2023-2024学年浙江省嘉兴市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省嘉兴市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

L“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）

A.必然事件B.随机事件C.确定事件D.不可能事件

2.已知b=2a,则审的值为（）

A1

A・3B|c|D.3

3.抛物线y=（x-I）2+2的顶点坐标是（)

A.(1,2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(-1,-2)

4.已知C是线段上黄金分割点，AB=2,AC>BC,则AC的长为（）

A.3-75B.75-1C.2-73D.<3-1

5.如图，△ABC内接于。。，AC是。。的直径，若48=20。，则4CAD的度数是（

A.60°

B.65°

C.70°

D.75°

6.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点。为位似中心，在y轴右侧作△力B。放

大2倍后的位似图形4。。。，若点B的坐标为（-1,-2）,则点8的对应点。的坐标为

)

A.(2,4)

B.(3,4)

C.(3,5)

D.(4,3)

7.如图，我国古代数学家赵爽使用的弦图是由四个全等的直角三角形构成的正方形

ABCD,若AF=4,BF=3,在弦图区域内随机取点，则该点落在正方形EFGH区域内

的概率为（）

A，—15

8.如图，点P是等边三角形4BC的重心，AB=3,Q是BC边上一点，当PQIBP时，A

A

则BQ的长为（）

A.1

B1

BQC

C./3

D.2

9.如图，AB是。。一条弦，将劣弧沿弦4B翻折，连结40并延长交翻折后的弧于点

C,连结BC.若=2,BC=1,则4C的长为（）

A.|75

yB

B.1/5.......・J

D.1/5

.已知二次函数久当一时，函数有最小值;，则的值为（

10y=2-b%+1,yb)

A.一，！或|D.或一］

c.±/2O

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.若正n边形的一个外角为72。，则门=

12.如图，4B与CD交于点0,连结4D和BC,要使△40£>SA80C,请添加一个条件:

13.一个不透明的箱子里有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除了颜色外其他都相同,从中任意摸出一

个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出的两个球恰好颜色不同的概率为

14.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)满足二次函数y=0.04x2(x>0),若该车某次的刹车

距离为9m,则开始刹车时的速度为m/s.

15.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线y=ax?-4ax-3与y轴交于点A,过点4作x轴的平行线

交抛物线于点B,抛物线顶点为P.若直线OP交直线48于点C,且4BC=34B,贝Ua的值为

16.如图，△ABC内接于。。，己知4B是。。直径，AB=2,NABC=30。，点

。在直径AB上方的半圆上运动，连结CD交4B于点E,则空的最大值为.

三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题6分)

已知二次函数y=-x2+bx+3的图象经过点4(1,4).

(1)求b的值；

(2)判断P(2,3)是否在该函数的图象上，并说明理由.

18.(本小题6分)

现有三张正面分别写有1,2,3的不透明卡片，卡片除正面数字外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗

匀.(1)从中随机抽取一张卡片，求抽取写有1的卡片的概率：

(2)从中随机抽取两张卡片，求抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率，用列表法或画树状图的方法

加以说明.

19.(本小题6分)

如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点4B,C在格点上.

(1)画出过4,B,C三点的圆的圆心P；

(2)求4c的长.

20.（本小题6分）

如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度OQ=2.5m,现在屋顶上开一个天窗，4B在水平位置，且=

2.4m,求天窗高度AC的长.

21.（本小题6分）

如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm,截面中有水部分弓形的高为6cm.

（1）求截面中弦AB的长；

（2）求截面中有水部分弓形的面积.

22.（本小题6分）

根据以下素材，探索完成任务.

某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部

素分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱CE和DF

材1组成，立柱高为1m,顶棚最高点距离地面EF是4zn,EF

EF的长为207n.

为提高灌溉效率，学校在EF的中点M处安装了一款可垂

素直升降的自动喷灌器MA，从喷水口4喷出的水流可以看

材2成抛物线，其形状与y=—0.05M的图象相同，=

MAEOF

1.45m,此时水流刚好喷到立柱的端点。处.

问题解决

以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角

任

确定顶棚的形状坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达

务1

式.

任问AM处喷出的水流在距离。点水平距离

探索喷水的高度

务2为多少米时达到最高.

任如何调整喷水口的高度(形状不变)，使

调整喷头的高度

务3水流喷灌时恰好落在边缘F处.

23.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中，抛物线丫=。/+6%+3交、轴于点4且过点8(—1,2),C(3,0).

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)将抛物线向左平移m(zn>0)个单位，当抛物线经过点B时，求m的值;

(3)若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且S-BC=2SMCP，求点P的坐标.

24.(本小题8分)

如图1,已知AB为。。的直径，弦CO_L4B于点E,G是念上一点，连结4D,AG,DG.

(1)求证：/-AGD=乙4DC；

(2)如图2,延长AG,DC相交于点F,连结CG.

①已知AG=6,GF=4,求40的长;

②记DG与28的交点为P,若48=10,CD=8,当4G=4P时，求装的值.

DG

图I

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，

故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件.

故选：B.

根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断.

本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方

法去分析、看待、解决问题，比较简单.

2.【答案】D

【解析】解：1•,b=2a,

...也=£±2a=四=3

aaa

故选：D.

把b=2a代入所求的代数式中进行分式的化简计算即可.

本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性

质；等比性质)是解决问题的关键.

3.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了求抛物线的顶点坐标.熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键.直接利用顶点式的特

点可写出顶点坐标.

【解答】

解：「顶点式y=a(x—九)2+匕顶点坐标是(h,k),

••・抛物线y=(x-I)2+2的顶点坐标是(1,2).

故选A.

4.【答案】B

【解析】解：•点C是线段4B的黄金分割点，且4B=2,AC>BC,

AC==/5-1,

故选：B.

由黄金分割点的定义求出BC的长，即可得出答案.

本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：连接8D,

•・•力。是。。的直径，

Z.ABD=90°,

•••/.ABC=20°,

•••乙CBD=Z.ABD-/.ABC=70°,

/.CAD=乙CBD=70°,

故选：C.

连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得乙4BO=90。，从而可求出NC8。的度数，然后利用同弧所对

的圆周角相等即可解答.

本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

6.【答案】4

【解析】解：•••以坐标原点。为位似中心，在y轴右侧作△4B。放大2倍后的位似图形AC。。，点8的坐标为

(-1--2)，

•••点B的对应点。的坐标为(—1x(-2),-2x(—2)),即(2,4),

故选：A.

根据位似变换的性质解答即可.

本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为匕那么位

似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

7.【答案】D

【解析】解：VBF=3,AF=4,

AB=VAF2+BF2=V42+32=5,

•••大正方形的面积为25,

正方形EFGH的面积为25-4x3x4xj=1,

••.该点落在正方形EFGH区域内的概率为与.

故选：D.

根据勾股定理先求出48的长，从而得出三角形的面积，然后根据概率公式即可得出答案.

此题主要考查了几何概率问题，掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：•••点P是等边三角形ABC的重心，

•••D8是△力BC的中线，BP：BD=2：3,

BD1AC,

•••PQ1BP,

PQ//AC,

BQ：BC=BP：BD=2：3,

vBC=AB=3,

BQ=2.

故选：D.

由三角形重心的性质推出DB是△ABC的中线，BP：BD=2：3,由平行线分线段成比例定理推出BQ：

BC=BP：BD=2：3,而BC=A8=3,即可求出BQ=2.

本题考查三角形的重心，等边三角形的性质，平行线分线段成比例，关键是由三角形重心的性质得到DB是

△ABC的中线，BP：BD=2：3,由平行线分线段成比例定理得到BQ：BC=BP：BD=2：3.

9.【答案】C

【解析】解：延长4c交。。于点。，连接BD,过8点作BE14。于E点，如图，/

•.•劣弧沿弦4B翻折，40交翻折后的弧于点C,/

而我和俞都对NB4D,

BC=BD>\

・・.BC=BD=1,

vBE1CD,

・•・CE=DE,

・・・A0为直径,

・•・乙ABD=90°,

在Rt△ABD'V,AD=yjBD2+AB2=VI2+22=6,

11

2-2-

1x22V5

•■-BD£7£=7T=—

在Rt△BDE中,DE=\/BD2-BE2=I2-（怜2=等

2/5

/.CD=2DE=詈

x,62V-53V-5

AAAC=AADn-CD=\/5———=

故选：C.

延长AC交。。于点。，连接BD,过B点作BE14。于E点，如图，利用折叠的性质可判断诧和筋所在圆为

等圆，则根据圆周角定理得到配=介，所以BC=BD=L再利用等腰三角形的性质得到CE=DE,接

着根据圆周角定理得到N4BD=90。，则利用勾股定理可计算出4。=<5.于是利用面积法可计算出BE=

争，然后利用搞定了计算出DE=^，所以CD=手，最后计算4。-CD即可.

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的

一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

10.【答案】A

【解析】解：,:二次函数y=/-bx+1=（x-32+t_,当一|=时，函数y有最小值g,

413

得

2解

+-==

・•・当23时，即b>1时，X=：取得最小值，则《42-2-

当-注时，即-3Wb<l,x=2取得最小值，则彳=：，解得，b=-心或b=舍去）,

当义<一|时，即b<—3时，”一?取得最小值，则（一；52+竽=；,解得，b=一半（舍去），

故b的值为-，2或|.

故选：A.

根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的数学方法可以求得a的值.

本题考查二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

11.【答案】5

【解析】解：•••正n边形的一个外角为72。，

・•・n=360+72=5,

故答案为：5.

根据正多边形的性质及其外角和为360。列式计算即可.

本题考查多边形的外角和与正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

12.【答案】乙B=答案不唯一）

【解析】解：添加48=Z.A,

v乙B=ZJ1,Z.AOD=Z-BOC,

・••△AODSABOC,

故答案为：NB=/做答案不唯一）.

由相似三角形的判定可直接求解.

本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

13.【答案】I

【解析】解：记两个白球分别为白1与白2,画树状图得：

开始

第一次摸出的球红A1白2

Z\/\人

第二次摸出的球白I白2红白2红白1

从树状图可看出：共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球恰好颜色不同的结果总数为4种，

所以摸出的两个球恰好颜色不同的概率=\=

故答案为：

根据题意先画出树状图，求出总情况数，再根据概率公式即可得出答案.

本题考查了列表法与树状图法，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验

还是不放回实验.解题的关键是掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比.

14.【答案】15

【解析】解：当刹车距离为9m时，即可得y=9,

代入二次函数解析式得：9=0.04%2

解得x=±15,（x=-15舍），

故开始刹车时的速度为15m/s.

故答案为：15..

本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可，另外实际问题中，负值舍去.

本题考查了二次函数的应用，明确％、y代表的实际意义，刹车距离为9m,即是y=9,难度一般.

15.【答案】.或—言

【解析】解：令％=0,则y=—3,

・•・4(0,-3),

•・・过点4作工轴的平行线交抛物线于点B,则点B纵坐标为-3,

当y=-3时，Q/—4ax—3=-3,

解得，%i=0,久2=4,

・・・8(4,-3),

・•・AB=4,

•・・4BC=348,

AC(l,-3),

当点C在线段AB延长线上时，如图2：

BC=3,AC=AB+BC=7,

C(7,-3),

•・•y=ax2—4ax—3=a(x—2)2—4a—3,

・・・P(2,—4Q—3),

设直线OP解析式为y=kx,

把P(2,—4a—3)代入，得一4a-3=2k,

解得：k=—2a—

-y=(-2a-|)x；

把C(l,一3)代入，得一3=-2a-1，

解得：a=*,

把C(7,-3)代入，得一3=7(-2a-/，

15

得

解ai

=2-

85

315

综上---

428

故答案为：3或-捻

先求出4、B两点坐标，再分两种情况：当点C在线段4B上时，当点C在线段AB延长线上时，根据4BC=

3AB,分别求得点C坐标，然后用等定系数法求得直线0P的解析式为y=(-2a-|)x,把点C坐标代入计算

即可.

本题是一次函数与二次函数的综合，主要考查二次函数的图象与坐标轴交点，二次函数的性质，二次函数

图象上点的坐标特征，用待定系数法求正比例函数的解析式等，求出点C的坐标和直线0P的解析式，再把

点C的坐标代入直线0P的解析式是解题的关键，注意分类讨论思想的应用.

16.【答案】竽

【解析】解：连结0D,作DL_LAB于点L,CFJ.4B于点F,则O0/CF,

DELs匕CEF,

DEDL/：\

5

・•e••CF为#定值，4NfJ

••・当儿的值最大时，则徐的值最大，此时需的值最大，次—/

CFCE

・・,AB是。。的直径，

・・・Z-ACB=90°,

・・・AB=2,(ABC=30°,

AC=gAB=1，

・・•BC=y/AB2-AC2=V22-l2=G

'S>ABC=5x2CF=2x1xV-3，

：•CF/

•・・DL<OD,SLOD=^AB=1,

・•・DL<1,

•••DL最大=1,

,DEDL12V3

当DL=1时，而一而一逅一3'

~2

器的最大值为经，

CD3

故答案为：竽.

连结OD,作DLLAB于点L,CF1AB于点尸，WJACEF,所以叫=给由CF为定值，可知当DL

CBCr

的值最大时，则年的值最大，此时萼的值最大，由乙4cB=90。，AB=2,乙4BC=30。，得4c==

CFCE2

1.则BC=AB2-AC2=6,由=|x2CF=1x1x/3.求得CF=?而DL<1.则最大=

1.求得罢=年=婴，于是得到问题的答案.

CECF3

此题重点考查圆周角定理、直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、相似三角形的

判定与性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键.

17.【答案】解：(1)二次函数丫=一/+匕尤+3的图象经过点4(1,4),

4=-l+b+3,

b=2；

(2)P(2,3)在该函数的图象上，

理由：:b=2,

・•・二次函数的解析式为y=-x2+2x+3,

把P(2,3)代入y=-X2+2x+3得：

左边=3,右边=-4+4+3=3,

即左边=右边，

所以点P在该函数的图象上.

【解析】(1)把点4(1,4)的坐标代入解析式即可求出b的值；

(2)把P(2,3)的坐标代入解析式，看看两边是否相等即可.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能正确求出函数的解析式是解此题的关键.

18.【答案】解：(1)•••三张正面分别写有1,2,3的不透明卡片，

••・从中随机抽取一张卡片，抽取写有1的卡片的概率小

(2)画树状图如图：

开始

123

入/\

231312

共有6个等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的结果数有2种，

P(抽取的两张卡片上的数字之和为偶数)另=9.

OD

【解析】(1)直接利用概率公式求解即可.

(2)画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式

可得出答案.

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步

完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实

验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

19.【答案】解：（1）如图，连接4B,BC,分别作线段力B,BC的垂直平分线，相交于点P,

则点P即为所求.

【解析】（1）连接4B,BC,分别作线段4B,BC的垂直平分线，交点即为过4B,C三点的圆的圆心P.

（2）利用勾股定理计算即可.

本题考查作图一应用与设计作图、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解答本题的关

键.

20.【答案】解：〈AB在水平位置,

AB//OP,

•1•/.ABC—Z.OPQ,

•••tanz.ABC=tanz.OP(?,

_A£_OQ

"AB='OP，

AC2.5.

2.45

-AC=1.2,

即天窗高度4c的长为1.2m.

【解析1根据平行线的性质得出4ABe=/OPQ,得出tan4ABe=tanzOPQ,得出比例式代入数据即可求

解.

本题考查了解直角三角形，根据tan乙4BC=tan/OPQ得出等=器是解题的关键.

21.【答案】解：连接。4、0B,过。作ODLAB,交AB于点E,

•••弓形的高为6cm,截面半径为12cm,

.・.0E=0D-DE=12—6=6cm,

在RMA0E中，0E=；08=6cm,

^OAE=30°,2LAOE=60°,

・•,AE=亨。A=苧x12=6A/3(cm)，

・•・AB=2AE=12V3cm；

(2)・・•乙AOE=60°,

・・・Z,AOB=2Z-AOE=2x60°=120°,

S弓形=S扇形AOB-S.AOB=嗡卷-；X12V3X6=(等-36<3)(cm2).

【解析】(1)连接CM、OB,过。作。。148,交48于点E,由于弓形的高为6sn可求出OE的长，在Rt△

40E中利用三角函数的定义可求出"OE=60。，解直角三角形求得4E,进一步求得AB；

(2)由垂径定理可知，AAOE=ABOE,进而可求出乙4OB的度数，根据扇形及三角形的面积可求出弓形的

面积.

本题考查的是垂径定理、解直角三角形、扇形及三角形的面积，根据题意画出图形是解答此题的关键.

22.【答案】解：任务1：由题意，顶点为原点，

可设抛物线为y=ax2.

又由题意，£>(10,-3),

・•・-3=100a.

…一同3

••・顶棚部分抛物线的表达式y=-亮/；

任务2：由题意，点4(0,—2.55),

4。抛物线所对应的表达式为：y=-0.05/+bx-2.55,

将点。的坐标代入上式得：-3=-0.05x100+10b-2.55,

解得：b=0.455,

则抛物线的表达式为：y=-0.05%2+0.455x-2.55,

则该抛物线的对称轴为直线x=4.55,

即04处喷出的水流在距离。点水平距离为4.55米时达到最高；

任务3：调整喷水口的高度(形状不变)，使水流喷灌时恰好落在边缘F处：，

则相当于将抛物线向下平移CF的长度，

即将点4向下平移1米.

【解析】任务1：由待定系数法求解即可；

任务2：由待定系数法求出函数表达式，进而求解；

任务3：调整喷水口的高度(形状不变)，使水流喷灌时恰好落在边缘F处，则相当于将抛物线向下平移。尸的

长度，即可求解.

本题考查的是二次函数应用，理解题意，求出函数表达式是解题的关键.

23.【答案】解:⑴把8(-1,2),。(3,0)代入丫=。/+法+3,

则｛叱工3”

I。一b+3=2

(1

Q=-7

解得《12,

••・抛物线的函数解析式为y=-1%2+1%+3；

(2)y=+"+3,

二对称轴为直线工=一2=:

2a2

令B点关于对称轴的对称点为方，

・・・夕(2,2),

:.BB'=3,

,・,抛物线向左平移小(加＞0)个单位经过点B,

Am=3；

(3)设直线4C的解析式为y=fcx+n,

把4(0,3),C(3,0)代入y=kx+九得：｛1二：土十九，

解得｛:二］1,

二直线AC的解析式为y=-x+3,

过点8作BDJ.y轴交AC于点D,如图：

则点。的纵坐标为2,

把y=2代入y=—%+3得，—％+3=2,

解得％=1,

・・・0(1,2),

・•・BD—2,

11

S^ABC~S〉ABD+S^BCD=5X1，BD+,x2，B。=1+2=3，

过点P作PE1%轴交4c于点E,

设点P(x,—+：%+3),则E(%,—%+3),

[cl1O

・・・PE=--x24--%4-3-(-x+3)=--%2+-%,

■:S〉ABC~2S»ACP-3»

AS&ACP~2