2023年高考数学全真模拟热身测试卷03卷(新高考专用)原卷及解析

2023届高考数学•备战热身卷3

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题

给出的选项中，有一项符合题目要求。）

1.（2022・河北•模拟预测）已知集合八=

{y|y>-4},3={尤|3xW4-2x},贝必c3=（）

A.|x|-4<x<||B.|x|-4<x<||c.{x|xWT或X*

D.R

2.（2022・河北・模拟预测）已知复数2=4+历（。，女:》）,若岗+2=6+1,

则z=（）

A.-l+2iB.l+2iC.-l-2iD.l-2i

3.（2022・河北•模拟预测）一质点在单位圆上作匀速圆周运动，

其位移满足的方程为〃=sin2r,其中/）表示位移（单位：m）,t表示时

间（单位：S）,则质点在，=1时的瞬时速度为（）

A.sin2m/sB.cos2m/sC.2sin2m/sD.2cos2m/s

4.（2022•全国•高三专题练习）在等差数列{差中,am=n,an=m,

则）

A.0B.mC.nD.m+n

5.（2022•河北•模拟预测）函数/（x）=x.（31g5+；lg64r*（xe[-万,句）

的图象大致是

c.D.

:1一

-v17）>J

6.（2022•河北•模拟预测）已知向量a与。的夹角为120。,且。包=-2,

向量c满足。=%+（1-几）”0<4<1）,Ka-c=b-c,记向量c在向量。与方方

向上的投影分别为八九x、y2+町的最大值为（）

1ccC3c5

AAD

-4B-2C-4-4

7.（重庆市西南大学附属中学校2021-2022学年高二下学期第三

次月考数学试题）已知数列｛叫满足4=一，%+232%=0,则下列结

论错误的是（）

A.｛%｝是单调递增数列B.存在“eN*,

使得%>。

c111_91c39

C-—b…+-—2工D,生=-*

8.（2022・河北•模拟预测）已知与是方程〃x）=e，+x-2的零点（其

中e=2.71828为自然对数的底数），下列说法错误的是（）

A.%«。，1）B.ln（2—%）=/c.>eD.Xo-e^<0

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题

给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的

得。分，部分选对的得2分。）

9.（2022・河北•模拟预测）下列函数中，以兀为最小正周期，且

在］臼上单调递减的为（）

A.y=cos2xB.J=|sinA-|C.y=|cosx|D.y=|tanx|

10.（江西省新余市2021-2022学年高一上学期期末数学试题）

下列命题是真命题的为（）

A.V+函数/（x）=a'T+logax+2恒过定点（1,2）

B.若c>a>6>0,则'-A“7

c-ac-b

C.已知一个样本为：1,3,4,a,7,且它的平均数是4,则这

个样本的方差是4

D.数据170,168,172,172,176,178,175的60%分位数是

11.（2022•河北•模拟预测）下列结论正确的有（）

A.若log“3<l,则a>3B.若"Sing,

Z?=-log2sin-,c=2-吗，则6>c>a

C.若孙W。，2，=18，=9",贝h-y=lD.若。=殍，b=-,c=孚,

则a<c<b

12.（广东省汕头市2022届高三上学期期末数学试题）在棱长为

1的正方体A8CZ）-中，M为底面A3C。的中心,

〃0=34，&（0,1）,N为线段4Q的中点，则（）

A.CN与共面

B.三棱锥A-OVW的体积跟2的取值无关

C.彳=：时，过4Q，M三点的平面截正方体所得截

面的周长为逑”

D.2=—时，AMYQM

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.（2022•河北•模拟预测）已知向量”（1,加），6=（3,-2）,且侬+6）,6,

贝|］机=.

14.（2022・河北•模拟预测）如果函数y=/（x）同时满足下列两个条

件：①函数图象关于直线尤=2对称；②函数图象关于点（4,。）对称，那

么我们称它为"点轴对称型函数〃.请写出一个这样的"点轴对称函数〃

〃x）=.

22

15.（2022・河北•模拟预测）已知过椭圆£：土+-=1（心5）上的动

点尸作圆C（C为圆心）：Y_2x+y2=o的两条切线，切点分别为若

B8的最小值为:则椭圆E的离心率为.

16.（2022•浙江浙江•高三阶段练习）如图，点P是半径―

为2的圆O上一点,现将如图放置的边长为2的正方形ABCD（/P

（顶点八与P重合）沿圆周逆时针滚动.若从点A离开圆周\

的这一刻开始，正方形滚动至使点八再次回到圆周上为止，

称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形

滚动了轮，此时点X走过的路径的长度为.

四、解答题（本题共6小题，共70分。第17题10分，其余每

题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.（2022•云南・昆明一中高一期末）如图，已知直线〃4,A是1/

之间的一定点，并且点八到的距离分别为正和2.B,C分别是直

线/人上的动点，且的C=q,设ZABD=X,f(x)=AB-AC.

⑴写出关于X的函数解析式A');

⑵求函数Ax)的最小值及相对应的X的值.

18.(山东省烟台市2022届高三一模数学试题)己知等差数列｛叫

的前n项和为九q=九S3=15.

(1)求｛%｝的通项公式；

⑵保持数列M中各项先后顺序不变，在应与%优=L2,…)之间插

入下个1,使它们和原数列的项构成一个新的数列出｝,记也｝的前n

项和为T,，求和的值.

19.(2022•北京一^L一中高三阶段练习)如图，在

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱阳，底面

ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作瓦」尸5交尸3于点F.

(1).证明：丛〃平面£/切；

(2)证明：心，平面硒)；

⑶求二面角〜C的余弦值.

20.（2022・广东江门•模拟预测）浙江省东魁杨梅是现在世界上最

大果形的杨梅，有“乒乓杨梅"、"杨梅之皇”的美誉.东魁杨梅始于浙江

黄岩区江口街道东看村一棵树龄约120多年的野杨梅树，经过东岳村

和白龙看村村民不断改良，形成了今天东魁杨梅的品种.栽培东魁杨

梅一举多得，对开发山区资源，绿化荒山，保持水土，增加山区经济

收入具有积极意义.根据多年的经验，可以认为东魁杨梅果实的果径

x~N出口（单位：mm）,但因气候、施肥和技术的不同，每年的〃和

都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况，从摘下的杨梅果实

中随机取出1000颗，并测量这1000颗果实的果径，得到如下频率分

⑴用频率分布直方图估计样本的平均数于近似代替〃，标准差s

近似代替*已知s=0.3.根据以往经验，把果径与〃的差的绝对值在2b

内的果实称为“标准果〃.现从农场中摘取20颗果，请问这20颗果恰好

有一颗不是"标准果”的概率；（结果精确到0.01）

⑵随着直播带货的发展，该农场也及时跟进.网络销售在大大提

升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.现该农场有一款"9A20”的主

打产品，该产品按盒销售，每盒20颗，售价80元，客户在收到货时

如果有坏果，每一个坏果该农场要赔付4元.根据收集到的数据，知

若采用A款包装盒，成本。(1<心5)元，且每盒出现坏果个数4满足

出,i=l,2,3,4

pe=i)=A"=。，若采用8款包装盒，成本冬元，且每盒出现坏

0,i=5,6,…,20

果个数〃满足Pm』"？』〉』’"，(机为常数)，请运用概率统计的

0,/=0,4,5,6,,,,,20

相关知识分析，选择哪款包装盒可以获得更大利润？

参考数据：36.2x0.2+36.4x0.25+36.6x0.7+36.8x0.8+37x1.1+37.2x0.8+

37.4x0.65+37.6x0.4+37.8x0.05+38x0.05=185；P(^-a<X<=0.6826；

P(//-2CT<X<〃+2b)=0.9544.P(//-3cr<X<〃+3cr)=0.9974.Q,954419«0.412；

O.954420x0.393.

21.(2022•河北唐山•一模)已知椭圆C：《+\=l(a>6>0)经过点(I3

离心率为1

（I）求椭圆C的方程;

（2）如图，椭圆C的左、右顶点为A,4,不与坐标轴垂直且不过

原点的直线/与C交于M,/V两点（异于A,4）,点M关于原点0

的对称点为点P,直线4P与直线&N交于点Q,直线。。与直线/交于

点R.证明：点/?在定直线上.

22.（2022•全国•模拟预测）已知函数〃x）=f_a_2e/nr（aeR），且

用x）是函数"力的导函数，

⑴求函数/（元）的极值；

⑵当”1时，若方程/（x）=。有两个不等实根占（占＞%）.

%一工

I1n%]—I1n%2<一/2・

（回）证明:J玉X2，

（0）证明：（'a动＜0.

2023届高考数学・备战热身卷3

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，有一项符合

题目要求。）

1.（2022,河北•模拟预测）已知集合4={例>2>4},3={x|3x44-2x},则Ac3=（）

A.jx|-4<x<||B.|x|-4<x<||C.{x|x<T或D.R

【答案】A

【分析】先求出集合B,再根据集合的交集运算，即可求出结果.

【详解】因为集合4=匕1）^-4},B={x|3x<4-2x}=|x|x<||,所以

AnB=jx|-4<x<!|.

2.（2022・河北•模拟预测）已矢口复数z=a+bi（«,人wR）,若禹+2=b+i,贝ljz=（）

A.-l+2iB.l+2iC.-l-2iD.l-2i

【答案】A

【分析】利用复数相等的条件求出。、b,即可得到答案.

【详解】因为昌+2=b+i,所以_qi+2=6+i.所以a=-l,6=2.所以z=_l+2i.

3.（2022•河北•模拟预测）一质点在单位圆上作匀速圆周运动,其位移满足的方程为h=sin2t,

其中人表示位移（单位：m）,t表示时间（单位：s）,则质点在f=l时的瞬时速度为（）

A.sin2m/sB.cos2m/sC.2sin2m/sD.2cos2m/s

【答案】D

【分析】求出"可求质点在f=l时的瞬时速度，从而可得正确的选项.

【详解】因为/z=sin2/=2sinf-cosf,所以〃=2cosf•cosr+2sinr（-sin。=2cos2r,

所以质点在r=l时的瞬时速度为2cos2m/s.

4.（2022・全国•高三专题练习）在等差数列{%}中，am=n,an=m,则〃…=（）

A.0B.mC.nD.m-\-n

【答案】A

【分析】选择题可以用特殊值法，简便又快捷.

【详解】构造等差数列{%}使得4=2,«2=1,这里机=1,”=2,于是%+,=43=。，排

除B、C、D.

5.（2022•河北•模拟预测）函数“尤）=十（3怆5+；馆64严，行目-》,句）的图象大致是

【答案】B

【详解】由题意可知/（T）=r-（31g5+；lg64严…=_/⑺，

所以函数“X）是奇函数，依据图象排除A和C选项，

由于/（9=己"⑺=-3-'。即/（9>〃勿）,排除D选项，故选B.

6.（2022•河北•模拟预测）已知向量d与6的夹角为120。，且42=_2，向量c满足

c=2a+（l-2）Z?（O<A<1）,B.a-c=b-c>记向量c在向量。与6方向上的投影分别为x、

尤、丁+孙的最大值为（）

1c35

A.—B.2C.-D.一

444

【答案】C

【分析】由数量积的定义得卜帆=4,由向量共线定理得C在线段A3上，由=得

ABLOC,利用投影公式计算出一+丁+孙=计算SQA是常数，因此只要|A4最小

即可得。最大，利用余弦定理和基本不等式可得结论.

【详解】由=同忸际120。=一2得耶|=4,

设。4=a，OB=b，OC=c，因为c=2a+（l-由向量共线定理知C在线

段上，如图,

设<〃,c>=a,则<b,c>=120°-a，

因为〃竟=/?々，所以忖卜|cosa=|/?||c|cos(120°-a),即忖cosa=|^|cos(120°-a),

故。在c方向上的投影与〃在c方向上的投影相等，因此。

又兀=卜卜。51,y=|c|cos(120°-cr),所以

x2+y2+A7=|c|cos2cr+|c|cos2(120°-6Z)+|c|cosacos(120°-a),

又cos2a+cos2(l20°-a)+cosacos(l20°-a)

=c°s%+(二8sa+gina)2+cosa(二8sa+gina)

2222

212>/3,3.212.3

=coscr+—cosa----sinacoscr+—sina——cosaH----sinacosa=—^

424224

所以炉+_/+孙=;卜］,

51.8=；卜小卜m120。=4*4=后为常数,因此要使得E|最大,只要|A到最小,

由余弦定理|A.2=忖+忖帆COS120。：”+网+卜帆22KM+卜帆=12,当且仅当

口=忖时等号成立，

所以\AB\的最小值为2代，因此f|的最大值为卡第=1,

故/+玉2的最大值为:

4114

7.(重庆市西南大学附属中学校2021-2022学年高二下学期第三次月考数学试题)已知数列

{4}满足4=-＜，a；+2tz„-2a„+1=0,则下列结论错误的是()

A.{q}是单调递增数列B.存在〃eN*,使得%＞。

111cl39

C------1------F…H-------=-2-----D氏=----

•〃1+2%+24+2an+i*128

【答案】B

1191

【分析】根据an+l=-a„(«K+2)=-(a„+1)---可推导得到当%e(-2,0)时,%＜。，结合生

可求得a“d，。］，由此可得1211

%+i—>。，知AB正误；由a

„+l%S“+2)anan+2

采用裂项相消法可知C正确；根据递推关系式计算出的即可知D正确.

【详解】对于A,由片+2%-2%=°得：%=：a；+a,=ga“（a“+2）=g（a“+iy_；,

,%e(-2,0)时，an+i<0；

-:,。'（-劣。），:一；,0上（—2,0）,依次类推可得:

Qq=_万w(-2,0),%£

44

%=：吊>，，｛｝是单调递增数歹，正确;

「•％04UA

对于B,由A中推导可知：ae不存在neN*,使得%>。，B错误;

n44

12211

,12说+2q

对于C,由a=万。〃+。〃=得：---=2-

n+la。“(。“+)

2。〃+1n+2%2anan+2

111

an+2anan+l

11111111111c1

------+-------+…+—=-2-------，C正确;

aaa

4+2%+2nn+l"1n+\4+1

对于D,由。〃+i。1=一；得：%=：131339C

『X----,D

Z2o288128

正确.

8.（2022•河北,模拟预测）已知与是方程〃x）=e*+x-2的零点（其中e=2.71828为自然

对数的底数），下列说法错误的是（）

2-Jb

A.£（0,1）B.ln（2-x0）=x0C.x0>eD.x0-e-'°<0

【答案】C

【分析】根据给定条件确定号所在区间，再逐一分析各个选项即可判断作答.

【详解】函数〃x）=e'+x—2在R上单调递增，而〃0）=e°-2=-l<0,

/（^）=e2+^-2=A/e-^>0,

而与是方程/（x）=e*+x-2的零点，则不€（0,4），即5e（O,l）,A正确；

由〃%）=0得：2-x°=e』，整理得：ln（2-x0）=x。，B正确;

因。<<不，2—x0>1,贝I[x。-“<1,C不正确；

]1r

e

因0<Xo<7，则有Yx0Q^-12^~ye，D正确.

2X。-e-------—<------—<u

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）

9.（2022•河北•模拟预测）下列函数中，以兀为最小正周期，且在［',兀］上单调递减的为

A.y-cos2xB.y=|sin.r|C.y=|cosx|D.y=|tanx|

【答案】BD

【分析】根据图象的周期变换和翻折变换作出函数图象，然后可得.

【详解】作出函数y=««2龙的图象，如图1,显然A错误；

作函数y=Mnx|图象，如图2,故B正确；

作函数V=|cosx|图象，如图3,故C错误;

作函数y=|tanx|图象，如图4,故D正确.

10.（江西省新余市2021-2022学年高一上学期期末数学试题）下列命题是真命题的为（）

A.Vae（0,l）u（l,+oo）,函数/（彳）=。1+1。8小+2恒过定点（1,2）

B.若c>a>b>0,贝!］---->----

c—ac—b

C.已知一个样本为：1,3,4,a,1,且它的平均数是4,则这个样本的方差是4

D.数据170,168,172,172,176,178,175的60%分位数是175

【答案】BCD

【分析】求出函数/(x)的图象所过定点即可判断A;利用作差法比较，可判断B;根据平均数

求出即可求得方差，可判断C;将数据170,168,172,172,176,178,175从小到大排列,

求得其60%分位数，即可判断D.

【详解】因为a0=l,log“l=0,故/⑴=a°+log/+2=3,

故Ve(0,1)1(1,田)，函数/(力=优7+1幅》+2恒过定点(1,3),故A错误;

ab_(a-b)cab_(a-b)c

之一』=(c-a)(c-6)'由于c>0>6>°，故之一』=(-次山)>°，

即，>_」，故B正确；

c-ac-b

样本为：1,3,4,a,7,且它的平均数是4,即l+3+4+a+7=20,a=5,

其方差为3(1-4)2+(3-4户+(4-4)2+(5-4-+(7-4力=4,故C正确；

数据170,168,172,172,176,178,175从小到大排列为：168,170,172,172,175,176,178,

而7x60%=4.2,故这组数据的60%分位数时175,故D正确，

11.(2022・河北•模拟预测)下列结论正确的有()

A.若log“3<l,则。>3

什.1,,-1si,n1nl,

B.^*67=sin-,Z?=-log2sm-,c=2-i,贝！

C.若孙w0,2、=18，=9*,则x-y=l

r什In271In3皿,

D.右a=----,b=—,c=-----,则avcv〃

2e3

【答案】BCD

【分析】对于A,分和0<。<1两种情况分析判断即可，对于B,利用指数函数、对数函

数和三角函数的单调性判断，对于C,令2，=18>=9»=/>0,则

x=log2t,y=log18t,xy=log,t,则log?加log”」=loggt,化简，再求工一丁可得答案，对于D,

Inx

构造函数/(x)=UY(x>0),由导数判断函数的单调性，然后利用单调性比较大小

X

【详解】对于A,当a>l时，由k)g“3<l,得log“3<log",则a>3,当OvaV1时,由log〃3<l,

得log^vloga。，贝！Ja<3,因为Ovavl,所以Ovavl,综上，〃>3或Ovavl,所以A错

误,

对于B,因为所以0<sin：<sinJ=:，所以log,sin：<log2：=-1,所以

3636232

n

-log2sin1>l,因为-g<—sing<0,所以2T<2一幅<2°=「即¥<2f'3<l,所以

Sm

sin-<—<<2^<1<-logosin—,所以6>c>a,所以B正确，

322*3

Xv

对于C,令2=18=9叶=f>0,贝I)x=log2t,y=log18t,xy=log91,所以log?t-log181=log,t,

IgfIgf=9，所以…

所以记嬴一蔽

Igrigf=Igf(lgl8-lg2)

所以了一蚱幅/一啕公豆一赢-—1g21gl8

lg21gl81g187g21gl87g2Jg9=]

lg9,lg21gl8-lg9-Ig9-所以C正确,

对于D,4/W=—(x>0),则广(无)=1^(》>0),

XX

当0<x<e时，/V)>0,当X>e时，f'(x)<0,所以”X)在(0,e)上递增,在(e,+s)上递

减，因为e<3<4,所以/(e)>/(3)>/(4),所以处>塔>学，

e34

E、rIn42In2In2”…1In3In2”…

因为丁=1一=一1，所以—><><，所以a<c<〃，所以D正确.

442e32

12.(广东省汕头市2022届高三上学期期末数学试题)在棱长为1的正方体ABC。-A瓦GR

中，/为底面ABCD的中心，D12=2Z)14,2e(0,l),N为线段AQ的中点，则()

A.CN与共面

B.三棱锥A-DAW的体积跟X的取值无关

C.九=:时，过4Q,M三点的平面截正方体所得截面的周长为拽上马后

33

D./1=!时，AMA.QM

4

【答案】ABC

【分析】由KN为AC,AQ的中点，得到MN//C。，可判定A正确；由N到平面钻⑦的

距离为定值;，且AAD暇的面积为定值根据匕可得判定B正确，由彳=:

时，得到A，Q，M三点的正方体的截面ACEQ是等腰梯形，可判定C正确；当彳=：时，根据

AM2+AQ2>QM2,可判定D不正确.

【详解】在ACQ中，因为M,N为AC,AQ的中点，所以MN//CQ,

所以CN与QW共面，所以A正确；

由%因为N到平面ABCD的距离为定值;，且AADM的面积为定值;，

24

所以三棱锥A-OVW的体积跟4的取值无关，所以B正确;

当2时，过三点的正方体的截面ACE。是等腰梯形，」洋

所以平面截正方体所得截面的周长为』五生空通，!八、'

+¥J+2X、V「W9=Jlyr1\

K_J._、

所以C正确；；二二'

2

当时，OT^AM=1AQ2=i+-1=1|,eM2=4）2+A2=1j,"一二，

则4河2+4。2>。河2,所以不成，所以D不正确.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.（2022・河北•模拟预测）己知向量。=（1,根），6=（3,-2）,且（2a+6）_L6,plljm=

19

【答案】—：4.75

4

【详解】因为a=（l,m），6=（3,-2）,所以2。+。=2（1,〃。+（3,-2）=（5,2根一2）,因为

（2。+6）_1_6,所以（2a+b〉6=5x3+（2加一2）*（-2）=0,解得〃？=7.

14.（2022•河北•模拟预测）如果函数y=/（x）同时满足下列两个条件：①函数图象关于直

线x=2对称；②函数图象关于点（4,0）对称，那么我们称它为“点轴对称型函数”.请写出一个

这样的"点轴对称函数""X）=.

【答案】Asin生x（AwO）或Acos（工尤+工）（420）

442

【详解】根据题意,设〃x）=Asin（5+0）（AHO）,

sin（2°+0）=±1

由于/（X）的图象关于直线x=2对称，且关于点（4,0）对称，贝卜

sin（40+0）=O'

+夕=一+kn,keZ

*2,

4a）+（p=k7i,kwZ

当％=1时，解得：0=je=0,所以〃x）=Asin%（ArO辿〃x）=Acos（5+g）（AHO）.

22

15.（2022・河北♦模拟预测）已知过椭圆E:土+^^=1（加＞5）上的动点尸作圆C（C为圆

mm—1

心）：x2-2x+V=0的两条切线，切点分别为48,若ZACB的最小值为点，则椭圆E的

离心率为.

【答案】|

【详解】由椭圆E方程知其右焦点为。,0）；由圆C的方程知：圆心为C（l,0）,半径为1；

当ZACB最小时，则ZACP最小，即NACP=q,此时|PC|最小;

AC11..

此时cosNACP==1——7=-,/.pd.=2；

JPC\PC\211mm'

尸为椭圆右顶点时，|PC1mhi=J^—1=2，解得：机=9,

，椭圆E的离心率e=、/=L

Vm3

16.（2022•浙江浙江•高三阶段练习）如图，点P是半径为2的圆。上一点，现

将如图放置的边长为2的正方形ABCD（顶点A与P重合）沿圆周逆时针滚动.

若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，

称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了

轮，此时点八走过的路径的长度为.

【答案】3；（及+2）万

【详解】正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为BfCfDfA,

顶点两次回到点P时，正方形顶点将圆周正好分成六等分，

由4和6的最小公倍数：3x4=2x6=12,所以到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮.

这一轮中，点A路径A-A-A是圆心角为半径分别为2,2及，2的三段弧,

O

故路径长弓。+2员2)=史产,

回点A与P重合时总路径长为(72+2)%.

四、解答题(本题共6小题，共70分。第17题10分，其余每题12分.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤。)

17.(2022•云南•昆明一中高一期末)如图，已知直线A是4之间的一定点，并且点

A到,的距离分别为&和2.B,C分别是直线//上的动点，且ABAC=1，设ZABD=x,

f(尤)=A8-AC.

⑴写出关于x的函数解析式/(x)；

(2)求函数/(无)的最小值及相对应的x的值.

_2A/2_

【答案】"smxc°s(x+W)'一吟；⑵A%时，小)皿=8也

77"TTTT7T

【解析】(1)依题意，DE_L，2,而，^ABD=x,ZBAC=—,则Z.CAE=TI———(——X)=X+—,

3326

由4隹=?知，点B,C在直线DE同侧，均为锐角，则有0＜工＜(,

2*=

在RtZWO中，AB=——,在RtACE中,则

sinx

f(x)=AB-AC=^-

/兀、，

sinxcos(x+—)

20

所以〃x)=A0AC=

sin尤8s(尤启xe(0,—).

〃一2叵_2桓80

⑵由⑴得：/⑺一7r1飞11.71

——sinxcosx——sinx——sin2x+—cos2x——2sin(2%+—)-1

224446

因xe(0,勺，即2x+ge(/¥),当2X+£=W，即x=J时，sin(2x+£)取最大值1,所以

36666266

/(x)1nL8夜.

18.（山东省烟台市2022届高三一模数学试题）己知等差数列｛%｝的前n项和为S,，4=9,

9=15.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）保持数列也,｝中各项先后顺序不变，在软与殁M仕=12…）之间插入24个1,使它们和原

数列的项构成一个新的数列｛2｝,记也,｝的前。项和为I,求几。的值.

【答案】⑴。“=2〃+1；⑵142.

【解析】（1）设｛4｝的公差为d,由已知q+3d=9,3%+3d=15.

解得4=3,d=2.所以。“=2〃+1：

（2）因为须与4+"左=1,2,…）之间插入2*个1,

所以％在也｝中对应的项数为〃=左+2]+22+23+…+2皿=左+宁：=2上+左一2,

当k=6时，2上+"2=68,当k=7时，2上+"2=133,

所以“6=48，。7=仿33，且4®=2。=…=仿00=1・

=03+13)+^^-+32=142.

因止匕10G='+(2x1+22x1+23x1+…+25x1)+32x1

2''1-2

19.（2022•北京一^B一中高三阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，

底面ABCD是正方形，侧棱底面ABC。，PD=DC,E是PC的中

点，作EFLPB交PB于点F.

（1）.证明：上4〃平面EDB；

（2）证明：28_1平面瓦7）；

⑶求二面角/—C的余弦值.

【答案】⑴证明见解析；⑵证明见解析；（3）cos萼

【解析】（1）如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设。C=a.

（1）证明：连接AC,AC交8。于G,连接EG.

依题意得4（。，0,0），尸（0,0,。），£0,|）|

:底面A8CD是正方形,

故点G的坐标为（万,],。）

；.G是此正方形的中心,J.PA=(a,O,-a),EG=

0PA=2EG，故R4回EG.

而EGu平面EOB且力仁平面EDB,回力〃平面EDB.

(2)依题意得B(a,a,0),PB=(a,a,-a).

又。石=(0,二,父，HPB-DE=0+—-—=Q.

I22；22

0PB团DE.

由已知E用P8,且EFCDE=E,所以P8_L平面EFD.

⑶设点F的坐标为(xo,y0,zo),PF=APB，

贝!J(xo,yo,zo-a)=入(a,a,-a).

从而刈=入0,%=入0,zo—(1-入)a.所以

由条件E用PB知，FEPB=0,

即—Act2+―丸）q2—（丸——=0,解得2二;

一々〃2a^\厂（aa2a\

・••点F的坐标为,且0尸=[了3可）

易知AG_LBD,AG_LPD,又50PD=D,

-11

所以AG_L平面尸DB,故AG=a（-5Q,0）是平面BC4的法向量,

设平面CDF的法向量;=（x,y,z），又。C=（O,a,O）,

n•DC=ay=0

所以cl〃a2a八,令z=1,贝！Jy=。,％=—2,z=1,所以〃=(-2,0,1)，

n-DF=—x+—yH-----z=0

333

—>—>

几・AG]M

所以cos<n,AG>=

\n\\AG\

故二面角3-止-C的大小为cos巫.

5

20.（2022•广东江门•模拟预测）浙江省东魁杨梅是现在世界上最大果形的杨梅，有“乒乓杨

梅"、"杨梅之皇"的美誉.东魁杨梅始于浙江黄岩区江口街道东岳村一棵树龄约120多年的野

杨梅树，经过东番村和白龙番村村民不断改良，形成了今天东魁杨梅的品种.栽培东魁杨梅

一举多得，对开发山区资源，绿化荒山，保持水土，增加山区经济收入具有积极意义.根据

多年的经验，可以认为东魁杨梅果实的果径X~N（〃Q2）（单位：mm）,但因气候、施肥

和技术的不同，每年的〃和。都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况，从摘下的杨

梅果实中随机取出1000颗，并测量这1000颗果实的果径，得到如下频率分布直方图.

（1）用频率分布直方图估计样本的平均数元近似代替〃，标准差s近似代替已知s=0.3.

根据以往经验，把果径与〃的差的绝对值在2b内的果实称为"标准果".现从农场中摘取20颗

果，请问这20颗果恰好有一颗不是"标准果”的概率；（结果精确到0.01）

⑵随着直播带货的发展，该农场也及时跟进.网络销售在大大提升销量的同时，也增加了坏

果赔付的成本.现该农场有一款"9A20”的主打产品，该产品按盒销售，每盒20颗，售价80

元，客户在收到货时如果有坏果，每一个坏果该农场要赔付4元.根据收集到的数据，知若

出,/=1,2,3,4

采用A款包装盒，成本“（14aV5）元，且每盒出现坏果个数J满足=i）=[,i=。

lo

0,/=5,6,，,,,20

若采用8款包装盒，成本—元，且每盒出现坏果个数〃满足尸①=i)=V⑸"=123

’0,i=0,4,5,6,...,20

(机为常数)，请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装盒可以获得更大利润？

参考数据：36.2x0.2+36.4x0.25+36.6x0.7+36.8x0.8+37x1.1+37.2x0.8+

37.4x0.65+37.6x0.4+37.8x0.05+38x0.05=185；尸。4XW〃+。)=0.6826；

—2cr<X</J+2cr)=0.9544；P(/z—3cr<X<//+3cr)=0.9974；0.954419a；0.412;

O.954420x0.393.

【答案】(1)0.38；(2)当。=|时，采用两种包装利润一样，当ae时，采用B款包装盒，

当时，采用A款包装盒.

【解析】(1)由题意得：x=185x0.2=37，所以〃=37,<y=s=0.3,贝U〃-2cr=37—0.6=36.4,

/z+2a=37+0.6=37.6,所以P(36.44X437.6)=0.9544,设从农场中摘取20颗果，这20

颗果恰好有一颗不是"标准果"为事件4则

P(A)=Cox(1-0.9544)x0.954419=20x0.0456x0.41270.38

(2)由5根+)加+耳根=1,解得：m=~所以=i)=,i=1,2,3,米用A款包装盒获

得利润的数学期望

Ej=80-4£(