常用逻辑用语（十年高考）-2024高考数学

1.2常用逻辑用语

考点一充分条件与必要条件

1.(2022浙江,4,4分)设*£&则二足冗=1”是“cos广0”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A根据sin尤=1解得，此时cosx=cos(卷+2/m)=cos］=0.根据cosx=0解得x=^+kn,k

CZ,此时sinx=sin(］+Mi)=±l.故"sinx=l"是"cosmO”的充分不必要条件，故选A.

2.(2021浙江,3,4分)已知非零向量a,b,c,贝！J“ec=bc”是“a=b”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案B解题指导:利用平面向量的数量积定义分别判断命题“若asbc,则a=bn与“若a=b,则a-c=b-cn

的真假性即可.

解析若c与向量a,6都垂直,则由ac=Z>c不一定能得到a=b\

若a=b,则由平面向量的数量积的定义知ec=bc成立,故ua-c=b-c"是"a=〃’的必要不充分条件.故选B.

方法总结：(1)充分条件、必要条件的判断方法：

①定义法:根据“若0,则4”与“若公则p”的真假性进行判断；

②集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

(2)要判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.但要判断一个命题是真命题,必须通过严格的推理论

证.

3.(2021北京,3,4分)设函数/(x)的定义域为［0,1］,则''函数/(x)在［0,1］上单调递增”是“函数/(x)在［0,1］

上的最大值为『(1)”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A若/(x)在［0,1］上单调递增,则/⑺在［0,1］上的最大值为了⑴；若/⑴在［0,1］上的最大值为了⑴，

则找x)未必在［0,1］上单调递增,如图.故选A.

4.(2022北京,6,4分)设｛斯｝是公差不为0的无穷等差数列，则”｛〃〃｝为递增数列”是“存在正整数No,当

〃>No时,。〃>0”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C设等差数列｛〃〃｝的公差为d(d/)),则a〃=ai+(〃-l)d.

若｛涮为递增数列，则d>0,

由an=ai+(〃-1)d可构造函数/(x)=xd+a［-d,令f(x)=0,得％二士”，

若a\>d,则x<0,取No=l,即有n>l时,/(〃)>/⑴>0成立；

若ai<d,则x>0,取M=［等卜」［誓］表示不超过号的最大正整数.，此时n>No,必有

/(»)"(M)=/(［等］+1)>f(等)=0.

综上,存在正整数No,当n>No时,a„>0,：.充分性成立.

易知。“是关于n的一次函数,若存在正整数No,当n>No时,a„>0,则一次函数为增函数，，心0,

工必要性成立.故选C.

5.(2019天津文,3,5分)设xdR,贝！J,,0<x<5"是的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

当0<x<2时，必有0<x<5;

反之,不成立.

所以，"0〈x〈5"是的必要而不充分条件.

一题多解因为{x1|xT|<1}={X|0<X<2}呈{x|0<x<5},

所以"0<x<5"是的必要而不充分条件.

6.（2018天津理4,文3,5分设xdR,则“卜-我"是V<1"的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断.

由卜-张海山短，解得0<x<l.

由x3<l得x<l.当0〈x〈l时能得到x<l一定成立;当x<l时,0<x<l不一定成立.所以"卜-||<^"是"x3<lz,

的充分而不必要条件.

方法总结（1）充分、必要条件的判断.解决此类问题应分三步:①确定条件是什么,结论是什么;②尝试从条

件推结论,从结论推条件;③确定条件和结论是什么关系.

⑵探究某结论成立的充要、充分、必要条件.解答此类题目，可先从结论出发,求出使结论成立的必要条件,

然后验证得到的必要条件是否满足充分性.

7.（2017北京理,6,5分）设m,n为非零向量,则"存在负数入使得m=An"是"m•n<0"的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A由存在负数入使得m=入n,可得m、n共线且反向,夹角为180。,则m•n=-1m||n|〈0,故充分性成立.

由m•n〈0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.

8.（2017天津理,4,5分）设则*-"党"是&n吟'的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A本题考查不等式的解法及充分必要条件的判断.

斗』」〈U〈建，

I121121212126

1_/77Tir\

sin0<-<^>0e(2kn——,2kir+-I,k^Z,

2\66/

M)式2祈一q,2kn+?kGZ,

"陪"是"sin吟’的充分而不必要条件.

9.(2016天津理,5,5分)设以｝是首项为正数的等比数列,公比为q,则"q〈0"是"对任意的正整数n,azn-i+a2n〈0”

的()

A.充要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案C若对任意的正整数n,a2„-i+a2„<0,则ai+a2〈0,又aDO,所以azCO,所以q=9〈0.若q〈0,可取q=-l,ai=l,

«1

则ai+a2=l-l=0,不满足对任意的正整数n,a2n-l+a2n<0.所以“q〈0"是"对任意的正整数n,a2n-l+a2n<0”的必要

而不充分条件.故选C.

评析本题以等比数列为载体，考查了充分条件、必要条件的判定方法，属中档题.

10.(2015重庆理,4,5分)“x〉l"是"logz(x+2)〈0"的()

2

A.充要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案B当x>l时,X+2>3>1,又y=log工x是减函数，

2

「.logi(x+2)<logil=0,贝[]x>l=>logi(x+2)〈0;当logi(x+2)<0日寸,x+2>l,x>-l,贝!]logi(x+2)<0=>/x>l.故

22222

"X>1〃是Tog[(x+2)〈0"的充分而不必要条件.选B.

2

11,(2015天津理4,5分)设虻丑则-2"是"|x-2|〈l"的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A因为等价于-l〈x-2〈l,即l〈x〈3,由于(1,2)气(1,3),所以"Kx<2"是42|〈1"的充分

而不必要条件，故选A.

12.(2015湖南理,2,5分)设A,B是两个集合,则"AnB=A"是"AcB"的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C若AAB=A，任取xdA,则xCACB,

••.xGB,故AUB;若AUB,任取xCA,都有x£B,

.-.xGAnB,.-.Ac(AnB),又AnBaA显然成立,.-.AnB=A.

综上，"ACB=A"是"AUB”的充要条件，故选C.

13.(2015陕西理，6,5分)"sina=cosa"是"cos2a=0"的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A由sina=cosa,得cos2a=cosza-sin2a=0,即充分性成立.

由cos2a=0,得sina=±cosa,即必要性不成立.故选A.

14.(2014课标H文,3,5分)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f'(xo)=o；q:x=x。是f(x)的极值点则()

A.p是q的充分必要条件

B.P是q的充分条件,但不是q的必要条件

C.P是q的必要条件,但不是q的充分条件

D.P既不是q的充分条件,也不是q的必要条件

答案c；f(x)在x=Xo处可导，，若x=Xo是f(x)的极值点则f'(Xo)=0,；.q=p，故p是q的必要条件;反之，

以f(x)=x"为例，f'(0)=0,但x=0不是极值点,；.p=/q,故P不是q的充分条件.故选C.

15.(2014安徽理,2,5分)“x〈0"是"ln(x+l)<0"的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B5&+1)<0=06+1〈10-16〈0=*〈0;而乂〈0=/-：16〈0,故选巳

16.(2014浙江理,2,5分)已知i是虚数单位a,beR,则"a=b=l"是"(a+b)=2i"的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A当a=b=l时，有(1+)=2。即充分性成立.当(a+bi)'=2i时，有aJb2+2abi=2i,得卜，R一解得

iab=1,

a=b=l或a=b=-l,即必要性不成立,故选A.

评析本题考查复数的运算,复数相等的概念,充分条件与必要条件的判定,属于容易题.

17.(2014北京理,5,5分)设｛a,｝是公比为q的等比数列.则"q>l"是"｛竭为递增数列”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案D若q〉l,则当&=-1时,a尸q二以｝为递减数列，所以"q〉l"=/"｛aj为递增数列"；若区｝为递

增数列，则当时,即"｛aj为递增数列""/"q〉l".故选D.

考点二全称量词与存在量词

1.(2015浙江理,4,5分)命题"VnGN*,f(n)WN*且f(n)Wn"的否定形式是()

A.VnGN*,f(n)在N*且f(n)>n

B.Vn£N*,f(n)1N*或f(n)>n

C.3n0GN*,f(n0)4N*且f(n0)>n0

D.3no£N*,f(n0)知*或f(n0)>n0

答案D"(^^”且六口)^!!〃的否定为"f(n*N*或f(n)>n",全称命题的否定为特称命题，故选D.