全等三角形中倍长中线模型（中档题）-2023-2024学年北师大版七年级数学下册

全等三角形中倍长中线模型倍长中线原理：延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角和对应边都对应相等。此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角，一般用“SAS”证明对应边之间的关系。【模型1解读】在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE.；若连结BE，则；若连结EC，则【模型2解读】为的中点证明思路：若延长至点，使得，连结，则;若延长至点，使得，连结，则.【模型3解读】中点+平行线型：已知，点为线段的中点证明思路：延长交于点(或交延长线于点)，则.【例1】【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段至点E，使，连接．请根据小明的方法回答下列问题．(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是____________．A．

B．

C．

D．(2)探究得出的取值范围___________．A．

B．

C．

D．【问题解决】(3)如图2，在中，，，是的中线，求证：．【例2】（2021春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【变式1-1】如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为．【变式1-2】如图，AE是△ABD的中线AB＝CD＝BD．求证：AB+AD＞2AE；【变式1-3】（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”；（2）探究应用：如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的角平分线，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．

【变式1-4】如图所示，为的角平分线，分别在上，，若．求证：．【变式1-5】（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是；（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；【变式1-6】阅读下面的题目及分析过程．已知：如图点是的中点，点在上，且

说明：分析：说明两个角相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质．观察本题中说明的两个角，它们既不在同一个三角形中，而且们所在两个三角形也不全等．因此，要说明，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，现在提供两种添加辅助线的方法如下：如图①过点作，交的延长线于点．如图②延长至点，使，连接．（1）请从以上两种辅助线中选择一种完成上题的说理过程．（2）在解决上述问题的过程中，你用到了哪种数学思想？请写出一个．_______________．（3）反思应用：如图，点是的中点，于点．请类比（1）中解决问题的思想方法，添加适当的辅助线，判断线段与之间的大小关系，并说明理由．【变式1-7】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，请补充完整证明“≌”的推理过程．求证：≌证明：延长AD到点E，使在和中已作，______，中点定义，≌______，探究得出AD的取值范围是______；【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】如图2，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长．参考答案【例1】【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段至点E，使，连接．请根据小明的方法回答下列问题．(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是____________．A．

B．

C．

D．(2)探究得出的取值范围___________．A．

B．

C．

D．【问题解决】(3)如图2，在中，，，是的中线，求证：．【答案】(1)B(2)C(3)见解析【分析】（1）根据，，推出和全等即可，据此即可判定；（2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；（3）延长到F，使，连接，证明，得出，，证明，得出，证明即可．【详解】（1）解：是中线，，在与中，，故选：B；（2）解：由知：，，，由三角形三边之间的关系可得：，即，解得：，故选：C；（3）证明：延长到F，使，连接，如图所示：是中线，，在与中，，，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵在和中，∴，∴，∴．【例2】（2021春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选C．（3）证明：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，∵AD是△ABC中线，∴BD＝DC，∵在△ADC和△MDB中，∴△ADC≌△MDB（SAS），∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF．【变式1-1】如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．延长至G，使，连接，根据证明，则，根据可得，由此可得，即可得出，然后利用线段的和差即可求出的长．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【详解】如图，延长至G，使，连接，在和中，，．，，，，，．，，．故答案为：【变式1-2】如图，AE是△ABD的中线AB＝CD＝BD．求证：AB+AD＞2AE；【解答】证明：（1）延长AE到M，使AE＝EM，连接DM，∵AE为△ABD的中线，∴BE＝DE，在△AEB和△MED中∴△AEB≌△MED（SAS），∴AB＝DM，在△AMD中，AD+DM＞AM，即AB+AD＞2AE；【变式1-3】（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”；（2）探究应用：如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的角平分线，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）；（2），理由见详解；（3），理由见详解【分析】（1）运用倍长中线的方法，三角形三边的数量关系即可求解；（2）如图②，延长至点，使，连接、，可证，可得，在，根据三角形三边的数量关系即可求解；（3）如图③，延长，交于点，可证，可得，根据角平分，平行线的性质可得是等腰三角形，根据即可求解．【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接，是的中点，，在和中，，，，在中，，，，且，，故答案为：；（2），理由如下：如图②，延长至点，使，连接、，

同（1）得：，，，，，在中，由三角形的三边关系得：，；（3），理由如下：如图③，延长，交于点，

，，在和中，，，，是的平分线，，，即是等腰三角形，，，．【变式1-4】如图所示，为的角平分线，分别在上，，若．求证：．【答案】详见解析【分析】延长FD至G，使，连结CG，可证，则EF=CG，利用全等三角形和角平分线以及平行线的性质可得，根据等角对等边得AC=CG，即可得出结论.【详解】证明：延长FD至G，使，连结CG，∵DC=DE，∠EDF=∠CDG，，∴，，，，又，，，.【变式1-5】（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是；（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；【答案】（1）1＜AD＜5；（2）见解析；（3）AF+EC=EF，见解析【分析】（1）证明，推出CE=AB=4，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可．（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．证明，推出BE=CH，再证明EF=FH，利用三角形的三边关系即可解决问题．（3）结论：AF+EC=EF．延长BC到H，使得CH=AF．提供两次全等证明AF=CE，EF=EH即可解决问题．【详解】（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，∴(SAS)，∴EC=AB=4，∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，∴(SAS)，∴BE=CH，∵FD⊥EH，又DE=DH，∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH=BE，FH=EF，∴BE+CF＞EF；【变式1-6】阅读下面的题目及分析过程．已知：如图点是的中点，点在上，且

说明：分析：说明两个角相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质．观察本题中说明的两个角，它们既不在同一个三角形中，而且们所在两个三角形也不全等．因此，要说明，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，现在提供两种添加辅助线的方法如下：如图①过点作，交的延长线于点．如图②延长至点，使，连接．（1）请从以上两种辅助线中选择一种完成上题的说理过程．（2）在解决上述问题的过程中，你用到了哪种数学思想？请写出一个．_______________．（3）反思应用：如图，点是的中点，于点．请类比（1）中解决问题的思想方法，添加适当的辅助线，判断线段与之间的大小关系，并说明理由．【答案】（1）采用第一种方法，证明见解析（2）转化思想（3）AC+DE＞CD，证明见解析【分析】（1）过点作，证明得到△ABE≌△FCE，得到，再根据得到，故可得到；（2）此题用到了转化思想；（3）过点E作，证明得到△ABC≌△EBF，得到AC=EF,连接DF,利用等腰三角形三线合一得到CD=DF，再根据三角形的三边关系得到与之间的大小关系即可求解．【详解】（1）采用第一种方法，过点作，交的延长线于点．∵∴,又E点是BC中点，∴BE=CE∴△ABE≌△FCE（AAS）∴，AB=CF,A,E,F在同一直线上，∵∴∴；（2）此题用到了转化思想；故答案为：转化思想；（3）如图，过点E作，同（1）理得到△ABC≌△EBF，∴AC=EF，BC=BF连接DF，∵∴△CDF是等腰三角形，∴CD=DF，在△DEF中，＞故AC+DE＞CD．【变式1-7】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，请补充完整证明“≌”的推理过程．求证：≌证明：延长AD到点E，使在和中已作，______，中点定义，≌______，探究得出AD的取值范围是______；【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等