函数的基本性质课时8函数的奇偶性（2）课件-高一上学期数学人教A版

3.2函数的基本性质课时8

函数的奇偶性（2）教学目标1.

进一步理解函数奇偶性的概念,从数和形两个方面把握函数奇偶性的特征,掌握其应用.2.

了解函数奇偶性与单调性之间的相互联系,能灵活地运用这些联系解决函数的有关问题.3.

能熟练地运用函数的奇偶性和单调性解决函数的综合问题,提高分析和解决问题的能力.学习目标课程目标学科核心素养理解函数奇偶性的定义,从“数”和“形”两个方面把握函数奇偶性的本质属性在运用函数奇偶性的定义与图象特征解决相关问题的过程中,培养数学抽象、数学运算素养了解函数奇偶性与单调性之间的相互联系,能运用这些联系解决相关问题在运用函数的奇偶性与单调性之间的联系解决问题的过程中,培养数学运算、逻辑推理素养能灵活地运用函数的奇偶性和单调性解决有关函数的图象和性质的综合问题在解决有关函数的综合问题的过程中,培养逻辑推理、数学抽象素养情境导学如图是某大桥的直观图,视其悬索为一个函数的图象,从图象中你能联想到函数的哪些性质?【活动1】探究函数奇偶性的几个重要结论初探新知【问题2】是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?【问题1】为什么奇、偶函数的定义域一定关于原点对称?【问题3】如果已知函数的奇偶性和一个区间[a,b]上的解析式,如何求关于原点的对称区间[-b,-a]上的解析式?【问题4】关于函数的奇偶性,你还能得出哪些重要的结论?【活动2】探索函数奇偶性与单调性之间的内在联系

【问题5】已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,那

么f(x)在(-∞,0]上的单调性如何?【问题6】已知f(x)是偶函数,且在[a,b]上单调递减,则f(x)在[-b,-a]上的单调性如何?

【问题7】函数的单调性与奇偶性是函数的两个重要性质,它们之间存在着怎样的联系.典例精析

【例1】函数f(x),g(x)均为定义在R上的奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,求F(x)在(-∞,0)的最小值.思路点拨：由函数f(x),g(x)均为定义在R上的奇函数,利用奇函数的定义容易证明函数G(x)=F(x)-2=af(x)+bg(x)为R上的奇函数,再由奇函数的性质,容易求出G(x)在(-∞,0)上的最小值,借此,可得F(x)在(-∞,0)上的最小值.【解】因为函数f(x),g(x)均为定义在R上的奇函数,设G(x)=F(x)-2=af(x)+bg(x),则G(x)为R上的奇函数,又因为F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,所以G(x)=F(x)-2=af(x)+bg(x)在(-∞,0)上有最小值-3,所以函数F(x)=af(x)+bg(x)+2在(-∞,0)上有最小值-1.【方法规律】一般地,若f(x),g(x)均为定义在R上的奇函数,则G(x)=af(x)+bg(x)也是奇函数,若f(x),g(x)均为定义在R上的偶函数,则G(x)=af(x)+bg(x)也是偶函数,解题时,我们常常可以根据问题的特点,运用上述结论,通过构造一个函数G(x),使其具有奇偶性,再利用奇、偶函数的性质使问题获解.

【变式训练1】

(1)[教材改编题]已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,若f(-2)=10,试求f(2)的值;(2)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=2x+x2,求函数f(x),g(x)的解析式.【解】

(1)令g(x)=f(x)+8=x5+ax3+bx,则f(x)=g(x)-8.因为f(-2)=10,所以g(-2)=f(-2)+8=18.又因为g(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-(x5+ax3+bx)=-g(x),所以g(x)为奇函数,所以g(2)=-g(-2)=-18,得f(2)=g(2)-8=-26.

(2)因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),由f(x)+g(x)=2x+x2

①.用-x代替x得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2,即f(x)-g(x)=-2x+x2

②.结合①②得f(x)=x2,g(x)=2x.思路点拨：因为f(x)是定义在R上偶函数,且已知在[0,+∞)上的单调性,可利用偶函数的定义将自变量的值都变换为正的,再利用f(x)在[0,+∞)上的单调性,即可作出比较,获得结论.A【解】因为函数f(x)为R上的偶函数,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).又当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,且π>3>2,所以f(π)>f(3)>f(2),故f(π)>f(-3)>f(-2).故选A.【方法规律】运用函数的奇偶性与单调性的内在联系解决比较大小的问题,要充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性,将问题转化为函数的自变量在同一单调区间上的不同函数值的大小比较的问题,再借助函数的单调性使问题获解.

【变式训练2】已知定义在R上的函数y=f(x)在(-∞,a)上单调递增,且函数y=f(x+a)是偶函数,当x1<a,x2>a,且|x1-a|<|x2-a|时,有(

)A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)≥f(x2)C.f(x1)<f(x2) D.f(x1)≤f(x2)【解】因为函数y=f(x+a)是偶函数,其图象关于y轴对称,把这个函数图象平移|a|个单位长度(a<0左移,a>0右移)可得函数y=f(x)的图象,因此函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,此时函数y=f(x)在(a,+∞)上单调递减.由于x1<a,x2>a且|x1-a|<|x2-a|,说明x1与对称轴的距离比x2与对称轴的距离小,故f(x1)>f(x2).故选A.A【例3】设函数f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且在[0,1)上单调递增,若f(a-2)-f(4-a2)<0,求实数a的取值范围.

思路点拨由f(a-2)-f(4-a2)<0可得f(a-2)<f(4-a2),又f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,所以f(|a-2|)<f(|4-a2|),再利用f(x)在[0,1)上单调递增,由定义域和单调性,可脱去f将不等式转化为关于a的具体的不等式组来实现求解.【方法规律】关于抽象函数的不等式的求解,一定要充分利用已知条件和函数的单调性与奇偶性之间的联系,先将已知的不等式转化成f(x1)>f(x2),或f(x1)<f(x2)的形式,再根据奇函数在对称区间上单调性一致、偶函数在对称区间上单调性相反,以及函数的定义域列出不等式或不等式组,通过解不等式(组)求出结果.

C（备选例题）已知函数f(x)对定义域[-1,1]内任意实数a,b都满足:①f(a+b)=f(a)+f(b);②若a<b,则f(a)<f(b).(1)求f(0);(2)求满足不等式f(1-a)+f(1-a2)<0的实数a的取值范围.思路点拨

这是一个抽象函数,可运用赋值法,容易得出f(0)的值和函数f(x)为奇函数的结论,再由条件②结合函数单调性的可知函数f(x)在[-1,1]上单调递增,最后结合单调性和奇偶性将不等式f(1-a)+f(1-a2)<0中的“f”脱去,得出关于a的不等式解之.

【方法规律】单调性和奇偶性是函数的两条重要基本性质.单调性与奇偶性之间有着密切的联系:奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,且f(-x)=-f(x);(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性,且f(x)=f(-x)=f(|x|).综合利用函数的单调性和奇偶性,可以解决很多函数问题,特别是抽象函数问题.