河南省开封市2024届高三年级下册第二次质量检测数学试题（含答案解析）

河南省开封市2024届高三下学期第二次质量检测数学试题

学校:.姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.已知抛物线的标准方程是/=4x,则它的准线方程是（）

A.x=-lB.尤=1C.y=~lD.J=1

2.已知集合N=[xE=sinT，"eZ；,8={0,1}则下列命题正确的是（）

A.A=BB.B^AC.Nc8={0,-l}D.\B={1}

zy_1%<0

3.若函数/（》）=一’八是奇函数，则实数。=（）

x+>0

A.0B.—1C.1D.±1

4.已知数列{为}的前〃项和为S〃=3〃-1,则%=（）

A.81B.162C.243D.486

5.若（2%-1）4=%-+41%+%,贝|。0+。2+。4=（）

A.-40B.40C.41D.82

6.已知函数/'（无）=2，，则函数/（无）的图象在点（0J（0））处的切线方程为（）

A.x-y-l=0B.%->+1=0

C.In2-歹一1=0D.In2->+1=0

7.若直线/:»1（。>0,6>0）经过点（1,2）,则直线/在x轴和y轴上的截距之和取

最小值时，/=（）

b

1/?

A.2B.-C.V2D.—

22

8.已知经过圆锥SO的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部

分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积

之比是（）

A.1:8B.1：9C.1:26D.1:27

二、多选题

9.已知复数Z1=a+i,z2=1+M（其中i是虚数单位，a,ZJGR）,若为仁为纯虚数,

贝U（）

试卷第1页，共4页

A.a-b=OB.a+b=OC.ab-1D.ab1

10.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收

入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是()

A.该地农户家庭年收入的极差为12

B.估计该地农户家庭年收入的75%分位数约为9

C.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

D.估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元

11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为

〃尤)=凶，因表示不超过x的最大整数，例如卜3.5]=-4,[2』=2.下列命题中正

确的有()

A.SxeR,/(X)=X-1

B.VxeR,neZ,/(x+n)=/(x)+«

C.Vx,y>0,/(lgx)+/(1gJ)=/(1g(xy))

D.eN*,/(lgl)+/(lg2)+/(lg3)+-••+/)=92

三、填空题

12.已知向量色友万在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,

则

(a+b)-c=;a-b=•

试卷第2页，共4页

13.袋中有4个红球，加个黄球，"个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为

若取出的两个球都是红球的概率为则£(/=_____.

6

22

14.已知过双曲线。:0-%=1(°>0,6>())左焦点£且倾斜角为60。的直线与C交于

点与y轴交于点瓦且/是的中点，则C的离心率为.

四、解答题

15.已知椭圆的左，右焦点分别为片，F2,上顶点为A,且

祈正二0.

⑴求C的离心率；

O

⑵射线四与C交于点B,且|/同=：,求为的周长.

16.记的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知6cos/=V^asin5.

⑴求sinA；

(2)若.=百，再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯

一的三角形，并求AABC的面积.

条件①：b=y[6c;条件②：b=y[6；条件③：sinC=g.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分

别解答，按第一个解答计分.

17.在四棱锥尸一48CD中，平面底面ZBCD,BDLAP.

P

是否一定成立？若是，请证明，若不是，请给出理由;

试卷第3页，共4页

(2)若是正三角形，且尸-48。是正三棱锥，AB=2,求平面尸ND与平面PBC夹

角的余弦值.

18.已知函数/(x)=lnx-3.

(1)讨论/(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

⑵函数g(x)=£；若方程〃x)=/(g(x))在xjo,；］上存在实根，试比较/(。2)与

1—X\)

2

In上e的大小.

4

19.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法

中的应用.设0,«是两个正整数，若0,q的最大公约数是1,则称0,q互素.对于

任意正整数小欧拉函数是不超过〃且与〃互素的正整数的个数，记为9但).

⑴试求9⑶，。(9),夕⑺，9(21)的值；

(2)设〃是一个正整数，p,夕是两个不同的素数.试求。(3"),。(四)与0(p)和°⑷

的关系；

(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥.具体而

言：

①准备两个不同的、足够大的素数p,q；

②计算〃=》?，欧拉函数夕(〃)；

③求正整数上使得何除以夕(〃)的余数是1;

④其中(〃应)称为公钥，5,左)称为私钥.

已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是(187,17).若满足题意的正整数左

从小到大排列得到一列数记为数列｛2｝,数列｛g｝满足80g="+47,求数列

｛tancjtanc“+J的前n项和T”.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】根据抛物线方程与准线的关系，可得答案.

【详解】因为2P=4,所以。=2,所以抛物线/=4x的准线方程为x=-5=-l.

故选：A.

2.B

【分析】

求出集合4,根据集合的运算与集合关系判断.

【详解】因为/=「|x=sin与,所以/={-1,0,1},5={0,1}

对A：AwB,故错误；

对B：BcA,故正确；

对C：/口8={0,1},故错误；

对D：6,5={-1),故错误；

故选：B

3.C

【分析】

根据奇函数的性质计算可得.

【详解】当x>0时-x<0,则/(-x)=a2(-x)-l=-x-a=-/(x),

[—a2——1

则，，解得“=1,

x-l,x<0

此时/(x)=

x+l,x>0

当x<0时-x>0,所以/(—x)=—x+l=—(x—l)=—/(x),符合题意.

所以a=1.

故选：C

【分析】

根据给定条件，利用a“='-22)列式计算即得.

答案第1页，共13页

【详解】数列｛4｝的前〃项和为S"=3"-l,所以%=Ss-邑=35-3"=162.

故选：B

5.C

【分析】

利用赋值法求出&+。3+。2+。1+。0、%3+。2-，从而解得.

32

【详解】因为(2x-l『=+(23X+a2x+axx+tz0,

令X=1,可得%+。3+〃2+/+。0=(2xl-l『=1,

号x=-1f口f%—%+/—4+%=(-2xl—1)—81,

1IQ1

两式相加可得知+&+%==—=41.

故选：C

6.D

【分析】

求出函数/(x)的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.

【详解】函数/(x)=2，,求导得/(x)=2，ln2,则r(0)=ln2,而"0)=1,

所以所求切线方程为yT=ln2.(x-0),BPx-ln2-y+l=0.

故选：D

7.D

【分析】

12

根据题意，由条件可得一+不=1,再结合基本不等式即可得到当6取最小值的条件，即

可得到结果.

【详解】因为直线/：±+2=1(。＞0力＞0)经过点(1,2),则工+?=1,

abab

则〃+6=(Q+Z?)H+2]=3+?+网＞3+2五,

\ab)ab

当且仅当2=当时，即6=缶时，等号成立，

ab

所以直线/在X轴和7轴上的截距之和取最小值为3+2逝，

止匕时6=血〃，贝！==

b41a2

答案第2页，共13页

故选：D

8.C

【分析】

作出圆锥SO的轴的截面，根据题意推出上、下两部分几何体的两部分的内切球的半径之比

为1:3,从而可得上部分圆锥的体积与圆锥SO的体积之比为1:27,从而可得解.

【详解】如图，作出圆锥SO的轴截面必L8,

设上、下两部分几何体的两部分的内切球的球心分别为E,F,半径分别为，R,

即。F=FG=n,EG=r,

根据题意可知△MB为正三角形，易知SE=2r,圆锥SO的底面半径OB=加，

:.SO=2r+r+R+R=3r+2R,又SO=布＞0B,

3r+2R=37?,R=3Y,

上部分圆锥的底面半径为百r,高为3厂,

又圆锥SO的底面半径为OB=回=3技，高为SO=3r+2R=9r,

・•・上部分圆锥的体积与圆锥so的体积之比为1〕=—,

⑴27

上、下两部分几何体的体积之比是1:26.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到上、下底面的半径的关系，从而得到两圆锥的体积

之比.

9.AC

【分析】

答案第3页，共13页

根据复数代数形式的乘法运算化简Z「Z2,再根据复数的概念得到条件.

【详解】因为4=”+i,z2=\+b\,

所以Z］-Z2=(l+6i)(a+i)=a+i+abi+bF=(a-b)+(l+06)i,

\a-b=O

又44为纯虚数，所以，ic，即a-b=O且

［1+flO^O

故选：AC

10.BCD

【分析】

根据给定的频率分布直方图，求出极差、75%分位数、平均数判断ABD；求出数据在［4.5,8.5)

内的频率判断C.

【详解】观察频率分布直方图，

对于A,该地农户家庭年收入的极差约为14-3=11,A错误；

对于B,数据在［2.5,8.5)的频率为0.02+0.04+0.1+0.14+0.2+0.2=0.7,

数据在［2.5,9.5)的频率为08,因此75%分位数机e(8.5,9.5),(加-8.5)x0.1=0.05,解得切=9,

B正确；

对于C,数据在［4.5,8.5)内的频率为0.1+0.14+0.2+0.2=0.64>0.5,C正确；

对于D,庭年收入的平均值1=3x0.02+4x0.04+5x0.1+6x0.14+7x0.2+8x0,2

+9x0.1+10x0.1+11x0.04+(12+13+14)x0.02=7.68(万元)，D正确.

故选：BCD

11.BD

【分析】

根据给定的定义，结合存在量词命题、全称量词命题的真假判断方法逐项分析即得.

【详解】对于A,当xeZ时，/(x)=x,当x£Z时，/(x)eZ,而x-leZ,

因此〃无)wx-l,A错误；

对于B,VxeR,neZ,令于(x)=m,则+m+n<x+n<m+n+\,

因止匕/(尤+〃)=加+"=/(x)+〃，B正确；

对于C,取x=g,y=2,0<lg2<l,则/(坨》=一1,/(映2)=0,/(lg(1x2))=/(0)=0,

显然/(怆；)+/(坨2)H/(联42)),C错误；

答案第4页，共13页

对于D,»eN,,当1W〃W9时，/(lgn)=O,当10099时,/(lg»)=l,而〃lgl00)=2,

因此/(lg1)+/(lg2)+/(lg3)+-+/(lg99)+/(lg100)=92,此时〃=100,D正确.

故选：BD

【点睛】方法点睛：判断全称量词命题为真、存在量词命题为假必须推理论证；判断全称量

词命题为假、存在量词命题为真只需举例说明.

12.03

【分析】根据坐标求出a+B,再根据数量积的坐标运算直接计算即可.

【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：

则)=(2,1)/=(2,-1族=(0,1),

3+1(4,0),(5+6)-c=4x0+0x1=0,

a-S=2x2+lx(-l)=3.

故答案为：0；3.

13.|

C21

【分析】记取出的两个球都是红球为事件A,则尸(⑷=^^一=々，即可求出加+",从而

C加+〃+46

得到占的可能取值为0、1、2,求出所对应的概率，即可求出数学期望.

C1

【详解】依题意加、"为非负整数，记取出的两个球都是红球为事件A,则尸(/)=不+=-,

。加+〃+40

4x31

所以W+〃+4)M+〃+3)=%'解得加+”=5或加+〃=-12(舍去),

所以4的可能取值为0、1、2,

则上=。)=信C2=5得，尸r普T5

(AW尸(J=2)=cl_l

Lg10v-/29C；6

答案第5页，共13页

CC1Q

所以£©=0x—+lx—+2x—=,

v718969

故答案为：

14.i+G/Q+1

【分析】

先利用斜率和点耳求出直线的方程，令x=0得8的坐标，利用中点坐标关系求出点/

的坐标，将/的坐标代入双曲线方程，结合离心率定义及范围，计算即可求解.

【详解】由题意心=tan60。=退，耳(-。,0),所以直线”的方程为y=省卜+c),

令x=0得以0,&),因为/是班的中点,所以

、乙乙)

将点代入c：］一、=1得：/3c2

力一g」，

122Jab4

结合产=02化简得,4一8c2/+4/=0,所以e4-8e2+4=0,

所以e?=4+2A/3或/=4—2^/3，所以e=1+-\/3或e=A/3—1>

又-1<-。，所以e=,2,所以e=l+V3.

故答案为：1+6

f

/FM1A

15.(1)—

2

⑵8

【分析】

(1)由葩'•数=0,可得。，c的关系,进而求出椭圆的离心率；

(2)由(1)可得“与c,b与c的关系,设直线4月的方程，与椭圆的方程联立，可得点8

答案第6页，共13页

的坐标，求出Ma的表达式，由题意可得。，“的值，由椭圆的性质可得的周长为4a,

即求出三角形的周长.

【详解】(1)依题意可得上顶点2(0,6),左，右焦点分别为耳(H,0),g(c,0),

所以4片=(―c,—b),AF2=(c,—Z)),

又丽次=0,

所以福•正=—，+(_»2=o,即〃=。2,即/一°2=°2,

所以42=2/,所以禺心率e=£_=；

a2

22

(2)由⑴可得b=c,〃=①，则椭圆方程为r尸+与=1,

射线皿的方程为y=2x+b=x+c,

C

y=x+c

联立＜x2y2，整理可得3%2+4cx=0,

匠+/=1

41(41、

解得x=0或%=_§c,贝BPB\^--C,--C^,

所以|第=&$]+(c+*)=，近=\，解得c=3，则a=2,

所以△/班的周长C，出=|/却+|/闾+|盟|=1周+|郎|+|公|+|典|=4a=8.

(2)答案见解析.

答案第7页，共13页

【分析】

(1)利用正弦定理边化角，结合同角公式计算即得.

(2)选择条件①，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件②，利用正弦定理

计算判断三角形不唯一；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积.

【详解】(1)

由6cos4=后。sin5得：sinBcosA=V2sinAsmB而sinBwO，

则cosZ=V^sinN〉0，A为锐角,又sin?Z+cos?Z=1,解得sinZ=^^

3

所以sin/=且且A为锐角.

3

(2)

若选条件①，由sin4=——，A为锐角，得cosZ=——，

33

由余弦定理得/=3+。2-2feccos，,又b=4^c,贝!)3=602+/-4°2,

解得c=\,b=瓜AABC唯一确定,所以S,ABC=fcsinA=y-.

若选条件②，由正弦定理得‘二=二4,则.R^XTV6,

smZsmBsmti=---尸一=二一<1

<33

由6=&>a=G，得8>/,因此角8有两解，分别对应两个三角形，不符合题意.

若选条件③，由sin4=",A为锐角，得cos/="，

33

又sin/=避^>sinC=L,得a>c,A>C,则cosC=，

333

因止匕sinB=sin(N+C)=sinAcosC+cos/sinC=,AABC唯一确定,

7

ar

由正弦定理得，则c=H6=1,所以S=Bc=gacsin3=T

sinAsinC

T

17.(1)不一定，理由见解析

⑵遮

13

【分析】(1)过点尸作ZC的垂线交/C于点E,由面面垂直的性质得到PE_L底面48CD,

举出反例当/尸_L4C,即点A与点£重合时，均可得得到尸.

答案第8页，共13页

（2）依题意可得点E为/C的中点，再由线面垂直的性质得到PE_L3D,从而得到AD1平

面/PC,设BDcAC=O,则。为2。的中点，作OFIIEP,则OF,底面/BCD,如图建

立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）因为平面上4CL底面488,过点P作/C的垂线交/C于点£,

又平面P/Cn底面=PEu平面R4C,所以PE_L底面/BCD,

若4PL/C,则点A与点£重合，即/尸1底面/8C。，

所以/尸垂直平面ZBCZ）内任意直线，即8。与/C无论何种位置关系，都有AD_L4P,

所以ADL/C不一定成立.

（2）因为AR4c是正三角形，则点E为NC的中点，

由（1）尸E_L底面48cD,又BDu底面4BCD,所以PELBD,

又BDLAP,PE^AP=P,P£,4Pu平面4PC,所以BO上平面4PC,

又/Cu平面4PC,所以助工/C,又尸-/助是正三棱锥，即△43。为等边三角形,

设8Dc/C=O,则。为AD的中点，作OFIIEP,则OF_L底面/BC。，

如图建立空间直角坐标系，则/（0,-6,0）,5（1,0,0）,C0,g,0,。（-1,0,0）,

所以=（-1,百,0）,AP=0,---,2,BC=-1,——,0,BP=-1,——,2

（'JI3,

答案第9页，共13页

n-AD--x+拒y=0

设平面P4D的法向量为〃=(尤,y,z),则n-AP=^-y+2z=0

I3J

3

m•BC=-a+b=0

3

设平面PBC的法向量为m=(〃,b,c),则,取用=(行,3,6)，

n-JP=-a--b+2c=0

3

所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为上.

18.(1)答案见解析

2

⑵/(/)>吟

【分析】

(1)求出函数的定义域与导函数，分a20、。<0两种情况讨论，分别求出函数的单调性与

极值；

(2)利用导数说明g(x)的单调性，即可得到0<g(x)<；,xe[o，£|，令"g(x),则方程

/。)=/。)在工((),£|,此,,£|上存在实根，结合(1)中函数的单调性，可得0<—a<g,

答案第10页，共13页

即—5<。<0,贝!J/(a?)=21n(-a),令,"(a)=21n(-a),——<a<0,利用导数说明函数

的单调性，即可得到"(a)>In],从而得解.

【详解】(1)函数〃x)=lnx-f的定义域为(0,+司，

又广⑺[+土手，

当时，*(x)>0恒成立，所以“X)在(0,+8)上单调递增，无极值，

当心。时，令/(月=0,解得X=F,

所以当时/'(x)<0,〃x)单调递减，

当xe(-a,+oo)时”(x)>0,/(x)单调递增，

所以当时，/(x)取到极小值/(-a)=ln(-a)+l,无极大值，

综上所述，当a20时，/(©在(0,+⑹上单调递增，无极值，

当a<0时，/(x)在(0,-。)上单调递减，在(-%+8)上单调递增，极小值为ln(-a)+l,无极大值.

/1

(2)因为g(x)=；—,0<x<-,

1-x2

rI，/、2x-(l-x)-(-l)x22x-x2x(2-x)

则g*)=—L—=E=E，

令g'(x)=0,解得x=2或0(舍)，

所以当xe]o,£|时g'a)>0,g(x)单调递增，

所以g(0)<g(x)<g]；j,即0<g(x)<；,

令f=g(x),0<x<-,贝l]0</<L

22

若方程/(x)=/(g(x))在xe(0,上存在实根，

则方程/«=/(0在x©，te上存在实根，

当“20时在(()1]上单调，贝IJx=g(x)在上有解，

即应该在(吗上有解，但是2x—=0在(o,£|上无解，不合题意，

所以/(X)在(o,£|上不单调，即。<0,

由(1)知0<—tz<一,即—<。<0,

22

答案第11页，共13页

所以/(/)=加“2—彳=21口(_“)_J_,一；<〃<(),

令加(a)=21n(-a)-L<a<0,

,/\212。+1

贝U加(a)=-----+—=——>0,

-aaa

所以制a)在1;,o］上单调递增，

所以加(a)>"d=21n；+2=ln',

所以了(片)>1111.

【点睛】

方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常

化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证

明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

19.(1)奴3)=2/(9)=6,0⑺=6,0(21)=12；

（2）^（3"）=2-3,,-1,9（pq）=<p（p»9（q）；

⑶『一一

【分析】

(1)利用欧拉函数的定义直接求值.

(2)利用欧拉函数的定义求出夕(3"),夕(p)，e(q),进而分析计算9(P4).

(3)根据给定信息求出2,g,再利用差角的正切公式，借助裂项求和法求解即得.

【详解】(1)由欧拉