2024年中考数学训练 线圆最值（专项训练）（原卷版+解析）

02线圆最值（专项训练）

1.（2023秋•思明区校级期中）如图，在△ABC中，3c=2,点A为动点，在点

A运动的过程中始终有NA4c=45°,则△ABC面积的最大值为.

2.（2022吁B江区校级开学）如图，在AABC中，ZABC=90°,AB=8,点P

是A3边上的一个动点，以3尸为直径的圆交CP于点。，若线段AQ长度的

最小值是4,则△ABC的面积为.

3.（2022•观山湖区一模）如图，点尸是正六边形A3CDER内一点，AB=4,

当NAP3=90°时，连接PD,则线段PD的最小值是（）

AB

A.2V11-2B.2^/13-2C.6D.473

4.（2023•安徽一模）在Rt/XABC中，ZACB=90°,AC=8,3c=3,点。是

BC边上一动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E.则线段5E长度的最

小值为（）

C.V3

5.如图，矩形A3CD中，AB=4,BC=8,P是直线A3上的一个动点，AE=2,

△APE沿PE翻折形成△RPE,连接尸REF,则RC的最小值是，点

R到线段的最短距离是

6.如图，P是矩形ABCD内一点，AB=4,AD=2,AP±BP,则当线段。尸最

短时，CP=

02线圆最值（专项训练）

1.（2023秋•思明区校级期中）如图，在△ABC中，3c=2,点A为动点，在点

A运动的过程中始终有/痴。=45°,则△ABC面积的最大值为.

【解答】解：如图，△ABC的外接圆O。，连接。3、OC,

VZBAC=45°,

ZBOC=2ZBAC=2X45°=90°,

过点。作垂足为D,

•：OB=OC,

：.BD^CD=1BC=1,

2

VZBOC=90°,ODLBC,

.,.OD=1BC=I,

2

OB=H/QD2+BD2=近，

••,BC=2保持不变，

.•.3C边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大,

此时边上的高为：V2+1）

.'.△ABC的最大面积是：1X2X（V2+1）=&+L

2.（2022吁B江区校级开学）如图，在AABC中，ZABC=90°,AB=8,点P

是A5边上的一个动点，以为直径的圆交CP于点。若线段AQ长度的

最小值是4,则△ABC的面积为.

【解答】解：如图，取的中点T,连接AT,QT,BQ.

•••PB是O。的直径，

AZPQB^ZCQB^90°,

.•.。7=±3。=定值，AT是定值，

,JAQ^AT-TQ,

...当A,Q,T共线时，AQ的值最小，设BT=TQ=x,

在中，则有（4+x）2=^+82,

解得x=6,

：.BC=2x=n,

•••5^^=工43・3。=工X8X12=48,

22

故答案为：48.

3.（2022•观山湖区一模）如图，点P是正六边形A3CDER内一点，AB=4,

当NAP3=90°时，连接PD,则线段尸。的最小值是（）

A.2V11-2B.2^13-2C.6D.473

【解答】解：：AB=4,ZAPB=9Q°,

...点P在以AB为直径的圆弧上，

如图，取A3的中点。，连接。。，当。、P、。三点共线时，PD有最小值,

连接过点C作CHLBD于点H,

ED

,••点。为AB的中点，

：.OA=OB=OP=4^2=2,

•正六边形的每个内角为180°X(6-2)+6=120°,

•；CD=CB,

：.ZCBD=(180°-120°)4-2=30°,BD=2BH,

；.NOBD=120°-30°=90°,

在RtZkCBH中，CH=1CB=2>BH=

2

:.BD=4«,

在RtZXOBD中，。£>=62+(4。2=271§，

：.PD的最小值为OD-OP=2V13-2.

故选：B.

4.(2023•安徽一模)在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=3,点。是

边上一动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E.则线段BE长度的最

小值为()

22

【解答】解：如图，作以AC为直径的圆，圆心为。

•:E点在以CD为直径的圆上

：.ZCED=9Q°

：.ZAEC=180°-ZCED=900

.•.点E也在以AC为直径的圆上，

可得当。、E、3三点共线时，BE是最短,

：AC=8,

：.0C=4

VBC=3,NACB=90°

•**OB=/oc2+BC2=V16+9=5

'：0E=0C=4

：.BE=OB-0E=5-4=1

故选：A.

5.如图，矩形A3CD中，AB=4,BC=8,P是直线AB上的一个动点，AE=2,

△APE沿PE翻折形成△f'PE,连接PF、EF,则FC的最小值是

点R到线段BC的最短距离是.

【解答】解：连接CE,作EGLBC于G,

•；AE=EF=2,

.•.点/在以E为圆心，AE为半径的圆上运动,

在RtZ^CDE中，由勾股定理得，

CE=7DE2K：D2==2^13,

：.FC的最小值为CE-2=2A/13-2,

ZDAB=ZABC=ZBGE=90°,

・••四边形ABGE是矩形，

：.EG=AB=4,

点F到线段BC的最短距离是2,

故答案为：2Vl§-2,2.

6.如图，P是矩形A3CD内一点，AB=4,AD=2,AP±BP,则当线段。尸最

【解答】解：以为直径作半圆。，连接。£),与半圆。交于点P',当点

2

VAD=2,ZBAD=9Q°,

：.0D=2