2023-2024学年安徽省蚌埠市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省蚌埠市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（）

A.吸

2.关于二次函数y=（x+2）2-3,下列说法正确的是（）

A.抛物线开口向上B.当久=一2时,有最大值-3

C.抛物线的对称轴是直线x=2D.抛物线的顶点坐标是（2,-3）

3.下列各组线段中是成比例线段的是（)

A.1cm,2cm,3cm,4cmB.1cm,2cm,2cm,4cm

C.3cm,5cm,9cm,13cmD.1cm,2cm,2cm,3cm

4.小明沿着坡比为1：C的山坡向上走了300m,则他升高了（）

A.100V3mB.150mC.IOOAAZTHD.100m

5.如图，正六边形48CDEF内接于O。，点M在&上，则4CM。的大小为

()

A.60°

B.45°

C.30°

D.15°

6.如图，AB是。。的直径，分别以点。和点B为圆心，大于"。8的长为半径作

弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M,N两点，直线MN与。。相交于

C,D两点，若AB=4,则CD的长为（）

A.4<3

B.4

C.273

D.73

7.在正方形网格中，以格点。为圆心画圆，使该圆经过格点A,B,并在点A,B的右

侧圆弧上取一点C,连接AC,BC,则的值为（）

C.1

D号

8.据逸经少记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔

成像”实验，阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线

经过小孔。，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点4、B的对应点分别是

C、D）,若物体48的高为9cm,小孔。到物体和实像的水平距离BE、CE分

别为12cm、9cm,则实像CD的高度为cm.（）

A.6cmB.6.25cmC.6.75cmD.7cm

9.已知点在直线y=3%+19上，点3（久2，丫2），。。3，乃）在抛物线'=%2+4%-1上，若为=y?=

y3»xt<x2<x3,则+不+工3的取值范围是（）

A.-12V+%2+%3V—9B.-8V/+%2+V—6

C.-9V/+上+%3V0D.—6</+物+%3V1

10.如图，正方形4BC0的边长为4,E为C。边一点，且tanmtE=g,G为BC边

上一点，连接4E,DG,相交于点F.若瞿=:贝UFE的长度是（）

A-

A-2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

11.已知4%—3丫=0,x^O,贝咚=

12.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台力B长为20m,试计算主

持人应走到离4点至少处.（V石z2.236,结果精确到0.1m）

13.如图，点0是△力BC外接圆的圆心，点/是△ABC的内心，连接OB,/4若

/-CA1=35°,则NOBC的度数为.

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形4BCD的顶点4,C恰好落在双曲线y=节上，且点。在AC上,

BC交x轴于点M,连接0B.

（1）当点C坐标为（a,Y2）时，B点的坐标为（写出数值结果）；

⑵当4M平分NBAC时，正方形ABC。的边长AB的值为.

三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题8分)

如图，△力BC三个顶点的坐标分别为？1(1,2),C(2,3),请你分别完成下面的作图.

(1)以。为位似中心，在第三象限内作出AAiBiG，使与AABC的位似比为2：1；

(2)以。为旋转中心，将A4BC沿顺时针方向旋转90。得到AAZB2c2.

16.(本小题8分)

计算：cos30°-tan60°—cos245°+tan45°.

17.(本小题8分)

如果?=。且3a-•2b+c=12,求a—b+c的值.

345

18.(本小题8分)

已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(—1,2),且图象过点(1,—3),

(1)求这个二次函数的关系式；

(2)写出它的开口方向、对称轴.

19.(本小题10分)

暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山,需要登顶600加高的山峰，由山底4处先步行300m到达8

处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶。处.已知点4,B,D,E,F在同一平面内，山坡4B的坡角为30。，缆

车行驶路线BD与水平面的夹角为53。(换乘登山缆车的时间忽略不计).

(1)求登山缆车上升的高度DE；

(2)若步行速度为30m/zn讥，登山缆车的速度为60?n/niin,求从山底4处到达山顶。处大约需要多少分钟(

结果精确至1J0.lain).

(参考数据：sin53°«0.80,cos53°»0.60,tan53°«1.33)

20.(本小题10分)

如图，在四边形A8CD中，4c平分皿IB,Z.ADC=/.ACB=90°.

(1)求证：AC2=AB-AD；

(2)点E是边4B的中点，连接CE,DE,且DE与4c交于点凡若4。=6,AB=8,求爷的值.

21.(本小题12分)

如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交于点。，DE1AC,垂足为点E.

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)若NC=30。，CD=2/3,求图中阴影部分的面积.

B

22.（本小题12分）

乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平

时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的.如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上

方以击球高度为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线

的一部分.乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm）,乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）.测得如下

数据：

水平距离%/cm0105090130170230

竖直高度y/cm28.7533454945330

（1）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是cm,当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的

水平距离是cm；

②求满足条件的抛物线解析式；

（2）技术分析：如果只上下调整击球高度04,乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过

网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练.如图②.乒乓球台长0B为

274cm,球网高CD为15.25cm.现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度。4的值约为1.27m.请你计算出

乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的。4值（乒乓球大小忽略不计）.

球网

图①图②

23.（本小题14分）

某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究.

【问题发现】

（1）如图①，在等边AABC中，点P是边BC上一点，且BP=2,连接力P,以4P为边作等边△APQ,连接

CQ.求CQ的长为_；

【问题提出】

(2)如图②，在等腰△ABC中，AB=BC,点P是边BC上任意一点，以力尸为腰作等腰△4PQ,使AP=

PQ,^APQ=Z.ABC,连接CQ.求证：/.ABC=/.ACQ-,

【问题解决】

(3)如图③，在正方形4DBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形4PEF,点Q是正方形APEF的对称

中心，连接CQ.若正方形APEF的边长为6,CQ=2，1，求正方形力DBC的边长.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：选项8、C、。均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，

所以不是中心对称图形，

选项4能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，

故选：A.

根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能

够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.

本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和

原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

2.【答案】4

【解析】解：A,由抛物线可看出a=l>0,故开口向上，正确；

B,由于开口方向向上，y有最小值，且在顶点，即x=-2时，y有最小值-3,错误；

C,抛物线的对称轴是直线工=-2,错误；

D,抛物线的顶点坐标是(-2,—3),错误.

故选：A.

抛物线y=0+2)2-3,开口方向由a的大小判定，a>0,开口向上；反之，开口向下，又由于此题给的

解析式是顶点坐标式，很容易得出顶点坐标，而对称轴就是顶点横坐标所在的平行于y轴的直线.

本题考查的是二次函数的性质，需掌握对称轴及顶点坐标的求法.

3.【答案】B

【解析】解：1x4力2x3,

二选项A不成比例；

,1•1x4=2x2,

.•・选项8成比例；

••,3x1305x9,

・,・选项C不成比例；

•••3x102x2,

・・・选项。不成比例

故选:B.

分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论.

本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之

比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单

位无关系.

4.【答案】B

【解析】解：如图，过点B作BE14C于点E,——2

•••坡度：i=1：/3>j

AEC

tanz_4=1：

”=30°,

vAB=300m,

/.BE=^AB=150(?n).

・1.他升高了150m.

故选：B.

首先根据题意画出图形，由坡度为1：/3,可求得坡角44=30。，又由小明沿着坡度为1：门的山坡向上

走了3007n,根据直角三角形中，30。所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案.

此题考查了坡度坡角问题，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数

形结合思想的应用.

5.【答案】C

由正六边形的性质得出4C。。=60°,由圆周角定理求出4cMe=30°.

本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出乙4OB=60。是

解决问题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：连接0C,设和CC交于点P,

由作图可知：CD垂直平分0B,

AB—4.

•••0P=0B=打B=1,0C=^AB=2,

242

•••CP=yjOC2-OP2=V22-l2=73.

•••CD1OB,

CD=2cp=2门，

故选：C.

连接。C,设48和C。交于点P,根据作图得出CD垂直平分OB,利用勾股定理求出CM,再根据垂径定理得

出结果.

本题考查了尺规作图，垂直平分线，垂径定理以及勾股定理，解题的关键是根据作图过程得出垂直平分

线，利用垂径定理得出最后结果.

7.【答案】D

1

【解析】解：•・・/-ACB=^AOB=45°,

・•・sinC=sm45°=—.

故选：D.

根据圆周角定理得出4力CB=^AOB=45°,进而即可求解.

本题考查了圆周角定理，求特殊角的正弦值，掌握以上知识是解题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：由题意得：AB//CD,

・••乙4=Z.ACD,乙D=Z.ABD,

・•.△OAB^AOCD,

J，~CD=CE9

912

:.—=—,

CD9

-CD=6.75,

・,・实像CD的高度为6.75cm,

故选：C,

根据题意得：AB//CD,从而可得乙4=乙4。。，"=乙4BD,然后证明△OABs4。。。，从而利用相似三

角形对应高的比等于相似比进行计算，即可解答.

本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键.

9.【答案】A

【解析】解：令3x+19=/+4x-1,整理得/+*-20=0,

解得=—5,x2=4,

・•・直线y=3x+19与抛物线的交点的横坐标为一5,4,

y=x2+4x-1=(x+2)2—5,

抛物线开口向上，对称轴为直线x=-2,顶点为(-2,-5),

把y=-5代入y=3x+19,解得x=-8,

右y1—y^2~fX1<尤2<X3,则—8<Xy<_~5,%2+%3=-4，

-12<X]+刀2+%3<—9,

故选：A.

求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的x的值，即可求

得与取值范围，根据抛物线的对称性求得%2+打=-4,从而求得X1+X2+X3的取值范围.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得-8</<-5,

x2+x3=-4是解题的关键.

10.【答案】D

【解析1解：过户作FH1CC于H,如图：

•・,正方形4BCD的边长为4,tanzD/lE=

•_D_E—_D_E—_1

'AD~4~2

解得DE=2,

・・・AE=y/AD2DE2=，42+22=2/5,

•・•乙FHD=ZC=90°,

・•.FH//BC,

DFDH4

--=----

FGCH5

44

HCX4

一

--=--16「

599

4+

•・・乙FHE=/.ADE=90°,乙FEH=Z.AED,

•••△FHEs〉ADE7

.•军=翳,即与=i,

AEDE2/52

解得EF=半；

故选：D.

过F作FHJ.CD于H,根据正方形4BCD的边长为4,tanZ/ME=：,知空=半=＜，DE=2,故4E=

2AD42

y/AD2+DE2=2y/~5,由FH〃BC,有点=鬻=±可得川7=*8=能求出HE=DE-DH=（；再

r（jLn□4+bVy

由△FHES^ADE,得空=_1,从而解得EF=2.

2^529

本题考查正方形性质，涉及相似三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理及应用等知识，解题

的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题.

11.【答案埒

【解析】解：4久=3y,

.,y=i

x3

故答案为宗

由已知条件得到4x=3y,然后两边除以3x即可.

本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质.

12.【答案】7.6

【解析】解：根据黄金比得:20X（1-0.618）x7.6米或20X（号匚）«12.4米（舍去）,

则主持人应走到离A点至少7.6米处.

故答案为：7.6.

要求至少走多少米，根据黄金比，只需保证走到4B的1-0.618=0.382倍处即可，因为此点为线段4B的

一个黄金分割点.

本题考查黄金分割的公式：记忆较短的线段=原线段的宁，较长的线段=原线段的埼二此题注意要求的

是至少走多少，即为黄金分割中的较短线段是解题关键.

13.【答案】20。

【解析】解：如图，连接OC,

,点/是△ABC的内心，

•••4/平分NB4C,

•••/LCAI=35°,

•••4BAC=2/.CAI=2x35°=70°,

•.•点。是△ABC外接圆的圆心，

•••NBOC=2/.BAC=2x70°=140°,

,:OB=OC,

11

・・.Z.OBC=(OCB='X(180°-乙BOC)='X(180°-140°)=20°,

故答案为:20°.

连接OC,由点/是AABC的内心可得4/平分4B4C,根据角平分线的定义可得ZBAC=2NCA/=70。，根据

圆周角定理可得乙BOC=2乙BAC=140°,根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到

答案.

本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握

以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键.

14.【答案】(，！,-1)45

【解析】解：(1)・.•点C坐标为(a,，力且在双曲线y=?上,

•••C(1,V7).

如图，作CMlx轴，垂足为M,作BNlx轴，垂足为N,

在4COEffABON中，

2COE="BN

Z.OEC=乙BNO,

.OC=OB

.•.△CO%ABON(44S),

ON=CE=<2>NB=OE=1,

•••B(72,-l).

故答案为：(A/2—1).

(2)在R”COE中,

•••OC=J12+(V^)2=^/~3，

・•.AC=2V-3,

・・・△/8C是等腰直角三角形,

/2<2I-

・•・AB=-TZ-AC=—x2v3=/6.

故答案为：V^6-

(1)作CM_Lx轴，垂足为M,作BNJLx轴，垂足为N,证明△COE丝△BONQL4S),得到。N=CE=合，

NB=OE=1,写出点8坐标即可；

(2)根据点C坐标能求出。C长，继而得到4C长，根据等腰直角三角形的性质可得2B=苧AC=^X2，3

混即可.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解答本题的关键.

15.【答案】解：(1)如图所示,△4B1G即为所求;

(2)如图所示，小心口2c2即为所求.

【解析】(1)分别作出4B,。的对应点A1，Bi，Ci即

可.

(2)根据旋转的性质分别作出A,B,C的对应点4，B2,

C2即可.

本题考查作图一位似变换，作图-旋转变换，解题的关键

是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

16.【答案】解：cos30°-tan60°—cos245°+tan45°

=苧XC—(苧Hl

=1+1

=2.

【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答.

本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键.

17.【答案】解：令产十k,

,*•CL~~3k,b=4/c,c=5k,

,:3Q—2b+c=12,

・•・9fc-8fc+5fc=12,

:.k=2,

••・a=3k=6,b=4k=8,c=5/c=10,

・・・Q-b+c=6—8+10=8.

【解析】令三=q=^=k,从而表示出a,b,c.再代入3a-2b+c=12,即可求出k的值，于是可以解决

问题.

本题考查比例的有关知识，设掾="＞上是解题的关键.

18.【答案】解：(1)设函数解析式为'二以工一八产+鼠把顶点(_i,2)和点(1,—3)代入解析式，得：

a=—所以抛物线的解析式为：y=—|(x+I)2+2；

(2)由(1)的函数解析式可得：抛物线的开口向下，对称轴为：直线x=-l.

【解析】直接设顶点式，再用待定系数法求二次函数的解析式.进而可根据函数的解析式求得抛物线的开

口方向和对称轴方程.

主要考查待定系数法求二次函数的解析式.当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求

解析式.

19.【答案】解：(1)如图，过点B作BM产于点M,由题意可知，44=

30°,4DBE=53。,DF=600m,AB=300m,

在中，AA=30°,AB=300zn,

BM=^AB=150m=EF,

：.DE=DF-EF=600-150=450(m),

答：登山缆车上升的高度DE为450m；

(2)在RMBDE中，Z.DBE=53°,DE=450m,

BD=———

sinzDBE

。竺2

0.80

=562.5(7n),

.•・需要的时间t=t步行+t缆车

=驷生竺

3060

x19.4(min),

答：从山底4处到达山顶。处大约需要19.4分钟.

【解析】(1)根据直角三角形的边角关系求出BM,进而求出DE即可；

(2)利用直角三角形的边角关系，求出BD的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可.

本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提.

20.【答案】(1)证明：••YC平分4ZMB,

・••Z.DAC=Z.CAB,

・・•Z.ADC=乙ACB=90°,

•••△ADC^^ACB,

・・•AD：AC=AC：ABf

AC2=AB-AD；

(2)解：•.•点E为边48的中点，AB=8,

11

X8=4

2-2-

CE//AD,

乙ADF=CCEF,乙DAF=^ECF,

△CEF,

AD__AF_

'CE=ZF9

AD=6,

6_AF

4=CF>

AC5

AF=r

【解析】(1)根据角平分线及乙4兀=乙4cB=90。证明△HCCSAACB,再根据相似三角形的性质即可证

明；

(2)先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CE,再根据CE〃4D证明△ADFs^CEF,最后相

似三角形的性质即可证明求解.

本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，掌握相似三角形的判定定理并灵活运用是

关键.

21.【答案】(1)证明：连接OD,则。。=。8,

・•・Z-ODB=(B,

-AB=ACf

・••Z.C=Z-B,

・••Z-ODB=乙C,

・・•OD//AC,

•・•DE1AC于点E,

・・・Z.ODE=乙CED=90°,

是O0的半径，DE1.OD,

・•.OE是O。的切线.

(2)解：连接4D,

•••4B是。。的直径，

A44nB=90°,

・•・AD1BC,

VAB=AC,CD=2G

•••BD=CD=2/3.

vZ-B=Z-C=30°,

・•・AD=BD♦tan300=2/3x苧=2，

・・

•OD=OA9Z.AOD=2(B=60°,

•，•△4。。是等边三角形，

OD=AD=2,

二图中阴影部分的面积=1x227T-jx2/3x2=2兀一2/3.

【解析】(1)连接OD,则。。=。8,所以NOOB=NB,由4B=4C,得NC=NB,贝IJNODB=4C,所以

OD//AC,则NODE=乙CED=90°,即可证明。E是。。的切线；

(2)连接4。，由48是。。的直径，得乙408=90。，则40J.BC,因为48=4C,CD=2/3,所以B。=

CD=273,可求得2。=BC-tcm30o=2,再证明△力。。是等边三角形，则。。=4。=2,根据圆的面积

公式和三角形的面积公式即可得到结论.

此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理等知识，证明。。〃4c是解题的

关键.

22.【答案】49230

【解析】解：(1)①观察表格数据，可知当久=50和％=130时，函数值相等，

・••对称轴为直线x=殁型=90,顶点坐标为(90,49),

•••抛物线开口向下，

最高点时，乒乓球与球台之间的距离是49cm,

当y=0时，x=230,

•••乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm；

故答案为：49；230；

②设抛物线解析式为y=a(x-90)2+49,

将(230,0)代入得，0=a(230-90)2+49,

解得：a=-0.0025,

••・抛物线解析式为y=-0.0025(x-90产+49；

(2)当04=28.75时，抛物线的解析式为y=-0.0025(x-90)2+49,

设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度0A的值为％,则平移距离为(h-28.75)sn,

••・平移后的抛物线的解析式为y=-0.0025(%-90)2+49+无-28.75,

当x=274时，y=0,

.1.-0.0025(274-90)2+49+/i-28.75=0,

解得：h=64.39；

答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点8处时，击球高度。4的值为64.39cm.

(1)①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当y=0时，%=230；②待

定系数法求解析式即可求解；

(2)根据题意，设平移后的抛物线