北京顺义牛栏山一中2024年数学高一下期末统考试题含解析

北京顺义牛栏山一中2024年数学高一下期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为()A． B． C． D．2．在中，，是的内心，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（）A． B． C． D．3．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．34 B．42 C．54 D．724．在ΔABC中，已知BC=2AC，B∈[πA．[π4C．[π45．已知，，，，那么（）A． B． C． D．6．若是等比数列，下列结论中不正确的是（）A．一定是等比数列； B．一定是等比数列；C．一定是等比数列； D．一定是等比数列7．设、满足约束条件，则的最大值为（）A． B．C． D．8．已知，则的值等于()A．2 B． C． D．9．在空间中，给出下列说法：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则；④过平面的一条斜线，有且只有一个平面与平面垂直.其中正确的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③10．已知公式为正数的等比数列满足：，，则前5项和()A．31 B．21 C．15 D．11二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．数列的前项和，则__________.12．数列的前项和为，若对任意，都有，则数列的前项和为________13．如图所示，在正三棱柱中，是的中点，,则异面直线与所成的角为____.14．在等差数列中，，，则公差______.15．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________16．如图，在中，已知点在边上，，，则的长为____________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在平面直角坐标系中，直线截以原点为圆心的圆所得的弦长为．（1）求圆的方程；（2）若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于点，当长最小时，求直线的方程；（3）设是圆上任意两点，点关于轴的对称点，若直线分别交轴于点和，问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．18．已知数列满足（，且），且，设，，数列满足.（1）求证：数列是等比数列并求出数列的通项公式；（2）求数列的前n项和；（3）对于任意，，恒成立，求实数m的取值范围.19．已知函数（）.（1）若在区间上的值域为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，记的角所对的边长分别为，若，的面积为，求边长的最小值；（3）当，时，在答题纸上填写下表，用五点法作出的图像，并写出它的单调递增区间.020．已知等差数列满足，且.（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和的最大值.21．已知向量，，且函数.若函数的图象上两个相邻的对称轴距离为.（Ⅰ)求函数的解析式；（Ⅱ)若方程在时，有两个不同实数根，，求实数的取值范围，并求出的值；（Ⅲ)若函数在的最大值为2，求实数的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据三视图还原出几何体，得到是在正方体中，截去四面体，利用体积公式，求出其体积，然后得到答案.【详解】根据三视图还原出几何体，如图所述，得到是在正方体中，截去四面体设正方体的棱长为，则，故剩余几何体的体积为，所以截去部分的体积与剩余部分的体积的比值为.故选：C.【点睛】本题考查了几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还有几何体，利用体积公式解答，属于简单题.2、A【解析】

由且，易知动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），在中，由，利用余弦定理求得边，再由和，求得内切圆的半径，从而得到，再由动点的轨迹所覆盖的面积得解.【详解】因为且，根据向量加法的平行四边形运算法则，所以动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），因为在中，，所以由余弦定理得：，所以，即，解得：，，所以.设的内切圆的半径为，所以所以.所以.所以动点的轨迹所覆盖的面积为：.故选：A【点睛】本题主要考查了动点轨迹所覆盖的面积的求及正弦定理，余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.3、C【解析】

还原几何体得四棱锥E﹣ABCD，由图中数据利用椎体的体积公式求解即可.【详解】依三视图知该几何体为四棱锥E﹣ABCD，如图，ABCD是直角梯形，是棱长为6的正方体的一部分，梯形的面积为：12几何体的体积为：13故选：C．【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确还原几何体和补形是解题的关键，考查空间想象能力．4、D【解析】

由BC=2AC，根据正弦定理可得：sinA=2sinB，由角【详解】由于在ΔABC中，有BC=2AC，根据正弦定理可得由于B∈[π6,π4]由于在三角形中，A∈0,π，由正弦函数的图像可得：A∈[故答案选D【点睛】本题考查正弦定理在三角形中的应用，以及三角函数图像的应用，属于中档题．5、C【解析】由于故，故，所以.由于，由于，所以，故.综上所述选.6、C【解析】

判断等比数列,可根据为常数来判断.【详解】设等比数列的公比为,则对A：为常数,故一定是等比数列；对B：为常数,故一定是等比数列；对C：当时,,此时为每项均为0的常数列；对D：为常数,故一定是等比数列.故选：C.【点睛】本题主要考查等比数列的判定,若数列的后项除以前一项为常数,则该数列为等比数列.本题选项C容易忽略时这种情况.7、C【解析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上的截距最大时对应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出结果.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分区域表示：联立，得，可得点的坐标为.平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，故选：C.【点睛】本题考查简单线性规划问题，一般作出可行域，利用平移直线结合在坐标轴上的截距取最值来取得，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8、D【解析】

根据分段函数的定义域以及函数解析式的关系，代值即可.【详解】故选：D【点睛】本题考查了分段函数的求值问题，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题.9、B【解析】

说法①：可以根据线面平行的判定理判断出本说法是否正确；说法②：根据线面垂直的性质和面面平行的判定定理可以判断出本说法是否正确；说法③：当与相交时，是否在平面内有不共线的三点到平面的距离相等，进行判断；说法④：可以通过反证法进行判断.【详解】①平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知②正确；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确.故选B.【点睛】本题考查了线线位置关系、面面位置关系的判断，分类讨论是解题的关键，反证法是经常用到的方程.10、A【解析】

由条件求出数列的公比．再利用等比数列的前项求和公式即可得出．【详解】公比为正数的等比数列满足：，则，即.所以,所以.故选：A【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据数列前项和的定义即可得出．【详解】解：因为所以．故答案为：．【点睛】考查数列的定义，以及数列前项和的定义，属于基础题．12、【解析】

根据数列的递推公式，求得，再结合等差等比数列的前项和公式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，数列满足，…①，…②由①-②，可得，即当时，，所以，则数列的前项和为.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，以及等差、等比数列的前项和的应用，其中解答中熟练应用熟练的递推公式得到数列的通项公式，再结合等差、等比数列的前项和公式的准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.13、【解析】

要求两条异面直线所成的角，需要通过见中点找中点的方法，找出边的中点，连接出中位线，得到平行，从而得到两条异面直线所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角．【详解】取的中点E,连AE,,易证，∴为异面直线与所成角，设等边三角形边长为，易算得∴在∴故答案为【点睛】本题考查异面直线所成的角，本题是一个典型的异面直线所成的角的问题，解答时也是应用典型的见中点找中点的方法，注意求角的三个环节，一画，二证，三求．14、3【解析】

根据等差数列公差性质列式得结果.【详解】因为，，所以.【点睛】本题考查等差数列公差，考查基本分析求解能力，属基础题.15、2【解析】

根据三视图还原几何体，为一个底面是直角梯形的四棱锥，根据三视图的数据，分别求出其底面积和高，求出体积，得到答案.【详解】由三视图还原几何体如图所示，几何体是一个底面是直角梯形的四棱锥，由三视图可知，其底面积为，高所以几何体的体积为.故答案为.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求四棱锥的体积，属于简单题.16、【解析】

由诱导公式可知，在中用余弦定理可得BD的长。【详解】由题得，，在中，可得，又，代入得，解得.故答案为：【点睛】本题考查余弦定理和诱导公式，是基础题。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（1）；（3）定值为.【解析】试题分析：（1）求出点到直线的距离，进而可求圆的半径，即可得到圆的方程；（1）设直线的方程，利用直线与圆相切，及基本不等式，可求长最小时，直线的方程；（3）设，则，求出直线，分别与轴交点，进而可求的值．试题解析：（1）因为点到直线的距离为，所以圆的半径为，故圆的方程为．（1）设直线的方程为，即，由直线与圆相切，得，即，，当且仅当时取等号，此时直线的方程为，所以当长最小进，直线的方程为．（3）设点，则，直线与轴交点为，则，直线与轴交点为，则，所以，故为定值1．考点：1.直线和圆的方程的应用；1.直线与圆相交的性质．18、(1)见解析（2）(3).【解析】

（1）将式子写为：得证，再通过等比数列公式得到的通项公式.（2）根据（1）得到进而得到数列通项公式，再利用错位相减法得到前n项和.（3）首先判断数列的单调性计算其最大值，转换为二次不等式恒成立，将代入不等式，计算得到答案.【详解】（1）因为，所以，，所以是等比数列，其中首项是，公比为，所以，.（2），所以，由（1）知，，又，所以.所以，所以两式相减得.所以.（3），所以当时，，当时，，即，所以当或时，取最大值是.只需，即对于任意恒成立，即所以.【点睛】本题考查了等比数列的证明，错位相减法求前N项和，数列的单调性，数列的最大值，二次不等式恒成立问题，综合性强，计算量大，意在考查学生解决问题的能力.19、（1）；（2）；（3）填表见解析，作图见解析，（）.【解析】

（1）利用二倍角公式和辅助角公式可把化简为，再求出的范围后根据正弦函数的性质可得关于的方程组，解方程组可得它们的值.（2）先求出，再根据面积求出，最后根据余弦定理和基本不等式可求的最小值.（3）根据五点法直接作出图像，再根据正弦函数的性质可得函数的单调增区间.【详解】，当时，，则.因为，所以，解得，即.（2）由，得，又的面积为，所以，即，所以，当且仅当时，.（3）由题意得，填表0111作图如下图：由得（），所以函数的单调递增区间是（）.【点睛】本题考查正弦型函数在给定范围上的最值、余弦定理、三角形中的面积公式、正弦型函数的图像与单调性以及基本不等式，本题综合性较高，为中档题.20、（1）（2）144【解析】

（1）把带入通项式即可求出公差，从而求出通项。（2）根据（1）的结果以及等差数列前项和公式即可。【详解】（1）设公差为，则则则（2）由等差数列求和公式得则所以当时，有最大值144【点睛】本题主要考查了等差数列的通项以及等差数列的前和公式，属于基础题21、（Ⅰ)；（Ⅱ)，；（Ⅲ）或【解析】

（Ⅰ)根据三角恒等变换公式化简，根据周期计算，从而得出的解析式；（Ⅱ)求出在，上的单调性，计算最值和区间端点函数值，从而得出的范围，根据对称性得出的值；（Ⅲ）令，求出的范围和关于的二次函数，讨论二次函数单调性，根据最大值列方程求出的值．【详