新人教版一元二次方程知识点及典型题目总结

一元二次方程知识题型总结

九年级二班数学课件

一、知识与技能的总结

〔一〕概念

一元二次方程一“整式方程”；“只含一个未知数，且未知数的最高次数是2”.

一元二次方程的一般形式----ax2+bx+c=0(a0),按未知数x降福排列

方程的根〔解〕——是使方程成立的未知数的取值，了解一元二次方程的根的个数.

〔二〕一元二次方程的解法一把一元二次方程降次为一元一次方程求解

1.直接开平方法——适用于的方程.

2.配方法一适用于所有的一元二次方程；

〔1〕“移项-使得_____________________________________________

[2〕“系数化仔’——使得_______________________________________

〔3〕“配方-使得_____________________________________________

〔4〕“求解”——利用解方程

3.公式法——适用于的方程.反映了一元二次方程的根与系数的关系，

〔1〕一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数2、氏c;

〔2〕先求出A=62—4ac的值，假设八=廿—4呢20,那么代入公式.

彳鼠设A=Z72-4tzc<0,再|5么;

4.因式分解法--适用于的方程.

用因式分解法解一元二次方程的依据是：AB=Oo.

通过将二次三项式化为两个一次式的乘积，从而到达降次的目的，将一元二次方程转化为求两个

方程的解.

〔三〕其它知识方法

1.根的判别式：A^b2-4ac,〔1〕假设A=/—4ac>0,那么方程有解；

〔2〕假设A=—4ac=0,那么方程有解；〔3〕小文设A=/一4。。<0,那么方程有解；

2,换元法

〔1〕(2X+1)2-3(2X+1)-4=0;〔2〕2(x+1)2+3(x+l)(x-2)-2(x-2)2=0

〔3〕.工x-15

+——

x-1X2

3.可化为一元二次方程的分式方程

6三

解方程=1

(x+l)(x-l)

二、典型题型的总结

(―)一元二次方程的概念

1.〔一元二次方程的项与各项系数〕把以下方程化为一元二次方程的一般形式：

[1]5%2—2=3%；_____________________________

〔2〕V2—6x~—15x=0；

〔3〕3y(y+l)=7(y+2)-5;_____________________________

[4](m+-Jm)+(m-2)2=7-5m；

〔5〕(5a-1)2=4(a-3)2;_____________________________

2.〔应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值〕

(1)m=时，关于x的方程(加一—(加+3)x=4加是一元二次方程。

尤2—7%一8

(2)假设分式一n------=0,那么％=__________

凶-1

3.〔由方程的根的定义求字母或代数式值〕

⑴关于九的'一^元二次方程(。—I)%2+%+。2—1=0有'一个根为0,那么Q=

(2)关于九的一元二次方程。/+bx+c=0(〃w0)有一个根为1,一个根为一1,

那么a+Z?+c=,a-b+c=

3o

(3)2是关于x的方程-2〃=0的一个根，那么2。—1的值是

(4)c为实数，并且关于％的一元二次方程一—3%+。=0的一个才艮的相反数是方程％?+3%—。=0的一

个根，那么方程/+3%-。=0的根为,c=

〔二〕一元二次方程的解法

4.开平方法解以下方程：

〔1〕5——125=0⑵1690—3)2=289

〔3〕y2+361=0〔4〕(1-^3)m2=0

〔5〕/-0.01=0;〔6〕0.5/_g=0；

⑻空联=8

〔7〕(3X+1)2-9=0.

5.用配方法解以下各方程:

〔1〕%2—2x—8=0;〔2〕y2+5y+l=0;

〔3〕2y2—4y——3〔4〕3X2-2=4X

[5]2无2+0龙-30=0;〔6〕x2+-x--^0.

63

6.用公式法解以下各方程：

⑴x2-2x—2=0;〔2〕2x2+2x=7;

3

〔3〕4y=l——y2;〔4]3x(3x-2)=—l.

⑸3x2=6x-2〔6〕p2+3=2y[3p

〔7〕7y2=lly〔8〕9n2=5n—2

〔9〕％+2=(x—2)(2x—1)—3

7.用因式分解法解以下各方程：

19

⑴-X2-9=0;⑵：-yf5x=0

4

〔3〕T7X2-V21X=0〔4〕y2+4y-45=0

2

⑸8%+10x—3=0〔6〕(九一5)2=2(X-5)-1

2

⑺(x+1)—2(%+1)=3;⑻4(X+3)2=25(X—2)2.

〔9〕7x(x-3)=3x-9〔10〕6%之—3y/~3x-2*\/2x—

〔11〕(/+3x)2—2(/+3)—8=0

8.用适当方法解以下方程〔解法的灵活运用〕:

〔1〕V2(2x-7)2=V128〔2〕2m—m2+1=2(m2-2m)2

/3X3-2X3-1)

〔3〕6x(x-2)=(x-2)(x+3)〔4〕±=J)+Z

323

⑸81(2x-5)2=144(x-3)2

9.解关于x的方程〔含有字母系数的方程〕:

〔1〕x2-2mx+m~-n2=Q〔2〕+3a2=4ax—2a+1

(3)(m+n)x2+2nx=m-n〔加+〃片0〕(4)a2(彳2_x+1)_<2(x_1)=(q-_1)%

〔三〕一元二次方程的根的判别式

10.不解方程，判别方程根的情况:

[1〕4尤2_%+3=7%-------------------------------------------------------

⑵3(%2+2)=4x——_________________________________

〔3〕4x2+5=4^/5%-------------------------------------------------------

11.左为何值时，关于X的二次方程叱-6x+9=0

〔1〕左满足时，方程有两个不等的实数根

[2]左满足时，方程有两个相等的实数根

〔3〕k满足时，方程无实数根

12.关于x的方程ax?-3%+4=。，如果加<0,那么此方程的根的情况是〔〕.

A.有两个不相等的实根B.有两个相等的实根C.没有实根D.不能确定

13.关于x的方程x?-履+左一2=。的根的情况是〔〕.

A.有两个不相等的实根B.有两个相等的实根C.没有实根D.不能确定

14.关于x的方程(〃?-2)*2+2TOC+:〃+3=0有实根，那么的取值范围是〔〕.

A.m^2B.切46且，C.m<6D.m<6

15.k>0,且方程3日？+12x+左=一1有两个相等实根，那么左的值等于〔〕.

A.2百B.±2百C.3或TD.3

16.假设关于x的方程Ax?-4x+3=0有实根，那么左的非负整数值是〔〕.

A.0,1B.0,1,2C.1D.1,2,3

17.关于x的方程4/-(〃7+2)x=l-根有两个相等的实数根.求m的值和这个方程的根.

18.方程%2+2(a+l)x+ci~+4a—5=0有实数根，求正整数a.

19.对任意实数m,求证：关于X的方程（加2+1）%2—2MX+加2+4=0无实数根.

20.设加为整数，且4＜加＜40时，方程一一2（2加-3）%+4根2-14加+8=0有两个相异整数根,

求用的值及方程的根。

21.左为何值时，方程（左—1）——（2左+3）%+（4+3）=0有实数根.

〔四〕一元二次方程的应用

22.直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积.

23.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小

4,求这个两位数.

24.一个两位数，两个数位上的数字之和为6,两个数之积等于这个数的三分之一，求这个两位数.

25.:如图，在一块长80cm,宽60s的白铁片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起

来，做成底面积是1500c病的没有盖的长方体盒子，问截去的小正方形边长是

多少?

26.某林场准备修一条长1000米，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.4万平方米，上口宽比渠面深

多2.3米，渠底宽比渠深多0.3米.

〔1〕渠道的上口与渠底宽各是多少？

〔2〕如果方案每天挖土70立方米，需要多少天才能把这条渠道的土挖完？

27.据有关资料显示，我国农产品出口总量中，初级产品占五分之四，深加工产品占五分之一.由于在

国际市场上，初级产品的价格较低，不利于出口创汇，所以参加WTO后，必须尽快改变这种出口结构.假

设我国每年农产品出口总量不变，两年后将深加工产品的出口比重提高到十分之三，问平均每年比上年

提高的百分数是多少？〔结果精确到0.1%,以下数据可供选用：A/2^1,414,6=1.732,占72.236〕

28.旧车交易市场有一辆原价为12万元的轿车，但已使用3年.如果第一年的折旧率为20%,以后折

旧率有所变化；现知第三年末这辆轿车值7.776万元，求这辆车第二年、第三年平均每年的折旧率.

29.某印刷厂在四年中共印刷1997万册书，第一年印刷了342万册，第二年印刷了500万册，如果以后

两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？

30.某人把5000元存入银行，定期一年到期后取出300元，将剩余局部〔包括利息〕继续存入银行，定

期还是一年，且利率不变，到期如果全部取出，正好是275元，求存款的年利率？〔不计利息税〕

31.某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定

两年到期时一次性还本付息，利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路，使公司在两年到期时除

还清贷款的本金和利息外,还盈余72万元,假设该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,

试求这个百分数.

32.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽

快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售

出2件，假设商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

33.甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，

甲的速度为每分钟1千米，乙的速度每分钟2千米，假设正方形广场周长为40千米，问几分钟后，两

人相距2，记千米？

34.如图，东西和南北向两条街道交于。点，甲沿东西道由西向东走,

速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3米，当乙通

过O点又继续前进50米时，甲刚好通过。点，求这两人在相距85米

A

时，每个人的位置。

35.关于x的方程(〃一1)/+MX+1=0①有两个相等的实数根.

⑴求证：关于y的方程根2y2-2my-m1-2/+3=0②必有两个相等的实数根。

(2)假设方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式"2"+12”的值。

36.一次函数y=-x+6和反比例函数y=—，〔1〕k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的

图象有两个交点？〔2〕设〔1〕中的两个公共点为A、B,NAO6是锐角还是钝角？

37.阅读下题的解答过程，请判断其是否有错；假设有错，请你写出正确答案.

m是关于x的方程-2x+m=0的一个根，求相的值.

〔1〕将％=机代入原方程，化简，得病=m.

〔2〕两边同除以机，得加2=1,所以根=1.

〔3〕把根=1代入原方程检验，可知切=1符合题意，所以根=1.

38.要使关于x的方程f+陵+1=。与%2一%一力=。有且只有一个公共根，求人的值.

九2-Qy-io

39.是否存在使函数丁=---------的函数值为0的x值，假设存在，就把它求出来；假设不存在，请

x+2

说明理由.

40.*解以下分式方程:

11-x

〔1〕x-3=----;⑵-3x

x—1x-22-x

lx11I3x—九2

〔3〕-o---------1--------------〔4〕：—+-T^=2;

x—42-x31—XX—1

-6x3x+3「、，x丫5x,八

〔5〕-----------=7;[6〕-------------F6=0.

x+1X<x+lJx+1

〔五〕*根系关系

彳艮设Qx?+法+。=0（〃wo）中，有A20,那么有：

xx-x