山东省济南二模山东考试联盟2024届高三4月高考模拟考试数学试题及答案

试卷类型

机密★启用前A

山东名校考试联盟

2024年4月高考模拟考试

数学试题

本试卷共4页,19题，全卷满分150分.考试用时120分钟•

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上，

2.回答选择i®时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如徭要改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知随机变址X~，则P(X=2>=

A>7B>Ic-ZD-f

2.巳知抛物线C：/=4H的焦点为F，该抛物线上一点P到工=-2的距而为4,则|PF|二

A.1B.2C.3D.4

3.已知集合(x|(x-a2)(x-l)=0}的元素之和为】，则实数a所有取值的集合为

A.{0}B.{1}C.{-1,1}D.

4.已知函数八工)的定义域为R,若/(一工)=-/(x),/(l+x)=/(1-x)，则八2024)=

A.0B.1C.2D.3

5.已知圆C：H'+»z=l,A(4,a),B(4,—a),若圆C上有且仅有一点P使PA_LPB，则正

实数a的取值为

A.2或4B.2或3C.4或5D.3或5

岛三数学试题第1页(共4页)

6.设A,B是一个随机试脸中的两个事件，且P(A).P(B)=y.PMuB)，则

P(B|A)=

(ai+1，”为奇数

7,已知数列｛a.｝满足ai=l,对于任意的"6N-且”>2,都有a.=|，则

12al为偶数

A.211B.2"-2C.210D.2'0-2

8.已知正三梭锥P-ABC的底而边长为2"，若半径为1的球与该正三极锥的各棱均相切.则

三梭锥P-ABC的体积为

A.2B.2<JZC.3D.1底

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9,若复数n游足Ml+i)=2—i(i为虚数单位)，则下列说法正确的是

A.I小季

B.z的虚部为一,^-i

c.…奇

D.若友数3满足|3-2N1=1,则|O,|的最大值为4?

10.如图，在直角三角形ABC中,AB=BC=V2.AO=OC，点P是以AC为直径的半圆弧上

的动点，若萨=工就+》就，则

A.BO=yBA4-yBC

B.CB-BO=1

C.BP•比最大值为1+4

BC

D.B9OtP三点共线时，jr+)=2

高三数学试题第2页(共4页)

11.已知数列佃・)满足“jW弓，:)•Ji『in等(〃£N')•记数列(aJ的前”项和为

S.■则对任意〃6N,,下列结论正确的是

A.存在46N*，使=1B.数列BJ单调递增

D.2〃11<2。|+Sc

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知a=log23.\=3*，则(ib=.

13.现有A,8两组数据,其中A组有4个数据，平均数为2.方差为6,B组有6个数据，平均

数为7.方差为1.若将这两组数据混合成一组.则新的一组数据的方差为•

14.已知函数/(x)=.rc~,若方程/(H)+}(H：+]=a有三个不相等的实数解.则实数a

的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

如图,在平面四边形ABCD中，BC_LCD.AB=BC=品.NABC=0,1200<0<180".

(1)若6=120°,AD=3,求NADC的大小；C

(2)若CD=76，求四边形ABCD面积的最大值.B/

16.(15分)

如图，在四棱键P-ABCD中，四边形ABC。为直角梯形，AB〃CD,/DAB=/PCB

=60°,CD=1,AB=3.PC=243，平面PCB±平面ABCD,F为线段BC的中点，E为线

段PF上一点.

(D证明：PF±ADt

(2)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为常.p

.------

高三数学试题第3页(共4页)

17.（15分）

巳知函数/(工)=a.——\nx—1«g(x)=xe4lax2(aER).

(1)讨论“工〉的单调性.

(2)证明，/(x)4-g(x).

18.(17分)

在平面宜角坐标系xOy中，直线I与抛物线W：储=2、相切于点P，且与椭圆

C：+寸=1交于A,B两点.

(1)当P的坐标为(2,2)时，求\AB\t

(2)若点G满足方=0,求aGAB面积的最大值.

19.(17分)

随机游走在空气中的烟客扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平

面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向

移动的概率均为々.例如在1秒末，粒子会等可能地出现在(1,0)，(-1.0).(0,1),

4

(0,-1)四点处.

(1)设粒子在第2秒末移动到点(x,>)，记工+y的取值为随机变1SX，求X的分布列和

数学期望E(X)；

(2)记第n秒末粒子回到原点的概率为p..

(i)已知£](C：>=C；“，求p、，p、以及Pz.)

(ii)令6.=%.，记S”为数列｛6』的前n项和,若对任意实数M>0,存在neV，使

工

得S.>M,则称粒子是常返的.已知而■㈢"V”！〈仁)'辰,证明:该粒子

是常返的.

高三数学试题第4页(共4页)

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2024年4月高考模拟考试数学试题

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

题号91011

答案ACACDBCD

11.【解析】对于A选项：

方法一：假设存在使4=1,则q=sin婴=1,因为4T所以

依次类推得，4=1,与己知勺呜；)矛盾，所以A选项错误.

方法二：用数学归纳法证明，当〃》时，总有gw。”<1.

因为qeg.g),所以gwqvl,

设当〃=%忖，总有夫/<】，则"久<吴；Wsi吟/.<1,即夫％[<]，

所以，当〃=上+1时，总有g为/।<1,

-1

由数学归纳法知，当〃》1时，总有所以A选项错误.

B选项，要证数列｛(｝单调递增，只需证sin号■>外,

令/(x)=s呜XT(X€[g』))，则仆)=；8$>1,/")在[豹上单调递减，闪为

目=粤一1>OJ，(1)=_1<O,故/'(X)在今.1)上存在唯一零点X。,

当xw[；.Xo)时，/'(x)>o,当XG(&J)时，/'(x)<0,

所以/(x)=sin1x-x在g.~)上为增函数，在(％,1)上为减函数，

因为/(g)=*>0./(1)=0,所以当xeg,】)时，总有/(x)>0,H|Jsin^x>x,

令x=%,则有sin等B选项正确.

C选项，耍证。+；,只需证sin等+；,

44244

令g(x)=si吟.-'—Tx呜】)),则如)=.8啧-,,g'(x)在事)上单调递减，

因为g'd)=®曰>o.g'(i)=-2<o.故g'(“)在["1)上存在唯一零点三，

3443

当X€[g,X[)时，g'(x)>o,当X€(X].l)时，g'(x)<o,

所以g(x)=sin?x-,x-，在£.X])上为增函数，在(X[,l)上为减函数，因为g(3=g(l)=0,

24433

所以当xwgl)时，总TTg(x)》O,即sin92：x+；,

3244

令x=q,,则有sin学》C选项正确.

244

A,B,C三选项可通过数形结合直观观察：如图

D选项，A(x)=sin-jx-|x(xe[j,1)),则

方'(x)=18s]x_g,〃'(x)在g.】)上单调递减，因为牝》=呼_m<0出。)=_/<0,

所以b(x)=sin]x-3>在g,I)上为减函数，

因为吗=0,所以当xw(o于时，总有方(冰岭=0,即si吟》今，

所以sin]a”wTa〃,即

整理得。“Il，其中〃=1.2.3…

所以

/-qW；ak

A

%一。24消.

A

。“，1-a”W产

累加后得，勺.|-qW；S”，即2%]W2q+S",D选项正确.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

12.2:13.9：14.(1,1).

14.【解析】

方法一：/3)+万二=。有三个不等实数根等价于丁二八刈+万匚与有三个交点,

/(x)+1/(x)+l

令，=/(x)，g(f)=f+占=/+1+&-1，

/(x)=xe,-x,r(x)=(l-x)e,-S

当x<l时，r(x)>0J(x)单调递增，/

当x>l时，/'(x)vOja)单调递减，/(1)=1

当XT-00时，/(X)TYO,当Xf+oo时，/(X)TO,/(X)图象如图所示.

因为，=/(*)+焉石•与，=。有三个交点，所以，=，+&

与，=。有两个交点，设交点横坐标分别为4人，6=/(x)有1个

零点，4=/(x)有2个零点，则6=1.0<4<,或可<0.0<4<1»

交点情况如图所求，所以I<a§

-3-

方法:/(x)=xcj/(x)=(l-x)c'T,

当X<1时，/'(x)>O,/(x)单调递增，

当x>l时，/'(x)vOJ(x)单调递减，/(1)=1

当时，当Xf+o>时，/(x)->0,/(x)图象如图所亦

令，=/(*)./(*)+72：=。有三个不等实数根等价于，+-三=。有两个根，即

J+(l-a)f+1-。=0有两个根，设两根分别为/"?,且，广1.0<4<1或

△=(l-a)2-4(l-d)>0A=(1-a)2-4(l-<7)>0

解得1<。<去

所以1+(1-o)+l-o=0或l+(l-a)+l-a>0

l-o>0I-fl<0

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.【解析】(1)因为加C=120°,AB=BC=4i，

所以4C6=HC=300，"'=2/58530。=木，...........................2分

又RC1CD,所以Z4CO=90°-4CE=60。.................................3分

jnA('

在△<co中，由正弦定理得，.=U

sin^ACDsin//DC

所以sinwc=心n4CD=^m6(r=2...............................5分

AD32

又0。<乙4以?<60。，所以乙W=45。............................6分

(2)在△4BC中，AB=BC=&，^ABC=Ot

-ABBCsinZABC—xy/ixy/lxsin0-sin0.......................7分

°AXJW?22

AC

乂2=sinSn/C=20sin%...........................................8分

BC22

【或lh余弦定理得：AC-=ABZ+BCZ-2AB-BC-cosZABC=4-4cosO=>AC=2^fsin-]

2

在△/(：/)中，ZACD=90°-ZACB=90°-180°—=y,乂CD二娓,

所以S3cD=CO-sinZ4CD=；2>/Isin*底.sin卜6-拈cos9.......................9分

所以四边形/IBC。的而枳

S=S△皿6+2sin（伊-60°）,.........................................11分

因为120°W6<】80。，60%6-60。<120。，

所以当6-60。=90。，即6=150°时，5,^=73+2,

故四边形/灰方面积的最大值为6+2...........................................................................13分

16.【解析】⑴因为四边形XBCQ为直角梯形，皿8=6(T,CD=1,AB=3t

所以ZD=4,BC=26.....................................................................2分

但为PC=BC=2向，Z.PCB=60*»所以△P6C为正三角形,

闪为广为水?的中点，所以P*_L8C,.......................................................................4分

又因为面43CD1面PC2,而XBC。与面PCS交于3C,Mu面PC2,................5分

所以下?《L面/BCD,ADu面ABCD,所以.........................6分

(2)以尸为原点罐系如图，7X0,0,3),d(3.G,O),B(0,6,0),DG,-6,0)........7分

设月(0,0,0),而i=(3,6-3)，引=(2,2后0)，

而=(0,-6,加............9分

设ifliPAD的法向量为〃=(xj,z),

所喏：瑞丁令“6则…，”咨

所以3=(6,-L苧)............11分

3

设直线BE与平面PAD夹角为a,

.|奉族|6+孚。|百

则「，词『/万=丁..............12分

1G

-5-

所以a=2............................................................14分

所以炉=2时，直线BE与平面H4。夹角的正弦值为也...................15分

4

17.【解析】解：(1)函数/(x)的定义域为(0,+8),

/>(x)=2ar--=2flr2'1...............................................2分

XX

①当a40时，O=如二二碗”<0恒成立.............................3分

XX

②当a>0时，/'.)=坊-：=写a>0解得x>旧......................5分

综3当代。时，/(r)在(0,+8)上单调递减：

当a>0时，/(r)在(Q,也£)上.单调递减，在(叵,+8)上单调递增...........6分

(2)方法一:f(x)+g(x)=xe*-Inx-1»

要证/(x)+g(x)A,即证xc'-lnx-l-x》。恒成立...........................7分

令力(x)=xe,-lnx-l-x,所以方'(x)=(x+l)e*---1=(x+l)(ex--)....9分

xx

令MX)=C'-L,则Mx)在(0,+8)上的调递增，因为乂［)=6-2<0,&(1)=<5-1>0,

x2

所以存在与e(；,l),使以％)=e"-V=0..............................U分

2X。

(此处用极限说明5的存在性不扣分，不说明函数值的正负扣一分)

力(X)在(0,与)上单调递减，在(%,+8)上单调递增，

所以A(x)>/»(x0)=x°c、-lnx0-l-x0,.....................................12分

又因为仪分)=十一」-=0,所以铲=L,/=-ln%,..................13分

X。

代入力(9)中得：h(x)^h(x0)=1+x0-1-x0=0,所以xc,-lnx-1-x》0,

则/(x)+g(x)=x恒成立....................................................15分

6

方法二:f(x)+g(x)=xex-Inx-1,

要证/(x)+g(x)/，即证xe'-lnx-l-x=eX.bu-lnx-x-】/恒成立，........9分

令，=x+lnx,即证...........................................11分

令上(，)=1-—1,所以A'(/)=e'-l>0,解得，>0,

所以左(1)在(0,+8)上单调递增，在(-8,0)上单调递减......................13分

则上⑺》左(0)=0,所以e'T-l》0,则〃x)+g(x)》x恒成、九........15分

18.【解析】(1)由ry=x,.........................................I分

过点PQ,2)的切线/的方程为y^2x-2......................................2分

联立椭圆方程1■+/=1可得9必-16x+6=0.............................3分

[62

设/1(士,必).8(居,%),则玉+x,=--,XjX,=—.

-93

于是|相|=Jl+2?|x,-41=瓜/(石+,)2-钠。=—^~......................4分

(2)方法一：设小区必)1(工2%)，由题意知，切线/斜率存在，设/的方程为y=H+b,

代入严：x2=2y中得，x2-2kx-2b=0.所以A=4〃2+86=0，即公=一4....5分

y=kx+b

联立2可得(2必+1)/+4Mx+2/-2=0,.....................7分

彳+丁=1

△=16公从一86-1)(1+2必)=8(1-46-/)>0

所以•Xj+x212*?，则一2-6<〃<-2+石，则1-4/>>0,

..........................................................................9分

【注：1.此处标注A>0,求解出b的取值意围，不扣分：

2.解冬过程未出现A>0,扣1分】

所以Sg,=；卜曲-5yj=；|b|k一讣飘相^?一磊^

-7-

=淤M-46->=/.丁1,

l-4/>J__4

l?~~h

...........................................................................................................................................11分

令弥+八°，所以3=应绢=麻子=闻-朋）+上乎,

..........................................................................................................................................14分

当且仅当，=2,即b=-l-当时取等号成、'，：，代入A=8（l-4Z>-Z>2）>0成":,

所以SA™.的最大值为①.................................................15分

2

闪为而+矽+而=0，则G为△Q48的重心，SAG*。=：5入。/4,....................16分

则△G4B面枳的最大值为，.............................................17分

6

方法二：设4毛凶）,5（小8），由题意知，切线/斜率存在，

设/的方程为y=b+〃，代入中得，x2-2kx-2h=Q.

所以A=4V+汕=0，即〃=-»,贝|JZ>W0..............................................................5分

y-kx-^b

联立工可得(2公+1)/+4如+27-2=0,.......................................7分

~2+>，=1

A=16k2b2-8(/-1)(1+2K)=8(1-4b-/)>0

Ykb

所以3+工2=]+2«2»则-2-石<6这0，则I一助>0,

叵=2罚h--2

..........................................................................................................................................9分

所以SAM=#J2r2川=杂值T=躯

_"上川-奶-6=0姓5一奶£=0二叱Q.,U分

1-46I-4AV0-44..................................

令，=1-必>0,所以

-8-

令则S1=或寺........................................................14分

当ft仅当“=10即0＞&=-1-孚＞-2-石时取等号成立，所以Sg“的最大值为

—.....................................................................................................................................15分

2

因为G0+G/J+G方=0,则G为△04#的重心，SA„^=jSAO4S........................16分

则△G4B面积的最大值为迎............................................17分

6

方法三：设4aM).伙当必)，由题意知，切线/斜率存在，设/的方程为丁=去+6,

代入“，：/=2＞中得，--2/x-力=0，所以4=4必+助=0,即炉=一处....5分

y=kx+b

联立L2•可得(2A?+l)x2+4kbx+2b2-2=Q..........................................7分

一+7=1

A=16k2b2-8(62-1)(1+2A:2)=8(1-4h-b2)>0

-4kb

所以玉+/=百,则一2-石＜方＜-2+石，则1一助＞0,

2b)-2

X.X,=--------

,'11+2公

.9分

所以|/臼=加不归rj,。到直线/的距离为〃

所以

s—T以网彳・忐•加泽-讣纲区-止例行事需

22:22

2lb(16k-8b-^)lb(2k--b+l)=j^]方(1一帖一方)二闻％1-占

24-(於+]>-=V(2k2+1)=-=V。-砌，-

..............................................................................................................................................11分

-9-

因为A=8。—4万一/）>0,所以—必，即0<------<1>

1一46

所气鼻va.ib+"4b吟’.

V1-4nI—4b2L

当口仅当一匕=1-2—即b=-l-远忖取等号成立，

1-461一奶2

代入A=16A%?-8（/-1）（1+2公）=8。-4〃-"）>0成立,

所以的最大值为学..................................................15分

因为G1+GN+G4=0，则G为△CMB的电心，Sdw=；Sd3，.......................16分

则△G4B面积的最大值为立■..............,..............................17分

6

方法四：设尸卜与｝此时切线/的方程为y=................................5分

联立椭圆方程=1可得（4m?+2）f-Wx+w4-4=0.....................................7分

于是A=（4〃/）--4（4,〃2+2乂帚-4）=-8（--8”，-4）>0........................................8分

4m3AA

设A（xl.yl）,B（x,,y2）t由韦达定理可知$+x,=-、，不工=，-....................9分

•4m-+24m-+2

于是

22

\AB\=71+m|x（-x2\=J1+标+Xj）-4xtx2

=2跖万.互垂m.

4"+2

乂点。到直线48的加离为

闪为而+豆i+丽=0，则G为△6>/仍的理心,11分

故

-10-

S”=如B|.d

=旦苏—+86？+4=旦薪+标

~~6W+2—-64,2，

................................................................................................................................................13分

3平守邛厝邛后汨4

...............................................................................................................................................16分

4.......2

当且仅当〃=F+I=1，即才=2+而时取等号成立.

mtn

故△G/8面积的最大值为迎..............................................17分

6

方法五：设尸（牝色）此时切线，的方程为y=mx-与.................5分

联立椭圆方程/+V=1可得（4川+2尸一4/x+--4=0..................................7分

「是△=（4用3）~一4（4加+2乂/一4）=一8（/»，一8巾，一4）>0...........................................8分

设40%）,8（*.%），由韦达定理可知普+5=7*3吊=各之...........9分

4m-+24m+2

于是

112

=y/l+m|x^-x2|=>!\+myf（xl+x,）-4x,x,

4"+2

................................................................................................................................................11分

nr

又点。到直线AB的距离为d=，=?........................12分

Jl+m12-Jl+m'

因为G为△0X8的重心，S八皿.......................................................................13分

则

11j.»|•^2m'yj-m4+8w+4>J2l/n4(—/n4+8/n2+4)

卜="64m2+2=V\-(4评+2》

__________________/m*

=五.I"(24疗+2+”4"+2_6

6V4m2+24加2+2626

..............................................................................................................................................16分

当口仅当/—=2--J,即4=2+〃，符合A>0,此时等号成立.

故△G/8面枳的最