陕西省西安市临潼区2024届高三第二次模拟检测数学（文科）试题（解析版）

临潼区2024届高三第二次模拟检测

数学（文科）试题

注意事项：

1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡

上.写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.己知复数z=（I—。（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）

A.-2B.2C.-2iD.2i

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数乘法法则化简z,再求虚部即可.

【详解】z=（l-i）2=l-2i+i2=-2i）故其虚部为—2.

故选：A.

2.设直线％+y—2=。与圆炉+产=4交于A1两点，则卜（）

A.72B.272C.4D.472

【答案】B

【解析】

【分析】先计算圆心到直线的距离，再利用勾股定理求弦长即可.

【详解】圆必+y=4的圆心为0（0,0）,半径为r=2,

|-2|「

•.•圆心。到直线x+y—2=0的距离d=,

Vi2+i2

:.\AB\=2&2—d2=2小2?—（可=242-

故选：B.

3.已知全集。=院集合4={乂-2<x<3},6=(0,4),则图中的阴影部分表示的集合为(

A.(3,4)B.（7O,-2）D（3,+8）

C.(0,4)D.{%|-2<%<4）

【答案】A

【解析】

【分析】分析Venn图，图中的阴影部分为属于集合2且不属于集合A中的元素构成的集合,再

根据集合的运算，即可求解.

【详解】由题意，分析Venn图，可知阴影部分为Bc(eA),

eA=(―8,—2)u(3,+8),则3c(eA)=(3,4),

故选：A.

4.下列函数中，既是奇函数又在(—,+<»)上单调递减的是()

13

A.y=—B.y=x

x

C.y=TXD.y^3~x

【答案】c

【解析】

【分析】A项，定义域不合题意；B项，单调性不符合；C项，先利用定义判断函数的奇偶性，由函数在

[0,+“)上单调递减，再结合奇函数图象的对称性可得；D项，特殊取值可判断不是奇函数.

【详解】选项A,>的定义域为(-8,0)1,(0,+8),不符合题意，故A错误；

X

选项B,设"％)=尤3,定义域为R,

H^j/(-x)=(-x)3=-%3=-/(%),

所以/(%)=丁为奇函数，且在定义域上为增函数，故B错误；

选项C,设/■(%)=—%国，定义域为R,

由/(-x)=x|-x|=%|x|=-/(%),故/(九)为奇函数，

当时，/(x)=-x2,且/(x)=—Y在[0,+8)上单调递减，

又因为函数图象关于原点对称，所以在(—,土»)上单调递减，故C正确；

选项D,设/(%)=3：则/⑴=；"(—1)=3,

由了(—1)。—7(1)，知了⑺不是奇函数，故D错误.

故选：C.

5.有一组样本数据：%,々，L，4,其平均数为2,由这组样本数据得到新样本数据：石,々，L,

/，2,那么这两组样本数据一定有相同的()

A.众数B.中位数

C.方差D.极差

【答案】D

【解析】

【分析】根据众数、中位数、方差以及极差的定义，结合题意，即可判断和选择.

【详解】对A：假设土,々，L,4中，有两个2,两个3,其它4个数据都不相同，且这8个数据平均

数为2,那么众数为2和3;

再添加一个2后，有三个2,故众数为2,众数发生改变，故A错误；

2+3

对B：假设石,々，L,4分别为：一1,0,0,2,3,3,4,5,满足平均数为2,其中位数为；一=2.5；

添加2以后，其中位数为2,中位数发生改变，故B错误；

2

对C：%,马，L，4的平均数为2,方差2『+(々—2『++(X8-2)1；

8L-

22

添加2以后，其平均数还是2,方差S2=](x「2y+(%-2)2++(X8-2)+(2-2)1<S1,故方

差发生改变；

对D：若2是石,马，L,4的最大值或最小值，因为其平均数为2,故这组数据都是2,其极差为0,

添加2后，极差也是0；

若2不是药,々，L,4的最大值，也不是最小值，添加2后，最大值和最小值没有改变，极值也不发生

变化，故D正确.

故选：D.

6.保护环境功在当代，利在千秋，良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和

后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量尸(单位：毫米/

升)与过滤时间r(单位：小时)之间的函数关系为？=4七%。20),其中左为常数，女〉0,1为原污

染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%,那么再继续过滤3

1

小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的()参考数据：0.585.

A.9%B.10%C.12%D.14%

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得《七一”='兄，解得e-3尢从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系

式，再将，=12代入即可求得答案.

【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%,所以《式-"=:凡，即已”=[,所以

1

再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为

4

Po-e:/=pox(e^1=片X»|x0.585x与“12%好•

故选：C.

兀

7.“°=一”是“函数y=sin(x+0)为偶函数”的()

2

A充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据充分必要条件的定义判断.

兀71

【详解】0=5时，y=sin(x+0)=sin(x+,)=cosx是偶函数，充分性满足，

但。=——时，y=sin(x+0)=sin(x——)=一cosx也是偶函数，必要性不满足.

22

应是充分不必要条件.

故选：A.

8.已知｛%｝是等比数列，S,是数列｛4｝的前几项和，2S,=4+]—2，则知的值为()

A.3B.18C.54D.152

【答案】C

【解析】

【分析】当“之2时，2S〃T=4-2,两式相减可得*=3,因为｛4｝是等比数列，所以，=3,令

〃=1时，2%=g-2,由此解出生,再由等比数列的通项公式求出应的值.

【详解】当“之2时，2S“T=a”—2,

a1

两式相减可得：2s.―2S,T=4M—4,即2%,=4+i—即3=3,

因为｛4｝是等比数列，所以?=3,

又令〃=1时，2%=%-2,所以2〃1=3%-2,解得：4=2,

所以｛4｝是以q=2为首项，3为公比的等比数列，

所以/=4,/=2x33=54.

故选：C.

9.如图是函数y=/(x)的导函数y=/'(x)的图象，下列结论正确的是()

A.y=/(%)在*=一1处取得极大值B.%=1是函数丁=/(%)的极值点

C.x=—2是函数y=/(x)的极小值点D.函数y=/(x)在区间(-M)上单调递减

【答案】C

【解析】

【分析】根据导函数的正负即可求解y=/(x)的单调性，即可结合选项逐一求解.

【详解】由图象可知：当％<—2时，/''(1)<0"(x)单调递减，当2时，/'(x"OJ(x)单调递

增，

故％=—2是函数y=/(力的极小值点，y=/(x)无极大值.

故选：C

10.已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为1和2,以它的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转

一周围成一旋转体，则此旋转体外接球的表面积为()

A.2071B.1271C.5兀D.3兀

【答案】C

【解析】

【分析】根据题设旋转体描述确定其外接球半径长度，再由球体面积公式求表面积即可.

【详解】由题设，所得旋转体为两个圆锥体的组合，它们以三角形斜边上高为底面半径，斜边长为两圆锥

该旋转体外接球半径为三角形斜边的一半，为*故表面积为47rx(乎)2=5兀.

故选：C

11.函数y=y图像上存在不同的三点到原点的距离构成等差数列，则以下不可能成为公差的数

是()

A.昱B.1C.1D.g

32

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，利用圆上一点到原点的距离的取值计算出公差的范围，进而判断即可求解.

【详解】函数等价为(X+2)2+y2=l(0<y<l),

表示为圆心在(-2,0)半径为1的上半圆,

半圆上点到原点的最短距离为1,最大距离为3,

若存在不同的三点到原点的距离构成等差数列，

则最大的公差d应有2d=3—1=2,即d=l,

最小的公差应满足2d=1—3=—2,即d=—1,

所以公差的取值范围为—iWdWl,

所以若不可能成为该等差数列的公差.

故选：D.

22

12.过双曲线E：=一==1（。〉0］〉0）左焦点尸作犬+/=/的一条切线，设切点为该切线与

ab

双曲线E在第一象限交于点A,若FA=3FT，则双曲线E的离心率为（）

A.指B.75C.叵D.叵

22

【答案】C

【解析】

分析】取线段AT中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答.

【详解】令双曲线E的右焦点为厂'，半焦距为c,取线段AT中点连接OT,AF',厂加，

因为E4切圆必+产=/于T,则。TLE4,有|FT|=歹『7c2-a2=b，

因为E4=3fT，则有IAM1=1MT1=1FT1=人，\AF'\=\AF\-2a^3b-2a,

而。为尸尸’的中点，干是FMIIOT,即产NLAR,\F'M\^2\OT\^2a,

b3

在RtuAF叱中，（24）2+02=（3^—20）2,整理得一二一，

a2

所以双曲线E的离心率6=£=、1+与=巫.

a\a22

故选：c

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量。=(3,0),Z>=(-1,1),c=(l,4)，若(a+0)//c,则实数上的值为.

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，共线向量的坐标表示列式计算即得.

【详解】由向量a=(3,0),Z?=(-l,l),得a+b=(2,l),而c=(l,左)，且(a+A)//c,

则2左=1,所以4=

2

故答案为：g

14.某学校举办作文比赛，共5个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参

赛同学抽到相同主题的概率为.

【答案】1##0.2

【解析】

【分析】应用古典概型的概率公式求解.

【详解】由题意，甲乙每人抽到的主题都有5种，

故甲乙抽到主题的所有情况有5x5=25种，

甲乙抽到相同主题的情况有5种，

所以甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为

255

故答案为：—.

15.过抛物线C：%2=207(0>0)焦点厂的直线与(;交于4B两点，点加(0,0,且|4司=|4以］,

则直线A8的斜率为.

【答案】土逅

12

【解析】

【分析】根据给定条件，求出焦点产及点A的坐标，再利用斜率坐标公式计算即得.

【详解】抛物线C：X?=2py的焦点e(0，9，而M(0,P)，

3

由司=|4必，得点A在线段根的中垂线丁=^“上，

设则片=；/,解得xo=±Y5p,

422

3」

所以直线A3的斜率汰一4'一]'_土寂.

%0—012

故答案为：土逅

12

16.已知函数/(x)=3cos(a>x+0)W>O),若/卜.)=3,/I1-0,且在区间卜|•，一g

上没有零点，则。的一个取值为

2

【答案】j(答案不唯一).

【解析】

【分析】根据/[一：)=3,/[]]=0可得0=与+：,根据在区间1―三,—上没有零点可得°范围，

即可求出。的取值有几个.

71

【详解】由题意，在/(%)=3cos(妙+0)(=>0)中,f

3cos--a)-\-(p=3——兀G)+,(P=027仁兀

〉、/，所以<

,k],k?£Z,

兀771

3cosHg+0J=0一啰+0=42兀+一

、22

-sjrjr

两式相减得了0=(自-2匕)兀+5,

424〃2

所以口=](42—2左])+§,即Q二-^-十]，

I7171।|71Tt

因为XGI——,——1,69>0,所以CDX+GI—(())——69+^9

令a)x+(p=t,teI--7a1>+(p,--7c1o+(p

[7171\

由题意知y=3cos/在.£[-5G+0,一不力+切上无零点,

717171

一兀]717717]

故[一]Q+0,一不切+0Jq1—,+J,左eZ,

22

71、兀7兀、兀7

——CO+(P>——+K71——co+(p>——+E

3232

所以，即《

71,兀7兀、兀7

——a)+(p<—+kn—CD~(P>---------KH

、62[6"2

71

两式相加得—-兀，所以0＜0)W6,

6

「4〃2

又co=—+—,

33

21014

所以，当〃=0时，。=—；当〃=1时，6y=2；当〃=2时，m=—；当"=3时，(o=—；当〃=4

333

时，co=6J

所以。的取值有5个，取其中一个填写即可.

2

故答案为：j(答案不唯一).

兀、兀7

——co+(p>——+E

兀71]32

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用其在一§「不上五零点，从而得至上，解

兀,兀7

——co+(p<—+kn

、62

An2

出0＜幻＜6,再根据题目所给条件代入得到刃=——十—,赋值即可.

33

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题:共60分.

17.在一ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且Z?sin2C=csinB.

(1)求sinC；

(2)若c=2,ABC的面积为若，求证：ABC是正三角形.

jr

【答案】(1)c=-

3

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)由正弦定理和二倍角的正弦公式可求出结果;

(2)由面积公式列式求出必=4,再由余弦定理求出。+/?=4，联立即可解出q=〃=c=2,即可证明.

【小问1详解】

根据正弦定理得sinBsin2C=sinCsinB,

因为Be（O,兀），贝!Jsin6wO,

由sin2C=sinC,得2sinCcosC=sinC,

1兀

因为0＜。＜兀，则sinC〉O,所以cosC=—,所以C=一.

23

【小问2详解】

因为S/\ABC=B'。匕sinC==6，所以a/?=4,

由/=/一2a/?cosC=（a+b）2-3ab,得4=（a+b）?-12,得a+/?=4.

又因为a/?=4,联立解得a=b=2,

所以a=/?=c=2.

故.ABC是正三角形.

18.某工厂用A,8两台机器生产同一种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机器生产

的产品质量，分别用两台机器各生产了100件产品，产品的质量情况统计如表：

~'级品二级品合计

A机器7030100

8机器8020100

合计15050200

（1）若用A,8两台机器各生产该产品5万件，用频率估计概率，试估算此次生产的一级品的数量有多少

万件？

（2）能否有90%的把握认为A机器生产的产品质量与B机器生产的产品质量有差异？

2

附：K=-----、(------------------；其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.150.100.05

ko2.0722.7063.841

【答案】（1）7.5

(2)没有90%的把握认为A机器的产品质量与8机器的产品质量有差异.

【解析】

【分析】(1)根据频率的概念结合条件即得；

(2)由题可得R2,然后根据临界值结合条件即得.

【小问1详解】

根据题表中数据知，

70

A机器生产的产品中一级品的频率是一=0.7,

100

Q0

5机器生产的产品中一级品的频率是一=0.8；

100

用频率估计概率，估算此次生产的一级品的数量有5x0.7+5x0.8=7.5万件.

答：估算此次生产的一级品的数量有7.5万件。

【小问2详解】

根据题表中数据可得K2=200(70x20-80x30)2=剪土？667，

100x100x150x5075,

因为2.667<2.706,

所以没有90%的把握认为A机器的产品质量与8机器的产品质量有差异.

19.如图，在直三棱柱ABC-A51cl中，ABJ.BC,AB=BC=BB[=2,M,N,尸分别为^耳，

AC,8c的中点.

(1)求证：MN//平面5CG4；

(2)求三棱锥3—的体积.

【答案】(1)证明见解析

⑵-

3

【解析】

【分析】(1)通过构造平行四边形，找到线线平行，利用线面平行的判定定理即可证明;

(2)转换顶点并结合椎体的体积公式即可证明.

【小问1详解】

,/直三棱柱ABC-4与£中，M为4用的中点,

所以4M且4M//AB，

因为尸，N分别BC,AC的中点，

/.PNHAB,PN=-AB,

2

PN//B.M,PN=B、M,

：.四边形5]MNP为平行四边形，MN//B.P,

又平面4cle3，BJu平面BiGCB,

故肱V//平面5]C]C5.

【小问2详解】

因为直三棱柱A3C-4与£,则平面ABC//平面ABC1，

因为Me平面A4G，则点M到底面ABC的距离即为点B]到底面ABC的距离，

又因为BBy1底面ABC,则点B[到底面ABC的距离即为BBt长，

又因为M尸分别为AC,BC的中点，且AB_Z5C,

则为-PMN=VM_PBN=§SPBN,BB]=—x—xlxlx2=—.

22

20.已知椭圆C2=1的焦距为2,F],B分别为其左，右焦点，过耳的直线/与椭圆。交于

ab

M,N两点，.gMN的周长为8.

(1)求椭圆。的方程;

（2）已知结论：若点（七,%）为椭圆C上一点，则椭圆C在该点的切线方程为誓+誓=1.点T为直

ab"

线x=8上的动点，过点T作椭圆C的两条不同切线，切点分别为A,B,直线交X轴于点Q.证明：

。为定点.

22

【答案】（1）土+匕=1

43

（2）证明见详解.

【解析】

【分析】（1）由已知可得4。=8,2c=2,求出。，仇c的值，即可得出椭圆C的标准方程；

⑵设人（司,%），3（%,%）,T（8,r）,根据已知可得AT以及方程，代入丁点坐标，即可得出直

线A5的方程.令y=。，可求得x=，为常数.

如图1,由已知可得，|V闾+|八闾+|MN|=WK|+W码+|A*|+|N局=4a=8,

所以。=2.

又2c=2,所以c=l,b1=a2—c2=3-

所以，椭圆C的标准方程为三+匕=1.

43

【小问2详解】

设A（%，x）,5（孙％）,T（8,r）.

则由已知可得，AT方程为：垩+也=1,BT方程为:生+也=1.

4343

将T（8,。代入AT、BT方程整理可得，

6再+)1—3=0,6X2+ty2-3=0.

显然A、B点坐标都满足方程6x+ty—3=0.

即直线A3的方程为6x+“-3=。，

令y=0,可得x=g,即。点坐标为

所以，。为定点.

21.已知函数〃x)=ar-xlnx.

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在(e,〃e))处的切线方程；

(2)讨论/(%)在［l,e］上的最大值；

(3)是否存在实数a,使得对任意尤＞0,都有/(x)Wa?若存在，求a可取的值组成的集合；若不存

在，说明理由.

【答案】(1)y=一尤+e；

(2)答案见解析；(3)存在，a可取值构成的集合为{1},理由见解析.

【解析】

【分析】(1)求得/(e),/'(e),再根据导数的几何意义求切线方程即可；

(2)先讨论了(%)的单调性，找到极值点ei，再根据e“T，1，e的大小关系，求函数最值即可；

⑶根据⑵中所求函数单调性和最值，结合题意可知，只需构造函数77«x)=lnx—%+1,

结合其单调性和最值，即可求得。的取值.

【小问1详解】

当a=l时，/(x)=x—xlnx,/(e)=e-e=0,X/(x)=-lnx,/Xe)=~1,

故曲线y=/(x)在(e,〃e))处的切线方程为y—0=—(x—e),也即y=-x+e.

【小问2详解】

f(x)=ax-xlnx,f\x)=-lnx+a-l,显然V=/'(x)在(0,+8)上为单调减函数；

令/'(x)=0,即—inx+a—1=0,解得x=e〃T，

故当先€(0,尸)/,(%)>0,y=/(x)单调递增；

当xe(e"T,4<o),/,(%)<0,y=/(x)单调递减；

若e"T2e，即aN2时，y=/(x)在［l,e］上单调递增，又“e)=ae—e,

故当a»2时，/(X)在［l,e］上的最大值为ae-e；

若e〃T<l，即aWl时，y=/(x)在［l,e］上单调递减，又/(l)=a,

故当aWl时，“X)在［Le］上的最大值为。；

若l<e°T<e，即l<a<2时，y=/(%)在口,为”［单调递增，在［e「e］上单调递减,

又f(e"T)=aea'-ealInefl-1=ea-1,

故当1<a<2时，/(x)在［1,e］上的最大值为e°T；

综上所述，当aWl时，/(%)在［Le］上的最大值为

当l<a<2时，/(%)在［Le］上的最大值为e〃T；

当a22时，/(%)在［Le］上的最大值为ae-e.

【小问3详解】

由(2)可知，/(力在(031)单调递增，在(e「+8)单调递减，且/(e"T)=e"T,

故/(%)在(0,+8)上的最大值为e"一；

若存在实数4，对任意x>0,都有/(x)Wa,则e“T<a，显然a>0；

又当。>0时，e"T«Q，也即a-lWlna,lna-a+l>0；

令加(x)=lnx-x+l,则