湖南省益阳市安化县2023-2024学年高一年级下册第一次月考数学试卷

湖南省益阳市安化县第一中学2023-2024学年高一下学期

第一次月考数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

i.给出下列四个说法：①若同=°,贝藤=°；②若同=W，则）=很或③若

必区，则同=问；④若出行，加逅,则向/J其中正确的说法有（）个.

A.]B.2C.3D.4

2.在中，若点。满足诟=2比，则诟=（）

1—►2—►5—►2—►

A.-AC+-ABB.-AB——AC

3333

C.-^C--ZsD.-AC+-AB

3333

3.己知P,A,B,C是平面内四点，且方+而+定=就，则下列向量一定共线

的是（）

A.正与丽B.声与丽

C西与京D.1与羽

4.已知同=6,忖=3,无否=-12,则向量*在向量。方向上的投影向量是（）

7121

A.-5B.-aC.--aD.--a

3333

5.设“为O'。所在平面内一点，方=」在+乡就，若瑟=久丽（北口）,则入等于

22

()

试卷第11页，共33页

A.—cB.aC.°D.,

Z—JZD

6.已知向量工是与向量1方向相同的单位向量，且|可=2,若“在加方向上的投影向量

为2工，则U）

A-2GB--273C-4

7-如图，已知方=落漏=反区=己,方=2数，则己=（）

A.-b--aB.2』C.2日-彼D.-a--b

2222

8.已知点"是所在平面内一点，若万=之前二茄，贝-PBC与“的面积

43

比为（）

二、多选题

9.侈选题）设£=（京+而）+（就+五5），区是一个非零向量，则下列结论正确的有

()

T)

A.a//b•a+b=a

Ca+b=bD.|a+fe|<|a|+|S|

10.（多选）已知向量［=（T,2），£=（2,1），若向量£=41+4］，则可使;18<0成

试卷第21页，共33页

立的z可能是（）

A.（1,0）B.（0,1）C.（-1,0）D.（0,-1）

ii.已知平面向量.，\。满足同明T4=i.若则（£一斗（25一3的值可

能为（）

A-3-V3B.一2C.0D.

12.如图所示，在边长为3的等边三角形中，AD=-AC,且点,在以的中

3

点。为圆心，CM为半径的半圆上，若丽=、诙+）前，则（）

—►1—►2-*B.X+-”的最大值为］+立

A.BD=-BA+-BC

333

C丽最大值为9D-BODO=1

三、填空题

13.在中，顶点A的坐标为（3,1），边8c的中点。的坐标为则“BC的

重心坐标为___.

14.已知向量成=（x,l），万=（-3,2），若2所+为=（1,4），则应=——•

15.在平行四边形/BCD中，分别为48,40上的点，S.AM=2MB,AN=ND'

连接/c，与MM交于点尸，若N=；CE，则2的值为一.

16.在梯形N8CD中，ABHCD-AB=BC=2,CD=\，NBCD=120°，尸、0分别

试卷第31页，共33页

为线段'C和线段8上的动点，且8尸=28C,DQ=—DC,则°尸“°的取值范围

4A

为一.

四、解答题

17.已知|句=6，历|=4，(5-26)-(5+36)=-72-

(1)求向量£,g的夹角。；

⑵求而+3%

18.已知平面向量@=(2x+3,-x)(xeR)

(1)若求x的值：

(2)若2/4,求归叫

19.如图,若。(1,2)，£(-5,-1),尸(4,-4)，点X,y,Z分别在线段上,且

满足在？=2XF,FY=2YD,DZ=2ZE-

⑴求叵+网;

⑵求cos(FD,FZ),

20,已知O为坐标原点，04=(1,V3),O5=(cosa,sina),

⑴若a/,求而+西；

3

试卷第41页，共33页

瓦,砺的取值范围.

(2)若ae0,—，求

2

21.如图，在A"。中，。是"的中点，BE=-BC.

3

AC=2BC=2,ZACB=60°>求而|；

⑵若函=4函，求4的值•

22.如图，在@8中,OA=a

OC^-OA,OD=-OB,4D与8c交于点M,设

42

OB=b-

(1)若的=4+仍，求x及乃

(2)在线段NC上取一点用在线段3。上取一点凡使跖过M点，设砺

OF=qOB^求7pq+2q的最小值.

试卷第51页，共33页

参考答案:

1.A

【分析】

根据零向量定义、向量模长、平行的定义等知识依次判断各个选项即可.

【详解】对于①，模长为零的向量为零向量，①正确；

对于②，扇石的模长相同，但方向不确定，落彼未必同向或反向，②错误;

对于③，若引区，则,石同向或反向，但模长未必相同，③错误；

对于④，当B=O时，&/区，成立，但此时落?未必平行，④错误.

故选：A.

2.D

【分析】根据平面向量的线性运算可求出结果.

【详解】由昉=2比，得口一万=2（三一通），

得3亚=2正+刀，得前=2次+工刀.

33

故选：D.

3.B

【分析】利用平面向量的减法法则以及向量共线即可判断选项.

【详解】因为沙+丽+定=%，

所以莎+丽+京-就=6，

即-2PA=PB，

所以强与丽共线.

故选：B.

4.D

【分析】

根据投影向量定义直接求解即可.

答案第11页，共22页

a-ba1.

【详解】诽|cos=鲁二-2，TT=­Q,

aa6

向量°在向量“方向上的投影向量为WcosR,B'a1一

同P

故选：D.

5.C

【分析】

由金女此町可得就-4汨-a，化为小券而与

而=」次+3％比较，即可得结果.

22

【详解】若前=彳函（4eR），AC-AB=AAD-AAC'

,___.1___.;+1____

\^AD=--AB+^^AC,

AA

,.1—.3，

又因为40=――AB+-AC,

22

所以可得一J_=一J_,4±l=3,

2222

解得2=2，

故选：C.

6.C

【分析】

利用平面向量数量积的几何意义求解.

［详解］=BHqcos(a1)=B，2e［=2x2=4

答案第21页，共22页

故选：C

7.A

【分析】

根据向量的线性运算可求己的表示形式.

【详解】因为9=2前，故砺-a=2（反-网,

__.3—•1—■3-1-

故OC=-O8——OA=-b——a，

2222

故选：A.

8.A

【分析】假设“Be是等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，求得?点坐标，由此求得

△PBC与A/BC的面积比.

【详解】假设“3C是等腰直角三角形，且A是直角，AB=AC=2,

建立如图所示平面直角坐标系，设尸

则3（0,2）,C（2,0），贰=（2,-2）,瓦=（0,-2），

___3__2一

依题意"=—8C——BA,

43

即=-g（0,-2）=、,一：，

S"c=；x2x2=2,

S“PBC=S“FAC+SMBC—SJAB

答案第31页，共22页

111,13132

=—x2x——i——x2x2—x2x—=——i-2—=一

26222623

△PBCAABC2

所以与的面积比为

23

故选：A

9.AC

【分析】根据向量的线性运算，求得［=6,结合零向量的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，向量°=(益+诙)+(瑟+力2)=而+方3=6,且g是一个非零向量,

所以成立，所以A正确；

由£+加=心所以B不正确，c正确；

由B+'=W，|q+W=W，所以K+q=|a|+W，所以D不正确.

故选：AC.

10.AC

【分析】

由向量坐标运算公式求£的坐标表示，根据向量相等逐项求4,4，由此作出判断.

【详解】

因为a=44+402，£1=(-1,2)'e2=(2,1),

答案第41页，共22页

所以£=(一4+24,24+4)，

"1“2<0

Q=(1,O)\-4+2^2—1

,贝/24+4=°,解得.

若,满足题意，A正确;

4=1

a-(0,1)]一4+2%2=0[._244〉o

<4=­

若，则[24+4=1,解得5

,不满足题意，B错误;

“14<0

Q二(—1,0)-4+2^2=-1]_

4=

5

若，则24+4=0,解得,满足题意，C正确;

a=(0,-1)]-4+2A2=02认>。

,贝-24+42=-1A=-

5

若解得,不满足题意，D错误;

]_

4=一

5

故选：AC.

11.BCD

【分析】根据数量积的运算律可将所求数量积化为R-4w-。=t-B-4cos和/

由此得到结果.

【详解】=2a-b-2b-c-^a-b^=-l-\a-b\cos(c,a-b

^\a-b\=\l2-2a-b=1,

故=-1-cos(c,a-B)G[-2,0]

故选：BCD.

答案第51页，共22页

12.AC

【分析】对于AD,将丽，而，丽分别用阪就表示，再结合数量积的运算律即可判断；

对于BC,以点。为原点建立平面直角坐标系，设尸(cosa,sina)两例］，根据平面向

量的坐标表示及坐标运算即可判断.

【详解】对于A,因为®=2就，且点尸在以的中点。为圆心，°4为半径的半圆上,

3

所以。/=。。=。。=1/。=1,

3

贝质=能+丽=数+；声=就+；蟀_网=:说+|■就，故A正确；

—►—►—►—►2——►—►2/——►—►、2——►1—►

对于B,BO=BC+CO=BC+-CA=BC+-\BA-BC]=-BA+-BC,

33、>33

Dd=BO-BD=-BA+-BC-\-BA+-BC\=-BA--BC，

33(33J33

贝3屈叫江方)(押+/卜押2-挥2-刀反

=2—1——x3x3x—=—,故D错误;

922

对于C,如图，以点0为原点建立平面直角坐标系,

答案第61页，共22页

B

则Z（TO）,0雪,C（2,0），

\21）

因为点P在以4。的中点0为圆心，°%为半径的半圆上,

所以点尸的轨迹方程为一+/=],且在x轴的下半部分,

设P（cosa,sina）,®；M]，

所以BP.BCuOcosa-O—^^sina+^^Bcosja+—1+6'

2424I

因为。5，2兀］,所以a+噢归,—

333

所以当。+工=2兀时，2PBe取得最大值9,故c正确;

3

因为丽7就'

答案第71页，共22页

所以sina--------=--------(x+y)，

22v7

所以x+y=-2近sina+1，

9

因为ae［n，2兀］,所以当a=型时，’取得最大值亚+i,故B错误.

29

故选：AC.

13-(-1,1)

【分析】

设“8C的重心为G(x,y),则就=2而，即可得到方程组，解得即可.

3

【详解】解：设A"。的重心为GUM,则布=,而，

因为2(3,1)，0(-3,1)，

所以(、一3，"1)=：(一6,0),即「-3=|X(-6),解得］；=，，即改革)，

y-l=0

即^ABC的重心坐标为(_罩).

故答案为：

14.(2,1)

【分析】

根据向量加法的坐标运算直接求解即可.

【详解】•/2m+n=(2x—3,4)=(1,4))•-2x-3=1,解得：x=2,m=(2,1),

答案第81页，共22页

故答案为：（2,1），

2

15.

7

【分析】

根据给定条件，利用向量的加法，结合共线向量定理的推论求解作答.

【详解】

在Y48co中，在，砺不共线，因为而=2双瓦丽=而5,

贝I］有万=2就=2（益+诙）=2弓而+2不）=弓而+22前,

又尸,三点共线，于是得2+22=1,解得4二，

27

所以”的值为义

故答案为：!9

1八r131

10.-----

.2'4_

【分析】

以点3为坐标原点，直线为x轴，过点B且垂直于直线48的直线为y轴建立平面直角

坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可得出而.而关于久的函数关系式，求出久的取

答案第91页，共22页

值范围，利用对勾函数的单调性可求得加.而的取值范围・

【详解】以点3为坐标原点，直线为X轴，过点8且垂直于直线月2的直线为V轴建立

如下图所示的平面直角坐标系，

则4（一2,0）、味1,现可-2,电尸卜入网,则丽=（2-九⑨-6）,

2<A<I

由题意可得3,解得4一"

0<—<1

144

而=与+即=25+金友=(o,G)+点(1,0)

所以，丽.而=与4+3（2-1）=3,+：］-?，

由对勾函数的单调性可知，函数/（为=3］；1+（］-?在区间1,1上单调递增,

313

当±4241时，

42v74

因此，皮.历的取值范围是1,2.

24

故答案为：上二

24

答案第101页，共22页

17.(1)e=—(2)6c

3

【解析】(1)利用平面向量数量积的分配律求出,然后代入夹角公式求解即可；

(2)结合⑴中0”的值，利用平面向量数量积的性质：归+彳=(a+b^=a2+2a-b+b2进行

运算，求出|"+3邛的值，然后再开方即可.

［详解［伍-2石)・伍+3b)=-72,问2+£.g_6J,=-72,

・.・卜卜6,|S|=4e\36+(2-S—6X16=-72

解得73=72,由平面向量数量积的夹角公式得，

„a-b-121

••下"雨=寄==

,.0<0<71.2万

•••C7—-----

3

(2)因为卜+3.=|a|+64.石+9忖，

所以口+3邛=36+6x(72)+9x16=展

.+3@=6月.

【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其夹角公式;考查运算求解能力;属于中档题、常

考题型.

答案第111页，共22页

此d）x=3或x=-l

⑵2或2后

【分析】（1）直接利用向量垂直的坐标表示列方程求解；

（2）先通过向量平行的坐标公式求出尤，再通过向量的坐标运算求模.

【详解】⑴..口，

II

=2x+3--=0，

解得x=3或L1；

（2）...〃//5，

.*.-x=（2x+3）x，即2、2+4%=0解得％=0或%=-2，

当工=0时，Q=（1,0）1=（3,0）,〃一否二（一2,0）,.•..一斤=2；

当了二-2时，〃=（1,一2）花二（-1,2）,（7-S=（2,-4）,忖_耳=V4+16=275,

「.卜_4=2或卜-q=2A/5.

19.⑴田叫疝；

⑵3岳

13

【分析】

答案第121页，共22页

(1)根据定比分点坐标可求得x,y的坐标，根据向量模长的坐标表示即可求得结果;

(2)同理可求得z点的坐标，利用向量夹角的坐标公式即可求得余弦值.

【详解】(1)设X/的坐标为X(Xx，7x)，Y(Xy,%)；

由EX=2XF,FY=2YD可得分点可得+5,川+D=2(4-右T-Vx)

_

[(jty4,_yr+4)=2(l-xy,2-yr)

即卜=1,川=-3,得X(l,-3)/(2,0)

[Xy—2,—0

所以而+市=(7,1)+(0,-5)=(7,-4);

贝I]叵+/=Q+l=V65

(2)设Z点的坐标为Z(Xz/z)，

由成=2君得(XZ-1/Z-2)=2(-5-XZ，-1-NZ)

所以Xz=-3,yz=0>即Z(-3,0)

丽=(-3,6),豆=(-7,4)，

FD・FZ21+243而

ces〈FD,Fz)

MR375x765-13

20.(1)3

(2)[1,2]

【分析】

(1)利用a=生，求出力+砺，利用向量的模长公式，即可求解.

3

答案第131页，共22页

(2)利用04•Qg=J^sina+cosa=2sin[a+看],再根据ae0,-^-,即可求出的

取值范围.

【详解】（1）

TI_.、

a=-—CRQB

r.0A+=[1^

3时，12'2),,122,

.•.西+国喟+亍=3

(2)

OA•OB=道sina+cosa=2sina+工

I6

V0<a<-,

2663

■■OA-OB的取值范围为[1,2].

21.⑴也

2

(2)g

【分析】（）将无用古、而表示，根据平面向量的运算律以及定义可求出结果;

1CziCn

（2）根据平面向量基本定理可求出结果.

【详解】（1）因为函=；（归+3），

1____________________11-1

22

所以|函2=削前+2G4,C5+|C5|）=：_X（2+2X2X1XCOS600+1）--,

答案第141页，共22页

（2）因为而='反"所以无-而