高考数学总复习课时跟踪练（二十六）专题探究课（二）文（含解析）新人教A版

课时跟踪练(二十六)1．已知函数f(x)＝sinx－2eq\r(3)sin2eq\f(x,2).(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))上的最小值．解：(1)因为f(x)＝sinx－2eq\r(3)sin2eq\f(x,2)＝sinx＋eq\r(3)cosx－eq\r(3)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\r(3)，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤eq\f(2π,3)，所以eq\f(π,3)≤x＋eq\f(π,3)≤π.当x＋eq\f(π,3)＝π，即x＝eq\f(2π,3)时，f(x)取得最小值．所以f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))上的最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝－eq\r(3).2．(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝3，eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝－6，S△ABC＝3，求A和a.解：因为eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝－6，所以bccosA＝－6.又S△ABC＝3，所以bcsinA＝6.因此tanA＝－1.又0<A<π，所以A＝eq\f(3π,4).又因为b＝3，所以c＝2eq\r(2).由余弦定理a2＝b2＋c2－2bcosA，得a2＝9＋8－2×3×2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝29，所以a＝eq\r(29).3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝eq\f(3π,4)，且sin(A＋C)＝2sinAcos(A＋B)．(1)求证：a，b，2a成等比数列；(2)若△ABC的面积是1，求c.(1)证明：因为A＋B＋C＝π，sin(A＋C)＝2sinAcos(A＋B)，所以sinB＝－2sinAcosC，结合正弦定理得b＝－2acosC，因为C＝eq\f(3π,4)，所以b＝eq\r(2)a，则b2＝a·2a，所以a，b，2a成等比数列．(2)解：S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(2),4)ab＝1，则ab＝2eq\r(2)，①由(1)知b＝eq\r(2)a，②联立①②得a＝eq\r(2)，b＝2.在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝2＋4－2×eq\r(2)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝10.所以c＝eq\r(10).4．(2019·濮阳三模)△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，c＝3.(1)求角A的大小；(2)若AD是BC边上的中线，AD＝eq\f(\r(19),2)，求△ABC的面积．解：(1)因为2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，所以2RsinB·sinB－2RsinA·sinA＝(b－c)sinC，所以bsinB－asinA＝bsinC－csinC，即b2－a2＝bc－c2，即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，又0°<A<180°，所以A＝60°.(2)以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，在△ABE中，∠ABE＝120°，AE＝eq\r(19)，由余弦定理得AE2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos120°，即19＝9＋BE2－2×3×BE×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，解得BE＝2(舍负)，所以AC＝2.故S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsin∠BAC＝eq\f(1,2)×3×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).5．(2017·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinA＝4bsinB，ac＝eq\r(5)(a2－b2－c2)．(1)求cosA的值；(2)求sin(2B－A)的值．解：(1)由asinA＝4bsinB及eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得a＝2b.由ac＝eq\r(5)(a2－b2－c2)及余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－\f(\r(5),5)ac,ac)＝－eq\f(\r(5),5).(2)由(1)，可得sinA＝eq\f(2\r(5),5)，代入asinA＝4bsinB，得sinB＝eq\f(asinA,4b)＝eq\f(\r(5),5).由(1)知，A为钝角，所以cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(2\r(5),5).于是sin2B＝2sinBcosB＝eq\f(4,5)，cos2B＝1－2sin2B＝eq\f(3,5)，故sin(2B－A)＝sin2BcosA－cos2BsinA＝eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))－eq\f(3,5)×eq\f(2\r(5),5)＝－eq\f(2\r(5),5).6．已知函数f(x)＝cosx(cosx＋eq\r(3)sinx)．(1)求f(x)的最小值；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(C)＝1，S△ABC＝eq\f(3\r(3),4)，c＝eq\r(7)，求△ABC的周长．解：(1)f(x)＝cosx(cosx＋eq\r(3)sinx)＝cos2x＋eq\r(3)sinxcosx＝eq\f(1＋cos2x,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝eq\f(1,2)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝－1时，f(x)取得最小值－eq\f(1,2).(2)f(C)＝eq\f(1,2)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2C＋\f(π,6)))＝1，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2C＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，因为C∈(0，π)，2C＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(13π,6)))，所以2C＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,