高考数学总复习 空间项链与立体几何习题

5.3空间向量与立体几何

.命题角度1空间位置关系证明与线面角求

解

高考真题体验•对方向

1.（2018全国I•18）

如图，四边形ABCD为正方形,E,尸分别为AD,比1的中点，以所为折痕把折起，使点。到

达点尸的位置，且PFLBF.

(1)证明：平面物平面ABFD;

(2)求分与平面叨所成角的正弦值.

(1)庭画由已知可得,BFLPF,BF1EF,

所以跖平面即：

又BFu平面ABFD,

所以平面的工平面ABFD.

(2)解作PHLEF,垂足为H.由⑴得,/WJ_平面ABFD.

以〃为坐标原点,5的方向为y轴正方向，"F/为单位长,建立如图所示的空间直角坐标

系H-xyz.

由⑴可得，DELPE.又DPRDEA,

所以PE下.又PF=\,EF2故PELPF.

可得PH=2,EH2

3回

°,。1,~,y|,HP।=|O,O,^

1/…衬DP2

则7/(0,0,0),/1为平面ABFD的法

向量.设分与平面/版所成角为0,

3

HPDP4拈

则sin^|HP||DP||$4,

所以分与平面4即?所成角的正弦值为4.

2.(2018全国〃•20)

如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2^-,PA=PB=PC=AC=^,。为/C的中点.

(1)证明：0O_L平面ABC\

(2)若点M在棱比1上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面必材所成角的正弦值.

(1)阿碉因为AP=CP=AC=\,。为〃1的中点，所以OPYAC,且8=2祗

在1

连接OB,因为AB=BC=2AC,所以△四。为等腰直角三角形，且OBLAC,OB2AC2

由OP+OE=P百处POVOB.

由OPLOB,知AU平面ABC.

(2)网如图，以。为坐标原点,OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.

由己知得0(0,0,0),3(2,0,0)"(0,-2,0),<7(0,2,0),0(0,0,2我,—=(0,2,2强.取平

面处，的法向量°B=(2,0,0),

设”(a,2-a,0)(0QW2),

I

则AM=(a,4-a,0).

设平面用"的法向量为n=(x,y,z).

II

由AP•n=0,AM.n=0得

j2y+2技=9,

jax+(4-a)y=0.可取n=(由(aM),小a,-a),

2-(a-4)

2222

所以cosv'OB,n^j3(a-4)+3a+a

由已知可得友os〈OB,n>/-2.

2向a-4

所以2^3(a-4)2+3a2+a22,

4

解得a="(舍去)，a=8

生明4\

所以J3'3131

II——

又PC=(0,2,-2拘，所以cos〈PC,n)=4.

也

所以先与平面必材所成角的正弦值为4.

3.(2016全国7•19)如图，四棱锥产%笫9中，用，底面四四AD//BC,AB=AD=AC=Q>,PA=BC4,M

为线段加上一点,4游2圾N为%的中点.

(1)证明，那〃平面PAB;

(2)求直线4V与平面2肺所成角的正弦值.

21

⑴屉画由已知得用/=3仍2取"的中点T,连接AT,TN,由,V为％中点知TN//BC,TN2BCA..

又AD//BC,故TNAM,四边形4M71为平行四边形，于是MN//AT.因为47t平面PAB,1IM

平面PAB,

所以，MV〃平面PAB.

⑵网取8c的中点E,连接AE.由18与。得AEVBC,从而AEVAD,且

以力为坐标原点,AE的方向为x轴正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.

由题意

[―,I.ZVPM

知，户(0,0,4),M(0,2,0),C"5,2,0),H2/=(0,2,Y),

PN=(y,1,-2)邓,=吟1,2)

设n=(x,y,z)为平面0处；的法向量，

2y-4z=0,

n,=0,即

一x+y-2z=0,

nPN=0,

则

可取n-(0,2,1).

n-AN

于是/cos<h,nAN

4.

（2015全国/•18）如图，四边形48（力为菱形，ZABC=12O°,£尸是平面/腼同一侧的两

点,双L平面ABCD,以工平面ABCD,BEtDF,AEVEC.

⑴证明：平面丝UL平面AFC;

（2）求直线力歹与直线"所成角的余弦值.

⑴回连接BD,设BDCAC=G,连接EG,FG,EF.

在菱形ABCD中,不妨设GB=\.

由/加。=120°,可得4G=aM亚

由跳'!.平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.

又AEA.EC,所以EG*,且EGA.AC.

也

在中，可得BE乖,故航=2.

水

在Rt△加C中，可得b。=2.

也生

在直角梯形BDFE中,由BD%BEMDF=2,可得上2.从而由+楮=欧,所以£G_L尸G.

又ACnFG=G,可得£G_L平面AFC.

因为at平面4K；

所以平面/反：!.平面AFC.

III

（2）幽如图，以C为坐标原点,分别以GB,GC的方向为入轴、y轴正方向，/GB/为单位长,建立

厂厂厂

空间直角坐标系G-xyz.由⑴可得4（0,卬3,0）,以1,0,衣），尺2],以0,在,0）,

IrrCF=-1,

所以AE=(i,J3,‘2),

III

—CFp

IIII_

故cos〈AE,CF)=AECF=-3.

3

所以直线力后与直线”所成角的余弦值为3.

新题演练提能•刷高分

1.

(2018山东潍坊二模)如图,在平行六面体ABCD-AyBxCxlX中，AAy=AyD,AB=BC,/46C=120°.

(1)证明：皿L48;

(2)若平面/Z行4_L平面ABCD,旦A\D=AB,求直线制与平面/山⑺所成角的正弦值.

(1)证明取/〃中点0,连接OB,OA,BD,

.\ADLOA,.

又NABC=T20°,AD=AB,.：/\A即是等边三角形,

.：ADLOB,

.：4ZL平面AxOB.

:'4属平面AxOB,

.\ADLAxB.

⑵陶：•平面平面ABCD,

平面ADDxAyn平面ABCD=AD,

又4aL,.：40_L平面ABCD,

.,.OA,OAi,/两两垂直，

以。为坐标原点，分别以OA,OB,Oh所在射线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系

O-xyz,

设AB=AD=A\De,贝ij71(1,0,0),A(0,0,小),8(0,小,0),〃(-1,0,0).

।_|।「

则DA】=(i,0,我,DC=由,0),BAl=(0,帮,我,设平面48四的法向量

n二(x,y,z),

II厂

(nCD=x-73y=0,

则b西=x+#z=0,

令广色则y=l,z=-\,可取n=(祗1,-1),

设直线纵।与平面46口所成角为9,

则sin«=/cos<h,BA

2.

(2018辽宁抚顺一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,玄_L平面ABCD,底面ABCD为梯形,AB//CD,

NBAD$0：PD=AD=AB=2yCD=4,£为%的中点.

(1)证明：应'〃平面PAD;

(2)求直线阳与平面以后所成角的正弦值.

⑴画设尸为外的中点,连接EF,FA.

1

因为哥'为的中位线,所以EF"CD,&EF^-CD^.

又AB//CD,AB2所以ABEF,故四边形4员%•为平行四边形,所以BE//AF.

又AAu平面PAD,限平面PAD,

所以庞〃平面PAD.

⑵网设G为的中点，因为AD=AB,NBAD40；所以△板为等边三角形，故DGVAB-,

因为AB//CD,所以DG1DC.

又切，平面ABCD,所以PD,DG,徵两两垂直.

III

以〃为坐标原点,DG为x轴、DC为y轴、DP为2轴建立空间直角坐标系〃-灯z,则

/(0,0,2),MA1,0),£(0,2,1),DE=(o,2,1),DB=(跖,0),

设n=(x,%z)为平面6〃£的一个法向量，

I

(nDE=0,(2y+z=O,

mU=o,叫0n即…

(一②…)।r

令y-1,则n、3/.又PB=(也i,-2),

n-PB4

I,14

所以4os<h,PB>/」nPB,

即直线阳与平面瓦於'所成角的正弦值为4.

3.(2018福建福州3月质检)在直三棱柱46C-48G中，△?!况为正三角形，点〃在棱6c上,且

CD=ZBD,点E,尸分别为棱AB,班।的中点.

(1)证明：4C〃平面DEF\

(2)若4d华求直线4G与平面戚所成的角的正弦值.

⑴屈画如图,连接AB、,A山,交于点H,46交)于点K,连接DK,

因为/初4为矩形,所以〃为线段46的中点,因为点E,尸分别为棱AB,BB、的中点,所以

点4为线段皮/的中点,所以A\K玛BK,

又因为CD^iBD,所以AX//DK,又4a平面DEF,DKu平面DEF,

所以4c〃平面DEF.

fz

\CG

(2)厥由⑴知，夕/〃"因为44」平面ABC,

所以£7〃平面4批

因为△胸为正三角形,且点£为棱股的中点，所以CEVAB,

II

故以点£为坐标原点,分别以EA,EH,EC的方向为x轴,y轴,z轴的正方向，建立如图所示

的空间直角坐标系E-xyz,设AB=\,44=t(大刈，则

t3

4(2,t,0),€(0,0,2我,£(0,0,0),尸-2,2,0,4-2,012,

t

II

所以A'=(_2,工2我，EF=-2,2,0,

I

因为4cL用所以AICEFR,

t

所以(-2)X(-2)-tx2+2^X0-O,

解得t=24.

32

所以‘EF=(-2,也O),‘ED=-5,O,2,

设平面庞尸的法向量为n=(x,y,z),

।/-2x+扬=0,

(EFn=0,34

(_I\--x+—z=0,

则［EDn=0,所以(22

取x=\y则n=（l,扬我,

II

又因为A'】二AC=J2,0,24），设直线4G与平面麻所成的角为3

I

nAlCl_4出

11„1J6x46

所以sin^-/cos<n,AiCi>/=|n'A1C1，所以直线46与平面叱所

非

成的角的正弦值为6.

4.（2018东北三省三校二模）如图，四棱柱/的-48G"的底面为菱形，Z

为〃=120°,4庐2,£户为勿44的中点.

（1）求证〃平面B\AE;

3

⑵若眼」底面ABCD,且直线皿与平面所成线面角的正弦值为4求44的长.

⑴画设G为阳的中点，连接EG,GF,

11

因为A；2AB,又DE2/必，

所以AG%;所以四边形〃£冲是平行四边形，

所以DF//EG,又刎平面B、AE,EGa平面&AE,所以如〃平面BME.

（2）解因为4?而是菱形,且/46G60。，所以△/8C是等边三角形.

取8C中点必则AMLAD,因为J_平面ABCD,所以AA^LAM,AA.LAD,建立如图的空间直

角坐标系A-xyz,令AAi=t（匕刈,

43

则A(0,0,0),A2'2,o,B、(祗T,。，〃(0,2,t),

A/33

---------II

AE=2'2,O,ABI=(/I,t),AD]=(o,2,»,设平面无超的一个法向量为n=(x,%z),

I4,

AE=--r~

则n•2(x忑04且n•ABi-x-y+tz=Q,取n=(益力，t,4),设直线4〃与平面

nADi6t_3

n-AD2(t2+4)4

尻伤所成角为。，则sin，』nAD]，解得广2,故线段44的长为2.

5.(2018湖南长沙一模，18)如图，在多面体力及*中，四边形4%力为梯形,MADE,△及卞均为

1

等边三角形，EF//AB,EF=AD°AB.

(1)过加作截面与线段必交于点N,使得4夕〃平面BDN,试确定点N的位置,并予以证明;

(2)在(1)的条件下,求直线融与平面4跖所成角的正弦值.

g(D当N为线段咫的中点时，使得平面BDN.

证法如下：

连接AC,BD,设ACQBD=O,

:•四边形ABCD为矩形,

.：〃为〃'的中点,又:N为此的中点，

,：OV为的中位线,

.\AF//ON.尺平面BDN,QA匕平面BDN,

.：”■〃平面BDN,取N为)用的中点时,使得“〃平面BDN.

(2)过点。作尸0〃加?分别与8c交于点A因为。为“'的中点,所以80分别为力〃,BC

的中点,

:•△/场1与△以万均为等边三角形,且AD=BC,

.：△/庞也△60；连接EP,闻，则得EP=FQ,

1

'.■EF//AB,ABPQ,EF^.AB,

1

.,.EF//PQ,EF2PQ,

，四边形砒火为等腰梯形.

取旗的中点M,连接M0,则加，图

又,/ADI.EP,ADA.PQ,EPCPQ=P,

.：4。_1_平面EPQF,

过点。作用U8于点G,则OG//AD,

/.OGVOM,OGI.0Q.

III

分别以OGQQQM的方向为司匕z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,不妨设

则由条件可得090,0),4(1,-2,0),8(1,2,0),尸(0,-2,0),4222/.

设n=(x,y,z)是平面/跖的法向量,

n."=0,即4y=0,

也

则［nAF=0,x+3y+z=0,

所以可取n二(也,0,1),

I/33

，

由BN=1-2-2-2—|

BNn_^2

I',3

可得/cos〈BN,n)/』BN-n,

g

.：直线AV与平面4郎所成角的正弦值为3.

解

高考真题体验•对方向

(2018全国0•19)如图,边长为2的正方形48切所在的平面与半圆弧一所在平面垂直,M是

CD

f上异于C〃的点.

(1)证明：平面4"_1_平面BMC;

(2)当三棱锥材T4C体积最大时,求面杉18与面以小所成二面角的正弦值.

(D怔画由题设知,平面平面ABCD,交线为CD.因为BCYCD,BCu平面ABCD,所以BCL

CD

平面CMD,故BCVDM.因为M为一上异于C〃的点,且OC为直径,所以DMVCM.

又BCC\CM=C,所以。归"平面BMC.

而DMu平面AMD,故平面4监_1_平面BMC.

(2)阚以。为坐标原点,DA的方向为“轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

CD

当三棱锥M■九/体积最大时，"为〜的中点.由题设得

III

。(0,0,0),4(2,0,0),6(2,2,0),<7(0,2,0),M0,1,1),•=(-2,1,1),阳=(0,2,0),DA=(2,0,

0).

设n=(为,y,z)是平面极出的法向量，

I

(nAM=0,An(-2x+y+z=0,

—J叫

贝IJ(IVAB=0.(

可取n-(l,0,2),

I

DA是平面的法向量，

nDA

=a2拈

I,J5i---

因此cos<h,DA>=nDA,sin<h,DA>=5.所共面例占与面掰%所成二面角的

生

正弦值是5.

(2017全国1•⑻如图，在四棱锥。T版中，48〃S且/胡片/如冷。。.

(1)证明：平面处从L平面PAD;

②若PA=PD=AB=D&N加沙=90°,求二面角力-阳-C的余弦值.

⑴医画由已知/BAP=NCDPW0°,得ABVAP,CDVPD.

由于4?〃必,故ABVPD,从而A?_L平面PAD.

又ABc.平面PAB,所以平面为8_1_平面PAD.

(2)圜在平面川。内作PFLAD,垂足为F.

由⑴可知,48,平面PAD,故ABLPF,可得朋1平面ABCD.

II

以厂为坐标原点,FA的方向为X轴正方向，/AB/为单位长,建立如图所示的空间直角坐

标系F-xyz.

(―,0,0^(0,0,q.1.0^

由⑴及已知可得入2/,A2/,422L

I/J2^2\III1J2

PC=--,1,--,CB「PA=—,0,--,AB

所以I221=(也0,0),\22/=(0,1,0).

n兰=°，即-]x+y-1z=。,

设n=(x,y,z)是平面筋的法向量，则"98=0，|必=0.

可取n=(0,T,节).

设m=(x,y,z)是平面必8的法向量,

m；PA10,gpyx--z=0,

则［mAB=0,Iy=o

可取m=(l,0,1).

nm

则cos<h,=nm=-3.

所以二面角力-%-C的余弦值为-3.

3.(2017全国〃•19)如图，四棱锥/S48切中，侧面必〃为等边三角形且垂直于底面

1

ABCD,AB=BC^-AD,/物〃=N/8R90°,£是如的中点.

p

(1)证明：直线四〃平面PAB;

⑵点"在棱PC上，且直线朝与底面力所成角为45°,求二面角小7伊-〃的余弦值.

⑴画取PA的中点F,连接EF,BF.

1

因为E是阳的中点,所以EF//AD,EF^-AD.

由N物么N48090°得BC〃AD,

又BC^-AD,所以EFBC,四边形6a如是平行四边形，CE//BF,

又BFu平面PAB,四I平面PAB,故口〃平面PAB.

(2)阚由已知得以4为坐标原点,AB的方向为入轴正方向，/AB/为单位长,建立如图

所示的空间直角坐标系A-xyz,则

J（o,0,o）,庾1,o,o）,c（i,1,o）,p（o,1,屈'PC=（I,o,密,'AB=（I,0,0）.

设M{x,y,z）（0<r<l）,则BM=d,y,z）,PM=（x,广1,z4）.

因为8V与底面力腼所成的角为45°,

而n=（0,0,1）是底面18（力的法向量，

|z|_5/2

I222,

所以/cos〈BM,n）/=sin45°,J（x-1）+y+z，即（x_］）2yy”?立①

II

又〃在棱用上,设PM二4PC,则

y=l,z邛■小人.

②

由①，②W得I2

所以』

22力从而\

设m=（xo,jb,zo）是平面力网的法向量，则

（m-AM=0,即（（2-j2）x0+2y0+而z。=0,

|mAB=0,iXO=0,

所以可取m=（0,乖,2）.

mnJ10

于是cos血,n,」mn5.

jio

因此二面角例T8-D的余弦值为5.

4.

(2017全国〃7•19)如凰四面体ABCD中,△46C是正三角形,△?!勿是直角三角形，ZABD=Z

CBD,AB=BD.

⑴证明：平面/如_平面ABC\

(2)过"'的平面交面于点E,若平面如C把四面体/腼分成体积相等的两部分,求二面角

ZH4E-C的余弦值.

(1)屉画由题设可得,△/应以△物从而AD=DC.又△｛徵是直角三角形,所以//比90°.

取力C的中点0,连接DO,B0,则DOVAC,DO=AO.

又由于是正三角形,故BOLAC.

所以/仇应为二面角0TC-8的平面角.

在Rt△｛如中，Bd+A(f=A^,

又AB=BD,所以BG+DG=B@+A4=AE=BIKW/DOBWQ；所以平面平面ABC.

II

(2)阚由题设及(1)知，OA,0B,如两两垂直，以。为坐标原点,OA的方向为x轴正方向，/OA/

为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

则J(1,O,0),8(0,祗0),<7(-1,0,0),〃(0,0,1).

1

由题设知，四面体4%若的体积为四面体/拉力的体积的2,从而£到平面/8C的距离为D

1

到平面四。的距离的2,

AE=

即£为防的中点，得从R2D21故AD=(-i,0,I),A।C=(_2,O,O),-9

设n=(x,y,z)是平面〃力£的法向量,

-x+z=0,

［吁=。，即J31

则［nAE=0,-x+—y+—z=0.

2.2

可取』生).

(mAC=0,

设m是平面力比的法向量,则［mAE=0.

同理可取m-(0,-1,8.

nm37

则cos<h,m>-nm7

立

所以二面角0T6-C的余弦值为7.

(2016全国/•18)如图，在以45,尸为顶点的五面体中，面力灰尸为正方形，/42/力，/

/川=90°,且二面角〃1与二面角C-配f都是60°.

(1)证明：平面4%列_平面EFDC;

(2)求二面角E-BC-A的余弦值.

⑴画由已知可得AFLDF,AFLFE,

所以"平面加%

又AFu平面ABEF,

故平面［应尤L平面EFDC.

⑵网过〃作DGVEF,垂足为G,由⑴知〃入平面ABEF.

II

以G为坐标原点,GF的方向为入轴正方向，/GF/为单位长,建立如图所示的空间直角坐标

系G-xyz.

由⑴知/旅为二面角的平面角，

故/"净60°,则//7之，/%/邛，

可得/(1,4,0),5(-3,4,0),夙-3,0,0),。(0,0,我.

由已知,AB//EF,所以4?〃平面EFDC.

又平面4枚力0平面EFDC=CD,

敬AB"CD,CD//EF.

由BE//AF,可得皿平面EFDC,

所以/它尸为二面角C-跳尸的平面角，NCEF$Q°.从而可得f(-2,0,而.

所以EC=(1,o,祗,EB=(o,40),AC=(-3,-4,而,AB=(40,0),

设n二(x,y,z)是平面以石的法向量，

(nEC=0,即(x+技=0,

贝lj[nEB=0,'4y=0.

所以可取n=(3,0,甫.

设m是平面45缪的法向量，

II

(m-AC=0,

L-J

则(mAB=0,

同理可取m-(0,4,4),

nm2y19

贝!Icos<h,=nm二一19.

2阿

故二面角的余弦值为-19.

新题演练提能•刷高分

（2018重庆二诊）如图，在三棱柱ABC-A^G中,AC=BC,Gd平面ABC,侧面ABB处是正方形,

31

点£为棱48的中点，点M,川分别在棱4A,上,且42切出,4V

(1)证明：平面CMNL平面CEN-,

(2)若ACVBC,求二面角M-CN-Ax的余弦值.

AN1

,—_

⑴国画设AB*,则4M=3,4V=2,4A<=6,tanN陋4=AE2(

A]M1

tanZ,m=AlN2,4NEA=NMNA\,

兀71

又上NEA^YENA,所以//%=2-/以巩所以MNJLEN.

因为BC=AC,E为AB中点，所以CELAB.

因为49CT由G为直三棱柱，

所以以平面AAi&B,

所以MNX.CE,因为CEC\NE=N,

所以助\U平面CEN,因为朗比平面。则

所以平面OMV'J"平面CEN.

I

(2)网由ACLBC,以C为原点,CBCACC］分别为％%z轴建立空间直角坐标

生生

系，也2'2,8,爪0,4隹,2),

'-CM=0,

I

设平面CW的法向量为m=(x,y,z),lniCN=0＞解得m=(9亚，也-4).

平面。脏的法向量m=(l,0,0),

_3机

设所求二面角平面角为/cos0=nl-n210.

2.

(2018河北石家庄一模)四棱锥ST8力的底面ABCD为直角梯形,AB〃CD,ABL

BC,ABNBCtCDA,△夕1〃为正三角形.

⑴点"为棱上一点，若灰〃平面故弘AM=/AB,求实数X的值;

②若BCLSD,求二面角的余弦值.

解⑴因为勿〃平面SDM,BCu平面ABCD,

平面SDMC平面ABCD=DM,所以BC//DM.

因为AB//DC,所以四边形6a加为平行四边形,又ABNCD,所以“为48的中点.

1

II-

因为AM=aAB,.：4=2.

(2)因为BC1.SD,BCLCD,SDQCD=D,

所以平面sc®,

又因为BCu平面ABCD,所以平面SCZLL平面ABCD,

平面SCDC平面ABCD=CD,在平面SG9内过点S作ML直线切于点£

则宓L平面ABCD,在Rt△烟和Rt△沏中，因为SA=SD,所以

心,SA?-SE2=JsD2-SE2^

又由题知/砌M5°,所以/反1被

所以AE=ED=SE=1,

sL

以下建系求解：

以点£为坐标原点，分方向为x轴,比'方向为y轴,处方向为z轴建立如图所示空间坐

标系,则ES,0,0),5(0,0,1),月(1,0,0),8(1,2,0),以0,2,0),

Illi

SA=(1,0,-1),AB=(o,2,0),SC=(o,2,T),CB=(i,0,0),

设平面*6的法向量m=(x,%z),

rij-SA=0,

Irx-z=0,

则［n/AB=0,所以12y=0,

令x=l得m=(l,0,1)为平面夕切的一个法向量，同理得m=(0,1,2)为平面皈的一个法

向量,

n1n2晒

nn

cos<hi,n2>=l25,

因为二面角/TS-C为钝角，

晒

所以二面角余弦值为-5.

3.

(2018海南期末)如图,是一个半圆柱与多面体/仍MC构成的几何体,平面力/与半圆柱的下

A四

底面共面，且4。16Gp为弧…上(不与4,5重合)的动点.

(1)证明：必」平面PBB、;

兀

⑵若四边形ABB^为正方形,且AC=BC,N%M=4求二面角A4心七的余弦值.

圈⑴在半圆柱中,班」平面PAB,所以BB\1PA\.因为AB是上底面对应圆的直径,所以PAx

LPB、.因为PB、CBB\=B“PBq平面PBB“BBc平面为S,所以7%_L平面PBB,.

(2)以点C为坐标原点，以CA,CB为x,y轴,过点C作与平面/比1垂直的直线为z轴，建立

空间直角坐标系C-xyz.如图所示，

设龙=1,则8(1,0,0),/(0,1,0),4(0,1,山)，4(1,0,应)/(1,1,伪.

所以CAi=@i,海),CB]=(],o,也).

平面川山的一个法向量m=(0,0,1).

设平面CA\B\的一个法向量m=(x,%z),

(x=-y/2,

jy+佟=0,y=-8

则卜+亚2=0,令z=l,则|z=l,

所以可取mXrM,1),

1

所以cos<hi,x拈5

由图可知二面角-T由七为钝角，所以所求二面角的余弦值为-5.

4.(2018江西南昌一模)如图，在四棱锥P-ABCD中,月，底面ABC0ABCD为菖角梯形"D//

1

BC,AD1.AB,AB=BC=AP2AD4,ACQBD=O,过。点作平面a平行于平面PAB,平面a与棱

BC,AD,PD,PC分别相交于点E,F,G,H.

(1)求打的长度；

(2)求二面角6-/7/-6的余弦值.

g(l)因为a〃平面PAB,平面an平面ABCD=EF,OeEF,平面PABC平面ABCD=AB,所以跖

//AB,同理EH//BP,FG//AP,

因为BC//AD,AD^>,BC书,

BCCO1

I=——■

所以况且ADAO2,

EO11

所以OF2,CE^>CB=1,BE=AF2

CH_EH_CO1

同理正一诏一己入一与，

连接HO,则有HO//PA,

1

所以HOVEO,〃0=1,所以EH^PB五,

2

同理,尸。=3用2,

过点〃作HN"EF交FG于N,

则砂JHN2+GN2=£

(2)建立如图所示空间直角坐标系，则6(3,0,0),X0,2,0),M3,2,0),〃(2,2,1),

BH=(T,2,l),FH=(2,0,1),设平面网的法向量为n=(x,y,z),

InBH=一x+2y+z=0,

l-J

[nFH=2x+z=0,

|1,-,-2)

令z=-2,得n42/,

因为平面EFGH”平面PAB,

所以平面跃粉的法向量m=(0,1,0).

n3丹

m-=-

mnI9

++4293必

4-

X

cos<in,n)二故二面角氏/7/-«的余弦值为29.

5.(2018山东淄博二模，18)如图,在三棱柱ABC-A、BC中，CA=CB=CC、映,4ACC\=/CC\B“直线

4C与直线班所成的角为60°.

(1)求证:4SJ_CG;

]AM

⑵若被矩M是小上的点，当平面MCG与平面第C所成二面角的余弦值为《时,求“Bi的

值.

(1)画在三棱柱ABC-ABC、中，各侧面均为平行四边形,所以BB\〃CC、,则//CG即为〃'与

能所成的角，所以N4Xi=NS6E0°.

连接/G和8c

因为CA=CB=CC^,

所以△4CC和△3S均为等边三角形.

取CG的中点。，连40和

则加之8,笈〃，S.

又AOCB、O=O,

所以CG_L平面AOBi.Me平面AOB“

所以

(2)阚由⑴知AO=BXO=^),因为Aa小,

则布场〃=产；，

所以4OJ_60,又力。_LCG,

所以“LL平面BCCB.

以如所在直线为x轴，0a所在直线为y轴，OA所在直线为z轴,

如图建立空间直角坐标系，则

力(0,0,我，。(0,-l,O),G(0,1,0),方(祗0,0),AC=(0,-1,邛),呵=第0,邛),8以0,2

,0),

II

则(x,y,z#)=t(小-x,-y,-z),

设平面ACB,的法向量为m=（为，外勿），平面MCQ的法向量为m二（用,必,zb,

Il

代收=0,=厂y1-岛]=0,

所以|n「AB]=0I炳-辰1=。'

解得m=（l,邛,1）.

n,CC1=0,

n2CM=0

解得112=(1,0,­t).

nln21-t1

n#n2柠jTT75

所以cos夕二

1AM1AM

=一或

解得片5或t2即MB]2MBy

6.（2018湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考）如图，在几何体48微%中，平面/%1平面

ABCD,四边形ABCD为菱形,且/的6W0°,EA=ED=AB=2EF,EF〃AB,植为比中点.

(1)求证:用/〃平面BDE;

(2)求二面角〃-苏的平面角的正弦值.

⑴庭碉取切中点A；连接MN,FN,因为A；，"分别为形中点，所以〃做

又Bg平面BDE,且』版平面劭£所以.肠V〃平面皿坦因为EF//AB,AB3F,

即以EFaCD,防=例：所以四边形成仞为平行四边形.即以FN〃ED.又如平面飒'且£胆

平面BDE,

所以/W〃平面BDE,又FNCMN=N,

所以平面劭皿〃平面BDE.

又Elfc平面MFN,所以FM//平面BDE.

⑵网取4〃中点。连接EO,B0.因为EA=ED,

所以EOLAD.

因为平面4分LL平面ABCD,

所以£0_L平面ABCD,EOLBO.

因为4〃〃8,N048毛0°,

所以△/%为等边三角形.

因为〃为/。中点，所以4。，%.

因为EO,B0,4。两两垂直,设AB=A,

以。为原点，OA,0B,宏为x,%z轴,如图建立空间直角坐标系0-xyz

由题意得4(2,0,0),6(0,2由,0),C[-4,2祗0),〃(-2,0,0),6(0,0,2扬，尸(T,A2拘.

DB=(2,24,0),DF=(I,也2由),CF=(3,",2由),CB=(4,0,0).

设平面6/乃'的法向量为n=(x,y,z),

II_

(nDB=O,即jx+j3y=0,

则|n・而=0,'k+回+2亚=0,

也

令x=l,则y=-3,2=0,

由

所以n=l,-3,0.

设平面8CF的法向量为m=(x,y,z),

令z=l,则y=2,x=0,所以m=(0,2,1).

mn\/5

.：cos血,n>/mn|=-5,

.：二面角〃-跖-C平面角的正弦值为5.

7.(2018辽宁大连一模)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形,2LL平面ABCD,E,F

分别是线段AD,阳的中点,PA=AB=\.

(1)求证:£尸〃平面DCP-,

(2)求平面£吃与平面W所成锐二面角的余弦值.

解(1)(方法一)取先中点必连接DM,MF.

1

:虬尸分别是阳必中点，:奶〃绍妨=2/

1

:为的中点,ABCD为正方形，；.DE〃CB,DE^CB,

.,.MF//DE,MF=DE,.：四边形皈V为平行四边形，

.,.EF//DM,:平面PDC,flfc平面PDC,

二分〃平面PDC.

（方法二）取阳中点儿连接NE,NF.:笑是4。中点，力是心中点，/.NE//DP,

又：了是如中点，N是PA中点，/.NE//AB,

VAB//CD,.".NF//CD,

又:NECNF=N,NEu平面NEF,NFu平面NEF,D空平面PCD,CDc.平面PCD,

.：平面力跖〃平面PCD.

又；EFu平面NEF,.：“