2024年湖南省邵阳市绥宁县二模数学试题

数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求）.

1.设娓用字母表示的有理数,则下列各式中一定大于零的是（

A.x+2B.2xC.ND.x2+2

2.下列新能源汽车标志图案中,既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

A.2m+3n=5mnB.-c^b+ba2=0C.JV2+2A2=3x4D.3(Q+Z?)=3a+b

4.4月8日，为期三天的邵东第八届五金机电博览会圆满落幕，博览会参展人数达12万余人次，现场

交易额32亿元，签约供销项目133亿元，总成交额共计165亿元，创历史新高。165亿元用科学记数法

可以表示为（

A.0.165X10"元B.1.65X1IT元C.1.65X1()9元D.16.5X1()9元

5.三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点疏

胸延长线上，点的应止，AB//CF,/户/ACB=90°,N£=45°,oo

ZA=Q0°,贝1]/仲()

DC

A.10°B.15°C.20°D.25°

6.某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：则

这个队队员年龄的众数和中位数分别是年龄（单位：岁）1415161718

人数14322

A.15,16B.15,15

C.15,15.5D.16,15

7.如图，已知上A08,以点以圆心,适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于乙。两点，分别以

点C,〃为圆心，大于；CD长为半径作圆弧，两条圆弧交于上4。8内一点A连接OP,过点琢直线尸EHOA,

交出于点E,过点灯乍直线尸产//OB,交OA于点F.若上A08=600,OP

A.12j3cm2B.6』3cm2C.3j'3cm2D.2-j3cm2

8.如图，直径为10的。/经过点C（0,5）和点0（0,0）,方是碑由右侧。/优弧上一点,

则N"期余弦值为（）

A.1B.-C.—D.

242

9.甲、乙两地相距120km,一辆汽车上午9:00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提

高了30km/h,并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程“km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，该

车到达乙地的时间是当天上午（

A.10:35B.10:40C.10:45D.10:50

10.“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形,

这也是证明勾股定理的一种思想方法.如图所示，在矩形ABC。中（AB>AD）

以为边作正方形AOEF,在FE的延长线上取一点G,使得NDGC=90。，

过点。作±DG交AB于点H,过点7/作8K_LGC于点K.

若BF=2FH=2,则期为（）

A.4B.2+»/3C.1+、/3D.3\f2

二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分）.

11.式子立」有意义，则实数〃的取值范围是____________,

“一2

12.因式分解3x2-12=.

2

13.已知一元二次方程x+7x-5=0的两根为4、x2,则xj+xiXz+x,.,

14.分式方程」-=:的解为

2I

15.若圆锥的母线长为5cm,底面半径为3cm,则它的侧面展开图的面积为cm2（结果保留n）

16.在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到

白球的频率约为30%,估计袋中黑球有个

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数'-的图象

经过点C（3,m）.则点B的坐标是

yA

（第18题图）

18.如图，一块含45°的三角板的一个顶点4与矩形/式况勺顶点重合，直角顶点魇在边夕次,

另一顶点刀合好落在边切的中点处，若BC=12,则/温勺长为

三、解答题（共8个小题，共66分）.

19.（6分）计算：（TI-2024）°+|6-212sin60°-（；）"

2AfS32-i

20.（6分）先化简，再求值.、，其中x=3.

21.（8分）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试,

测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A,B,C,。表示，

并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

书写能力等级测试条形统计图

ABCD等级

请根据统计图中的信息解答以下问题；

（1）本次抽取的学生共有人，扇形统计图中/所对应扇形的圆心角是°,并把条形统计

图补充完整；

⑵若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有人.

（3）4等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的

“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率.

22.（8分）某市电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表,

用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件.网润=售价-进价）

种类真丝衬衣真丝围巾

进价（元/件）a80

售价（元/件）300100

（1）求真丝衬衣进价a的值.

（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，

真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍.如何进货才能使本次销售获得的利润最大?

最大利润是多少元？

23.（9分）如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图,AB、刀何分别绕点/、糜动,

测量知A3=10cm,BC=8cm.当AB,66$^动至=700,7ABe=650时，

求点生U直线/邱）距离.精确到0.1cm,参考数据：sin70。a；094cos70。a034、s；141）

J

图①图②

24.（9分）如图，AB是。0的直径，PD与。0相切于点C,与AB的延长线交于点D,DE±P0交P0的延

长线于点E,连接PB,ZEDB=ZEPB.

（1）求证：PB是。0的切线.（2）若PB=6,DB=8,求。0的半径.J'

金

25.（10分）【基础巩固】⑴如图1,在中，〃为BC上一点，连结A。，碟JA£＞上一点,

连结CE,若73AD=7ACE,CD=CE,求证：^ABD^^CAE.

【尝试应用】（2）如图2,在平行四边形ABC。中，对角线AC、BO交于点。，碟JOC上一

点，连结BE,7CBE=1DCO,BE=DO,若即=12,OE=5,求AC的长.

【拓展提升】⑶如图3,在菱形ABC。中，对角线AC、B。交于点0,少为中点，F为DC上

一点，连结。E、AF,1AEO=7CAF,延长AF交BC的延长线于点",AC-6,求菱

形ABC。的边长.

26.（10分）如图，已知二次函数y=4+6x+c经过4硒点，aLLx轴于点C,且点/（-

1,0）,C（4,0）,AC=BC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点8是线段/以上一动点（不与4£重合），过点，作x轴的垂线，交抛物线于点凡

当线段EF的长度最大时，求点阚坐标及4ABF的面积；

（3）点提抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△/次诚为直角三角形?

若存在，求出所有点取坐标；若不存在，请说明理由.

数学试卷答案

、选择题。

1、D2、A3、B4、B5、B6、A7、B、C9、

B10、C

二、填空题

n、a1且aH212、3x(x+2)(x-2)13、5414、x=-4

15、15Tl16、1417、(8,4)18、8

三、解答题

19、1-2V320、化简后的结果为三，最后的值为!

21、(1)4036条形统计图略(2)280

(3)图略，1

22、(1)依题意得:50a+80x25=15000,解得：a=260.答:a的值为260.

⑵设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾(300-x)件，依题

意得:300-xN2x,解得:xWlOO.

设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，则

w=(300-260)x+(100-80)(300-x)=20x+6000

.V20>0,..w随x的增大而增大，

.•.当x=100时，w取得最大值，最大值=20x100+6000=8000,此时300-

x=300-100=200.

答:当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大,最大利润

是8000元.

22、解:过点B作BM±AE,垂足为M,过点C作CN±AE,垂足为N,过点C

作CD±BM,垂足为D.

ZAMB=ZBME=ZCNM=ZCDM=ZCDB=90°四边形.

MNCD是矩形，，DM=CN,

在Rt^ABM中，ZBAE=70°,AB=10cm,ZABM=90°-ZBAE=20°

BM=AB•sin70。-10x0.94=9.4(cm),“上ABO65。,

::上CBD二上ABC-上ABM=45。,:±BCD=90。-上CBD=45。在

RtABCD中，BC=8cm,

:BD=BC•sin45。28x-=5.64(cm),

2

.:.DM=BM-BD=9.4-5.64^3.8(cm),.:.DM=CN=3.8cm,:

点C到AE的距离为3.8cm.

24、(1)证明：“在△口£()和△PB0中，上EDB=EPB,±D0E=±P0B,:上

0BP=±E=90o,

“0B为圆的半径，.：.PB为圆0的切线；

⑵解:在RtZiPBD中，PB=6,DB=8,根

据勾股定理得:PD=62+82=10,

“PD与PB都为圆的切线，：：PC=PB=6,

:DC=PD-PC=10-6=4,

在Rt^CDO中，设0C=r,则有D0=8-r,根

据勾股定理得：(8-r)2=r+42,

解得:r=3,

则圆的半径为3.

25、(1)证明:"CD=CE,:±CDE=±CED,

:180o-±CDE=180o-上CED,:±ADB=±CEA,XU±BAD=±ACE,

:AABDsACAE.

(2)解："四边形ABCD是平行四边形，

:B0=D0=^BD=^xl2=6,

:BE=D0=B0=6,BE0=±B0E,

:180o-±BE0=180o-上BOE,±BEC=±COD.

ZCBE=ZDC0,/.ABECACOD,设

OC=x,则CE=0C-0E=x-5,

,*.xi=9,x2=-4(舍去)，0C=9,

/.AC=20C=18;

DF5

(3)・・・记3

...设DF=5t,FC=3t,则CD=8t,二•四边形ABCD是菱形,

..\AB=AD=BC=CD=8t,AD//BC,A0=

；AC-x6=3,AC±BD,

/.ACGFsADAF,

CG_CF

t即

ADDF

CG-.，.CG=^t

记=r、

在RtZ^BOC中，VE为BC的中点,

0E=CE：BC=4t.

/.ZC0E=ZACE,/.ZA0E=ZACG,

又•.•NAE0=NCAF,AAOEAGCA

OEOA

，即

CG

4t

U，t2=-

6

IS

(舍去),

4

・•・AB=AD=BC=CD=8t=215,即菱形ABCD的边长为215.

26、(1)V^A(-1,O),C(4,0),.*.AC=5,0C=4,.*.AC=BC=5,・..B(4,5),

把A(-1,0)和B(4,5)代入二次函数y=x2+bx+c中得

16+4b+c=°5解得:b=-2