米的平均单价为每千克Q2元，

2002ab

.,2=ioo100=力

2-------

ab

【点睛】

此题考查了分式混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键.分式的混合运算最后结果的分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

17、①④

【分析】设桌子高度为xcm,每本字典的厚度为ycm,根据题意列方程组求得x、y的值，再逐一判断即可.

【详解】解：设桌子高度为xcm,每本字典的厚度为ycm,根据题意，

x+4y=105fx=85

\,解得：\,

[x+7y=120[y=5

则每本字典的厚度为5cm,故①正确；

桌子的高度为1cm,故②错误；

把U本字典叠成一摞，整齐地放在这张桌面上，字典的离地高度为：l+UX5=140cm,故③错误；

若有x本字典叠成一摞放在这张桌面上，字典的离地高度y=5x+l,故④正确；

故答案为：①④.

【点睛】

本题主要考查了二元一次方程组和一次函数的应用能力，解题的关键是根据题意列方程组求得桌子高度和每本字典厚

度.

18、(a+A)?=ci+2ab+b

【分析】根据图形的分割前后面积相等，分别用大正方形的面积等于分割后四个小的图形的面积的和，即可得出结论.

【详解】如图可知，把大正方形分割成四部分，大正方形的边长为(。+切，大正方形面积为(a+6)2,两个小正方形

的面积分别为/、白，两个长方形的面积相等为所以有(a+»2=/+2M+62,

故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2.

【点睛】

分割图形，找到分割前后图形的关系，利用面积相等，属于完全平方公式的证明，找到。、b的关系式，即可得出结

论.

三、解答题(共66分)

’50/（0W20）

19,（1）s=<1000（20Z<30）；（2）37.5；（3）小明在步行过程中停留的时间需减少5机加

50/-500C30t<60）

【解析】试题分析：（1）根据函数图形得到叱江20、20Vzs30、30〈江60时，小明所走路程s与时间f的函数关系式;

（2）利用待定系数法求出小明的爸爸所走的路程s与步行时间f的函数关系式，列出二元一次方程组解答即可；

（3）分别计算出小明的爸爸到达公园需要的时间、小明到达公园需要的时间，计算即可.

"50??<t<

试题解析：解：（l）s=<1000?<t<；

欧―50060）<t<

\25k+b=lQQQ［左=30

（2）设小明的爸爸所走的路程s与步行时间，的函数关系式为：s=〃+b,则，，解得，cue，则

b=250b=250

小明和爸爸所走的路程与步行时间的关系式为：s=30f+250,当50f-500=30什250,即Z=37.5min时，小明与爸爸第三

次相遇；

（3）30^250=2500,解得，1=75,则小明的爸爸到达公园需要75min,,小明到达公园需要的时间是60min,.•.小明

希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少5min.

【分析】先将分式化简，然后代入x的值即可求出答案.

64x—1

【详解】原式小二+而『卜"

64

-------1-------------

3%+5（尤+l）（3x+5）

6（%+1）4

（3x+5）（x+l）（x+l）（3x+5）

6x+10

（x+l）（3x+5）

2

x+1

22

当x=2时，原式=——二一.

2+13

【点睛】

此题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.

21、（1）证明见解析；（2）CG=10；（3）当△WG为等腰三角形时，的长为4或8或L

【分析】（1）由正方形的性质得出，AB=BC,BE=BG,ZABC=ZEBG=90°,易证NABE=NCBG,由SAS证得

△BAE^ABCG；

⑵由ABAE丝ABCG,得出AE=CG,DE=CD-CE=6,由勾股定理得出从石=1AD?+DE^，即可得出结果;

(3)①当CG=FG时，易证AE=BE,由HL证得RtAADE且RtABCE,得出DE=CE=；DC=4；

②当CF=FG时，点E与点C重合，DE=CD=8；

③当CF=CG时，点E与点D重合时，DE=O；

④当CF=CG,点E在DC延长线上时，DE=1.

【详解】(1)证明•••四边形A3。和四边形BEBG都是正方形，

：.AB^BC,BE=BG,ZABC=ZEBG=90°,

:.ZABC-ZEBC=ZEBG-ZEBC,即ZABE=ZCBG,

AB=BC

在△3AE和△5CG中，<ZABE=NCBG,

BE=BG

二ABAE^ABCG(SAS)；

(2)解：MBAE注Z\BCG,

：.AE^CG.

•••四边形ABC。正方形，

：.AB^AD=CD^8,NZ>=90°,

：.DE=CD-CE=8-2=6,

•*,AE=JAD?+DE”=-\/82+62=1。，

：.CG=10；

(3)解：①当CG=Z^G时，如图1所示：

图1

,/△BAE^ABCG,

：.AE=CG.

•.•四边形BE尸G是正方形,

：.FG=BE,

：.AE=BE,

AD=BC

在Rtz^ADE和RtZ\3CE中，，

AE=BE

：.RtAADE^RtABCE(HL),

11

:.DE=CE=-Z)C=—x8=4；

22

②当C尸=^G时，如图2所示：

图2

点E与点C重合，即正方形A5CZ>和正方形5EFG的一条边重合，Z>E=CZ>=8；

③当C/?=CG时，如图3所示：

点E与点O重合，DE=O；

:点E与点。不重合，

不存在这种情况；

@CF=CG,当点E在。C延长线上时，如图4所示:

DE

综上所述：当△CFG为等腰三角形时，OE的长为4或8或1.

【点睛】

本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、分类讨

论等知识；熟练掌握正方形的性质、证明三角形全等是解题的关键.

22、(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)根据等边三角形的性质得到AD=AB,AC=AE,NBAD=NCAB=60。，根据全等三角形的判定定理

即可得到结论；

(2)如图，延长FB至K,使FK=DF,连DK,根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结

论.

【详解】(1)•••△A3。和AACE为等边三角形，

：.AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAB=60°,

：.ZDAC=ZBAE=60°+ZBAC.

在△AC。和△AE8中，

AD=AB

VJZDAC=ZBAE,

AC=AB

AACZ>^AAEB(SAS)；

(2)由⑴^IZCDA=ZEBA,

如图N1=N2,

.*.180°-ZCDA-Z1=180°-ZEBA-Z2,

：.ZDAB=ZDFB^6Q0,

如图，延长F5至A,FK=DF,连OK,

.•.△O尸K为等边三角形，

：.DK=DF,

:.AZ>B^AZ>AF(SAS),

：.BK=AF,

：.DF=DK,FK=BK+BF,

：.DF=AF+BF,

又,：CD=DF+CF,

：.CD=AF+BF+CF.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

23、作图见解析.

【分析】先连接MN,根据线段垂直平分线的性质作出线段MN的垂直平分线DE,再作出NAOB的平分线OF,DE

与OF相交于C点，则点C即为所求.

【详解】点C为线段MN的垂直平分线与NAOB的平分线的交点，则点C到点M、N的距离相等，到AO、BO的距

离也相等，作图如下：

【点睛】

此题考查作图-应用与设计作图，熟练地应用角平分线的作法以及线段垂直平分线作法是解决问题的关键.

24、1

【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定与性质对各个选项进行分析判断即可.

【详解】=

，AB=AC,

•。是的中点，

A.AD平分NBAC,

:DELAB,DF1,AC,

/.DE=DF

:.ZDEF=/DFE,故①正确；

VDEA.AB,DF±AC

：.ZDEA=ZDFA=90°

VDE=DF

DA=AD

/.AADE^AADF(HL)

/.AE=AF,故②正确，

VED=FD

；.AD垂直平分EF,故③正确，

VDEA.AB,DF1,AC,

：.NDEB=NDFC=90°

又；NB=NC,且NB+NDEB+NEDB=180。，ZC+ZDFC+ZFDC=180°,

ZBDE=180°-ZB+ZDEB,ZFDC=180°-ZC-ZDFC,

：.ZBDE=ZCDF,故④正确.

故答案为：L

【点睛】

此题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质及角平分线性质的综合运.

25、(1)见解析；(2)V3+1;(3)避二1

2

【分析】(1)根据题意描述绘图即可.

(2)连接OC,先证明4BCD是等边三角形，再证明DE垂直平分BC.由勾股定理求出DF和EF的长度,DE=DF+EF.

(3)可以证明△ABC^^DAC,用aDBC的面积减去4ABD的面积除以2即可得到AABC的面积.

【详解】解：(1)如图所示

(2)连接。C

解：•.,△A3。是等腰直角三角形，AB=阻,ZBAZ>=90°.

:.AB=AD=也,ZABD=45°.

由勾股定理得DB=2.

：.ZDBC=ZABC+ZABD^60°.

'：BC=2.

：.BC=BD.

是等边三角形.

:.BD=CD=2.

：.D点在线段BC的垂直平分线上.

又：ABEC是等腰直角三角形.