2024高考数学二轮复习-分离法

【二轮复习一分一法】

分离法

_______।_______

i_______________।

解决不等式恒成立或有解问题解决函数零点、方程根的问题

P1-3P3-6

考向一解决不等式恒成立或有解问题

【方法储备】

1.利用分离参数法来确定不等式ffx,a)>0,xeD恒成立或有解问题中参数a的取值范围，有如下三个步骤：

第一步：参数与变量分离，化为fi，；a)2fz(x)或fi(a)Wf2(x)；

第―一步:求1xj1nax或f2fximin'X6D;

第三步:解flfa]>f2(x)max(f2x)min)或f/a)<f2[x]min(f2(x)max).

2.分离参数法可以避免对参数范围的讨论，简化解题过程，但需注意两点：

①函数是否可以分离参数，

②如果变性后得到的函数形式太复杂，则不宜采用参变分离法。

3.常见单变量不等式问题的最值转化：

(1)VxeD,则f(x]>a恒成立今f；x)mm>a;

(2)3xeD,则gx)>a恒成立=f("x)max>a;

(3)Vx6D,则f(x〕<a恒成立=f(x)111ax<a;

(4)mx^D,则f：x><a恒成立_>fxmin<a;

(5)yx,D则f(x「宜成令八x-g|X-fX),即可转化为VxeD,贝!j/i9x>0恒成立，贝!J/iOxm®>a.

特别说明：VxeD,fix)>g恒成立不可以转化为：f(x)min>g(x|max.

理由：f(x)和gx()自变量都是x,自变量一样是一个函数的问题，不能分为两个函数理解.

4.常见双变量不等式问题的最值转化：

(1)VXi6D1,3X2£D2,ffxj>g0x20ffxJmin>g0x2min；

(2)VXieDi,Sx2eD2,f|Xi)<gX(2)=>fOximax<gX(2]max；

(3)VX】、x2eD,f(xj>gx(2)=fOximin>gOX2max；

(4)SXj、x26D,flxi)>gO苫=fOxlmax>gX(2)min；

(5)Vx】GDi，3X2eD2,f【xj=gx2]=f(x)的值域是gx()的值域的子集.

(6)3XiGD1；3X26D2,fixj=gO芬nfix]的值域与gx的值域的交集不是空集.

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【二轮复习一分离法】

【典例精讲】

例1.(2023•江西省•月考试卷)已知对一切xe[2,3],ye[3,6],不等式mx2-xy+y2>0恒成立，则实数m的

取值范围是()

A.m<6B.—6<m<0C,m>0D.0<m<6

解：「xe[2,3],ye[3,6],则;e

•••；e[1,3],

又•・,mx2—xy+y2>0,且x€[2,3],x2>0,

2

可得)

令1=!€[1,3],则原题意等价于对一切tC13],mNt—t2恒成立，

・•・y=t—t?的开口向下，对称轴t=

21

则当t=1时，y=t-t?取到最大值ymax=1-l2=0,

故实数m的取值范围是m>0.

故选：C.

【拓展提升】

练1-1(2023•福建省・单元测试)设实数m>0,若对任意的正实数x,不等式e">x》口恒成立，则m的最小值为

m

()

A.-B.白C-D.J

解：因为实数m>0,

当0<x4l时，不等式emx》Q恒成立；

m

当X>1时，不等式e->’」，

in

即memx>Inx,mxemx>xlnx=elnx-lnx;

设g(x)=xex(x>0),则g'(x)=ex(x+1)；

当x>0时，gz(x)>0,g(x)单调递增,

故不等式mxemx>elnx-lnx等价于g(mx)>g(lnx),

即mx>lnx=>m>—(x>1)；

*

设f(x)=典(X>1),则f(x)=1T尸,

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【二轮复习一分离法】

当1<x<e时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x>e时，f'(x)<0，f(x)单调递减，

故f(x)<f(e)=1,

所以m>p

综上所述，m的最小值为

故选人.

n

练1-2(2022•江苏省模拟)已知数列｛aj的前n项和为Sn，且an>0,2sn=a2+an,若不等式2sn+9>(-l)kan.

对任意的nGN*恒成立，贝ijk的取值范围是.

2

解：因为2sn=a„+an,故2sn+i=an+i+an+i，

2

两式相减得：2an+i=an+j—an+an+i—an,

即ian+i+anXan+i—sn—11=0,又因为an>0,所以an+i—sn=1,又a[=1f

故数列｛aj是1为首项，1为公差的等差数列，所以an=n;

由不等式2Sn+92(-l)nkan.对任意的neN*恒成立，

故M+n+92一lykn,对任意的neN*恒成立，即一l1kWn++1,

n

当n为奇数时，得—k<n+]+1对任意的n6N*恒成立，

n

>2nx"=6,当且仅当n=3时，等号成立故-k<7,解得k>-7;

又因为n+里一二'

n

当k为偶数时，得kWn++1,对任意的neN*恒成立，

M

令f(n)=n+-,当n=4时，n+?取最小值4+=玲，故kW+1==，

nn4dA4

综上k的取值范围是「7,£2].

考向二解决函数零点'方程根的问题

【方法储备】

利用导数解决函数零点、方程根的问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质做出图像，然后

将问题转化为函数图像与坐标轴的交点问题，

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图像的交点问题

(3)分离参数法：由f(x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线y=a与函数y=g(x)的图像的交点

问题.

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【二轮复习一分离法】

【典例精讲】

例2.(2022•河北省模拟)已知函数f(x)=3+2axlnx(a6R)图象上存在点M,函数g(x)=2-4aeln(2-x)(e

为自然对数的底数)图象上存在点N,且M,N关于点(1,1)对称，则实数a的取值范围是()

A.(0,A]B.[2,+8)

C.(80)U[，+8)D(00___mU(0+oo)

解：因为函数g(x)=2-4aeln(2一x)与函数y=4aelnx的图象关于点(1,1)对称，

由题意可知：方程3+2axlnx=4aelnx有解，

显然aW0,所以问题转化为(x—2e)lnx有解，

2a

设九(x)=(x2e)lnx,则九(x)=Inx+1_，为增函数且h(e)=0,

所以九(x)在(0,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增，且XT+8时，h(x)—+8,

所以__L>h(e)=e,

2a

所以实数a的取值范围是(-80)u[上，+oo),

，■»

故选：C.

【拓展提升】

练2-1(2023-江苏省・模拟题)若函数1?6)=111-*2+2111*在[j]上有两个零点，则实数m的取值范围为

■一

()

A.(1e2-2]B[4+1e2-2]C(14+1]D(1+co.,

解：函数f(x)定义域为0,+8,

令f(x)=0可得m=x?—21nx,

令g(x)=x2-21nx,xe[*e],

则g'(x)=2x—E=~

XW

••・当!<x<1时，g'(x)<0,当1<x<e时，g'(x)>0,

・•・g(x)在[=，1]上单调递减，在(1,e]上单调递增，

・・・当x=1时，g(x)取得极小值，也是最小值，g(l)=1,

又g(3)=•£+4,g(e)=e2-2,

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【二轮复习一分离法】

•••g(=)<g(e)，

•••m=g(x)有两解，

1<m<++4.

e4

故选：.

练2-2(2022•广东省月考)已知f(x)=Inx+x2+ax(aGR)

(1)讨论f(x)的单调区间；

(2)g(x)=2x2,若曲线y=f(x)和y=g(x)在上有且仅有两个交点上求a的取值范围.

解：(1)函数f(x)=Inx+x2+ax(aGR)的定义域为:(0,+oo),

f'(x)=!+2x+a=2r3♦:,令f'(x)=0,即2x2+ax+1=0,则4=a2-8

IX

①当一22WaW22时，即A=a?-8W0,

此时f'(x)>0恒成立，则函数f(x)在(0,+8)上单调递增；

②当a<-22时，即△=a?-8>0

2

2X+ax+1=0的两个根为X1=-a-4a2-8,X2=4a2",且勺>0,X2>0

当XG(0,-a-4a2-8)时，？(X)>0,f(x)单调递增，

当XC「a-4a2-8,-a+4a2-8)时，f(x)<0,f(x)单调递减，

当xe(-a+a2-8,+8)时,f'(x)>o,f(x)单调递增；

③当a>22时，即A=a?-8>0

228

2X+ax+1=0的两个根为Xi=-a-4a2-8,X2=^+^-,且4<0,X2<0

此时f'(x)>0恒成立，则函数f(x)在(0,+8)上单调递增;

综上：当a<—2