2024年梅州市高三二模（总复习质检试卷）数学试卷（含答案）

试卷类型：A

梅州市高三总复习质检试卷（2024.4）

数学-，•

本试卷共6页.满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答

题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一'选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”.就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知集合1={x4=ln(x-1)},B-{y\y=^-4x,x^A},则4UB=

A.(l,+oo)B.[-4,1)C.(-3,+oo)D.[-4,+oo)

3.三个函数f(x)=x3+x-3,g(x)=Inx+x-3,h(x)-ex+x~3的零点分别为a,b,c,则a,b,c

之间的大小关系为

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

4.如右图，两根绳子把物体M吊在水平杆子45上.已知物

体M的重力大小为20牛，且N40M'=150°,在下列角度

中，当角6取哪个值时，绳08承受的拉力最小.

A.45°B.60°

C.90°D.120°

高三数学试卷第1页共6页

5.若把函数/(x)=sinx+acosx的图象向左平移三个单位后得到的是一个偶函数，则a=

A.石B.-A/3C.3D.-世

:33

6.据一组样本数据(七,乂),(%〃%)，…，(*io,力o)，求得经验回归方程为$=L2x+0.4,且平均数

x=3.现发现这组样本数据中有两个样本点(1.2,0.5)和(4.8,7.5)误差较大，去除后，重新

求得的经验回归方程为3=l.lx+a,贝l」a=

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

7.某学校为参加辩论比赛，选出8名学生，其中3名男生和5名女生，为了更好备赛和作进

一步选拔，现将这8名学生随机地平均分成两队进行试赛，那么两队中均有男生的概率是

A.1B.JC.-D.。

7777

8.已知点尸为双曲线C:二-歹2=1的右焦点，点N在％轴上(非双曲线顶点)，若对于在双

3

曲线。上(除顶点外)任一点P,/产PN恒是锐角，则点N的横坐标的取值范围为

A.(2,y)B.(2,y)C.(V3,y)D.(V3,y)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.设Z],Z2是复数，则下列说法正确的是

A.若z；=0,则Zi=0B.若z；+z；=0,则Z[=Z2=0

C.\zx-i-zx\=\zx+i'z｛\D.若z；=z；,则|zi1=%|

10.已知数列｛册｝的通项公式为许=3",MWN*,在｛%｝中依次选取若干项(至少3项)

。卬%，%，…，纵，…，使｛%｝成为一个等比数列，则下列说法正确的是

A.若取用=1,%=3,则上3=9

B.满足题意的｛院｝也必是一个等比数列

C.在｛小｝的前100项中，｛%,｝的可能项数最多是6

D.如果把｛%｝中满足等比的项一直取下去，｛4“｝总是无穷数列

高三数学试卷第2页共6页

11.如图，平面45N_L平面a,\AB\=\MN\=2,M为线段48的中点，直线MN与平面a的

所成角大小为30。，点尸为平面a内的动点，则

A.以N为球心，半径为2的球面在平面a上的截痕长为2兀

N

B.若P到点”和点N的距离相等，则点尸的轨迹是一条直线一

C.若尸到直线MN的距离为1,则NZ尸B的最大值为］

D.满足/MMP=45°的点P的轨迹是椭圆虹m

题11图

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布"(150,『),

已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130〜150次之间的

人数约为.

13.已知数列｛4｝的通项公式%=(-1)"一黑二，(〃GN*),则1|寄=々。。2…4的最小值

2jt=i

为.

14.在平面直角坐标系X。歹中，。为坐标原点，定义尸(修，为)、。(％2,歹2)两点之间的

“直角距离”为外尸,0)=|/-必|+|乃-力|.已知两定点力(-1,0),3(1,0),则满足

d(M,A)+d(M,3)=4的点M的轨迹所围成的图形面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

4+4=l(a>6>0)的离心率为。，且经过点7(1,1)-

15.(13分)已知椭圆C:

ab22

(1)求椭圆。的方程;

(2)求椭圆C上的点到直线/:丁=2x的距离的最大值.

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16.(15分)在AA8C中，角4BC所对应的边分别为a,b,c,也acosB-bsinA=6c,c=2,

(1)求4的大小；

(2)点。在BC上，

(I)当4D_L4ff,且40=1时，求幺C的长；

(II)当3Q=2Z)C,且4D=1时，求A4BC的面积显四£••

17.(15分)如图，在四棱锥P-Z5CD中，平面BLDJ_平面488,底面4BCQ为直角梯形,

AE4。为等边三角形，AD//BC,AD上AB,AD=AB=2BC=2.

(1)求证：ADLPC；

(2)点N在棱尸C上运动，求A4DN面积的最小值；

(3)点M为尸3的中点，在棱尸。上找一点0,使得4核〃平面5。。，求婴的值.

题17图

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18.(17分)已知函数/'(x)=e、，g(x)=x2+l»A(x)=asinx+l(a>0).

(1)证明:当xe(0,+8)时，f(x)>g(x);

(2)讨论函数F(x)=/(x)-似x)在(0,灯上的零点个数.

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19.(17分)已知｛册｝是由正整数组成的无穷数列，该数列前〃项的最大值记为M”，即

M„=max｛apa2,,,,,an｝；前〃项的最小值记为%，即m”=min｛@],勾，…，册｝，令

p„=M„~m„(n=1,2,3,—),并将数列｛p”｝称为｛4｝的"生成数列

(1)若玛=3"，求其生成数列｛乃｝的前九项和；

(2)设数列｛%｝的“生成数列”为｛%｝,求证：pn=q„;

(3)若｛%｝是等差数列，证明：存在正整数〃°,当“之见时，％,a”+i，4+2,…是等差数列.

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梅州市高三第二次质检(2024.4)

数学参考答案与评分意见

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

12345678

BDBCCCDC

二'选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

91011

ACDABDBC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

7

12.45013.--14.6

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

解：(1)由题意可得e=£=L，设。=2〃，c=k,k>0,..........................................1分

a2

由。得：b=y/3k...........................................2分

椭圆C的方程为三+《=1,

4k-3k~

又因为椭圆c经过的点(i,I),

9

所以有_L+_L=i，..........................................3分

4G23k2~

从而解得：k=l,..........................................4分

于是4=2,b=6，..........................................5分

故椭圆的标准方程为=+?=1...........................................6分

43

（2）设与直线/平行的椭圆C的切线方程为，=2x+b,..........................................7分

y=2x+b

得3必+4(2》+6)2=12,即19/+16打+4加-12=0,

因为相切，所以A=256Z>2—76（4/-12）=0,..........................................9分

解得b=+>/?9>..........................................10分

此时切线与直线/的距离为4=匕里=叵，.......................11分

V55

即有椭圆。上的点到直线l:y=2x的最大距离为叵...............................................13分

5

16.（本小题满分15分）

解:（1）因为J§acosB-6sin4=Jic，

由正弦定理可得：J^sin4cosB-sinBsin4=JJsinC，....................................1分

而C=

所以sinC=sin[^-(-4+B)]=sin(y4+B)=sinAcosB+cosAsinB,..............2分

石sinZcosB-sinBsinA=V3(sinAcosB+cos4sin5),

-sin5sin=VJcos/sinB，..........................................3分

因为一£(0,万)所以sin«B>0,

-sin/l=V3cosJ»即tanZ=-V^，..........................................4分

又4w(0,%),因此4二,"........................5分

(2)(I)依题意可知，在sin8=且,cosB=述，.......................6分

55

在M.BC中，sinC=sin(ZB>4C+B)

=sinN54c・cosB+cosNB/4C•sin3

62A/51M=2屈-加，

~25--2~T~IO-

AC_AD

在A4C。中,..........................................8分

s\nZADCsinC

275

AD-sinZADC_AD-sinZADB_5_8-73+4

sinCsinC2-715-7511

10

(II)设OC=x闻=2x,

2

在A4BC中，由余弦定理得：9x2=4+tz2-2-2.<7-cos—^r,

3

即9x2=4+/+2a...............①........................................11分

ZADB+ZAUC=71,cosZADB+cosZADC=0

l+4x2-4x2+l-a2

即有:-----------------1----------------=0,

2,2x2•1,x

6x2=l+2a2.................②，........................................12分

由①②，可解得。=2普（舍去负根），.......................13分

c1c1+V6V3_3A/2+V3

..........................................15分

^2224

17.（本小题满分15分）

(1)证明：取4D的中点H,从而4H"BC,AH=BC,又40J.4B,

可得四边形43cH为矩形...............1分

因此CHLZO.............................................2分

因为APAD为等边三角形,

所以PHJ.ZD.............................................3分

而PHClCH=H

所以40,平面PHC................................4分

而尸Cu平面P4C

所以4D-LPC............................................5分

(2)解：连结HV,由40,平面尸HC,

有AD1HN,.....................6分

于是MDN的面积S..,=-ADHN=HN，

MDMN2»

要使A4DN的面积最小，即要班最小.............7分

而知当且仅当月N1PC时，HN最小............8分

而在RAHPC中，CH=2,PH=6,PC=币,

故当eN_LPC时，

“PH-CH26八

*二=不........................9分

.2面

因而t^ADN的面积的最小值为一--..............10分

(3)连结42交50于点G,连结交5。于点尸，连结PG,如图

因为3。〃40且4D=2BC=2,所以邕=空=1，..........11分

GAAD2

因为平面5。。，又41/u平面ZCW,平面BOQn平面2&0=6下

因此G..........12分

于是空二里」

..........13分

FMGA2

在△尸BC中,过点M作MK〃尸C

MKMF八八八…~八

则有"^77="^_=2,PQ=2MK,...........14分

CQCF

PQ

因此PQ=2MK=4CQ,即=4...........15分

QC

18.(本小题满分17分)

(1)证明：令G(x)=/(x)-g(x)=e*-x2-i,........................................1分

贝(lG'(x)=e'-2x,........................................2分

记p(x)=e'-2x,则p\x)=e*-2,........................................3分

当xe(0』n2)时，p，(x)<0；当xe(ln2,+oo)时，p，(x)>0,...............................4分

所以p(x)=e<-2x在(0,In2)上单调递减；在(In2,”)上单调递增.............5分

从而在(0,+00)上，G'{x}=p(x)>P(ln2)=2-21n2>0...........................................6分

所以G(x)在(0,*®)单调递增，......................7分

因此在(0,内)上，G(x)>G(0)=0,即/(x)>g(x)得证......................8分

(2)解：F(x)=/(x)-h(x)=e1-asinr-1,

F\x)=ex-acosx,........................................9分

①在(0,兀)上，F,(x)=eI-acosx>l-a>0,......................................10分

所以，R(x)在［0,兀)上递增，

在(0,©上，F(x)>F(0)=0,........................................11分

即函数9(x)在(0,©上无零点.......................12分

②。>1,记夕(x)=R'(x)=e*-acosx,

q'(x)=eT+asinx>0,q(x)在［0,兀］上递增，......................13分

It

而q(0)=l-a<0,q(］)=e5>0,

%)w(0,9,使我口)=0,

.•.当Ovxvx。时,尸(x)递减,x0<x<n,尸(x)递增，.....................14分

：•F⑺劭=Fg),

n

rfnF(x0)<g(0)=0,F(^)=e-1>0,........................................15分

尸(x)在(0,%)上无零点，在(％,万)上有唯一零点............................16分

综上，当。41时，g(x)在(0,兀)上没有零点；

当a>l时，g(x)在(0,兀)上有且仅有1个零点.......................17分

19.(本小题满分17分)

(1)解：因为(=3"关于〃单调递增，

所以=max｛q,%,…,q,｝=a“=3",...........................................1分

/n“=min｛q,&，…，4｝=%=3,...........................................2分

于是P“=M,-%=3"-3,...........................................3分

｛p“｝