北京大兴区2024届高三1月期末考试数学

2024北京大兴高三(上)期末

数学

本试卷共9页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.己知全集U={x|x>l},集合4=卜,22},则=

A.1x|l<x<2}B.{巾<2}

C.{x|l<x<21D.

2.若复数z满足i・(z+i)=l,则复数z的虚部是

A.-2B.2C.-lD.O

3.在(丁一1)6的展开式中，常数项为

X

A.-15B.15C.-20D.20

4.设向量0力,若6=(-3,4),b=Aa(2>0),则a=

43433434

儿(子一？B.(-不？C,(-)--)D.

5.已知函数/(x)=2，-l,则不等式/(x)Mx的解集为

A.(-oo,2]B.[0,l]C.[l,+oo)D.[l,2]

6.在△ABC中，“C=色”是“sin?4+$而8=1”的

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知定点M(l,3)和抛物线C:/=8)，，尸是抛物线C的焦点，N是抛物线C上的点，则|NF|+|NM|的

最小值为

A.3B.4C.5D.6

8.已知a>6>0且“6=10,则下列结论中不正确的是

A.lg«+lg/?>0B.1g。-1g>0

C.lg«.lgft<-D型>1

4Igb

9.木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形

ABCD是边长为2的正方形，且MADE,/XBCF均为等边三角形，

EFIICD,EF=4,则该木楔的体积为

第1页/共4页

A.72B.2V2

c20n8近

U.------D.---

33

10.设无穷等差数列｛4｝的公差为d,集合T=｛巾=sina„,neN*｝.则

A.7不可能有无数个元素

B.当且仅当d=0时，7只有1个元素

C.当T只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为!

2

口.当“=m，k＞2,&eN*时，T最多有A个元素，且这4个元素的和为()

k

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.设｛a〃｝是等比数列，=1,a2-a4=16,则。5=.

2

12.若双曲线——v方=1伯＞0)的一条渐近线方程为2x-y=0,贝.

13.能够说明“设。也c是任意实数.若a＞》＞c,则劭＞c?”是假命题的一组整数a/,c的值依次为

14.如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为I的圆。，

外框是以。为中心，边长为2的正六边形A8CQEF,

则。到线段AC的距离为；若P是圆。上的动点,

则AC-AP的取值范围是.

15.设函数/(x)的定义域为R,且/(x)满足如下性质：(i)若将f(x)的图象向左平移2个单位，则所得

的图象关于)，轴对称：(ii)若将/(x)图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的g,再向左平

移［个单位，则所得的图象关于原点对称.给出下列四个结论：

2

①/⑴=八3)；②/(0)=0；

③/(2)+/(4)=0；@/(-i)/(H)＜0.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.(本小题14分)

如图，在三棱柱ABC-A4G中，8耳1平面ABC,CA=CB=也，

A4,=4B=2,

。,后分别为的中点.

第2页/共4页

(I)求证：平面C£>E_L平面ABB|A；

(II)求直线CE与平面BCG用所成角的正弦值.

17.(本小题13分)

在△ABC中，”=1,b=2.

(I)若c=2四,求△48C的面积；

(II)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△48C存在，求NA.

条件①：ZB=2ZA；条件②：ZB=-+ZA；条件③：NC=2NA.

3

注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得。分；如果选择多个符合要求的条件分

别解答，按第一个解答计分.

18.(本小题13分)

为了解客户对A,B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快

递公司评价的调查问卷.已知AB两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下：

快递公司4快递公司8快递公司

项目

配送时效服务满意度配送时效服务满意度

评价分

85<x<9529241612

75<x<8547564048

65<x<7544402420

假设客户对A.8两家快递公司的评价相互独立.用频率估计概率.

(I)从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公司配送时效的评价不低于

75分的概率；

(II)分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满

意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望；

(III)记评价分数X285为“优秀”等级，754x<85为“良好”等级，654x<75为“一般”等级.已知

小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A,B两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认

为小王选择4B哪家快递公司合适？说明理由.

第3页/共4页

19.(本小题15分)

已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上，离心率为正.

2

(I)求椭圆C的方程；

(II)设。为原点，过点7(4,0)的直线/交椭圆C于点直线8M与直线x=l相交于点尸，直线AN

与y轴相交于点Q.求证：△04。与△。7尸的面积之比为定值.

20.(本小题15分)

1__y

已知函数/(x)=ar+ln--.

1+x

(I)若曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线斜率为0,求a的值；

(II)当a=4时，求/(x)的零点个数；

(III)证明：是“X)为单调函数的充分而不必要条件.

21.(本小题15分)

若各项为正的无穷数列｛〃“｝满足：对于VneN",其中"为非零常数，则称数列｛4｝为

D数列.记么=a.+i-%.

(I)判断无穷数列。“=册和a"=2"是否是。数列，并说明理由；

(H)若卜力是。数列，证明：数列｛2｝中存在小于1的项；

(III)若｛叫是。数列，证明：存在正整数〃，使得£上＞2024.

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大兴区2023〜2024学年度第一学期期末检测

高三数学参考答案

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

(DC(2)A(3)B(4)D(5)B

(6)A(7)C(8)D(9)D(10)D

二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)

(11)16(12)2

(13)2,0,-1(答案不唯一)(14)1[6-2^,6+2A/3]

(15)①③④

注：第(14)题第一空3分，第二空2分；

第(15)题只写一个且正确2分，只写两个且正确3分。

三、解答题(共6小题，共85分)

(16)(共14分)

解：(I)在三棱柱/5C-481cl中,

因为_L平面/8C,

所以CDLBB一……1分

在△NBC中，因为。为的中点，CA=CB=y[5>

所以COJ.28.....1分

所以平面.....1分

因为CDu平面CDE,

所以平面COEJ.平面4844.....1分

(II)取4片的中点4,连结。尸.

因为。为的中点，

所以在三棱柱ABC-481G中，DD/BB-

所以。。।_L平面48c.....1分

所以DD,1DC.

由(I)知CD工AB.

如图建立空间直角坐标系O-xyz,

则。(0,0,0),5(-1,0,0),5,(-1,0,2),£(1,0,1),C(0,2,0).

所以而=(1,2,0),函=(0,0,2).....2分

设平面BCCB、的法向量为"=(x,y,z),则

1

，〃萩=0,即产=0,……［分

一＞x+2y=0.

nBC=0,i

令y=1,则x=—2.

于是〃=(一2,1,0)......1分

又行=(1,-2,1),.....1分

设直线CE与平面BCC、B,所成角的0,

而

所以5治。=|85〈〃,。七〉|=|---=7-|....2分

\n\\CE\

_(-2)xl+Ix(-2)+0xl

=1必需'

=巫……1分

15

所以直线CE与平面5CG与所成角的正弦值为粤.……1分

(17)(共13分)

解：(I)由余弦定理知，

a2+b2-c21八

cosC=..............1分

2ab

_：+22一(2何

2x1x2

在△力8c中，Ce(0,7t).

所以sinC=V1-cos2C.....1分

也.……1分

4

所以△Z8C的面积S=g"sinC....1分

\S布……।小

=—xlx2x——=——,1分

244

(II)选择条件②：ZB=-+ZA

3

由正弦定理，一=—2—,…2分

sinAsinB

知，-2

sin"sin(/l+1)

所以sin(Z++=2sin/......1分

2

ITjr

所以sinZcos—+cosZsin—=2sin4.....2分

所以tanZ=—.....1分

3

因为在△4BC中,4w（0,冗）,

所以乙4=工.……1分

6

选择条件③：/C=24

由正弦定理一乙二一J,……2分

sinAsinC

知—=」一.

sinAsin2/4

所以一——-——.……1分

sinA2sinAcosA

所以c=2cos4.....1分

由余弦定理知c=2x",+9c2--2"-.

2hc

所以c=J5.....1分

所以cos4=—.....1分

2

因为在△46C中，力£(0,兀)，

所以//二四.……1分

6

(18)(共13分)

解：（I）根据题中数据，该地区参与4快递公司调查的问卷共120份，

样本中对A快递公司配送时效的评价不低于75分的问卷共29+47=76份，

所以样本中对A快递公司配送时效的评价不低于75分的频率为曳=上，

12030

估计该地区客户对A快递公司配送时效的评价不低于75分的概率上.3分

30

（IDX的所有可能取值为0,1,2.……1分

记事件C为“从该地区A快递公司的样本调查问卷中随机抽取1份，该份问

卷中的服务满意度评价不低于75分”，事件。为“从该地区B快递公司的样

本调查问卷中随机抽取1份，该份问卷中的服务满意度评价不低于75分

由题设知，事件C,。相互独立，且

力生至二，3­=3.……］分

1203804

所以p(x=o)=p©5)=a-|)x(i_$q,……1分

——23235

P(%=l)=P(CPUCZ))=(l--)x-4--x(l--)=-,1分

3

231

P(X=2)=P(CD)=-x-=-.……1分

所以X的分布列为

X012

15j_

P

12122

故X的数学期望E(X)=0x*+lxV+2x；=1j.……2分

(III)答案不唯一.....3分

答案示例1：小王选择A快递公司合适，理由如下：

29

根据样本数据，估计A快递公司配送时效评价为“优秀”的概率是面，估

1291

计B快递公司配送时效评价为“优秀”的概率是因为前>W，故小王选

择A快递公司合适.

答案示例2：小王选择B快递公司合适，理由如下：

由(I)知，估计A快递公司配送时效评价为“良好”以上的概率是亮；

由样本数据可知，估计B快递公司配送时效评价为“良好”以上的概率是

晦”尚磊，因为黑亲故小王选择B快递公司合适•

(19)(共15分)

解：(1)设椭圆C的方程为-y+5•=1(a>6>0).

ab

a=2,

由题意得正解得c=VL……2分

工二①

所以「=。2—2=1・……1分

丫2

所以椭圆C的方程为土+/=1.……1分

4-

(II)依题意，直线/的斜率存在，设其方程为〉=%(x-4)(4x0)........1分

y=k(X-4),

2222

由2f#(4^+l)x-32kx+64k-4=0...........1分

—+y=1，

4

设M(X])，N(x2,y2),则

Ap32k2641-4，八

△>U且4-=------r-------，X,Xj=----z---------・..............17T

24k2+\4A2+1

所以直线M8的方程为卜=上一。-2),所以尸(1,口_).……2分

X)-2Xj—2

4

直线Mi的方程为y=U^(x+2),所以0(0,2-).

1分

々+2x2+2

所以AOAQ的面积为S=1x2、皿目忌

WAQ1分

△O7P的面积为SAOw=Lx4x|yp|=|31-|.....1分

2西一2

所以SbCMQ=|2%,xI*-2,,乃(X1-2)1区_4)(3_2)

SWTP~X2+22y,'~'yt(x2+2)~k(xt-4)(x2+2)'

XjX2-4x,-2X+8x{x2-2(/+x2)+^-2x1小

=I=2=|=|==I17J

x}x2+22-4X2-8x}x2-4(X1+x2)-8+6%j

64M-4c32H1

2x+8XTa

-4/5+--1-----4A■5-?+]止+1

64k2_4,32k24A2+1

_—4x_oxx+6xj

4r+14k2+14k2+\

32/+4

4/+1

1分

一3(32左2+4)

+64[

4/+1

]_

1分

3

所以AO4。与AOTP的面积之比为定值.

(20)(共15分)

1—X

解：(I)因为函数/(x)=ax+ln"；~,

1+x

所以/*)的定义域为(7,1).

所以/'(X)=-J--J-+*……2分

因为曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线斜率为o,

所以/'(0)=0.……1分

所以4=2.....1分

1—X

(II)当a=4时，/(x)=4x+In——-.

1+x

因为/G)的定义域为(7,1),……1分

=ln^-^--4x=-In—--4x=-/(x),

1-xl+x

所以/(x)是奇函数.……1分

以下讨论/U)在区间(0,1)上的零点个数.

令/S,解得x考

1分

5

f'(x)与f(x)在区间(0,1)的情况如下:

(0，日)亭)

X在

2

/'(.V)+0-

/(.V)单调递增极大值单调递减

因为/(0)=0,且/(X)在区间(0,1)上单调递增，

所以/(x)在区间(0,日)上没有零点.……1分

因为/(])>0,且“1--<0，

由/(X)在区间(芋1)上单调递减和函数零点存在定理知,

/(X)在区间(1,1)内存在唯一零点.

综上，/(X)在区间(0,1)内存在唯一零点.……1分

因为/(x)是奇函数,

所以〃x)在区间(-1,1)内存在3个零点.……1分

(III)当0〈a£2时，-ax1W0,a-2<0,

—ux^+a—2„

故ra)=----------W0,

(1-x)(l+x)

所以f(x)在区间(-1,1)上单调递减.

所以0WaW2是/(X)为单调函数的充分条件.……3分

x2-3

当a=-l时,

d-x)(l+x)

因为当X€(-1,1)时，X2-3<0,(l-x)(l+x)>0,

故当XG(-1,1)时，/'(X)<0,/(x)在区间(-1,1)上单调递减.

所以0WaW2不是/(X)为单调函数的必要条件.……2分

所以0WaW2是/(x)为单调函数的充分而不必要条件.

(21)(共15分)

解：(1)数列《,=«是。数列.

理由如下：匕/0：=(而T)2-(册)2=1满足。数列定义.……2分

数列凡=2"不是。数列.

理由如下：a；M-d=(2e)2-(2")2=22"+2-22"=3""不是常数.……2分

(II)以下证明：d>0.

假设4<0,由知｛4｝为等差数列，故。：=〃；+(〃-1”.

6

因为｛%｝是各项为正的无穷数列，

当〃取大于［手］+1的整数时，［苧］+2-l)d<0,

与已知矛盾，所以假设不成立，所以1>0.

以下证明：｛对｝是递增数列.

因为">0,且｛。力是各项为正的无穷数列,

所以。用>%.所以｛a„｝是递增数列.

以下证明：V^>0,3A:GN*,当〃2%时，an>t.

若，<%,当〃>1时，显然

22

若^,k=[~a,]+2,

22

当〃2人时，?a；+([-———]+2-l)J>t12,即a成立.

dn