河南省商开二市2024年高考数学二模试卷含解析

河南省商开二市2024年高考数学二模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知随机变量X服从正态分布N（4,9）,且P（X<2）=P（X2a）,则。=（）

A.3B.5C.6D.7

2.设a=0.82°s,A=sinl,c=lg3,则a,b,c三数的大小关系是

A.a<c<bB.a<b<C

C.c<b<aD.b<c<a

3.已知函数/（九）=cos2光+百sin2%+l,则下列判断错误的是（）

A./（%）的最小正周期为〃B./（%）的值域为［一L3］

TT

C.7■（©的图象关于直线x对称D.7（%）的图象关于点-7,0对称

6

4.已知平面a,夕，直线/满足/ua,则“/，尸”是“。，万”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

14

5.设tana=Q,cosQr+/）=一］（尸e（0,»）），则tan（2。一，）的值为（）

75

A.------B.------

2424

57

C.—D.—

2424

6.在正项等比数列｛斯｝中，as-ai=15,a4-ai=6,则田=（）

1

A.2B.4C.-D.8

2

22

7.已知双曲线。:\-2=1（4>01>0）的左，右焦点分别为耳、F2,过月的直线/交双曲线的右支于点P,以双曲

ab

线的实轴为直径的圆与直线/相切，切点为"，若闺P|=3闺M，则双曲线C的离心率为（）

叵B.非C.275D.V13

.2

8.已知函数/(%)=e'+b的一条切线为y=〃(x+l),则4?的最小值为()

2e4eee

9.设。，瓦厂分别为AA5C的三边BC,C4,A5的中点，则仍+尸。=()

1.—UUCT1

A.—A.DB.ADC.BCD.—BC

22

10.设双曲线二—与=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),且离心率等于君，若该双曲线的一条渐近

ab

线被圆，+y2-2cX=0截得的弦长为2百，则该双曲线的标准方程为()

20525100

11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为()

正视图侧视图

俯视图

A.2石B.4C.2D.2拒

12.已知向量a=(l,0),b=(l,6),则与2a—b共线的单位向量为()

或

2

7

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等比数列｛。“｝的各项都是正数，且3a2，；%，4%成等差数列，则四2(%+%)-四2(%+%)=

Yy2

14.在平面直角坐标系x0y中，双曲线'=1（a>0,b>0）的左顶点为A,右焦点为歹，过F作x轴的垂

ab2

线交双曲线于点P,。.若AAPQ为直角三角形，则该双曲线的离心率是.

15.在ABC中，角A,B,C所对的边分别边"c,且a+®=2c，设角C的角平分线交AB于点。，则cosC

的值最小时，—■—=___.

AD

x>1,

16.若变量X,y满足约束条件卜2x,则Z=2x+y的最大值是.

3x+2y<15,

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在矩形ABC。中，AB=4,AD=3,点瓦/分别是线段。C3C的中点，分别将ZX/ME沿AE

折起，△€?跖沿EF折起，使得。，。重合于点G,连结AF.

（I）求证：平面GEFL平面GAF；

（II）求直线GP与平面G4E所成角的正弦值.

18.（12分）已知三棱锥P-A3C（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形A5C。为边长等于0的正方形，AABE

和_均为正三角形，在三棱锥P-43C中：

（1）证明：平面K4C_L平面ABC；

（2）若点“在棱”1上运动，当直线BM与平面"LC所成的角最大时，求直线与平面所成角的正弦值.

19.（12分）已知/（幻=履2+/去（左〉0）

(1)当时，判断函数/(尤)的极值点的个数;

2

(2)记g(x)=/(x)+Y—若存在实数乙使直线y=/与函数g(x)的图象交于不同的两点

B(x,t),求证：m>

A(XpO,22XXX2.

20.(12分)某企业现有A.3两套设备生产某种产品，现从4,3两套设备生产的大量产品中各抽取了100件产品作

为样本，检测某一项质量指标值，若该项质量指标值落在［20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是从A

设备抽取的样本频率分布直方图，表1是从5设备抽取的样本频数分布表.

表1：3设备生产的样本频数分布表

质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

频数2184814162

(1)请估计43设备生产的产品质量指标的平均值;

(2)企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在［25,30)内的定为一等品，每件利润240

元；质量指标值落在［20,25)或［30,35)内的定为二等品，每件利润180元；其它的合格品定为三等品，每件利润120

元.根据图1、表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件

相应等级产品的概率.企业由于投入资金的限制，需要根据A,3两套设备生产的同一种产品每件获得利润的期望值调

整生产规模，请根据以上数据，从经济效益的角度考虑企业应该对哪一套设备加大生产规模？

21.(12分)设数列｛4｝满足弓+3“2+32%+L+3"T%=g,〃eN*.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

〃，〃为奇数

⑵设a=J_，〃为偶数，求数列也｝的前“项和S”.

4,

22.(10分)a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.已知a=3,csinC=asinA+Z?sinB,且5=60。.

(1)求△ABC的面积；

(2)若。，E是5c边上的三等分点，求sin/ZME.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

根据在关于X=4对称的区间上概率相等的性质求解.

【详解】

〃=4,cr=3,

P(X<2)=?(X<4-2)=尸(X>4+2)=P(X>6)=P(X>a),.-.a=6.

故选：C.

【点睛】

本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量X服从正态分布N(〃,b2),则

P(X<=P(X>〃+m).

2、C

【解析】

利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a,b,c与、土,上比较即可.

V52

【详解】

由。=0.82婚>0.8°-5=J-,

1,.7C

—<Z?=sinI<sin—

23

c=lg3<lgVlO=1-lglO=^

所以有c</?<a.选C.

【点睛】

本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等

价转化.

3、D

【解析】

先将函数/(x)=cos2x+6sin2x+l化为/(x)=2sin2x+，+1,再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结

果.

【详解】

/(%)=cos2%+V3sin2x+1

可得/(x)=2-cos2x+-sin2x+l=2sin〔2x+\]+l

—2万2万

对于A,7(无)的最小正周期为7=「=k=乃，故A正确；

⑷2

对于B,由一l<sin[2x+?]<l,可得一/(x)<3,故B正确;

jrjr

对于C,正弦函数对称轴可得：2%+—=左"+―,(keZ)

62

]7C

解得：XQ=—kji—，(kEZ),

26

jr

当左=0,%)=7,故C正确；

6

jr

对于D,正弦函数对称中心的横坐标为：2%+—=左乃，(keZ)

6

1jr

解得：x0=—k7i+—,(keZ)

若图象关于点[―f,o]对称，则=左乃+二=—f

【4J2124

解得：k=_g故D错误;

故选：D.

【点睛】

本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基

础题.

4、A

【解析】

a,夕是相交平面，直线/u平面戊，贝!|“/，尸”n反之直线/满足/ua,贝！或/〃/

或/u平面/，即可判断出结论.

【详解】

解：已知直线/u平面a,贝!=>

反之直线/满足/ua,贝！或/〃£或/u平面£,

是“a的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力.

5、D

【解析】

利用倍角公式求得tan2g的值，利用诱导公式求得cos/的值，利用同角三角函数关系式求得sin/的值，进而求得

tan/的值，最后利用正切差角公式求得结果.

【详解】

1-2tana：4

tana=—,tanztz=--------=—,

2l-tan-(z3

cos(万+/3)=——=—cos/?,(0e(。,万)，

433

/.cos'=—,sin,=j,tan/7=—,

4_3

tan(2a-13\=tan2。—ta叨=丁4=J_

(l+tan2ata叨'J3-24'

1\x

34

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角

公式，属于基础题目.

6,B

【解析】

3

根据题意得到%-=4炉一%=15,a4-a2=axq-axq=6,解得答案.

【详解】

q=—16

=1

3

%―%=%/—%=15,a4-a2=axq-axq=6,解得＜"2或1（舍去）.

q=—

、2

故%=a/=4.

故选：B.

【点睛】

本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.

7、A

【解析】

在AP4鸟中，由余弦定理，得到IPFJ,再利用IP用-|PR1=2。即可建立”,4c的方程.

【详解】

由已知，\HFJ=JF0_OH?=点_a。=b，在心中，由余弦定理，得

2

|PF21=不PF；+F&—2PF、.耳耳.cos/PRF?=卜+9Z?-2x2cx3Z?x|=

"/+/，又|尸娟=3|S|=3〃，\PF}\-\PFA=2a,所以弘-J4a2+^=2”，

b3r~^^

=^-=T.-.e=J1+-Z-=——，

a2V«22

故选:A.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立。，瓦。三者间的关系，本题是一道中档题.

8、A

【解析】

(_j_A

求导得到尸(X)=",根据切线方程得到b=alna,故ab=/ina，设g(x)=x」nx,求导得到函数在0,e—5上

I)

(1、

单调递减，在e',+002

上单调递增，故g(x)1111n=ge,计算得到答案.

k)\7

【详解】

x

f(x)=e+b,则/'(%)=",取*=Q,(a>0),故a=lna,f(x0)=a-hb.

故Q+Z?=Q(ln〃+1),故Z?=alna,ab=a2Ina•

设g(%)=%2如％,g,(x)=2xlnx+x=x(21nx+l),取g(%)=0,解得％=

(j_ACj_、

1

故函数在0。上单调递减，在e5,+oo2

|上单调递增，故8(4^=ge

2e

17)7

故选：A.

【点睛】

本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

9、B

【解析】

根据题意,画出几何图形，根据向量加法的线性运算即可求解.

【详解】

根据题意,可得几何关系如下图所示：

EB+FC=-^BC+BA^-^CB+

=]-AB+-AC=AD

22

故选:B

【点睛】

本题考查了向量加法的线性运算，属于基础题.

10、c

【解析】

由题得£=君，4^=b=&2_5,又4+廿=02,联立解方程组即可得/=5,廿=20,进而得出双曲线

a'a+b

方程.

【详解】

由题得e=£=逐①

a

又该双曲线的一条渐近线方程为桁-砂=0,且被圆，+y2_2cx=0截得的弦长为2逐,

所以/②

又〃2+〃=/③

由①②③可得：a2=5,/=20,

22

所以双曲线的标准方程为工-匕=1.

520

故选：C

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.

11、D

【解析】

先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.

【详解】

根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：

B

SED

由三视图知：|AD|=2,\CE\=73,\SD\=2,

所以sq=\DC\=2,

所以必=，砌2+=2血,阂=,卜汁+忸叶=2^B，

所以该几何体的最长棱的长为272

故选：D

【点睛】

本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.

12、D

【解析】

根据题意得，2a-b=(l,-6)设与2a-匕共线的单位向量为(尤,y)，利用向量共线和单位向量模为1,列式求出九,y即

可得出答案.

【详解】

因为1=(1,0),b=Q,5,则24=(2,0),

所以2。一6=(1,-6)，

设与2a共线的单位向量为(x,y),

则卜产了=0,

x2+y2=1

*1[1

x=—X=—

22

解得或

y=-叵y=2

[22

所以与2a共线的单位向量为或

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-2

【解析】

根据等差中项性质，结合等比数列通项公式即可求得公比；代入表达式，结合对数式的化简即可求解.

【详解】

等比数列｛4｝的各项都是正数，且3a2,3生，4G成等差数列，

贝！］a3=3%+4〃i,

由等比数列通项公式可知=3au+4q,

所以/_3"4=0,

解得q=4或彳=-1(舍)，

所以由对数式运算性质可得

/%(%+%)一皿(％+)

%+〃4

13

,CLO+a,q71

="暇仁方=/限7

,1。

=-=-2>

故答案为：-2.

【点睛】

本题考查了等差数列通项公式的简单应用，等比数列通项公式的用法，对数式的化简运算，属于中档题.

14、2

【解析】

根据AAPQ是等腰直角三角形，且歹为P。中点可得A尸=/>尸，再由双曲线的性质可得a+c=L,解出e即得.

a

【详解】

由题，设点尸（G%）,由丁2,解得为=±、，即线段=AAPQ为直角三角形,

-2----Y—1（。>0,/7>0）aa

b

ZPAQ^-9且AP=AQ,又尸为双曲线右焦点，P2过点尸，且轴，「.Ab=尸尸，可得4+C=幺,

2a

:.a+c=^-^-,整理得：2a2+ac-c2=0,即e?—e—2=0,又e〉l,，e=2.

a

故答案为：2

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质，是常考题型.

15、逅

3

【解析】

根据题意，利用余弦定理和基本不等式得出cosC2逅/，再利用正弦定理，即可得出”.

4AD

【详解】

因为a+后=2c，则c—产,

由余弦定理得：

「a2+b2-c2〃+/—：（a+回产3a2+2b2-2yf2ab

cosC=--------------=--------------------------=-----------------------

2ab2abSab

2y[6ab—lyflaba-A/2

>---------------=---------，

8ab4

当且仅当也a=①b时取等号，

又因为———=——-——，———=——--,

sinZBCDsinZCDBsinNACDsinZCDA

BDa近显

所以---=一=—f==---・

ADb63

故答案为：逅.

3

【点睛】

本题考查余弦定理和正弦定理的应用，以及基本不等式求最值，考查计算能力.

16、9

【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形，即可求出z=2x+y的最大值.

【详解】

做出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，

目标函数z=2x+y过点A时取得最大值，

y=x%=3

联立、解得，即A(3,3),

3x+2y=15B=3

所以z=2x+y最大值为9.

故答案为9

【点睛】

本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)详见解析；(II)巫.

9

【解析】

(1)根据宓，&4,GELGF,可得GEL平面G4F,故而平面GE/，平面G4b.

(II)过p作EHLAG于〃，则可证EH，平面G4E,故NR汨为所求角，在AAGR中利用余弦定理计算

cosZFGH,再计算sinNFG”.

【详解】

解：(1)因为您，(加，GELGF,GEpGF=G,GEi平面GAF,G尸u平面GAb

所以GEL平面GAP,

又GEl平面GE尸，

所以平面GEF±平面GAF；

(II)过B作EHLAG于H,则由GE,平面G4b,且FHu平面GA尸知

GE1FH,所以平面G4E,从而NR汨是直线GF与平面G4E所成角.

因为AG=3,FG=|,AF=^42+(1)2=,

n973

面+6产-犷7

所以cosNAGb=44

2GAGF2-3-39

2

从而sinZFGH=sinZAGF=Vl-cos2ZAGF=生g

9

【点睛】

本题考查了面面垂直的判定，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题.

18、(1)见解析(2)豆H

11

【解析】

(1)设AC的中点为。，连接8。/。.由展开图可知PA=P6=PC=J5,PO=1,40=30=00=1.。为AC的

中点，则有P0±AC,根据勾股定理可证得PO±OB,

则P0，平面ABC,即可证得平面B4C，平面ABC.

(2)由线面成角的定义可知ZBMO是直线BM与平面PAC所成的角,

且tanZBMO=—=J~,最大即为OM最短时，即〃是E4的中点

OM0M

AM

建立空间直角坐标系，求出AM与平面的法向量机利用公式sin。=1即可求得结果.

\AM\\m\

【详解】

(1)设AC的中点为O,连接BO,PO.

由题意，得PA=PB=PC=&，PO=1,AO=BO=CO=1.

在B4c中，PA=PC,O为AC的中点，POLAC,

在POB中，PO=1,OB=1,PB=41>PO2+OB2=PB~,：.POLOB.

ACOB=O,AC,03u平面，PO,平面ABC,

POu平面PAC,二平面PACJ_平面ABC.

(2)由(1)知，BOLPO,BOVAC,60,平面PAC,

ZBMO是直线BM与平面PAC所成的角,

且tanN8M0=2^1

OMOM

，当OM最短时，即M是PA的中点时，最大.

由尸0_L平面ABC,OB±AC,

:.PO±OB,POLOC,

于是以OC,OB,OD所在直线分别为X轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系,

(1

则。0,0,0),C(1,O,O),5(0,1,0),A(-l,0,0),P(0,0,l),M--,0,-,

(I22；

BC=(1,-1,O),PC=(1,O,-1),MC=IAM=Q,O,1

设平面MBC的法向量为?篦=（玉,M，zJ,直线MA与平面MBC所成角为

m-BC=0,%一％=0

则由<得：＜

m-MC=03玉—Z]=0

令芯=1,得%=1,z1=3,即庆=(1,1,3).

.八|AM-m|2_2722

esm8=---------

则|AM||mI

直线MA与平面MBC所成角的正弦值为2叵.

11

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查线面成角问题，借助空间向量是解决线面成角问题的关键，难度一般.

19、（1）没有极值点；（2）证明见解析

【解析】

（1）求导可得了'（X）=k（2x-e-h），再求导可得/"（x）=k（2+船山）〉0,则/'（x）在［g,+8］递增，则

尸（x）〉/（g）〉O,从而在［;,+s］递增，即可判断;

（2）转化问题为存在%,%61,+8）且不<%,使8（%）=8（%2）河得

加（In々一山不）=（左+1）（%2—%；）+（e—e循），由（i）可知/（%）>/（%），即e峪>-k（x：—%；）,则

m

>考-X：--1x］

皿Inz-lnxJ〉》；—%；,整理可得2小%，则山一〉王，设二=6〉］,则可整理为s——21ns>0,设

21nx21”看玉5

h（s）=s---21ns,利用导函数可得h（s）>/z（l）=0,即可求证.

S

【详解】

⑴当4时/（x）=g-Xi2+d）〉。，

所以/'(x)在［g,+s］递增，所以/'(X)〉=-1—J5)〉0,

所以f(x)在递增，所以函数/(X)没有极值点.

(2)由题，g(x)=J(x)+x2-m\nx-(左+l)f—%Inx+d”,

若存在实数t，使直线y=Z与函数g(x)的图象交于不同的两点A&,0,5(%J),即存在%％e［。,+co)且％</，使

g(%)=g(X2).

由g0)=g(%2)可得加(ln%2—lnX])=(上+1)(。一,%：)+("恒r/g),x1c

由⑴可知/(々)>/(石)河得小纭一0的〉_灯君一才).，

mx；-x；

所以根(山%-111%1)〉云一》；,即22]n—5

再

C、2

X；-X：--1

下面证明2m迤>只需证明:山一〉五，

n%121n返xi

%

X1c2-1I

令—9=s>l，贝！I证^---->s,即s-----21ns>0.

xi21nss

设飘s)=s—工―21ns,那么“(5)=土21〉0,

ss-

m

所以h(s)>所以万〉即m>

//⑴=0,x/2,2XXX2

【点睛】

本题考查利用导函数求函数的极值点，考查利用导函数解决双变量问题，考查运算能力与推理论证能力.

20、(1)口=30.2,%=29；(2)5设备

【解析】

(1)平均数的估计值为组中值与频率乘积的和；

(2)要注意指标值落在［20,40)内的产品才视为合格品，列出A、5设备利润分布列，算出期望即可作出决策.

【详解】

(1)A设备生产的样本的频数分布表如下

质量指标值

[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

频数41640121810

=0.04x17.5+0.16x22.5+0.40x27.5+0.12x32.5+0.18x37.5+0.10x42.5=30.2.

根据样本质量指标平均值估计A设备生产一件产品质量指标平均值为30.2.

B设备生产的样本的频数分布表如下

质量指标值

[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

XB

频数2184814162

羽=17.5x0.02+22.5x0.18+27.5x0.48+32.5x0.14+37.5x0.16+42.5x0.02=29

根据样本质量指标平均值估计B设备生产一件产品质量指标平均值为29.

（2）A设备生产一件产品的利润记为X,B设备生产一件产品的利润记为Y,

X240180120

20149

P

434343

Y240180120