2024年中考数学训练-两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）（知识解读）

12两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）

（知识解读）

【专茎说跚】

“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基

本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应

用。

【方法技巧】

模型一“一线两点”型（一动+两定）

类型一异侧线段和最小值问题

问题：两定点A,B位于直线1异侧，在直线1上找一点P,使PA+PB值最小.

【解题思路】根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值即为线段AB的长.连接

AB交直线1于点P,点P即为所求.

A连接46交直A

,线/于点P\p

----------1------------------弋—I

•R

类型二同侧线段和最小值问题（将军饮马模型）

问题：两定点A,B位于直线1同侧，在直线1上找一点P,使得PA+PB值最小.

【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决.作点B关于1

的对称点夕，连接AB',与直线1的交点即为点P.

作8关于直线/

的对称点8',连

•A§接4夕,与直线/\AB

•交于点夕

----1------\z

R'

类型三同侧差最大值问题

问题：两定点A,B位于直线I同侧，在直线I上找一点P,使得|PA—PB|的值最

大.

【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA—PB|WAB,当A,B,P

三点共线时，等号成立，即|PA—PB|的最大值为线段AB的长.连接AB并延长，

与直线I的交点即为点P.

4连接48&

•.B并延长：

1与直线J钟

交于点夕

类型四异侧差最大值问题

问题：两定点A,B位于直线1异侧，在直线1上找一点P,使得|PA—PB|的值最大.

【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决.

4作点8关于直线/从

,的对称点8；7、产

B连接48'并延长，BP

与直线/交于点P

模型二“一点两线”型（两动+一定〉

问题：点P是NAOB的内部一定点，在0A上找一点M,在0B上找一点N,使得

△PMN周长最小.

【解题思路】要使△PMN周长最小，即PM+PN+MN值最小.根据两点之间线段

最短，将三条线段转化到同一直线上即可.

分别作点P关P：A

,于04、0B的、、/

//对称点P'、P",

•尸连接PP交N'T

uBOA、0B于点、u/v\|B

M、NP〃

模型三“两点两线”型（两动+两定）

问题：点P,Q是NA0B的内部两定点，在0A上找点在0B上找点N,使得四

边形PQNM周长最小.

【解题思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM+MN+NQ的最

小值即可，需将线段PM,MN,NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到

作点P关于0A的对称点，点Q关于0B的对称点.

＞分别作点P，。病

关于。4,。8的_

Q对称点P,连

08接P'Q',交。4,0N'"B

0B于点、M,N

【典例今新】

【典例1-1】基本模型

问题：如图，定点A,B位于动点P所在直线/同侧试确定点尸的位置，使AP+8尸的值

最小.

解题思路：

一找：作点B关于直线/的对称点5，连接AB,,与直线/交于点P；

二证：验证当A,P,8'三点共线时，4尸+2尸取得最小值.

三计算.

请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程.

A（定点）

\VB（定.点）

P

【典例1-2］模型演变

问题：如图，定点A,B位于动点P所在直线/同侧，在直线/上确定点尸的位置，使|必

-尸初的值最大.

解题思路：

一找：连接并延长，交直线/于点尸；

二证：验证当A,B,尸三点共线时，|加-尸2|取得最大值.

三计算.

请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程.

A・

B・

P

【典例1-3］模型演变

问题：如图，定点A,2位于动点尸所在直线/的两侧，试确定点尸的位置，使AP+BP

的值最小.

解题思路：

一找：连接AB交直线/于点P；

二证：验证当A,P,3三点共线时，AP+8P取得最小值.

三计算.

请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程.

【典例1-4］模型演变

问题：如图，定点A,2位于动点尸所在直线/的两侧，试确定点尸的位置，使|力-尸8|

的值最大.

解题思路：

一找：作点B关于直线/的对称点方，连接并延长，交直线于点P；

二证：验证当A,B,,P三点共线时，|E4-尸为取得最大值.

三计算.

请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程.

•A

-----------

•B

【变式1-1］如图，已知菱形ABC。的边长为4,/ABC=60°,点N为BC的中点，点M

是对角线AC上一点，则MB+MN的最小值为

A'D

M

【变式1-2］如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点。是对角线2。的中点，E是AB

边上一点，且AE=1,尸是CO边上一点，则|PE-尸O|的最大值为

【变式1-3］如图，在菱形ABC。中，AB=12,ZDAB^60°,对角线AC,2D交于点0,

点、E,P分别在BD,AB±,且BP=OE=4.点尸为AC上一点，则|PF-PE|的最大值

为.

【变式1-4］结论：如图，抛物线y=a/-6x-4与x轴交于，A(-1,0),8(4,0)两

点，与y轴交于点C,直线/为该抛物线的对称轴，点M为直线/上的一点，则MA+MC

的最小值为.

【典例2】模型分析

问题：点尸是/AOB内的一定点，点M,N分别为OA,上的动点，试确定点M,N

的位置，使△PMN的周长最小.

解题思路：

一找：分别作点尸关于。4,的对称点P,P"，连接PP“，分别交0A,于点

M,N；

二证：验证当P',M,N,P"四点共线时，△PMN的周长最小.

三计算.

注：当三个点均为动点时，先假定一个点为定点，再将其特化为“一定两动”问题

请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程.

【变式2-1］如图，在四边形ABCD中，ZBAD=121°,NB=/D=90°,点M、N分别

在BC、CO上，

(1)当NWW=NC时，ZAMN+ZANM=°；

(2)当△AAfN周长最小时，ZAMN+ZANM=°.

【变式2-2］如图，在边长为2的等边△ABC中，点P,M,N分别是BC,AB,AC上的动

点，则△尸MN周长的最小值为

A

【典例3】模型分析

问题：点P,。是/AOB内部的两定点，点M,N分别是。4,0B上的动点，试确定点

M,N的位置，使四边形尸MNQ的周长最小.

解题思路：

一找：作点P关于0A的对称点P，点。关于的对称点Q',连接PQ',分别交

0A,于点M,N；

二证：验证当P',M,N,Q/四点共线时，四边形尸QVM的周长最小.

三计算.

请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程.

【变式3-1］如图，已知正方形ABC。的边长为5,AE=2DF=2,点、G,H分别在CD,BC

边上，则四边形MGH周长的最小值为.

【变式3-2］如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=3,点E是AB的中点，若点尸，。分别

是边BC,CO上的动点，则四边形AEP。周长的最小值为.

【典例4-1】基本模型

问题：

如图，点A,8为直线/同侧两定点，M,N为直线/上的动点，且MN的长度为定值，

试确定点M,N的位置，使AM+MN+BN的值最小.

解题思路：

一找：以AM,MN为邻边.构造团,作点A'关于直线/的对称点A“，连接A

“B,交直线/于点N,再确定点M；

二证：验证当A“，N,8三点共线时，AM+脑V+BN的值最小.

三计算.

请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程.

【典例4-2】模型演变

问题：如图，直线。〃6,定点A,B分别位于直线。的上方和直线6的下方，M,N分别

为直线m6上的动点，且MNLa,试确定点M,N的位置，使AM+MN+BN的值最小.

解题思路：

一找：以AM脑V为邻边构造13AMNA',连接A'8；

二证：验证当A,N,B三点共线时，AM+MN+BN的值最小.

三计算.

请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程.

【变式4-1］如图，正方形ABCO内接于。0,线段在对角线8。上运动，若。。的面

积为2TT,MN=\,则AM+CN的最小值为

【变式4-2］如图，在矩形A3CD中，AB=M，BC=1,将△A3。沿射线方向平移得

到△AE。，连接8C,D'C,求BC+DC的最小值.

12两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）

（知识解读）

【I观说明】

“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基

本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应

用。

【方法技巧】

模型一“一线两点”型（一动+两定）

类型一异侧线段和最小值问题

问题：两定点A,B位于直线1异侧，在直线1上找一点P,使PA+PB值最小.

【解题思路】根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值即为线段AB的长.连接

AB交直线1于点P,点P即为所求.

A连接48交直A

,线/于点p\p

----------1------------------弋—I

•R

类型二同侧线段和最小值问题（将军饮马模型）

问题：两定点A,B位于直线1同侧，在直线1上找一点P,使得PA+PB值最小.

【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决.作点B关于1

的对称点玄，连接AB',与直线1的交点即为点P.

作8关于直线/

的对称点8',连

•AB接4夕，与直线/4B

•交于点夕

-------1---------

R'

类型三同侧差最大值问题

问题：两定点A,B位于直线I同侧，在直线I上找一点P,使得|PA—PB|的值最

大.

【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA—PB|WAB,当A,B,P

三点共线时，等号成立，即|PA—PB|的最大值为线段AB的长.连接AB并延长，

与直线I的交点即为点P.

A连接48A

..B并延长：

1与直线JP~l

交于点、P

类型四异侧差最大值问题

问题：两定点A,B位于直线1异侧，在直线1上找一点P,使得|PA—PB|的值最大.

【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决.

A作点8关于直线/4

"的对称点8：

B连接48'并延长，BP

与直线/交于点P

模型二“一点两线”型（两动+一定〉

问题：点P是NAOB的内部一定点，在0A上找一点M,在0B上找一点N,使得

△PMN周长最小.

【解题思路】要使周长最小，即PM+PN+MN值最小.根据两点之间线段

最短，将三条线段转化到同一直线上即可.

分别作点P关P'

于。4、0B的

对称点P'、R

连接P'P"交

BOA、0B于点,

M、N

模型三“两点两线”型（两动+两定）

问题：点P,Q是NAOB的内部两定点，在0A上找点M,在0B上找点N,使得四

边形PQNM周长最小.

【解题思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM+MN+NQ的最

小值即可，需将线段PM,MN,NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到

作点P关于0A的对称点，点Q关于0B的对称点.

＞分别作点2。病

Q对称点P,0,连

08接P'Q',交。4,0N'lB

于点

【尊例合新】

【典例1-1］基本模型

问题：如图，定点A,B位于动点P所在直线/同侧试确定点P的位置，使AP+8尸的值

最小.

解题思路：

一找：作点3关于直线/的对称点8,连接A",与直线/交于点尸；

二证：验证当A,P,8三点共线时，AP+BP取得最小值.

三计算.

请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程.

A（定点）

\B（定点）

P

【解答】解：如图，•••点8与点次关于直线/对称,

：.PB=PB

：.PA+PB=PA+PB'=AB',

此时PA+PB的值最小.

问题：如图，定点A,2位于动点尸所在直线/同侧，在直线/上确定点尸的位置，使|以

-尸目的值最大.

解题思路：

一找：连接AB并延长，交直线/于点尸；

二证：验证当A,B,尸三点共线时，|B4-尸司取得最大值.

二计算.

请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程.

A.

B.

--------P----------，

【解答】证明：如图，P为/上异于P的一点，连接P'4P'B,

在△ABP中，由三角形的三边关系得：\P'A-P'B\<AB,

,：PA-PB=AB,

：.\P'A-PB\<\PA=PB\,

...当4、B、P三点共线时，的值最大.

【典例1-3】模型演变

问题：如图，定点A,8位于动点尸所在直线/的两侧，试确定点尸的位置，使AP+B尸

的值最小.

解题思路：

一找：连接交直线/于点P;

二证：验证当A,P,3三点共线时，AP+3尸取得最小值.

三计算.

请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程.

【解答】解：图形如图所不：

,:P'A+P'BNAB,AB=PA+PB,

：.P'A+P'B^PA+PB,

：.AP+PB的值最小.

【典例1-4］模型演变

问题：如图，定点A,2位于动点P所在直线/的两侧，试确定点尸的位置，使|%-尸8|

的值最大.

解题思路：

一找：作点2关于直线/的对称点5，连接A3并延长，交直线于点尸；

二证：验证当A,B',P三点共线时，|E4-尸8|取得最大值.

三计算.

请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程.

•A

-----------

•B

【解答】解：如图，在直线乙上任意取一点P,连接PB',

V\P'A-P'B\^AB',

...当A,B',P'共线时，\P'A-P'2|的值最大，最大值为AB'的长.

【变式1-1］如图，已知菱形ABC。的边长为4,/ABC=60°,点N为BC的中点，点〃

是对角线AC上一点，则Affi+MN的最小值为.

【答案】24

【解答】解：如图，连接ON,DM,过点。作OHLBC交8C的延长线于点”.

•.•四边形A2C。是菱形，

：.AB=CB=CD=AD,ZABC=ZADC=6Q°,

.,.△ABC,ZvinC都是等边三角形，

：.B,。关于AC对称，

；.MB=MD,

：.MB+MN=MD+MN》DN,

'：AB//CD,

：.ZDCH=60°,

,：DH1.CH,

：.CH=CD'cos600=2,DH=2y/3,

,:BN=CN=2,C£)=4,

：.NH=CN+CH=4,

D^=VDH2+NH2=V（2\（3）2+42=2^7'

:.MB+MN/救,

：.MB+MN的最小值为277.

故答案为：20

【变式1-2］如图，在矩形A3CD中，AB=4,BC=6,点。是对角线3。的中点，E是A3

边上一点，且AE=1,尸是CD边上一点，则|PE-尸。|的最大值为.

AD

--------'C

【答案】Vio

【解答】解：如图，连接0E,过点0作于点H.

AD

:四边形ABC。是矩形,

：.ZA=ZOHB^90°,

：.OH//AD,

'：OB=OD,

：.AH=HB=2,

0H=—AD=3,

2

VA£=1,

：.EH=AH-AE=1.

0£=7EH2OH2=Vl2+32='

OP|WEO=VI5，

IPE-。尸1的最大值为

故答案为：Vio.

【变式1-3］如图，在菱形ABCD中，AB=12,ZDAB=60°,对角线4C,BD交于点O,

点E,P分别在BZ),AB±,且BP=Z)E=4.点尸为AC上一点，则|PF-尸囿的最大值

为.

D

【答案】2

【解答】解：在03上取一点E',使得=OE,中点E,作射线FE交AC于点P.

则PE=PE,

：.\PF-PE\=PF-PEWFE,

当P与P重合，P\E、尸三点在同一直线上时，|PF-PE|有最大值，即为FE的长，

在菱形ABCD中，ZABC=120°,

AZABD=60°,ZDAB=6Q°,

△ABO为等边三角形.

：.AB=BD=AD=12.

00=08=6.

；BF=DE=4,

：.OE=OE'=2,

：.BE'=OB-0E'=4,

：.BF=BE'

VZABD=60°,

.,.△BE户为等边三角形，

：.EF=FB=2.

故|PF-PE|的最大值为2.

故答案为：2.

【变式1-4］结论：如图，抛物线与x轴交于，A(-1,0),8(4,0)两

点，与y轴交于点C,直线/为该抛物线的对称轴，点M为直线/上的一点，则MA+MC

的最小值为.

【答案】4如.

【解答】解：连接BC交直线/于点，连接4,如图，

当x=0时，y—ax1-bx-4=-4,贝!]C(0,-4),

:抛物线尸症-灰^与无轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,

；.A、8点关于直线/对称，

：.M'B=M'A,

：.M'A+M'C=M'B+M'C=BC,

此时A+M'C的值最小，

<BC==4近,

：.M'A+M'C的最小值为4&,

当/点运动到点时，ML+MC有最小值，最小值为4注.

故答案为：472.

问题：点尸是/AOB内的一定点，点M,N分别为。4,上的动点，试确定点M,N

的位置，使△PMN的周长最小.

解题思路：

一找：分别作点P关于OA,。8的对称点P,尸“，连接PP“，分别交OA,08于点

M,N；

二证：验证当P,M,N,P"四点共线时，△PMN的周长最小.

三计算.

注：当三个点均为动点时，先假定一个点为定点，再将其特化为“一定两动”问题

请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程.

【解答】解：分别作点P关于。4、。8的对称点P〃、P',连接PP〃，交0A于

根据轴对称的性质可得MP=P"PN=P'N,

...△PMN的周长的最小值=〃P".

【变式2-1］如图，在四边形ABCD中，ZBAD=m°,/。=90°,点M、N分别

在BC、CD上，

(1)当/M4N=/C时，ZAMN+ZANM=°；

(2)当△AMN周长最小时，/AMN+NANM=°.

【答案】⑵，118

【解答】解：（1）,：ZBAD=nr,ZB=ZD=90°,

；./C=180°-121°=59°,

：.ZMAN=ZC=59°,

：.AMN+ZANM=1800-ZMAN=180°-59°=121°,

故答案为121.

(2)如下图，作A关于BC和CO的对称点A',A",

连接A'A",交2C于交,CD于N,

贝IJA'A〃即为△AMN的周长最小值.

作DA延长线AH,

vZDAB^nr,

：.ZHAA'=59°,

AZA4,M+ZA"=ZHAA'=59°,

'：ZMA'A=ZMAA',ZNAD=ZA",

S.ZMA'A+ZMAA'=NAMN,

ZNAD+ZA"=ZANM,

：.NAMN+/ANM

=ZMA'A+ZMAA'+ZNAD+ZA"

=2(ZA4zM+ZA")=2X59°=118°.

故答案为：118.

【变式2-2］如图，在边长为2的等边△ABC中，点P,M,N分别是BC,AB,AC上的动

点，则△PMN周长的最小值为

A

【答案】3

【解答】解：如图，连接AP,作点P关于AB,AC的对称点P,P〃，连接AP,AP",

P'P",P'P"分别交4B,AC于点M,N,连接尸M,PN,此时△2〃可的周长最小,

最小值=P尸"的长.过点A作AHLPP"于点

'：AP=AP'=AP",NMB=/P'AB,ZPAC=ZP"AC,

：.ZP'AP"=2ZPAB+2ZR\C=2(NE4B+NB4C)=120°,

：.ZP'=ZP"=30°,

\'AH.LP'P",

：.P'H=P"H=PA'•cos30°=近必，

2

：.P'P"=MPA,

...用最小时,p'p"的值最小,

:当E4L2C时，E4的值最小，此时E4=«,

：.P'P"的最小值为3,

：.4PMN的周长的最小值为3,

故答案为：3.

【典例3】模型分析

问题：点、P,。是NAOB内部的两定点，点、M,N分别是04,08上的动点，试确定点

M,N的位置，使四边形PMN。的周长最小.

解题思路：

一找：作点P关于04的对称点P,点Q关于OB的对称点Q',连接P'Q1,分别交

OA,OB于点Af,N；

二证：验证当P,M,N,Q'四点共线时，四边形PQNM的周长最小.

三计算.

请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程.

【解答】解：如图，分别作点P,。关于OA、OB的对称点P、Q',连接。Q'

交04于M,交OB于N,

根据轴对称的性质可得M,QN=Q'N,

.,•四边形PQNM周长的最小值=PQ'.

【变式3-1］如图，已知正方形ABCD的边长为5,AE=2DF=2,煎G,〃分别在CD,BC

边上，则四边形所G8周长的最小值为

【答案】10+2&.

【解答】解：作点E关于BC的对称点E',作点厂关于C。的对称点尸'，，连接£'

F交BC、CZ）于点X、G,则EH=EH,GF=GF,此时四边形斯G8周长取最小值，

EFGH周长=EF+EH+HG+FG=EF+EH+HG+FG=EF+EF

'：AE=2DF=1,

：.DF=1,AF=5-1=4,DF=\,BE=5-2=3,

尸=5+1=6,AE=5+3=8,

：.EF=10f

EF=>/AE2+AF2=722+42=2泥.

【变式3-2］如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=3,点E是A3的中点，若点P,。分别

是边BC,CQ上的动点，则四边形AEP。周长的最小值为.

【答案】3后+3

【解答】解:如图所示，作出点A关于CO的对称点4作出点E关于BC的对称点E'

连接A'E',分别交C。、BC于点、Q、P,

：.AQ=A'Q,EP=E'P,

，四边形AEP。的周长=A'Q+PQ+E/P+AE=A'E'+AE,此时周长最小，

：AB=6,BC=3,点E是AB的中点，

：.AD=3,AE=BE=3,

'：AD=AD'=3,AE=BE=BE'=3,

VAA/=6,AE'=9,

•'-A，E'=VAA72+AE72==3V13>

四边形4EPQ的周长=3，15+3,

故答案为：3g+3.

A

问题：

如图，点A,8为直线/同侧两定点，M,N为直线/上的动点，且的长度为定值，

试确定点M,N的位置，使AM+MN+BN的值最小.

解题思路：

一找：以AM,MN为邻边.构造团,作点A'关于直线/的对称点A“，连接A

“B,交直线/于点N,再确定点M；

二证：验证当A“，N,3三点共线时，AM+AW+BN的值最小.

三计算.

请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程.

【解答】解：如图，

•..四边形AM7VA'为平行四边形，

：.AA'=MN,AM=A'N,

..•点A'与点A”关于直线/对称,

：.NA'=NA",

：.AM+BN=A'N