北京海淀人大附2025届高一下数学期末调研模拟试题含解析

北京海淀人大附2025届高一下数学期末调研模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等差数列an的前n项和为18，若S3=1，aA．9 B．21 C．27 D．362．向量，，若，则（）A．5 B． C． D．3．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是A．4 B．5 C．6 D．74．在等差数列an中，若a2+A．100 B．90 C．95 D．205．如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c依次成等差数列，，，依次成等比数列，则的形状为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．钝角三角形 D．直角边不相等的直角三角形7．一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，下列事件的概率：（1）豆子落在红色区域概率为；（2）豆子落在黄色区域概率为；（3）豆子落在绿色区域概率为；（4）豆子落在红色或绿色区域概率为；（5）豆子落在黄色或绿色区域概率为.其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．以为圆心，且与两条直线，都相切的圆的标准方程为（）A． B．C． D．9．记等差数列前项和，如果已知的值，我们可以求得（）A．的值 B．的值 C．的值 D．的值10．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.04，出现丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________.12．函数的定义域为__________；13．某校老年、中年和青年教师的人数分别为90，180，160，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则抽取的样本中老年教师的人数为_____14．设，其中，则的值为________.15．等差数列前项和为，已知，，则_____．16．已知直线y=b(0＜b＜1)与函数f(x)=sinωx(ω＞0)在y轴右侧依次的三个交点的横坐标为x1=,x2=,x3=,则ω的值为______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．一扇形的周长为20，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？18．某厂生产产品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投人成本万元.当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，万元，每千件产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完.（1）写出年利润万元关于千件的函数关系式；（2）当年产量为多少千件时该厂当年的利润最大？19．如图所示，在梯形中，∥，⊥，，⊥平面，⊥．（1）证明：⊥平面；（2）若，求点到平面的距离．20．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路．（1）已知某人从沿走到用了分钟，从沿走到用了分钟，若此人步行的速度为每分钟米，求该扇形的半径的长（精确到米）（2）若该扇形的半径为，已知某老人散步，从沿走到，再从沿走到，试确定的位置，使老人散步路线最长．21．已知的内角的对边分别为，若向量，且.（1）求角的值；（2）已知的外接圆半径为，求周长的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

利用前n项和Sn的性质可求n【详解】因为S3而a1所以6Snn【点睛】一般地，如果an为等差数列，Sn为其前（1）若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q，则am（2）Sn=n（3）Sn=An（4）Sn2、A【解析】

由已知等式求出，再根据模的坐标运算计算出模．【详解】由得，解得．∴，，．故选：A．【点睛】本题考查求向量的模，考查向量的数量积，及模的坐标运算．掌握数量积和模的坐标表示是解题基础．3、C【解析】

根据相邻正方体的关系得出个正方体的棱长为等比数列，求出塔形表面积的通项公式，令，即可得出的范围．【详解】设从最底层开始的第层的正方体棱长为，则是以2为首项，以为公比的等比数列.∴是以4为首项，以为公比的等比数列∴塔形的表面积为.令，解得.∴塔形正方体最少为6个.故选C.【点睛】此题考查了立体图形的表面积问题以及等比数列求和公式的应用．解决本题的关键是得到上下正方体的棱长之间的关系，从而即可得出依次排列的正方体的一个面的面积，这里还要注意把最下面的正方体看做是6个面之外，上面的正方体都是露出了4个面．4、B【解析】

利用等差数列的性质，即下标和相等对应项的和相等，得到a2【详解】∵数列an为等差数列，a∴a【点睛】考查等差数列的性质、等差中项，考查基本量法求数列问题.5、A【解析】

分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设=所以当时，上式取最小值，选A.点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。6、A【解析】

根据a，b，c依次成等差数列，，，依次成等比数列，利用等差、等比中项的性质可知，根据基本不等式求得a=c，判断出a=b=c，推出结果．【详解】由a，b，c依次成等差数列，有2b=a+c(1)由，，成等比数列,有(2)，由(1)(2)得，又根据，当a=c时等号成立，∴可得a=c，∴，综上可得a=b=c，所以△ABC为等边三角形.故选：A.【点睛】本题考查三角形的形状判断，结合等差、等比数列性质及基本不等式关系可得三边关系，从而求解，考查综合分析能力，属于中等题.7、B【解析】试题分析：方桌共有块，其中红色的由块，黄色的由块，,绿色的由块，所以（1）（2）（3）结论正确，故选择B.这里表面上看是与面积相关的几何概型，其实还是古典概型考点：古典概型的概率计算和事件间的关系.8、C【解析】

由题意有，再求解即可.【详解】解：设圆的半径为，则，则，即圆的标准方程为，故选：C.【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了运算能力，属基础题.9、C【解析】

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a5+a21=2a1+24d的值为已知，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【详解】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵已知a5+a21的值，∴2a1+24d的值为已知，∴a1+12d的值为已知，∵∴我们可以求得S25的值．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．10、B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，结合勾股定理，底面半径，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、0.95【解析】

根据抽查一件产品是甲级品、乙级品、丙级品是互为互斥事件，且三个事件对立，再根据抽得正品即为抽得甲级品的概率求解.【详解】记事件A={甲级品}，B={乙级品}，C={丙级品}因为事件A，B，C互为互斥事件，且三个事件对立，所以抽得正品即为抽得甲级品的概率为故答案为：0.95【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.12、【解析】

根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，列出不等式组，解出即可．【详解】依题意可得，，解得即，故函数的定义域为．故答案为：．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，涉及三角不等式的解法，属于基础题．13、【解析】

根据分层抽样的定义建立比例关系，即可得到答案。【详解】设抽取的样本中老年教师的人数为，学校所有的中老年教师人数为270人由分层抽样的定义可知：，解得：故答案为【点睛】本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，属于基础题。14、【解析】

由两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求出的值．【详解】，所以，因为，故．【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的逆用以及诱导公式的应用．15、1【解析】

首先根据、即可求出和，从而求出。【详解】，①，②①②得，，即，∴，即，∴，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了解方程，以及等差数列的性质和前项和。其中等差数列的性质:若则比较常考，需理解掌握。16、1【解析】

由题得函数的周期为解之即得解.【详解】由题得函数的周期为.故答案为1【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的周期，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、；；【解析】

设扇形的半径为，弧长为，利用周长关系，表示出扇形的面积，利用二次函数求出面积的最大值，以及圆心角的大小.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，即，扇形的面积，将上式代入得，所以当且仅当时，有最大值，此时，可得，所以当时，扇形的面积取最大值，最大值为【点睛】本题考查了扇形的弧长公式、面积公式以及二次函数的性质，需熟记扇形的弧长、面积公式，属于基础题.18、（1）（2）100【解析】

（1）由于每生产千件需另投人成本受产量的影响有变化，根据题意，所以分当时和当时，两种情况进行讨论，然后根据利润的定义写出解析式.（2）根据（1）的利润函数为，当时，用二次函数法求最大值；当时，用基本不等式求最大值.最后两段中取最大的为利润函数的最大值，相应的x的取值即为此时最大利润时的产量.【详解】（1）根据题意当时，，当时，，综上：.（2）由（1）知，当时，，当时，的最大值为950万.当时，，当且仅当即时取等号，的最大值为1000万.综上：当产量为100千件时，该厂当年的利润最大.【点睛】本题主要考查了分段函数的实际应用，还考查了建模，运算求解的能力，属于骠题.19、（1）见解析（2）【解析】

（1）通过⊥，⊥来证明；（2）根据等体积法求解.【详解】（1）证明：∵⊥平面，平面，∴⊥.又⊥，，平面，平面，∴⊥平面.（2）由已知得，所以且由（1）可知，由勾股定理得∵平面∴=，且∴，由，得∴即点到平面的距离为【点睛】本题考查线面垂直与点到平面的距离.线面垂直的证明要转化为线线垂直；点到平面的距离常规方法是作出垂线段求解，此题根据等体积法能简化计算.20、（1）445米；（2）在弧的中点处【解析】

（1）假设该扇形的半径为米，在中，利用余弦定理求解；（2）设设，在中根据正弦定理，用和表示和，进而利用和差公式和辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求最值.【详解】（1）方法一：设该扇形的半径为米，连接.由题意，得(米)，（米），在中，即，解得（米)方法二：连接，作，交于，由题意，得（米），（米），，在中，.（米）..在直角中，（米），（米）.（2）连接，设，在中，由正弦定理得：，