人教版高中数学必修二《第八章 立体几何初步》单元导学案及答案

人教版高中数学必修二《第八章立体几何初步》单元导学案《8.1基本立体图形》导学案第1课时棱柱、棱锥、棱台【学习目标】1.记住棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系3.能用棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征解答一些简单的有关问题 【自主学习】知识点1空间几何体1．空间几何体的定义空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2．空间几何体的分类(1)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．(2)旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．知识点2棱柱的结构特征1．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．2．一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体．知识点3棱锥的结构特征有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．知识点4棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台．在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面．【合作探究】探究一棱柱的结构特征【例1】下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．【答案】(3)(4)[分析]根据棱柱的结构特征进行判断．[解析](1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱．所以说法正确的序号是(3)(4)．归纳总结：棱柱的结构特征：1有两个面互相平行；2其余各面是四边形；3相邻两个四边形的公共边都互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征【练习1】如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个面作为底面，则底面都是四边形，其余各面都是矩形，矩形当然是平行四边形，并且几何体的四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方的部分是棱柱，且是三棱柱BEB1­CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方的部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1­DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．探究二棱锥、棱台的结构特征【例2】(1)下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②棱锥的侧面只能是三角形；③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．(2)如图，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，则剩余部分是()A．三棱锥 B．四棱锥C．三棱柱 D．三棱台【答案】(1)①②③(2)B[分析]根据棱锥、棱台的结构特征进行判断．[解析](1)①正确，棱台的侧面都是梯形．②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．④错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．(2)由题图知，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，剩下的部分如图所示，故剩余部分是四棱锥A′­BB′C′C.故选B.归纳总结：判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点【练习2】下列特征不是棱台必须具有的是()A．两底面平行B．侧面都是梯形C．侧棱长都相等D．侧棱延长后相交于一点【答案】C解析：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台，A，B，D正确，选C.《8.1基本立体图形》导学案第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体【学习目标】1.记住圆柱、圆锥、圆台、球的定义及它们的结构特征2.能用圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征解答一些相关问题3.了解组合体的概念 【自主学习】知识点1圆柱1．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．2．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．3．棱柱和圆柱统称为柱体．知识点2圆锥1．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．2．棱锥与圆锥统称为锥体．知识点3圆台1．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．2．棱台与圆台统称为台体．知识点4球半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径．知识点5简单组合体的结构特征1．定义：由简单几何体组合而成的几何体称为简单组合体．2．简单组合体构成的两种基本形式简单组合体eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(由简单几何体拼接而成；,由简单几何体截去或挖去一部分而成.))【合作探究】探究一旋转体的结构特征【例1】下列命题正确的是________．①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥；⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；⑦球面上任意三点可能在一条直线上；⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．【答案】④⑥⑧[分析]准确理解旋转体的定义，在此基础上掌握各旋转体的性质，才能更好地把握它们的结构特征，以作出准确的判断．[解析]①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥，故①错误；②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的线段，且这条线段与轴平行，故②错误；③它们的底面为圆面，故③错误；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义可知⑥正确；球面上任意三点一定不共线，故⑦错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故⑧正确．归纳总结：简单旋转体判断问题的解题策略,1准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.,2解题时要注意两个明确：,①明确由哪个平面图形旋转而成；,②明确旋转轴是哪条直线【练习1】下列命题：①任意平面截圆柱，截面都是圆面；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线，其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②【答案】D解析：过圆柱两母线的截面为矩形，有时斜的截面为椭圆，故①错误；圆台的母线不是上底面和下底面上任意两点的连线，③错误；由圆锥母线的定义知②正确，故选D.探究二圆柱、圆锥、圆台的计算问题【例2】已知一个圆台的母线长为12cm，两底面的面积分别为4πcm2和25πcm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[分析]在解答有关台体的问题时，一般要把台体还原成锥体，这就是常应用的“还台为锥”的思想，不仅在作图时应用，而且在计算时也常应用此思想寻求元素间的关系，以便解决问题．[解](1)设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD(如图所示)．由题意可得上底的一半O1A＝2cm，下底的一半OB＝5cm，腰长AB＝12cm，所以圆台的高AM＝eq\r(122－5－22)＝3eq\r(15)(cm)．(2)如图，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为lcm，则由△SAO1∽△SBO，得eq\f(l－12,l)＝eq\f(2,5)，解得l＝20.故截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.归纳总结：旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解.这是解答圆台问题常用的方法【练习2】如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台O′O的母线长．解：设圆台的母线长为lcm，由截得圆台上、下底面面积之比为116，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r、4r.过轴SO作截面，如图所示．则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm.∴eq\f(SA′,SA)＝eq\f(O′A′,OA)，∴eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)＝eq\f(1,4).解得l＝9.即圆台的母线长为9cm.探究三球的截面问题【例3】已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，求这两个截面间的距离．[分析]画出球的截面图，球心与截面圆心连线垂直于截面所在的平面，构造直角三角形解决．对于球的两个平行截面要注意讨论它们在球心同侧还是异侧，否则容易漏解．[解]设球的大圆为圆O，C，D两点为两截面圆的圆心，AB为经过C，O，D三点的直径且两截面圆的半径分别是6和8.当两截面在球心同侧时，如图(1)，此时CD＝OC－OD＝eq\r(OE2－EC2)－eq\r(OF2－DF2)＝8－6＝2.当两截面在球心两侧时，如图(2)，此时CD＝OC＋OD＝eq\r(OE2－EC2)＋eq\r(OF2－DF2)＝8＋6＝14.故两截面间的距离为2或14.归纳总结：利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键【练习3】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为2eq\r(2).解析：设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1，设球的半径为R，则R＝eq\r(d2＋r2)＝eq\r(2)，故球的直径为2eq\r(2).探究四简单组合体的结构特征【例4】(1)如图①所示的物体为燕尾槽工件，请说明该物体是由哪些几何体构成的．(2)指出图②中三个几何体的主要结构特征．[分析]由多面体和旋转体的结构特征进行判断．[解](1)题图①中的几何体可以看作是一个长方体割去一个四棱柱所得的几何体，也可以看成是一个长方体与两个四棱柱组合而成的几何体(如图所示)．(2)(A)中的几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱后剩余部分组合而成，其中圆柱内切于三棱柱．(B)中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱后剩余部分组合而成，其中四棱柱内接于圆锥．(C)中的几何体由一个球挖去一个三棱锥后剩余部分组合而成．其中三棱锥内接于球．归纳总结：会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力【练习4】如图，绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单几何体组成的？解：如图所示，由一个圆锥O4O5，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O1O2组成的．探究五与球有关的“切”与“接”问题【例5】已知正方体的棱长为a，分别求出它的内切球及与各棱都相切的球的半径．[分析]解决此题的关键是找准轴截面，建立半径与棱长的关系．[解](1)正方体的内切球与各面的切点为正方体各面的中心，故作出经过正方体相对两面的中心且与棱平行的截面，则球的一个大圆是其正方形截面的内切圆，如图(1)所示，设球的半径为R1，易得R1＝eq\f(a,2).(2)与正方体的各棱均相切的球与正方体相连接的点是正方体各棱的中点，故应作出经过正方体一组平行棱中点的截面，则球的轴截面是其正方形截面的外接圆，如图(2)所示，设球的半径为R2，易求得球的半径R2＝eq\f(\r(2),2)a.归纳总结：组合体问题应分清各部分之间是如何组合起来的，以便转化为平面图形进行计算．正方体的内切球直径等于正方体的棱长；外接球直径等于其体对角线的长；球与正方体各棱都相切，则球的直径等于正方体面对角线的长【练习5】正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图形是()【答案】C解析：正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心，所以过一条侧棱和高的截面必过该棱所对面的高线，故C正确．《8.2立体图形的直观图》导学案【学习目标】1.掌握斜二测画法的步骤2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图【自主学习】知识点1斜二测画法的步骤1．画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．2．画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．3．取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．知识点2空间几何体直观图的画法1．画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴．2．画平面：平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面．3．取长度：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．4．成图处理：成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．【合作探究】探究一水平放置的平面图形直观图的画法【例1】如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm，∠DAB＝30°，AD＝3cm，试画出它的直观图．[分析]以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系．只需确定四个顶点A，B，C，D在直观图中的相应点即可．[解]画法步骤：(1)如图甲所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图乙所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图甲中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB＝4cm，A′E′＝AE＝eq\f(3\r(3),2)≈2.598(cm)；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝eq\f(1,2)ED＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)＝0.75(cm)，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2cm.(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图丙所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．归纳总结：在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线.本题中，关键在于点D′的位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E的对应点E′，再去确定D′的位置【练习1】画边长为1cm的正三角形的水平放置的直观图．解：(1)如图①所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5cm，在y′轴上截取O′A′＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(\r(3),4)cm，连接A′B′、A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．(3)擦去x′、y′轴得直观图△A′B′C′，如图③所示．探究二画空间几何体的直观图【例2】用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD­A′B′C′D′的直观图．[分析]利用画轴、画底面、画侧棱、成图进行作图．[解](1)画轴．如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝eq\f(3,2)cm，分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)．归纳总结：(1)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，然后画出竖轴．此外，坐标系的建立要充分利用图形的对称性，以便方便、准确的确定顶点；(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以又快又准的画出【练习2】一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为4cm，圆锥的高为3cm，画出此几何体的直观图．解：(1)画轴，如图1所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆柱的两底面，在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3cm，且OA＝OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A、B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4cm，过O′作Ox，Oy的平行线O′x′，O′y′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3cm.(4)成图．连接A′A、B′B、PA′、PB′，擦掉辅助线，将其被遮挡的线改为虚线，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．探究三由直观图还原成原图【例3】如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.求原四边形ABCD的面积．[分析]利用斜二测画法的法则得到原图和直观图的关系．[解]如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.所以面积为S＝eq\f(2＋3,2)×2＝5.归纳总结：由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可【练习3】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形【答案】C解析：将直观图还原得到平行四边形OABC，如图所示，由题意知O′D′＝eq\r(2)O′C′＝2eq\r(2)cm，OD＝2O′D′＝4eq\r(2)cm，C′D′＝O′C′＝2cm，∴CD＝2cm，OC＝eq\r(CD2＋OD2)＝6cm，又OA＝O′A′＝6cm，∴OA＝OC，∴原图形为菱形.《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》导学案【学习目标】1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积2.会求棱柱、棱锥、棱台的体积【自主学习】知识点1棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱的表面积棱柱的表面积：S表＝S侧＋2S底．①其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧＝Ch；②长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表＝2(ab＋ac＋bc)；③棱长为a的正方体的表面积：S表＝6a2.2．棱锥的表面积棱锥的表面积：S表＝S侧＋S底；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h′的正棱锥的侧面积：S侧＝eq\f(1,2)Ch′.3．棱台的表面积棱台的表面积：S表＝S侧＋S上底＋S下底．多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和．知识点2棱柱、棱锥、棱台的体积1．棱柱的体积(1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝Sh.2．棱锥的体积(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝eq\f(1,3)Sh.3．棱台的体积(1)棱台的高是指两个底面之间的距离．(2)棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S)．【合作探究】探究一多面体的表面积【例1】已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2cm和4cm，侧棱长是eq\r(6)cm，则该三棱台的表面积为________．【答案】(5eq\r(3)＋9eq\r(5))cm2[分析]利用侧面是等腰梯形求出棱台的侧面积，再求出其表面积．[解析]正三棱台的表面积即上下两个正三角形的面积与三个侧面的面积和，其中三个侧面均为等腰梯形，易求出斜高为eq\r(5)cm，故三棱台的表面积为3×eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(5)＋eq\f(1,2)×2＋eq\r(3)＋eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝5eq\r(3)＋9eq\r(5).归纳总结：在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式的基础上，对于一些较简单的组合体，能够将其分解成柱、锥、台体，再进一步分解为平面图形正多边形、三角形、梯形等，以求得其表面积，要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理【练习1】如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6m，底面外接圆的半径是0.46m，问：制造这个滚筒需要5.6m2铁板(精确到0.1m2)．解析：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46m，所以底面正六边形的边长是0.46m.所以S侧＝Ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2)．所以S表＝S侧＋2S底＝4.416＋2×eq\f(\r(3),4)×0.462×6≈5.6(m2)．故制造这个滚筒约需要5.6m2铁板．探究二多面体的体积【例2】如图所示，在多面体ABCDEF中，已知底面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝eq\f(3,2)，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()A.eq\f(9,2) B．5C．6 D.eq\f(15,2)【答案】D[解析]如图，连接EB，EC，AC，则VE­ABCD＝eq\f(1,3)×32×2＝6.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴VF­EBC＝VC­EFB＝eq\f(1,2)VC­ABE＝eq\f(1,2)VE­ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)VE­ABCD＝eq\f(3,2).∴V＝VE­ABCD＋VF­EBC＝6＋eq\f(3,2)＝eq\f(15,2).归纳总结：求几何体体积的常用方法1公式法：直接代入公式求解.2等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.3补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等.4分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.【练习2】三棱台ABC­A1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，则三棱锥A1­ABC，B­A1B1C，C­A1B1C1的体积之比为()A．111B．112C．124D．144【答案】C解析：如图，设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.∴VA1­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC­A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V三棱台ABC­A1B1C1＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB­A1B1C＝V三棱台ABC­A1B1C1－VA1­ABC－VC­A1B1C1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh.∴体积比为124，∴应选C.《8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》导学案【学习目标】1..会求圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积2.会求圆柱、圆锥、圆台的侧面积3.了解球的体积和表面积公式 【自主学习】知识点1圆柱、圆锥、圆台、球的表面积1．圆柱的表面积(1)侧面展开图：圆柱的侧面展开图是矩形，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长．(2)面积：若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积S侧＝2πrl，表面积S表＝2πr(l＋r)．2．圆锥的表面积(1)侧面展开图：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．(2)面积：若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝πrl，表面积S表＝πr(l＋r)．3．圆台的表面积(1)侧面展开图：圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到．(2)面积：圆台的上、下底面半径分别为r′、r，母线长为l，则侧面积S侧＝π(r＋r′)l，表面积S表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)．4．球的表面积若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.知识点2圆柱、圆锥、圆台、球的体积1．圆柱的体积(1)圆柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)若圆柱的底面半径为r，高为h，其体积V＝πr2h.2．圆锥的体积(1)圆锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)若圆锥的底面半径为r，高为h，其体积V＝eq\f(1,3)πr2h.3．圆台的体积若圆台的上、下底面半径分别为r′、r，高为h，其体积V＝eq\f(1,3)πh(r′2＋r′r＋r2)．4．球的体积若球的半径为R，那么它的体积V＝eq\f(4,3)πR3.【合作探究】探究一圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算【例1】(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16eq\r(2)π，则圆锥的体积是()A.eq\f(64π,3)B.eq\f(128π,3)C．64πD．128eq\r(2)π(2)圆台的上、下底面半径分别为10cm、20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为________cm2.(结果中保留π)【答案】(1)A(2)1100π[分析](1)利用圆锥的轴截面得到圆锥的底面半径和高，进而求其体积；(2)利用圆弧与圆心角及半径的关系得到圆台的母线长，再利用表面积公式进行求解．[解析](1)设圆锥的底面半径为r，母线为l，∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴2r＝eq\r(l2＋l2)，即l＝eq\r(2)r，由题意得，侧面积S侧＝πrl＝eq\r(2)πr2＝16eq\r(2)π，解得r＝4，∴l＝4eq\r(2)，圆锥的高h＝eq\r(l2－r2)＝4，∴圆锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×42×4＝eq\f(64π,3).故选A.(2)如图所示，设圆台的上底面周长为ccm，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10cm，所以SA＝20cm.同理可得SB＝40cm，所以AB＝SB－SA＝20cm，所以S表面积＝S侧＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圆台的表面积为1100πcm2.归纳总结：解决旋转体的有关问题常需要画出其轴截面图，将空间问题转化为平面问题来解决.对于与旋转体有关的组合体问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，然后根据条件分清各个简单几何体底面半径及母线长，再分别代入公式求各自的表面积或体积【练习1】把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．解：设圆柱的底面半径为r，母线长为l.如图所示，当2πr＝4，l＝2时，r＝eq\f(2,π)，h＝l＝2，∴V圆柱＝πr2h＝eq\f(8,π)，当2πr＝2，l＝4时，r＝eq\f(1,π)，h＝l＝4，∴V圆柱＝πr2h＝eq\f(4,π).综上所述，这个圆柱的体积为eq\f(8,π)或eq\f(4,π).探究二球的表面积和体积的计算【例2】(1)两个球的体积之比为827，那么这两个球的表面积之比为()A．23 B．49C.eq\r(2)eq\r(3) D.eq\r(8)eq\r(27)(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．(3)圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.【答案】(1)B(2)eq\r(3,2)(3)4[分析]利用球的表面积和体积公式以及圆柱的体积公式进行求解．[解析](1)两个球的体积之比为827，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，可知两球的半径比为23，从而这两个球的表面积之比为49，故选B.(2)两个小铁球的体积为2×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(8π,3)，设大铁球的半径为R，则大铁球的体积eq\f(4,3)π×R3＝eq\f(8π,3)，所以大铁球的半径为eq\r(3,2).(3)设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.则有πr2·6r＝8πr2＋3·eq\f(4,3)πr3，即2r＝8，所以r＝4cm.归纳总结：求球的表面积与体积的一个关键和两个结论1关键：把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝eq\a\vs4\al(\f(4,3)πR3)是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.2两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.【练习2】一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积．解：当截面在球心同侧时，如图①所示为球的轴截面，由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R，∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7cm，同理，得O1A＝20cm.设OO1＝xcm，则OO2＝(x＋9)cm，在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2,②联立①②可得x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2500πcm2，故球的表面积为2500πcm2.当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.设球的半径为R，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7cm，∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20cm，设O1O＝xcm，则OO2＝(9－x)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400，在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去．综上所述，球的表面积为2500πcm2.探究三几何体的“切”“接”问题【例3】(1)若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2C．4πrR D．π(R＋r)2(2)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝4，AC＝3，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)【答案】(1)C(2)C[分析](1)作出球与圆台相切的轴截面．(2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形即可求得球O的半径．[解析](1)如图为球与圆台的轴截面，过D作DE⊥BC，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r，由勾股定理得4req\o\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq\r(Rr)(舍负)．故球的表面积为S球＝4πreq\o\al(2,1)＝4πRr.(2)如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝eq\f(13,2).归纳总结：解决几何体与球相切或相接的策略1要注意球心的位置，一般情况下，由于球的对称性，球心在几何体的特殊位置，比如几何体的中心或长方体对角线的中点等.2解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算【练习3】如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为eq\r(3)的圆柱，求圆柱的表面积．解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).如图所示，易知△AEB∽△AOC，∴eq\f(AE,AO)＝eq\f(EB,OC)，即eq\f(\r(3),2\r(3))＝eq\f(r,2)，∴r＝1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2eq\r(3)π.∴S＝S底＋S侧＝2π＋2eq\r(3)π＝(2＋2eq\r(3))π.《8.4.1平面》导学案【学习目标】1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系2.掌握有关平面的三个公理3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系 【自主学习】知识点1平面(1)平面的概念①平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．②立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的．如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象．(2)平面的画法常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于邻边长的2倍.一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.(3)平面的表示方法①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.知识点2点、直线、平面之间的关系点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外AlA在α内A∈αA在α外Aαl在α内l⊂αl在α外lαl，m相交于Al∩m＝Al，α相交于Al∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l知识点3平面的基本性质公理文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α①确定平面的依据②判定点线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上【合作探究】探究一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示【例1】如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．解在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.归纳总结：1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.2要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.【练习1】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.(3)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图③.探究二点线共面【例2】如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β.所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，所以α与β重合，所以PQ⊂α.归纳总结：证明点、线共面的两种方法方法一：先由确定平面的条件确定一个平面，然后再证明其他的点、线在该平面内．方法二：先由有关点、线确定一个平面α，再由其余元素确定一个平面β，然后根据有关定理，证明这两个平面重合【练习2】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．探究三点共线、线共点问题【例3】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F，DA三线交于一点．证明如图，连接EF，D1C，A1B.∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF綊eq\f(1,2)A1B.又∵A1B綊D1C，∴EF綊eq\f(1,2)D1C，∴E，F，D1，C四点共面，∴D1F与CE相交，设交点为P.又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD，∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据公理3，可得P∈DA，即CE、D1F、DA相交于一点．归纳总结：1证明三点共线的常用方法：方法一：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点.根据基本事实3知，这些点都在交线上.方法二：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上.2证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题.【练习3】已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．证明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．方法二∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．《8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系》导学案【学习目标】1.了解空间中两条直线的位置关系.2.理解异面直线的概念、画法【自主学习】知识点1空间中直线与直线的位置关系1．异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线．2．空间两直线的三种位置关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(共面,直线)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；,平行直线：在同一平面内，没有公共点；)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.))3．为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．(如图(1)(2)所示)知识点2空间中直线与平面的位置关系1．位置关系：有且只有三种(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点；(4)当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．2．符号表示：直线a在平面α内，记为a⊂α；直线a与平面α相交于点A，记作a∩α＝A；直线a与平面α平行，记作a∥α.3．图示：直线a在平面α内，如下图(1)所示；直线a与平面α相交于点A，如下图(2)所示；直线a与平面α平行，如下图(3)所示．知识点三空间中平面与平面的位置关系1．位置关系：有且只有两种(1)两个平面平行——没有公共点；(2)两个平面相交——有一条公共直线．2．符号表示：两个平面α，β平行，记作α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记作α∩β＝l.3．图示：两个平面α，β平行，如下图(1)所示；两个平面α，β相交于直线l，如下图(2)所示．【合作探究】探究一空间中直线与直线的位置关系【例1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，以下四个结论：①直线DM与CC1是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．【答案】①③④[分析]利用平行直线、相交直线、异面直线的定义判断．[解析]①中直线DM与直线CC1在同一平面内，它们不平行，必相交，故结论正确．③④中的两条直线既不相交也不平行，即均为异面直线，故结论正确．②中AM与BN是异面直线，故②不正确．故填①③④.归纳总结：判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．【练习1】在三棱锥S­ABC中，与SA是异面直线的是()A．SB B．SCC．BC D．AB【答案】C解析：由题图知SB、SC、AB、AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．探究二空间中直线与平面的位置关系【例2】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中判断下列位置关系：(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1的位置关系是________．(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．[分析]利用直线和平面的公共点个数进行判定．【答案】(1)平行(2)相交[解析](1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点，所以平行．(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．归纳总结：判断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据三个基本事实及推论给出严格证明.另外，借助模型如长方体举反例也是解决这类问题的有效方法.【练习2】三棱台ABC­A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是()A．相交B．平行C．直线在平面内D．平行或直线在平面内【答案】A解析：由棱台的定义知，棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线所确定，故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交．探究三空间中平面与平面的位置关系【例3】(1)若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线()A．平行 B．异面C．相交 D．平行或异面(2)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不存在【答案】(1)D(2)C[解析](1)两个平面内的直线必无交点，所以是异面或平行．(2)由题目分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相交或平行．解答本题可逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．归纳总结：判断空间中两平面之间的位置关系时，可把文字语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系【练习3】(1)两个平面将空间分成几部分？(2)将一个三棱柱的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成几部分？解：(1)两个平面平行时，将空间分成三部分；两个平面相交时，将空间分成四部分．(2)如图，将三棱柱的三个侧面延展成平面后，可将空间分成7部分，然后将三棱柱的两底面延展成平面，那么每一个平面将这7部分一分为二，故共分成3×7＝21部分．《8.5.1直线与直线平行》导学案【学习目标】1.能用基本事实4解决一些数学问题2.理解等角定理，能用等角定理解决一些数学问题【自主学习】知识点1基本事实4(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(2)符号表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))⇒a∥c.知识点2等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补．【合作探究】探究一基本事实4的应用【例1】如图，E、F分别是长方体A1B1C1D1­ABCD的棱A1A、C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形．[分析]平行四边形是平面图形，若能证得四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形．[证明]取DD1的中点点Q，连接EQ、QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綉A1D1.又在矩形A1B1C1D1中A1D1綉B1C1.∴EQ//B1C1(基本事实4)，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E//C1Q，又∵Q、F是矩形DD1C1C的两边中点，∴QD//C1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q//DF.又∵B1E//C1Q，∴B1E//DF，∴四边形B1EDF为平行四边形．归纳总结：基本事实4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法【练习1】如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，求证：四边形MNA′C′是梯形．证明：连接AC.∵M、N为CD、AD的中点，∴MN=eq\f(1,2)AC.由正方体性质可知AC//A′C′.∴MN//=eq\f(1,2)A′C′.∴四边形MNA′C′是梯形．探究二等角定理的应用【例2】如右图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG∽△C1DA1.[证明]连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF//=eq\f(1,2)B1C.又ABCD­A1B1C1D1为正方体，所以CD//AB，A1B1//AB，由基本事实4知CD//A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D//B1C.又B1C∥FG，由基本事实4知A1D∥FG.同理可证：A1C1∥EG，DC1∥EF.又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.所以△EFG∽△C1DA1.归纳总结：等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补【练习2】如图，已知线段AA1、BB1、CC1交于O点，且eq\f(OA,OA1)＝eq\f(OB,OB1)＝eq\f(OC,OC1)，求证：△ABC∽△A1B1C1.证明：∵AA1与BB1交于点O.且eq\f(OA,OA1)＝eq\f(OB,OB1)，∴A1B1∥AB.同理A1C1∥AC，B1C1∥BC.又∵A1B1和AB，A1C1和AC方向相反，∴∠BAC＝∠B1A1C1，同理∠ABC＝∠A1B1C1.∴△ABC∽△A1B1C1.《8.5.2直线与平面平行的判定》导学案【学习目标】1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理2.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题【自主学习】知识点1直线与平面平行的判定定理表示定理图形文字符号直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行⇒【合作探究】探究一线面平行判定定理的理解【例1】下列说法中正确的是()A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线【答案】D[解析]选项A中，直线l⊂α时，l与α不平行；直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况，所以选项B不正确；选项C中直线a可能在平面α内；选项D正确．故选D.归纳总结：正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线和平面的位置关系是解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法【练习1】设b是一条直线，α是一个平面，则由下列条件不能得出b∥α的是()A．b与α内一条直线平行B．b与α内所有直线都无公共点C．b与α无公共点D．b不在α内，且与α内的一条直线平行【答案】A解析：A中b可能在α内；B、C显然是正确的；D是线面平行的判定定理，所以选A.探究二线面平行的证明【例2】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别为棱AC，A1B1的中点，求证：MN∥平面BCC1B1.[分析]要证明直线a与平面α平行的关键是在平面α内找一条直线b，使a∥b.考虑是否有已知的平行线，若无已知的平行线，则根据已知条件作出平行线(有中点常作中位线)．[证明]取BC的中点P，连接B1P和MP，因为M，P分别为棱AC，BC的中点，所以MP∥AB，且MP＝eq\f(1,2)AB，因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以A1B1∥AB，A1B1＝AB，因为N为棱A1B1的中点，所以B1N∥AB，且B1N＝eq\f(1,2)AB.所以B1N∥PM，且B1N＝PM.所以MNB1P是平行四边形，所以MN∥PB1，又因为MN⊄平面BCC1B1，PB1⊂平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1.归纳总结：判定直线与平面平行有两种方法：一是用定义；二是用判定定理.使用判定定理时关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，一般是遵循先找后作的原则，即现有的平面中没有出现与已知直线平行的直线时，我们再考虑添加辅助线.具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行【练习2】如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，证明：BC1∥平面A1CD.证明如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又∵D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.∵DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD.探究三线面平行判定定理的综合应用【例3】一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？[解]在平面VAC内经过P作EF∥AC，且与VC的交点为F，与VA的交点为E.在平面VAB内，经过点E作EH∥VB，与AB交于点H，如图所示．在平面VBC内经过点F作FG∥VB，与BC交于点G.连接GH，则EF、FG、GH、HE为截面与木块各面的交线，即EF、FG、GH、HE就是应画的线．归纳总结：利用直线和平面平行的判定定理来证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等【练习3】如图，设P，Q是正方体ABCD­A1B1C1D1的面AA1D1D，面A1B1C1D1的中心，证明：PQ∥平面ABB1A1.证明：连接AB1，因为P，Q分别为AD1，B1D1的中点，所以PQ∥AB1，AB1⊂平面ABB1A1，PQ⊄平面ABB1A1.所以PQ∥平面ABB1A1.《8.5.2直线与平面平行的性质》导学案【学习目标】1.理解线面平行的性质定理，并能应用定理解决有关问题2.会用文字、符号、图形三种语言准确地描述线面平行的性质定理，并能证明一些空间位置关系的简单命题．【自主学习】知识点1文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言【合作探究】探究一线面平行性质定理的理解【例1】下列说法中正确的是()①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④【答案】D[解析]①根据线面平行的性质定理可知：直线与平面内的无数条直线平行，正确．②根据线面平行的定义，直线与平面平行，则直线与平面内的任何直线无公共点，正确．③可以作无数个平面与直线平行，错误．④根据直线l与平面α内一定点可以确定一个平面β，则平面α与平面β的交线与直线l平行，且在平面α内，正确，所以选D.归纳总结：eq\a\vs4\al(解决本类问题的技巧,1明确性质定理的关键条件；,2充分考虑各种可能的情况；,3特殊的情况注意举反例来说明.)【练习1】若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a、b、c…，那么这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点【答案】A解析：因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.探究二线面平行性质定理的应用【例2】如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．[证明]因为AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，所以AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，所以AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.所以四边形MNPQ为平行四边形．归纳总结：应用线面平行的性质定理可以得到线线平行.解此类题的关键是找到过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线需要作出辅助平面.必要时，可反复应用线面平行的判定定理和性质定理进行平行关系的转化【练习2】求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．证明：如图，直线a、l，平面α、β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.过a作平面γ交平面α于b.∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c，则b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.《8.5.3平面与平面平行的判定》导学案【学习目标】1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理，明确定理中“相交”两字的重要性2.能利用判定定理解决有关面面平行问题【自主学习】知识点1平面与平面平行的判定定理表示定理图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的两相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂β,b⊂β,a∩b＝P,a∥α,b∥α))⇒β∥α【合作探究】探究一面面平行判定定理的理解【例1】在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是()A．AD1∥平面EFGHB．BD1∥GHC．BD∥EFD．平面EFGH∥平面A1BCD1【答案】D[解析]在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，在A中，AD1与BC1平行，而BC1与平面EFGH相交，故AD1不平行于平面EFGH，故A错误；在B中，BD1∩CD1＝D1，CD1∥GH，故BD1不可能平行于GH，故B错误；在C中，BD∩A1B＝B，A1B∥EF，故BD与EF不可能平行，故C错误．在D中，EF∥A1B，FG∥BC，A1B∩BC＝B，EF∩FG＝F，所以平面EFGH∥平面A1BCD1，故D正确．归纳总结：解决此类问题的关键有两点：1借助常见几何体进行分析，使得抽象问题具体化.2把握住面面平行的判定定理的关键“一个平面内两条相交直线均平行于另一个平面”【练习1】下列命题中，错误的命题是()A．平行于同一直线的两个平面平行B．平行于同一平面的两个平面平行C．平行于同一平面的两直线关系不确定D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面【答案】A解析：如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥平面ADD1A1，BB1∥平面DCC1D1，而平面ADD1A1∩平面DCC1D1＝DD1.探究二平面与平面平行的证明【例2】如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.[分析]要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可．[证明]如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.又D、E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E∥DB，C1E＝DB.则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D.又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED∥A1A，ED＝A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD.又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.归纳总结：判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，先在一个平面内找两条与另一个平面平行的相交直线，找不到再引辅助线【练习2】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.证明：(1)连接B1D1，如图．∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，∴EF∥B1D1，而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D四点共面．(2)由题知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.如图，连接MF.∵M、F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD，MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.探究三线面平行、面面平行的综合应用【例3】已知底面是平行四边形的四棱锥P­ABCD，点E在PD上，且PE：ED＝2：1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．[分析]解答本题应抓住BF∥平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC，再确定F的位置．[解]存在．证明：如图所示，连接BD、AC交于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G，∴平面BGF∥平面AEC.又∵BF⊂平面BGF，∴BF∥平面AEC.∵BG∥OE，O是BD中点，∴E是GD中点．又∵PE：ED＝2：1，∴G是PE中点．而GF∥CE，∴F为PC中点．综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.归纳总结：1要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.2解决此类问题时，可应用平面中直线平行的判定自行构造一个与目标平面平行的平面，再根据性质判断目标点的位置.【练习3】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明：(1)如图，连接SB.∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)如图，连接SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.《8.5.3平面与平面平行的性质》导学案【学习目标】1.理解并能证明两个平面平行的性质定理2.能利用性质定理解决有关的平行问题【自主学习】知识点1平面与平面平行的性质文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言【合作探究】探究一面面平行性质定理的理解【例1】(1)平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下面三种情形：①a∥b；②a与b异面；③a与b相交，其中可能出现的情形有()A．1种 B．2种C．3种 D．0种(2)给出三种说法：①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α.其中正确说法的序号是________．【答案】(1)B(2)①②③[解析](1)因为平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，所以直线a与直线b无公共点．当直线a与直线b共面时，a∥b；综上知，①②都有可能出现，共有2种情形．故选B.(2)①正确．证明如下：如图(1)，在平面α内取两条相交直线a、b，分别过a、b作平面φ，δ，使它们分别与平面β交于两相交直线a′、b′，因为α∥β，所以a∥a′，b∥b′.又因为β∥γ，同理在平面γ内存在两相交直线a″，b″，使得a′∥a″，b′∥b″，所以a∥a″，b∥b″，所以α∥γ.②正确．若直线a与平面β平行或直线a⊂β，则由平面α∥平面β知a与α无