专题8.4直线平面平行的判定及性质

专题8.4直线、平面平行的判定及性质【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．知识点知识点一直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥ba∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b知识点知识点二空间两直线的位置关系面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥α知识点知识点三判断或证明线面平行的常用方法判断或证明线面平行的常用方法：利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 知识点知识点四平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.知识点知识点五几个唯一性定理唯一性定理：(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．常考题型剖析常考题型剖析题型一：线面平行关系的判断与证明【典例分析】例11.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；故选：BCD例12.（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．(1)求证：//平面；(2)若，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）作出并证明为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.【详解】（1）连接，设，则，，，则，解得，则为的中点，由分别为的中点，于是，即，则四边形为平行四边形，，又平面平面，所以平面.（2）过作垂直的延长线交于点，因为是中点，所以，在中，，所以，因为，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱锥的高为，因为，所以，所以，又，所以.【规律方法】1.直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．2.证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可．【变式训练】变式11.（2022·全国·高三专题练习）如图甲，在梯形ABCD中，，CD＝2AB，E、F分别为AD、CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是（）①AF平面BCD；②BE平面CDF；③CD平面BEF．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用线面平行判定定理即可证明AF平面BCD，进而得到①正确；求得BE与平面CDF相交，进而得到②错误；利用线面平行判定定理即可证明CD平面BEF，故③正确．【详解】对于①，由题意得，∴四边形ABCF是平行四边形，∴AFBC，∵平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AF平面BCD，故①正确；对于②，取DF中点G，连接EG，CG，∵E是AD中点，AFBC，AFBC，∴EGBC，EGBC∴四边形为梯形，∴直线BE与直线CG相交，∴BE与平面CDF相交，故②错误；对于③，连接AC，交BF于点O，连接OE，∵四边形ABCF是平行四边形，∴O是AC中点，∴OECD，∵OE⊂平面BEF，平面BEF，∴CD平面BEF，故③正确．故选：C．变式12.（2022秋·新疆伊犁·高三校考阶段练习）如图，在四棱雉中，底面是正方形，，，点，分别为线段，的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据三角形中位线定理以及平行四边形的性质，结合线面平行的判定定理，可得答案；（2）根据勾股定理以及线面垂直判定定理，结合三角形中位线定理，明确三棱锥的高，利用正方形的性质，求得底面三角形的面积，再利用三棱锥体积公式，可得答案.【详解】（1）取的中点，连接，如下图所示：在中，因为分别为的中点，所以，且，在正方形中，因为为的中点，所以，且，因为，，所以四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，所以平面.（2）取的中点，连接，如下图所示：在中，由，，则，所以，同理可得：，因为，平面，所以平面，在中，因为分别为的中点，所以且，则平面，故为三棱锥以平面为底面上的高，在正方形中，为的中点，则，所以三棱锥的体积.题型二：补全线面平行的条件问题例21.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：时，平面.【答案】答案表述不唯一)【分析】当为的中点，为的中点时，根据三角形中位线的性质即可判断，从而可得平面，由此可得出点满足条件的结论.【详解】连接交于O，连接OE，平面平面，平面平面，.又底面为平行四边形，为对角线与的交点，故为的中点,为的中点，故当满足条件:时，面.故答案为:答案表述不唯一)例22.（2021秋·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.(1)求证：；(2)求证：平面；(3)若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在，证明见解析【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；（2）由中位线、线面平行的性质可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明；（3）根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性.【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面，平面平面，所以；（2）如下图，取为中点，连接，由E是PD的中点，所以且，由（1）知，又，所以且，所以四边形为平行四边形，故，而平面，平面，则平面.（3）取中点N，连接，，因为E，N分别为，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，线段存在点N，使得平面，理由如下：由（2）知：平面，又，平面，平面，所以平面平面，又M是上的动点，平面，所以平面，所以线段存在点N，使得平面.【变式训练】变式21.（2022秋·北京·高三北京市回民学校校考阶段练习）设a，b是两条不同的直线，是平面，，那么“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】从充分性及必要性两个角度分析.【详解】由线面平行判断定理，，，方可推出，“”不是“”的充分条件；可在平面内找到一条直线与平行，不一定有，故“”不是“”的必要条件；综上，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.变式22.（2022秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）在三棱锥中，，，、分别是棱、的中点.(1)证明：；(2)线段上是否存在点，使得平面?若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，当上的点满足.【分析】（1）取的中点，利用线面垂直的判定、性质推理作答.（2）上的点满足，连CE，借助三角形重心定理，利用线面平行的判定推理作答.【详解】（1）取的中点，连接，，如图，因，，则，，而平面，平面，，于是得平面，又平面，所以.（2）当上的点满足时，平面连接交于，连接，、分别是、的中点，则是△的重心，有，即有，因此，而平面，平面，所以平面．题型三：面面平行的判断与证明【典例分析】例31.（2022秋·广西南宁·高三统考阶段练习）在如图所示的多面体中，平面，，，，点、分别为、的中点．(1)求证：平面平面；(2)求多面体的体积．【答案】(1)证明见解析(2)16【分析】（1）先证面内两相交线和分别平行于平面，即证平面，平面，从而可证平面平面；（2）由平面，可证．又，平面，即是四棱锥的高，同理可证平面，从而可求多面体的体积.【详解】（1）证明：，四边形是平行四边形，．又平面平面平面．分别为的中点，是的中位线，．平面平面平面．平面，平面平面．（2）平面平面．又平面，平面是四棱锥的高，且．．又平面，平面．．例32.（2022·全国·高三专题练习）如图：在正方体中，为的中点.(1)求证：平面；(2)若为的中点，求证：平面平面.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）设，接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）证明四边形为平行四边形，从而可得，即可证得平面，再根据面面平行的判定定理即可得证.【详解】（1）证明：设，接，在正方体中，四边形是正方形，是中点，是的中点，，平面平面平面；（2）证明：为的中点，为的中点，，四边形为平行四边形，，又平面平面平面，由（1）知平面平面平面，平面平面.【规律方法】证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．【变式训练】变式31.（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：(1)平面；(2)平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明.【详解】（1）如图，连接，∵分别是的中点，∴.又∵平面，平面，∴直线平面.（2）连接SD，∵分别是的中点，∴.又∵平面，平面，∴平面，由(1)知，平面，且平面，平面，，∴平面∥平面.变式32.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,.（1）证明:平面A1BD//平面CD1B1;（2）求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】【详解】试题分析：（1）要证明⊥平面，只要证明垂直于平面内的两条相交直线即可，由已知可证出⊥BD，取的中点为，通过证明四边形为正方形可证⊥．由线面垂直的判定定理问题得证；（2）由已知是三棱柱ABD﹣A1B1D1的高，由此能求出三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积试题解析：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=，由棱柱的性质可得BB1和DD1平行且相等，故四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等．而BD不在平面CB1D1内，而B1D1在平面CB1D1内，∴BD∥平面CB1D1．同理可证，A1BCD1为平行四边形，A1B∥平面CB1D1．而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，故有平面A1BD∥平面CD1B1．（Ⅱ）由题意可得A1O为三棱柱ABD﹣A1B1D1的高．三角形A1AO中，由勾股定理可得A1O===1，∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积V=S△ABD•A1O=•A1O=×1=1．题型四：补全面面平行的条件问题例41.（2022秋·江苏泰州·高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习）设是两个不重合的平面，下列选项中，是“”的充要条件的是（

）A．内存在无数条直线与平行 B．存在直线与所成的角相等C．存在平面，满足且 D．内存在不共线的三个点到的距离相等【答案】C【分析】利用空间想象，结合充要条件的含义即可判断.【详解】对于A，如果，在内与平行的直线有无数条，但此时不平行于，A错误；对于B，如果，在空间必存在直线与平行的直线，此时也与两个平面平行，即直线与所成的角都等于，故B错误；对于C，如果，则一定存在平面，满足且；若且，则也一定有，则“”的充要条件的是存在平面，满足且，C正确；对于D，当时，内必存在不共线的三个点到的距离相等，但当时，同样可以在内找到不共线的三点到的距离相等，D错误.故选：C例42.（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，，，为的中点．(1)求证：平面.(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，证明见解析【分析】（1）利用构造平行四边形的方法证明线线平行，结合线面平行判定定理，从而得线面平行；（2）点为线段的中点，再利用面面平行判定定理证明，即可证明平面平面．【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，．因为为的中点，所以，．又，，所以，．因此四边形是平行四边形，所以．又平面，平面，因此平面．（2）解：如图所示，取的中点，连接，，所以又，所以．又，所以四边形为平行四边形，因此．又平面，所以平面．由（1）可知平面．因为，故平面平面．【变式训练】变式41.（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）设，为不重合的直线，，，为不重合的平面，下列是成立的充分条件的有（只填序号）.①，②，，③，④，【答案】④【分析】根据线面，面面的位置关系，判断选项.【详解】根据线面的位置关系易知，①②③中面和面可能相交也可能平行，④若且，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故④正确.故答案为：④变式42.（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．(1)求证：平面．(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析【分析】（1）根据中位线的性质可得A，再根据线面平行的判定可得B即可；（2）取的中点，连接，根据中位线的性质判定即可【详解】（1）证明：因为，分别为线段的中点所以A.因为，所以B.又因为平面，平面，所以平面．（2）取的中点，连接，因为为的中点所以．因为平面，平面，所以平面，同理可得，平面，又因为，，平面，所以平面平面故在线段上存在一点，使平面平面．题型五：由线面平行的性质判断线线平行【典例分析】例51.（2023春·全国·高一专题练习）空间四边形中，点为边上的点，且，求证：.【答案】证明见解析【分析】利用线线平行证线面平行，再由线面平行的性质判定证明线与线平行，得到结论.【详解】∵点为空间四边形边上的点，∴直线平面，直线平面,又，∴直线平面,又∵平面且平面平面，∴.例52.（2023春·全国·高一期中）如图所示，已知是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点.(1)求证：平面；(2)设平面平面，求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）通过构造平行四边形的方法证得平面.（2）根据线面平行的性质定理证得.【详解】（1）取的中点，连接，如图所示，由，且，，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因为，平面，平面，所以平面，又因为平面平面，所以.【规律方法】思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．(2)利用线面平行性质必须先找出交线．（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用.【变式训练】变式51.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱柱中，平面与棱交于点，求证：.【答案】证明见解析【分析】先根据线线平行证明线面平行，再由线面平行的性质定理证明线线平行.【详解】根据棱柱的性质可知，，由于平面，平面，所以平面.由于平面，平面平面，所以.变式52.（2023春·北京平谷·高一统考期末）三棱锥中，面，、分别是、中点，过的一个平面交面于．(1)证明：；(2)证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直进而证明面面垂直；（2）先证明线面平行，再根据线面平行性质定理证明线线平行.【详解】（1）面,,,面,面,面,面（2）分别是中点，面面面面，面面题型六：应用线面平行性质判断线段比例或点的位置【典例分析】例61.（2022·全国·高三专题练习）如图、三棱柱的侧棱垂直于底面，是边长为2的正三角形，，点在线段上且，点是线段上的动点．当为多少时，直线平面？【答案】.【分析】过点作交于点，过点作交于点，利用线面平行的判定定理可得平面，平面，再利用面面平行的判定定理及性质定理即得.【详解】当点是线段上靠近点的三等分点，即时，平面.过点作交于点，过点作交于点，连接，平面，平面，平面，，面，平面，平面，又，平面，平面，∴平面平面，平面，平面．∴，当时，平面．例62.（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）如图，在正方体中，分别是的中点.(1)证明：平面；(2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）利用三角形中位线性质和平行四边形性质可证得，根据线面平行的判定可证得结论；（2）假设存在点，延长交于，连接交于，根据三角形中位线性质可确定，利用线面平行的性质可证得四边形为平行四边形，由此可确定.【详解】（1）连接，分别为中点，，，，四边形为平行四边形，，，又平面，平面，平面.（2）假设在棱上存在点，使得平面，延长交于，连接交于，，为中点，为中点，，，，平面，平面，平面平面，，又，四边形为平行四边形，，；当时，平面.【变式训练】变式61.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，.(1)求证：；(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点为棱的中点【分析】（1）由线面垂直证明线线垂直即可.BD，由中位线证得线线平行，故而得到线面平行.【详解】（1）因为平面底面，平面底面，平面，所以平面.又因为平面，所以.（2）解：存在，点为棱的中点.连接，交于点，连接，如图所示：因为底面为平行四边形，所以点为的中点.在中，因为点分别为的中点.所以，且.又因为平面平面，所以平面.变式62.（2022·全国·高三专题练习）如图1，菱形中，，，于E，将沿翻折到，使，如图2．(1)求三棱锥的体积；(2)在线段上是否存在一点F，使∥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用等体积法及棱锥的体积公式计算即可.（2）设线段的中点为，线段的中点为，先证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明平面，即可得出结论.【详解】（1）解：由题可知在菱形中，，，，故，所以在四棱锥中，，又，所以平面，且，连接，因为则,所以.故棱锥的体积为.（2）解：设线段的中点为，线段的中点为，连接，因为点为的中点，点为的中点，所以，又由（1）得，，所以，所以四边形为平行四边形，故,又平面，平面，所以平面，此时点为的中点，故.题型七：应用线面平行性质求线段长度【典例分析】例71.（2022·全国·高三专题练习）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，N为BC的中点．当点M在平面DCC1D1内运动时，有MN//平面A1BD则线段MN的最小值为（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根据正方体性质及线面、面面平行的判定找到过点平行于面的截面，进而确定的运动轨迹，结合已知即可求最小值.【详解】在正方体中分别是的中点，由正方体性质易知：，而，，则，由面，面，则面，同理有面，由，面，故面面，所以面中的直线平行于面，由面，则在直线上运动，要使最小，只需，延长、交于，故只需求出△底边上的高即可，由已知可得：，则△为边长为的等边三角形，所以底边上的高为，即最小值为.故选：B例72.（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若平面AMN，则PA1的最小值是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由平面，可以找到点在右侧面的运动轨迹，从而求出的最小值【详解】如图所示，取的中点,的中点，连接，因为分别是棱的中点，所以，，又因为,,，所以平面平面，平面，且点在右侧面，所以点的轨迹是，且，，所以当点位于中点处时，最小，此时，.故选：C【变式训练】变式71.（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点，平面，则的长度为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根据线面平行的性质定理得出结果.【详解】正方体，连接交于点O，连接，如图所示，∴平面，平面平面，平面，∴，又，∴为平行四边形，则.故选：B.变式72.（2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）在棱长为4的正方体中，为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，若平面，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取，，，中点分别为､､､，连接，，，，，即可证明平面平面，则当运动到中点时，此时平面，平面，的最小值为，再由勾股定理计算可得.【详解】解：取，，，中点分别为､､､，连接，，，，，如图所示：∵为的中点，则平面即为平面，，，，，∵平面，平面，平面，平面，∴平面，平面，又，平面，平面，∴平面平面，又平面，平面平面，点在四边形内（包括边界）运动，所以在线段运动上，∴当运动到中点时，此时平面，平面，的最小值为，∵，∴，，在中，，故的最小值为，故选：C.题型八：面面平行性质及其应用【典例分析】例81.（2022·全国·高三专题练习）如图，已知，，都是平面，且，两条直线l，m分别与平面，，相交于点A，B，C和点D，E，F.已知，，，求AB，BC，EF的长.【答案】，，【分析】连接AF，交于点G，连接GB，GE，BE，根据面面平行的性质定理，可得，，再利用平行线的比例关系，即可求解.【详解】如图，连接AF，交于点G，连接GB，GE，BE，则点A，B，C，G共面.∵，面，面，∴，∴，∴.同理，有，.∴.∴，，.例82.（2022·全国·高三专题练习）在三棱柱中，(1)若分别是的中点，求证：平面平面.(2)若点分别是上的点，且平面平面，试求的值．【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）分别证明平面、平面即可；（2）连接交于，连接，由面面平行的性质定理可得、，然后可得答案.【详解】（1）∵分别是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面，又∵，平面，∴平面平面.（2）连接交于，连接，由平面平面，且平面平面，平面平面，∴，同理可得，所以，即为线段的中点，所以为线段的中点，即.【规律方法】1.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．2.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．【变式训练】变式81.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体中，，，，分别为棱和的中点，为长方体表面上任意一点．若平面，则的最大值为（

）A． B． C． D．6【答案】C【解析】【分析】由面面平行的性质结合题意可确定点所在的平面，再由平面几何的性质即可确定的值为最大值时的位置，即可求解【详解】如图所示，取，分别为棱和的中点，连接,由题意易知，所以；又易知，故可以证明平面平面；又平面，由面面平行的性质可知平面，所以由题意可知在等腰梯形四条边上运动，过点作，交于点，由题意可知,所以,所以，又，所以故当与点重合时，的值为最大值，此时；故选：C变式82.（2022·全国·高三专题练习）在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值.【答案】【分析】连接交于点，连接，利用面面平行的性质可得出为的中点，再利用面面平行的性质可推导出四边形为平行四边形，可得出，即可得解.【详解】解：连接交于点，连接，如下图所示：由棱柱的性质可知，四边形为平行四边形，所以，为的中点，因为平面平面，平面平面，平面平面，，则为的中点，则，平面平面，平面平面，平面平面，所以，，又因为，所以，四边形为平行四边形，所以，，因此，.一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出截面，得到截面把正方体分为三棱台和另一几何体，根据棱台体积公式求出，进而求出的值.【详解】设正方体棱长为1，，如图所示，该截面把正方体分为几何体和另一几何体，由面面平行的性质可知：，延长，相交于点，则平面，且平面，又平面平面，所以在直线上，即三线共点，所以几何体为三棱台，其中三棱台上底面积是，下底面积为，高等于1，所以，解得：，所以.故选：C2．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）已知侧棱和底面垂直的三棱柱的所有棱长均为3，为侧棱的中点，为侧棱上一点，且，为上一点，且平面，则的长为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】通过构造面面平行，得到平面，再利用三角形相似，求得的长度.【详解】如图，取上一点，，延长至点，使，连接，使，，连接，，四边形是平行四边形，平面，平面，，同理平面，且，平面平面，平面，平面，，，又，故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，平面平面，且，则()A．平面 B．平面C． D．平面平面【答案】A【分析】取DG的中点M，连AM、FM，证明四边形ABFM是平行四边形，问题得解.【详解】如图所示，取DG的中点M，连AM、FM，．则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形，∴且．∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM．又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四边形ABFM是平行四边形，∴BF∥AM．又BF平面ACGD，AM平面ACGD，∴BF∥平面ACGD．选A．二、多选题4．（2022秋·黑龙江鸡西·高三鸡东县第二中学校考阶段练习）已知分别是三棱锥的棱上的点（不是端点），则下列说法正确的是（

）A．若直线相交，则交点一定在直线上B．若直线异面，则直线中至少有一条与直线相交C．若直线异面，则直线中至少有一条与直线平行D．若直线平行，则直线与直线平行【答案】ABD【分析】根据平面的基本性质（公理2）判断A，根据线面平行的判定定理和性质定理，基本性质4判断BD，举反例判断C．【详解】若直线EF､HG相交，设，则，，又平面，平面，所以是平面与平面的公共点，则必在其交线上，即，A正确，若，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，又，所以,D正确，当，时，，所以若直线都与直线平行，则直线共面，所以该命题的逆否命题若直线异面，则直线中至少有一条与直线相交为真命题，B正确，如下图，直线异面，但直线都与直线相交，故C错误，故选：ABD.5.（2022·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，，，分别为线段，，上的动点（不含端点），则（

）A．异面直线与成角可以为B．当为中点时，存在点，使直线与平面平行C．当，为中点时，平面截正方体所得的截面面积为D．存在点，使点与点到平面的距离相等【答案】BC【分析】根据异面直线夹角的求解方法，线面平行的判定，以及正方体的截面面积的计算，结合几何体的结构特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：因为//，故与的夹角即为与的夹角，又当与重合时，取得最大值，为；当与点重合时，取得最小值，设其为，则，故；又点不能与重合，故，故A错误；对B：当为中点时，存在分别为的中点，满足//面，证明如下：取的中点为，连接，如下所示：显然//，又面面，故//面；又易得//，面面，故//面；又面，故面//面，又面，故//面，故B正确；对C：连接，如下所示：因为////，故面即为平面截正方体所得截面；又，故该截面为等腰梯形，又，，故截面面积，故C正确；对D：连接，取其中点为，如下所示：要使得点到平面的距离等于点到平面的距离，只需经过的中点，显然当点分别为所在棱的中点时，不存在这样的点满足要求，故D错误.故选：BC.三、填空题6．（2022·四川遂宁·统考一模）设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）若与内的两条直线垂直，则直线与垂直.以上说法正确的是.（㝍出序号）【答案】（1）（2）【分析】由面面平行的判定定理可知（1）正确；由线面平行的判定定理可知（2）正确；显然和所成的角可以是直角，也可是锐角或钝角，所以（3）错误；由线面垂直判定定理可知，垂直于两条相交直线时，直线才与平面垂直，即（4）错误.【详解】对于（1），若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，由面面平行的判定定理可知，平行于，所以（1）正确；对于（2），若外一条直线与内一条直线平行，由线面平行的判定定理可知，和平行，所以（2）正确；对于（3），和相交于直线，若内有一条直线垂直于，这时和所成的角可以是直角，也可是锐角或钝角，所以（3）错误；对于（4），若与内的两条直线垂直，则直线与不一定垂直，可以相交，也可以在内，只有与内的两条相交直线垂直时，直线与垂直.所以（4）错误；故答案为：（1）（2）7．（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，的中点，是线段上的动点，过M，N，E的平面截正方体所得的截面面积记为.当为线段的中点时，；当在线段（包括端点）上运动时，的取值范围是.【答案】【分析】（1）根据面面平行的性质定理找平行线（2）根据对称性知道中点最大，两边最小.【详解】答题空1解：根据面面平行的性质定理得截面与平面的交线与平行，又因为为线段的中点，所以取的中点，即交线为，延长与的延长线交于点，又因为，即，连接与交于点，连接，又因为，即，所以时的中点，再根据面面平行的性质定理得截面与平面的交线与平行，所以取的中点，再连接，即截面为平面，因为六边形为正六边形且边长为，所以面积.答题空2解：①当点与重合时根据面面平行的性质定理得截面与平面的交线与平行，即交线为，连接，即等腰梯形的面积为；②当点与重合时，延长与的延长线交于点，连接与与交于点，延长与的延长线交于点，连接与交于点，则五边形为截面,如图，则面积等于的面积减去2个的面积，并且，相似比为，面积为：.③当点在线段（不包括端点时），延长与的延长线交于点，再连接并延长交于点，与的延长线交于点，延长交的延长线于点，再连接，则六边形为的中点时面积最大，当点与重合时面积最小，故取值范围为故答案为：，四、解答题8.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，B