《8.3简单几何体的表面积与体积》复习教案与课后作业

《8.3简单几何体的表面积与体积》复习教案8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积学习目标核心素养1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．(重点)2．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．(难点、易错点)1.借助棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养．2．通过对棱柱、棱锥、棱台的体积的探究，提升逻辑推理的素养.【自主预习】1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；棱锥的体积公式V＝eq\f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)；棱台的体积公式V＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S)．其中，台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h.思考：简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？其体积呢？[提示]表面积变大了，而体积不变．1．棱长为3的正方体的表面积为()A．27B．64C．54D．36C[根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.]2．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为()A．6,22B．3,22C．6,11D．3,11A[V＝1×2×3＝6，S＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22.]3．棱长都是3的三棱锥的表面积S为．9eq\r(3)[因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝4×eq\f(\r(3),4)×32＝9eq\r(3).]【合作探究】简单几何体的表面积【例1】现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．[解]如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))eq\s\up20(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))eq\s\up20(2)＝eq\f(a2＋b2,4)＝eq\f(200＋56,4)＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．1．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是()A.eq\f(3＋\r(3),4)a2 B.eq\f(3,4)a2C.eq\f(3＋\r(3),2)a2 D.eq\f(6＋\r(3),4)a2A[∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于eq\f(\r(2),2)a，∴S表＝eq\f(\r(3),4)a2＋3×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up20(2)＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.]简单几何体的体积【例2】三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥C­A1B1C1的体积之比．[解]设三棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.∴VA1­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC­A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V台＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB­A1B1C＝V台－VA1­ABC－VC­A1B1C1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh，∴体积比为1∶2∶4.求几何体体积的常用方法2．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1­EDF的体积为．eq\f(1,6)[利用三棱锥的体积公式直接求解．VD1­EDF＝VF­DD1E＝eq\f(1,3)S△D1DE·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).]棱台与棱锥之间关系的综合问题【例3】已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．[解]如图，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12.连接OE，O1E1，则OE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×12＝6，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝3.过E1作E1H⊥OE，垂足为H，则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17，所以E1E＝3eq\r(17).所以S侧＝4×eq\f(1,2)×(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×3eq\r(17)＝108eq\r(17).在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？[解]如图，正四棱台的侧棱延长交于一点P.取B1C1，BC的中点E1，E，则EE1的延长线必过P点(以后可以证明)．O1，O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心．由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，且有O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝3，OE＝eq\f(1,2)AB＝6，则有eq\f(PO1,PO)＝eq\f(O1E1,OE)＝eq\f(3,6)，即eq\f(PO1,PO1＋O1O)＝eq\f(1,2).所以PO1＝O1O＝12.在Rt△PO1E1中，PEeq\o\al(2,1)＝POeq\o\al(2,1)＋O1Eeq\o\al(2,1)＝122＋32＝32×17，在Rt△POE中，PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝62×17，所以E1E＝PE－PE1＝6eq\r(17)－3eq\r(17)＝3eq\r(17).所以S侧＝4×eq\f(1,2)×(BC＋B1C1)×E1E＝2×(12＋6)×3eq\r(17)＝108eq\r(17).解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决．1．棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段的长，是掌握它们的表面积有关问题的关键．2．计算棱柱、棱锥、棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题．3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”．【课堂达标练习】1．判断正误(1)锥体的体积等于底面积与高之积．()(2)台体的体积，可转化为两个锥体体积之差．()(3)正方体的表面积为96，则正方体的体积为64.()[答案](1)×(2)√(3)√2．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ACD的体积是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．1A[三棱锥D1­ADC的体积V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).]3．已知高为3的棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1­ABC的体积为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)[答案]D4．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为．18a2[原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为eq\f(1,3)a，每个小正方体的表面积S1＝eq\f(1,9)a2×6＝eq\f(2,3)a2，所以27个小正方体的表面积是eq\f(2,3)a2×27＝18a2.]5．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P­ABC的体积V.[解]三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．故V＝eq\f(1,3)S△PAC·PB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×3＝4.《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》课后作业[合格基础练]一、选择题1．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)C[∵VC­A′B′C′＝eq\f(1,3)VABC­A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴VC­AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A．48eq\r(6)B．64C．16 D．96[答案]B3．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于()A．1∶9B．1∶8C．1∶4D．1∶3B[两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，故选B.]4．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是()A.eq\r(3)B.eq\r(2)C.eq\f(2,\r(3))D.eq\f(\r(3),2)A[如图所示，正方体的A′、C′、D、B的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为a，则正四面体边长为eq\r(2)a.∴正方体表面积S1＝6a2，正四面体表面积为S2＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，∴eq\f(S1,S2)＝eq\f(6a2,2\r(3)a2)＝eq\r(3).]5．四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是()A.eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)＋eq\f(1,z) B.eq\f(1,y)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)C.eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y) D.eq\f(1,z)＝eq\f(1,x＋y)C[由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h′，则根据条件得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4·\f(x＋y,2)·h′＝x2＋y2,z2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y－x,2)))2＝h′2))，消去h′得，4z2(x＋y)2＋(y－x)2(y＋x)2＝(x2＋y2)2.∴4z2(x＋y)2＝4x2y2，∴z(x＋y)＝xy，∴eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y).]二、填空题6．已知一个长方体的三个面的面积分别是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，则这个长方体的体积为．eq\r(6)[设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝eq\r(6).]7．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是，体积是．eq\r(3)eq\f(\r(2),12)[S表＝4×eq\f(\r(3),4)×12＝eq\r(3)，V体＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),4)×12×eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(2),12).]8．长方体ABCD­A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，则其路程的最小值为．eq\r(74)[把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC1的长分别为eq\r(90)、eq\r(74)、eq\r(80).①②③由此可见图②是最短路线，其路程的最小值为eq\r(74).]三、解答题9．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝eq\r(13)，BC＝AD＝2eq\r(5)，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．[解]以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图．设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝13，,y2＋z2＝20，,x2＋z2＝25，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，,z＝4.))∵VD­ABE＝eq\f(1,3)DE·S△ABE＝eq\f(1,6)V长方体，同理，VC­ABF＝VD­ACG＝VD­BCH＝eq\f(1,6)V长方体，∴V四面体ABCD＝V长方体－4×eq\f(1,6)V长方体＝eq\f(1,3)V长方体．而V长方体＝2×3×4＝24，∴V四面体ABCD＝8.10．如图，已知正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．[解]如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.∵S侧＝2S底，∴eq\f(1,2)·3a·h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2.∴a＝eq\r(3)h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.∴32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))2＝h′2.∴h′＝2eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)h′＝6.∴S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，S侧＝2S底＝18eq\r(3).∴S表＝S侧＋S底＝18eq\r(3)＋9eq\r(3)＝27eq\r(3).[等级过关练]1．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是．8[如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2eq\r(2)，其面积为8.图①图②]2．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．[解]如图，连接EB，EC.四棱锥E­ABCD的体积V四棱锥E­ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱锥F­EBC＝V三棱锥C­EFB＝eq\f(1,2)V三棱锥C­ABE＝eq\f(1,2)V三棱锥E­ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱锥E­ABCD＝4.∴多面体的体积V＝V四棱锥E­ABCD＋V三棱锥F­EBC＝16＋4＝20.8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第1课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积学习目标核心素养1.通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的求法．(重点)2．会求与圆柱、圆锥、圆台有关的组合体的表面积与体积．(难点、易错点)1.借助圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养．2．通过对圆柱、圆锥、圆台的体积的探究，提升逻辑推理的素养.【自主预习】1．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)，V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h(r是底面半径，h是高)，V圆台＝eq\f(1,3)πh(r′2＋r′r＋r2)(r′、r分别是上、下底面半径，h是高)．1．判断正误(1)圆柱的表面积就是侧面积．()(2)在一个圆锥中，母线长度不一定相同．()(3)圆台是用平行于底面的平面截圆锥得到的．()[答案](1)×(2)×(3)√2．圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为()A.eq\f(288,π)cm3 B.eq\f(192,π)cm3C.eq\f(288,π)cm3或eq\f(192,π)cm3 D．192πcm3C[圆柱的高为8cm时，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2π)))eq\s\up20(2)×8＝eq\f(288,π)cm3，当圆柱的高为12cm时，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2π)))eq\s\up20(2)×12＝eq\f(192,π)cm3.]3．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于()A．72 B．42πC．67π D．72πC[表面积S＝π(3＋4)×6＋π×32＋π×42＝67π.]【合作探究】圆柱、圆锥、圆台的表面积【例1】(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是()A.eq\f(1＋2π,2π)B.eq\f(1＋4π,4π)C.eq\f(1＋2π,π)D.eq\f(1＋4π,2π)(2)已知圆台的上、下底面半径分别是2,6，且侧面面积等于两底面面积之和．①求圆台的母线长．②求圆台的表面积．(1)A[设圆柱底面半径为r，则高为2πr，表面积∶侧面积＝[(2πr)2＋2πr2]∶(2πr)2＝eq\f(1＋2π,2π).](2)[解]①设圆台的母线长为l，则由题意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62，∴8πl＝40π，∴l＝5，∴该圆台的母线长为5.②由①可得圆台的表面积为S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π.圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：(1)得到空间几何体的平面展开图．(2)依次求出各个平面图形的面积．(3)将各平面图形的面积相加．1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的()A．4倍B．3倍C.eq\r(2)倍 D．2倍D[由已知得l＝2r，eq\f(S侧,S底)＝eq\f(πrl,πr2)＝eq\f(l,r)＝2，故选D.]圆柱、圆锥、圆台的体积【例2】圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是()A．1∶1B．1∶6C．1∶7 D．1∶8C[如图，设圆锥底半径OB＝R，高PO＝h，∵O′为PO中点，∴PO′＝eq\f(h,2)，∵eq\f(O′A,OB)＝eq\f(PO′,PO)＝eq\f(1,2)，∴O′A＝eq\f(R,2)，∴V圆锥PO′＝eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up20(2)·eq\f(h,2)＝eq\f(1,24)πR2h.V圆台O′O＝eq\f(π,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up20(2)＋R2＋\f(R,2)·R))·eq\f(h,2)＝eq\f(7,24)πR2h.∴eq\f(V圆锥PO′,V圆台O′O)＝eq\f(1,7)，故选C.]求几何体体积的常用方法2．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是()A.eq\f(2\r(3),3)πB．2eq\r(3)C.eq\f(7\r(3),6)πD.eq\f(7\r(3),3)πD[S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，∴l＝2，∴h＝eq\r(3).∴V＝eq\f(1,3)π(1＋4＋2)×eq\r(3)＝eq\f(7,3)eq\r(3)π.故选D.]组合体的表面积与体积【例3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．[解]如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝eq\f(BC－AD,cos60°)＝2a，AB＝CDsin60°＝eq\r(3)a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝eq\f(1,2)DD′＝a.由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长eq\r(3)a，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4eq\r(3)＋9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V柱＝Sh＝π·(2a)2·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa3，V锥＝eq\f(1,3)S′h＝eq\f(1,3)·π·a2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3，∴V＝V柱－V锥＝4eq\r(3)πa3－eq\f(\r(3),3)πa3＝eq\f(11\r(3),3)πa3.如果将例题的梯形绕着BC边所在直线旋转一周，如何求旋转体的表面积和体积？表面积和体积又分别为多少？[解]如图所示旋转体为一个圆锥和与它同底的一个圆柱组成，由条件可得：AD＝BO＝OC＝a，DO＝AB＝eq\r(3)a，DC＝2a，所以该旋转体的表面积为：S＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧＝π·(eq\r(3)a)2＋2πeq\r(3)a·a＋π·eq\r(3)a·2a＝3πa2＋2eq\r(3)πa2＋2eq\r(3)πa2＝(3＋4eq\r(3))πa2，该旋转体的体积为V＝V圆锥＋V圆柱＝eq\f(1,3)π(eq\r(3)a)2·a＋π(eq\r(3)a)2a＝4πa3.求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的．组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和(差)．1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．2．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．【课堂达标练习】1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A．1∶2 B．1∶eq\r(3)C．1∶eq\r(5) D.eq\r(3)∶2C[设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝eq\r(5)r.∴S侧＝πrl＝eq\r(5)πr2，S底＝πr2.则S底∶S侧＝1∶eq\r(5).]2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7B．6C．5D．3A[设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.]3．已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为．7π[由已知圆台上、下底面积分别为S上＝π，S下＝4π.则V圆台＝eq\f(1,3)·(π＋eq\r(π·4π)＋4π)·3＝7π.]4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为．6π[由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.]5．已知圆锥的底面半径为2，高为5，求这个圆锥的体积．[解]由题意V锥体＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2·h＝eq\f(20π,3).《8.3.2第1课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积》课后作业[合格基础练]一、选择题1．面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为()A．πQB．2πQC．3πQD．4πQB[正方形绕其一边旋转一周，得到的是圆柱，其侧面积为S＝2πrl＝2π·eq\r(Q)·eq\r(Q)＝2πQ.故选B.]2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．8C[圆台的轴截面如图，由题意知，l＝eq\f(1,2)(r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4.]3．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A．4πB．3πC．2π D．πC[底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.]4．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为()A．2eq\r(10)B．2eq\r(5)C．3 D．2A[圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，AC＝eq\r(22＋62)＝2eq\r(10).故选A.]5．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分为两段的比是()A．1∶3B．1∶(eq\r(3)－1)C．1∶9D.eq\r(3)∶2B[由面积比为1∶3，知小圆锥母线与原圆锥母线长之比为1∶eq\r(3)，故截面把圆锥母线分为1∶(eq\r(3)－1)两部分，故选B.]二、填空题6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为．2[设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr.解得r＝1，即直径为2.]7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)3[圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为eq\f(\f(π,3)102＋10×6＋62×9,π×142)＝3(寸)．]8．圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°(如图)，那么圆台的体积是．eq\f(7000π,3)eq\r(3)cm3[180°＝eq\f(20－10,l)×360°，∴l＝20，h＝10eq\r(3)，V＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)·h＝eq\f(7000\r(3)π,3)(cm3)．]三、解答题9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．[解]设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2πr＝eq\f(1,3)πl，得l＝6r.又S圆锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝eq\r(\f(15,7))，圆锥的高h＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6\r(\f(15,7))))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(15,7))))2)＝5eq\r(3)，V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\f(15,7)×5eq\r(3)＝eq\f(25\r(3),7)π.10．如图是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？[解]因为圆锥形铅锤的体积为eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2×20＝60π(cm3)，设水面下降的高度为xcm，则小圆柱的体积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))2x＝100πx.所以有60π＝100πx，解此方程得x＝0.6.故杯里的水将下降0.6cm.[等级过关练]1．已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S，底面周长为C，它的体积是()A.eq\f(C3,4πS) B.eq\f(4πS,C3)C.eq\f(CS,2π) D.eq\f(SC,4π)D[设圆柱底面半径为r，高为h，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ch＝S,C＝2πr))，∴r＝eq\f(C,2π)，h＝eq\f(S,C).∴V＝πr2·h＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2π)))2·eq\f(S,C)＝eq\f(SC,4π).]2．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b.那么圆柱被截后剩下部分的体积是．eq\f(πr2a＋b,2)[采取补体方法，相当于一个母线长为a＋b的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V＝eq\f(πr2a＋b,2).]第2课时球的表面积和体积学习目标核心素养1.了解并掌握球的体积和表面积公式．2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点)3．会解决球的切、接问题．(难点、易混点)1.通过对球的概念的学习，培养直观想象的数学素养；2．通过学习球的表面积、体积公式，培养逻辑推理、直观想象和数学运算的数学素养.【自主预习】1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？[提示]球没有底面，球的表面不能展开成平面图形．2．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝eq\f(4,3)πR3.1．若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是()A.eq\f(C2,4π)B.eq\f(C2,2π)C.eq\f(C2,π)D．2πC2C[由2πR＝C，得R＝eq\f(C,2π)，所以S球面＝4πR2＝eq\f(C2,π).]2．表面积为4π的球的半径是．1[设球的半径为R，则S＝4πR2＝4π，得R＝1.]3.若一个球的体积为36π，则它的表面积为．36π[由eq\f(4,3)πR3＝36π，可得R＝3，因此其表面积S＝36π.]4．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是．eq\r(3,2)[设大球的半径为R，则有eq\f(4,3)πR3＝2×eq\f(4,3)π×13，R3＝2，∴R＝eq\r(3,2).]【合作探究】球的表面积与体积【例1】(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为eq\f(500,3)π，求它的表面积．[解](1)设球的半径为r，则由已知得4πr2＝64π，r＝4.所以球的体积：V＝eq\f(4,3)×π×r3＝eq\f(256,3)π.(2)设球的半径为R，由已知得eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500,3)π，所以R＝5，所以球的表面积为：S＝4πR2＝4π×52＝100π.求球的表面积与体积的一个关键和两个结论(1)关键：把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝eq\f(4,3)πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．(2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方．1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为．4∶9[根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等于半径之比的立方，表面积的比等于半径之比的平方，因为两个球的体积之比为8∶27，所以两个球的半径之比为2∶3，所以两个球的表面积的比为4∶9.]球的截面问题【例2】(1)平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为eq\r(2)，则此球的体积为()A.eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π(2)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为．(1)B(2)1或7[(1)如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝eq\r(2)，O′M＝1，∴OM＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3)，即球的半径为eq\r(3)，∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.(2)若两个平行截面在球心同侧，如图①，则两个截面间的距离为eq\r(52－32)－eq\r(52－42)＝1；若两个平行截面在球心异侧，如图②，则两个截面间的距离为eq\r(52－32)＋eq\r(52－42)＝7.]①②1．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．2．注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理．2．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于．16π[如图，圆M面积为3π，则圆M半径MB为eq\r(3)，OA＝2，则球O的表面积等于4π×22＝16π.]与球有关的切、接问题[探究问题]1．若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其外接球半径R与三条棱长有何关系？[提示]2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).2．棱长为a的正方体的外接球，其半径R与棱长a有何数量关系？其内切球呢？[提示]外接球半径R＝eq\f(\r(3),2)a；内切球半径R＝eq\f(1,2)a.3．若一球与正方体的12条棱相切，则球半径R与棱长a有何数量关系？[提示]R＝eq\f(\r(2),2)a.【例3】(1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为.(2)正方体的全面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是．(1)eq\f(4,3)π(2)eq\f(πa2,2)[(1)由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为eq\f(4,3)π.(2)正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合．可见，正方体的对角线是球的直径．设球的半径是r，则正方体的对角线长是2r.依题意，2r＝eq\r(3)·eq\r(\f(a2,6))，即r2＝eq\f(1,8)a2，所以S球＝4πr2＝4π·eq\f(1,8)a2＝eq\f(πa2,2).]1．将本例(1)变为：长方体的一个顶点处的三条棱长分别是eq\r(3)，eq\r(3)，eq\r(6)，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是()A．12πB.18πC．36πD.6πA[由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为2eq\r(3)，从而球的半径为eq\r(3)，球表面积为12π.]2．将本例(1)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为．100π[如图，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面积为100π.]常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．1．球的表面积、体积基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图形，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．【课堂达标练习】1．判断正误(1)球的体积之比等于半径比的平方．()(2)球面展开一定是圆形的平面．()(3)长方体既有外接球又有内切球．()[答案](1)×(2)×(3)×2．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为．3π[由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即eq\f(1,2)×4π＋π＝3π.]3．一个正方体的八个顶点都在体积为eq\f(4,3)π的球面上，则正方体的表面积为．8[设球的半径为R，正方体的棱长为a，则eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π，故R＝1，由eq\r(3)a＝2R＝2，所以a＝eq\f(2,\r(3))，所以正方体的表面积为S＝6a2＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))))eq\s\up20(2)＝8.]4．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积；(2)已知球的体积为eq\f(108π,3)，求它的表面积．[解](1)由R＝1，所以S球＝4πR2＝4π，V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π.(2)由V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(108,3)π，所以R＝3，所以S＝4πR2＝36π.《8.3.2第2课时球的表面积和体积》课后作业[合格基础练]一、选择题1．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的()A.eq\f(5,9)倍B.eq\f(9,5)倍C．2倍D．3倍B[设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，eq\f(36π,20π)＝eq\f(9,5).]2．把半径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为()A．3cm B．6cmC．8cm D．12cmD[由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·63＋eq\f(4,3)π·83＋eq\f(4,3)π·103，得R3＝1728，检验知R＝12.]3．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A．2π B．3πC．4π D．6πB[由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个球面积，S＝π