辽宁省大连高新园区四校联考2024届八年级数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

辽宁省大连高新园区四校联考2024届八年级数学第二学期期末学业水平测试模拟试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每题4分，共48分）

1.已知一次函数y=kx+2,y随x的增大而增大，则该函数的图象一定经过（）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

2.如图，点A坐标为（3,0）,B是y轴正半轴上一点，AB=5,则点B的坐标为（）

A.(4,0)B.(0,4)C.(0,5)D.(0,商)

3.如图，在四边形ABC。中，AD^BC,点E、F、G、H分别是A3、BD,CD、AC的中点，则对四边形ETGH表

述最确切的是（）

A.四边形EVGH是矩形B.四边形EFGH是菱形

C.四边形EFGH是正方形D.四边形EFGH是平行四边形

一2一一

4.下列函数关系式：①y=-2x,②丫=-,③y=-2x2,④y=2,⑤y=2x-L其中是一次函数的是（）

A.①⑤B.①④⑤C.②⑤D.②④⑤

5.一组数据8,7,6,7,6,5,4,5,8,6的众数是（）

A.8B.7C.6D.5

6.如图，已知口AOBC的顶点O（0,0）,A（-1,2）,点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点。为圆心,

适当长度为半径作弧，分别交边OA,OB于点D,E；②分别以点D,E为圆心，大于^DE的长为半径作弧，两弧在

2

NAOB内交于点F；③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为（）

C.(3-y/5,2)D.(75-2,2)

7.在“爱我永州”中学生演讲比赛中，五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下：

甲：8、7、9、8,8

乙：7、9、6、9、9

则下列说法中错误的是（）

A.甲、乙得分的平均数都是8

B.甲得分的众数是8,乙得分的众数是9

C.甲得分的中位数是9,乙得分的中位数是6

D.甲得分的方差比乙得分的方差小

8.为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表，关于这10户家庭的月用电量

说法正确的是（）

月用电量（度）2530405060

户数12421

A.极差是3B.众数是4C.中位数40D,平均数是20.5

9.在菱形A5C。中A3=5,AC=6,边上的高为（）

A.4B.8C.4.8D.9.6

10.如图，在菱形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD和DA的中点，连接EF,FG,GH和HE,若

EH=2EF=2,则菱形ABCD的边长为（）

11.若分式士工的值为0,则x的值是（）

x+2

A.2B.-2C.2或-2D.0

12.一种微粒的半径是4x10-5米，用小数表示为（）

A.0.000004米B.0.000004米C.0.00004米D.0.0004米

二、填空题（每题4分，共24分）

13.平行四边形的一个内角平分线将对边分成3和5两个部分，则该平行四边形的周长是.

14.一次跳远中，成绩在4.05米以上的人有8人，频率为0.4,则参加比赛的运动员共有一人.

15.如图，是矩形的一条对角线，点E,F分别是3。，OC的中点.若A3=4,BC=3>,则AE+E厂的长为

16.已知一组数据10,10,x,8的众数与它的平均数相等，则这组数的中位数是.

17.一种盛饮料的圆柱形杯子（如图），测得它的内部底面半径为2.5cm,高为12cm,吸管放进杯子里，杯口外面至

少要露出5.2cm,则吸管的长度至少为cm.

18.如图，△ABC中，ZC=90°,AC=BC,AD平分/BAC交BC于点D,DE_LAB,垂足为E,且AB=10cm,

三、解答题（共78分）

19.（8分）某学校开展课外体育活动，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：武术、D：跑步四种活动项目•为了解学生

最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种）.随机抽取了m名学生进行调查，并将调查结果绘成如下统计图，请你结合

图中信息解答下列问题:

Wm=

（2）在扇形统计图中“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为一；

（3）请把图的条形统计图补充完整；

（4）若该校有学生1200人，请你估计该校最喜欢武术的学生人数约是多少？

20.（8分）如图，在nABCD中，点E,F在AC上，且NABE=NCDF,求证：BE=DF.

21.（8分）2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾按照“可回收物”、“有害垃圾”、

“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准.没有垃圾分类和未指定投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚.垃圾分类

制度即将在全国范围内实施，很多商家推出售卖垃圾分类桶，某商店经销垃圾分类桶.现有如下信息：

信息1：一个垃圾分类桶的售价比进价高12元；

信息2：卖3个垃圾分类桶的费用可进货该垃圾分类桶4个；

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）该商品的进价和售价各多少元？

（2）商店平均每天卖出垃圾分类桶16个.经调查发现，若销售单价每降低1元，每天可多售出2个.为了使每天获

取更大的利润，垃圾分类桶的售价为多少元时，商店每天获取的利润最大？每天的最大利润是多少？

22.（10分）为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h,精确到1/z,抽样调查了部分学生，并用

得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图.

请你根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）求出扇形统计图中百分数。的值为,所抽查的学生人数为.

（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全条形统计图.

（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数.

(4)如果该校共有学生1800名，请你估计睡眠不足(少于8小时)的学生数.

23.(10分)矩形ABCO中，O(0,0),C(0,3),A(a,0),(a>3),以A为旋转中心顺时针旋转矩形ABCO得

至U矩形AFED.

(1)如图1,当点D落在边BC上时，求BD的长(用a的式子表示)；

(2)如图2,当a=3时，矩形AFED的对角线AE交矩形ABCO的边BC于点G,连结CE,若ACGE是等腰三角

形，求直线BE的解析式；

(3)如图3,矩形ABCO的对称中心为点P,当P,B关于AD对称时，求出a的值，此时在x轴、y轴上是否分别

存在M,N使得四边形EFMN为平行四边形，若存在直接写出M,N坐标，不存在说明理由.

24.(10分)已知，正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点(点E不与B,C重合)，点F在线段AE上，过点F

的直线分别交AB、CD于点M、N.

(1)如图，求证：ZAEB=ZAMN；

(2)如图，当点F为AE中点时，连接正方形的对角线BD,MN与BD交于点G,连接BF,求证：BF=FG；

BC

（3）如图，在（2）的条件下，若BC=2EC,DG=2y/2>求BM的长度.

25.（12分）如图，在菱形ABC。中，NABC与NBAO的度数比为1：2,周长是8cm.

求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积.

26.如图，在平面直角坐标系中，直线4：y=-gx+6分别与x轴、y轴交于点5、C,且与直线〃：交于

点A.

（1）分别求出点A、B、C的坐标；

（2）直接写出关于x的不等式-gx+6>|x的解集；

（3）若O是线段上的点，且的面积为12,求直线的函数表达式.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、A

【解题分析】

试题分析：y随x的增大而增大，则k>0,则函数y=kx+l一定经过一、二、三象限.

考点：一次函数的性质.

2、B

【解题分析】

分析：根据勾股定理解答本题即可.

详解：因为点A坐标为（3,0）,B是y轴正半轴上一点，AB=5,

所以OB=存至=4,

所以点B的坐标为（0,4）,

故选B.

点睛：本题考查了两点之间的距离，解本题的关键是根据勾股定理解答.

3、B

【解题分析】

根据三角形中位线定理得到EH=，BC,EH〃BC,得到四边形EFGH是平行四边形，根据菱形的判定定理解答即可.

2

【题目详解】

解：•.•点E、H分别是AB、AC的中点，

/.EH=-BC,EH//BC,

2

同理，EF=-AD,EF//AD,HG=-AD,HG〃AD,

22

.\EF=HG,EF〃HD,

四边形EFGH是平行四边形，

VAD=BC,

/.EF=EH,

•••平行四边形EFGH是菱形，

故选B.

【题目点拨】

本题考查的是中点四边形的概念和性质、掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键.

4、A

【解题分析】

根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可.

【题目详解】

解：①y=-2x是一次函数;

2

②丫二--自变量次数不为1,故不是一次函数；

③y=-2x2自变量次数不为1,故不是一次函数；

④y=2是常函数；

⑤y=2x-l是一次函数.

所以一次函数是①⑤.

故选：A.

【题目点拨】

本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k/0,自变量次数为1.

5、C

【解题分析】

根据众数的含义：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数.

【题目详解】

在这组数据中6出现3次，次数最多，所以众数为6,故选：C.

【题目点拨】

本题考查众数的定义，学生们熟练掌握即可解答.

6、A

【解题分析】

依据勾股定理即可得至！IR3AOH中，AOf,依据NAGO=/AOG,即可得至!)AG=AO=7^,进而得出HG=6-1,

可得G(75-1,2).

【题目详解】

如图，过点A作AHLx轴于H,AG与y轴交于点M,

•.•□AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),

；.AH=2,HO=1,

.\R3AOH中，AO=

由题可得，OF平分NAOB,

•,.ZAOG=ZEOG,

XVAG/7OE,

.,.ZAGO=ZEOG,

.\ZAGO=ZAOG,

.*.AG=AO=75.

.*.MG=75-b

AG(75-1,2),

故选A.

【题目点拨】

本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，

过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律.

7、C

【解题分析】

分别求出甲、乙的平均数、众数、中位数及方差可逐一判断.

【题目详解】

选项A,由平均数的计算方法可得甲、乙得分的平均数都是8,此选项正确；

选项B,甲得分次数最多是8分，即众数为8,乙得分最多的是9分，即众数为9故此选项正确；

选项C,甲得分从小到大排列为：7、8、8、8、9,可得甲的中位数是8分；乙得分从小到大排列为：6、7、9、9、9,

可得乙的中位数是9分；此选项错误；

选项D,S；=gx[(8-8)2+(7-8)2+(9-8)2+(8-8)2+(8-8)2]=|x2=0.4,._=|x[(7-8)2+(9-8)

2+(6-8)2+(9-8)2+(9-8)2]=1x8=1.6,所以S看<S：,故D正确；

故答案选C.

考点：算术平均数；中位数；众数；方差.

8、C

【解题分析】

极差、中位数、众数、平均数的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案.

【题目详解】

解：A、这组数据的极差是：60-25=35,故本选项错误；

B、40出现的次数最多，出现了4次，则众数是40,故本选项错误；

C、把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数是(40+40)+2=40,则中位数是40,故本选项正确;

D、这组数据的平均数(25+30x2+40x4+50x2+60)-=-10=40.5,故本选项错误；

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了极差、平均数、中位数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念.

9、C

【解题分析】

先求出对角线BD长，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半和底乘以高求解BC边上的高.

【题目详解】

解：设AC与BD交于点O,

•四边形ABCD是菱形，

AAO1BO,且AC=2AO,BD=2BO.

在RtAAOB中利用勾股定理可得BO=后等=1.

/.BD=2BO=2.

/.菱形的面积为-BDxAC=-x6x2=21.

22

设BC变上的高为h,贝！］BCxh=2L即5h=21,h=1.2.

故选C.

【题目点拨】

本题考查菱形的性质，解题的关键是掌握菱形面积的两种计算方法.

10、A

【解题分析】

连接AC、BD交于O,根据菱形的性质得到ACLBD,OA=OC,OB=OD,根据三角形中位线定理、矩形的判定定理

得到四边形EFGH是矩形，根据勾股定理计算即可.

【题目详解】

连接AC、BD交于O,

•..四边形ABCD是菱形，

AACIBD,OA=OC,OB=OD,

•.•点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,

11

/.EF=-AC,EH=-BD,EF/7AC,EH〃BD,

四边形EFGH是平行四边形，EH±EF,

二四边形EFGH是矩形，

•；EH=2EF=2,

/.OB=2OA=2,

AB=y/oA1+OB2=Vl2+22=\[5•

故选：A.

【题目点拨】

考查的是中点四边形，掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键.

11、A

【解题分析】

分式的值为0,分子为0,也就是“2=0,即x=2,分母不能为0,x+2/O,即在-2,所以选A.

【题目详解】

根据题意x-2=0且*+2用，所以x=2,选A.

【题目点拨】

本题考查分式的性质，分式的值为0,分子为0且分母不能为0,据此作答.

12、C

【解题分析】

小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数

嘉，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【题目详解】

4x105=0.00004

故答案为：C

【题目点拨】

考查了科学计数法，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、22或1.

【解题分析】

根据题意画出图形，由平行四边形得出对边平行，又由角平分线可以得出^ABE为等腰三角形，可以求解.

【题目详解】

,/四边形ABCD为平行四边形，

；.AD〃BC,

/.ZDAE=ZAEB,

；AE为角平分线，

二ZDAE=ZBAE,

:.ZAEB=ZBAE,

，AB=BE,

；・①当BE=3时，CE=5,AB=3,

则周长为22；

②当BE=5时，CE=3,AB=5,

则周长为1,

故答案为：22或1.

【题目点拨】

本题考查了平行四边形的性质，结合了等腰三角形的判定.注意有两种情况，要进行分类讨论.

14、20

【解题分析】

根据频率的计算公式即可得到答案.

【题目详解】

解：8+0.4=20

所以可得参加比赛的人数为20人.

故答案为20.

【题目点拨】

本题主要考查频率的计算公式，这是数据统计的重点知识，必须掌握.

15、1

【解题分析】

先根据三角形中位线定理得到EF的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到AE的长，进而得出计算结

果.

【题目详解】

解：•.•点E,尸分别是BD,DC的中点，

二BE是ABC。的中位线，

:.EF=-BC=1.5

2

ZBAD=9Q°,AD=BC=3,AB=4'

BD=5

又YE是BO的中点，

.♦.RtAAB。中，AE=-BD=2.5,

2

.•.AE+EF=2.5+1.5』，

故答案为1.

【题目点拨】

本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线定理的运用，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的

一半；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

16、10

【解题分析】

试题分析：由题意可知这组数据的众数为10,再根据平均数公式即可求得x的值，最后根据中位数的求解方法求解即

可.

解：由题意得这组数据的众数为10

•.•数据10,10,x,8的众数与它的平均数相等

典型3"解得.二

,这组数据为12,10,10,8

•••这组数的中位数是10.

考点：统计的应用

点评：统计的应用是初中数学的重点，是中考必考题，熟练掌握各种统计量的计算方法是解题的关键.

17、18.2

【解题分析】

由于吸管、圆柱形杯内部底面直径与杯壁正好构成直角三角形，故可先利用勾股定理求出AC的长，进而可得出结论.

【题目详解】

解：如图；杯内的吸管部分长为AC,杯高AB=12cm,杯底直径BC=5cm；

RtAABC中，AB=12cm,BC=5cm；

由勾股定理得：AC=SIAB-+BC2=A/122+52=13(cm)；

故吸管的长度最少要：13+5.2=18.2(cm).

故答案为：18.2.

【题目点拨】

本题考查勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答.

18、10

【解题分析】

试题分析：根据角平分线的性质可得：CD=DE,4ACD和4AED全等，贝!JAE=AC,根据AC=BC可知AE=BC,则

△DEB的周^:=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=10cm.

三、解答题(共78分)

19、(1)50；(2)108°；(3)见解析；(4)1.

【解题分析】

(1)由B项目人数及其所占百分比可得总人数m；

⑵用360。乘以B项目对应百分比可得；

(3)根据各项目人数之和为50求得A项目人数即可补全图形;

(4)总人数乘以样本中C项目人数所占比例即可得.

【题目详解】

⑴m=15+30%=50,

故答案为50；

(2)在扇形统计图中“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360x30%=108，

故答案为108;

⑶A项目人数为50—(15+5+10)=20人,

(4)估计该校最喜欢武术的学生人数约是1200义点=120人.

【题目点拨】

本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图

能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

20、证明见解析.

【解题分析】

利用ASA即可得证；

【题目详解】

•四边形ABCD是平行四边形，，AB〃CD,AB=CD,；AB〃CD,AZBAE=ZDCF

ZABE=ZCDF

.•.在△ABE和△CDF中，＜AB=CD,A△ABECDF,.,.BE=DF.

ZBAE=NDCF

考点：L平行四边形的性质；2.三角形全等的判定与性质.

21、(1)进价为36元，售价为48元；(2)当售价为46元时，商店每天获利最大，最大利润为：200元.

【解题分析】

(1)根据题意，设一个垃圾分类桶的进价为x元，则售价为(x+12)元，列出方程，解方程即可得到答案；

(2)根据题意，可设每天获利为w,当垃圾分类桶的售价为y元时，每天获利w最大，然后列出方程，解出方程即

可得到答案.

【题目详解】

解：（1）设一个垃圾分类桶的进价为X元，则售价为（X+12）元，则

3xx+12=4x,解得：x=36,

.,.售价为：36+12=48元.

答：一个垃圾分类桶的进价为36元，售价为48元；

（2）设每天获利为w,当一个垃圾分类桶的售价为y元时，每天获利最大，则

w=（y-36）x[16+2（48-y）],

整理得：w=-2（y-46）2+200；

.•.当y=46时，商店每天获利最大，最大利润为：200元.

【题目点拨】

该题以二次函数为载体，以二元一次方程组的应用、二次函数的性质及其应用为考查的核心构造而成；解题的关键是

深入把握题意，准确找出命题中隐含的数量关系；灵活运用有关性质来分析、判断、解答.

22、（1）45%,60人；（2）18人，条形统计图见解析；（3）众数7,平均数7.2；（4）1170人.

【解题分析】

（1）用1减去每天的平均睡眠时间为6小时，8小时，9小时所占的百分比即可求出a的值，用每天的平均睡眠时间

为6小时的人数除以其所占的百分比即可得到总人数；

（2）用总人数乘以每天的平均睡眠时间为8小时所占的百分比即可求出睡眠时间为8小时的人数，用总人数乘以a的

值即可求出睡眠时间为7小时的人数，然后即可补全条形统计图；

（3）根据众数和平均数的定义计算即可；

（4）先计算出睡眠时间少于8小时的人所占的百分比，然后用总人数1800乘以这个百分比即可得出答案.

【题目详解】

（1）a=1-20%-30%-5%=45%,

所抽查的学生人数为12+20%=60（人）；

（2）平均睡眠时间为8小时的人数为60x30%=18（人），

平均睡眠时间为7小时的人数为60x45%=27（人），

条形统计图如下：

(3)由扇形统计图可知，睡眠时间为7小时的人数最多，所以这部分学生的平均睡眠时间的众数为7,平均数为

12x6+27x7+18x8+19x3„

-----------------------------=7.2Q；

60

(4)1800x12+27=1170(A)

60

【题目点拨】

本题主要考查条形统计图和扇形统计图，掌握条形统计图和扇形统计图以及众数，平均数的求法是解题的关键.

_____33

23、(1)BD=7a2-9；⑵丫=-x+6；(3)M(-6，0),N(0,-)

22

【解题分析】

(1)如图1,当点D落在边BC上时，BD2=AD2-AB2,即可求解；

(2)分CG=EG、CE=GE、CE=CG三种情况分别求解；

(3)①由点P为矩形ABCO的对称中心，得到「求得直线PB的解析式为丁颇=~Xt得到直线AD的解析式

3a2r-

为：丁二一2%+幺，解方程即可得到结论；②根据①中的结论得到直线AD的解析式为y=-氐+9,求得

a3

ZDAB=30°,连接AE,推出A,B,E三点共线，求得£(36,6),Fl|V3,|l,设M(m,0),N(0,n),解方

程组即可得到结论.

【题目详解】

(1)如图1,

在矩形ABC0中，ZB=90°

当点D落在边BC上时，BD2=AD2-AB2,

VC(0,3),A(a,0)

.\AB=0C=3,AD=A0=a,

2

，BD=y/a-9；

(2)如图2,连结AC,

•；a=3,.\0A=0C=3,

矩形ABCO是正方形,.\NBCA=45°,

设NECG的度数为x,

，AE=AC,；.NAEC=NACE=45°+x,

①当CG=EG时，x=45°+x,

解得x=0,不合题意，舍去；

②当CE=GE时,如图2,

NECG=NEGC=x

VZECG+ZEGC+ZCEG=180°,

：.x+x+(45°+x)=180°,解得x=45。，

.-.ZAEC=ZACE=90°,不合题意，舍去；

③当CE=CG时，NCEG=NCGE=45°+x,

VZECG+ZEGC+ZCEG=180°,

x+(45°+x)+(45°+x)=180°,解得x=30°,

/.ZAEC=ZACE=75O,ZCAE=30°

如图3,连结OB,交AC于点Q,过E作EHLAC于H,连结BE,

；.EH=BQ,EH//BQ且NEHQ=90°

...四边形EHQB是矩形

，BE〃AC,

设直线BE的解析式为y=-x+b,

•点B(3,3)在直线上，则b=6,

直线BE的解析式为y=-x+6；

(3)①；点P为矩形ABCO的对称中心，

••・侯＞

VB(a,3),

...PB的中点坐标为：

3

...直线PB的解析式为y=-x,

a

•・•当P,B关于AD对称，

AAD1PB,

a2

直线AD的解析式为：y=--x+—,

a3

•直线AD过点||,；・2=——a2+—，

U4；443

解得：a=±3g,

■23,

**•a=3y/39

②存在M,N；

理由：Va=3^/3,

・•・直线AD的解析式为y=-&x+9,

・・・・・・NDA0=60°,

AZDAB=30°,

连接AE,

VAD=OA=3V3,DE=OC=3,

・・・NEAD=30°,

・・・A,B,E三点共线，

AAE=2DE=6,

设M(m,0),N(0,n),

四边形EFMN是平行四边形,

3y/3+tn=--^3+0

|3,

6+0=-+«

[2

373

m--------

解得：2,

3

n=—

[2

3l3

M(—v3,0)»N(0,—).

22

【题目点拨】

本题考查的是一次函数综合运用，涉及到正方形和等腰三角形性质、圆的基本知识，其中(2),要注意分类求解，避

免遗漏.

24、(1)见解析；(2)见解析；(3)BM=3.

【解题分析】

(1)由正方形的性质得出NB=90。，得出NBAE+NAEB=90。，由垂直的性质得出NBAE+NAMN=90。，即可得出结

论；

(2)连接AG、EG、CG,证明AABGgzXCBG得出AG=CG,ZGAB=ZGCB,证出EG=CG,由等腰三角形的性

质得出NGEC=/GCE,证出NAGE=90。，由直角三角形斜边上的中线性质得出BF=4AE,FG=-AE,即可得出结

22

论;

(3)过G作PQ_LAD交AD于点P,交BC于点Q,证明DP=PG=2,连接ME,证明MN是AE的垂直平分线,

得AG=EG,AM=EM,再证明VAGPMVGEQ得EQ=PG=2,得CQ=PD=2,进而得AB=5C=8,

RtVMBE中，由勾股定理得加32+5石2="石2,代入相关数据，从而得出结论.

【题目详解】

(1)(1)证明：•.•四边形ABCD是正方形，

/.ZB=90o,

.,.ZBAE+ZAEB=90°,

•；MN_LAE于F,

.IZBAE+ZAMN=90°,

/.ZAEB=ZAMN；

(2)证明：连接AG、EG、CG,

•.•四边形ABCD是正方形，

，AB=BC,ZABG=ZCBG=45°,ZABE=90°,

在AABG和ACBG中，

AB=BC

<ZABG=ZCBG,

BG=BG

.,.△ABG^ACBG(SAS),

.♦.AG=CG,ZGAB=ZGCB,

；MN_LAE于F,F为AE中点，

；.AG=EG,

；.EG=CG,

:.ZGEC=ZGCE,

.•.ZGAB=ZGEC,

VZGEB+ZGEC=180°,

.\ZGEB+ZGAB=180°,

V四边形ABEG的内角和为360。，ZABE=90°,

.,.ZAGE=90°,

在RtAABE和RtAAGE中，AE为斜边，F为AE的中点，

11

.\BF=-AE,FG=-AE,

22

.,.BF=FG；

(3)过G作P。，AD交AD于点P,交BC于点Q,则NAPG=ZDPG=90°，NEQG=NDPG=90°,

RtVDPG中，NDPG=9b，ZADG=45°，

:./PGD=ZADG=45：

DP=PG

VDP2+PG-=DG2，

:.2DP-=(2A/2)2,

ADP=2即DP=PG=2

连接ME：MNLAE于F,F为AE的中点，

；.MN是AE的垂直平分线

/.AG^EG,AM=EM

由(2)知政=FU,BF=-AE=AF=EF,

2

...FG=AF=EF,

又NAFN=9(f，

:.ZAGF=NEGF=45°，

•••ZAGE=90°，

Nl+N2=90°,

又N2+N3=90°，

/.Z1=Z3

...NAGP=VGE(2(A45)

，EQ=PG=2

'：ZDPQ=ZPQC=