广西贵百河2023-2024学年高二年级下册4月新高考月考测试数学试卷（含答案解析）

广西贵百河“2023-2024学年高二下学期4月

新高考月考测试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，在复平面内，复数4,Z2对应的点分别为Z-Z2,则复数2为（）

一一Z2

2--f

孕______1।

-^2O1~x

A.-iB.-1C.-3iD.-3

2.已知等比数列｛%｝的公比为3,外+。4=12,贝（）

A.20B.24C.28D.32

3.函数/'（x）=T3+3sinx的图象在点/（0J（0））处的切线方程是（）

A.x-3y=0B.3x-y=0C.x+3y=0D.3x+y-0

4.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办

了“学党史、育文化的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩

取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（）

A.。的值为0.005B.估计这组数据的众数为75分

C.估计这组数据的第85百分位数为85分D.估计成绩低于60分的有250人

5.若实数满足/+丁=1,则匕］的最小值等于.

x-1

A.-B.-C.—D.2

442

D

6.在AASC中，角4伐。的对边分别为。也。，若6sinC=ccos—且

2

\CA+CBy\CA-CB\,则4=()

试卷第1页，共4页

7.意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,

8,13,21,34,55,…，即尸⑴=尸(2)=1,F(n)=F(n-l)+F(n-2)(«>3,n&N*),

此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余

数构成一个新数列缶,｝,则数列｛%｝的前2024项的和为()

A.1348B.675C.1349D.1350

8.已知/(x)是定义域为R的偶函数，且在(-应0)上单调递减，

004

«=/(lnl.O4),Z)=/(l.O4),C=/(e),贝I］()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

二、多选题

9.下列命题正确的有()

=

A［(丁cosxA)xsin?x+cosx

B.已知函数/(x)在R上可导，若/'(1)=2,则1向”1+一)-"1)=2

故一°Ax

C.已知函数/'(x)=ln(2x+l),若/=则

D.设函数的导函数为/'(x),且/'(》)=*+3矿⑵+lnx,则八2)=-；

10.已知。>0,函数/(x)=cos(0x+:|,下列选项正确的有()

A.若/(X)的最小正周期7=：则。=4；

JT

B.当°=2时，函数/(x)的图象向右平移;后得到g(x)=cos2x的图象；

C.若〃X)在区间(土金上单调递增，则。的取值范围是%?；

D.若/(“在区间［0,可上有两个零点，则。的取值范围是1彳；

H.如图，已知正方体NBCD-44GA的棱长为2,E,尸分别是棱"4,4A的中点,

点尸为底面/3C。内(包括边界)的动点，则以下叙述正确的是()

试卷第2页，共4页

A.过3,E,厂三点的平面截正方体所得截面图形有可能为梯形

B.存在点P,使得GPL平面2环

C.若点P到直线与到直线的距离相等，则点尸的轨迹为抛物线的一部分

D.若直线R尸与平面均如无公共点，则点尸的轨迹长度为石

三、填空题

12.设集合M=司2,>1},JV={x|log2A<l},则WcN=.

13.公司要求甲、乙、丙3个人在各自规定的时间内完成布置的任务，已知甲、乙、丙

221

在规定时间内完成任务的概率分别为丁，f,则3个人中至少2人在规定时间内完

534

成任务的概率为.

14.已知双曲线C：W-『l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为片(-c,O),g(c,O),过点片作

ab

斜率为2的直线与C的右支交于点p，且点刊满足2号江=9+函，且月应，辟，

则C的离心率是.

四、解答题

15.记等差数列{4}的前"项和为S"，已知$5=85,且4=7%.

⑴求巴和S“；

(2)设瓦=二一,求数列低}的前〃项和

anan+\

16.已知函数/(%)=0^+历：2+芯+1,当x=l时，函数〃x)有极值1.

(1)求函数“X)的解析式；

(2)若关于x的方程/(x)-机=0有一个实数根，求实数m的取值范围.

17.如图，在四棱锥中，AP/。为正三角形，底面为直角梯形，AD//BC,

试卷第3页，共4页

AD1CD,AD=IBC=2,CD=也,PB=巫.

P

(1)求证：平面尸ND_L平面/BCD；

(2)点M为棱PC的中点，求的与平面PCD所成角的正弦值.

22

18.已知椭圆'+谷=l(a>6>0)过点42,1),焦距为26.过2(3,0)作直线/与椭圆

ab

交于C、。两点，直线NC、40分别与直线x=3交于£、F.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)记直线/C、AD的斜率分别为匕、k2,证明匕+质是定值；

(3)是否存在实数4,使恒成立.若存在，请求出X的值；若不存在，请

说明理由.

13

19.函数/(x)=a1wc+—x2~^a+\)x+—{a>0).

(1)求函数/(x)的单调增区间；

(2)当4=1时，若/(演)+/(工2)=0，求证：玉+%2>2；

(3)求证：对于任意〃6N*都有21n(〃+l)+>n.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】利用复数的几何意义得到复数4，z2,再利用复数的四则运算即可得解.

【详解】依题意，在复平面内，复数z，Z2对应的点分别为Z1,Z2,

贝UZ]=1+2i,z2=—2+z,

所以幺=1+方=(1+2。(-2")=_

所以z?-2+i(-2+i)(-2-i)

故选：A.

2.D

【分析】根据题意结合等比数列性质运算求解.

【详解】由题意可知=生；他=4,%+%=3(%+。4)=36,

所以%—4=(%+%)—("i+%)=36_4=32.

故选：D.

3.B

【分析】利用导数的几何意义求切线方程.

【详解】因为/Xx)=-x3+3sinx,所以"0)=0,所以切点为4。,。)，又八x)=-3—+3cosx,

由导数的几何意义知函数的图象在点A处的切线斜率左=/'(0)=0+3cos0=3,

故得函数的图象在点A处的切线方程是＞-0=3(》-0),即为3x7=0.

故选：B

4.C

【分析】由频率分布直方图面积之和为1可计算。从而判断A,由众数定义可判断B,计算

低于60(分)的人数即可判断D,根据百分位数的定义计算即可判断C.

【详解】根据频率分布直方图可知:10(2a+3a+3a+6a+5a+a)=1,即a=0.005,故A正确；

由图易得在区间［70,80)的人最多，故可估计这组数据的众数为75,故B正确；

10x0.005x(2+3)x1000=250,故成绩低于60(分)的有250人，即D正确；

由图中前四组面积之和为：(2+3+3+6)x0.005x10=0.7,

图中前五组面积之和为：(2+3+3+6+5)x0.005x10=0.95,

故这组数据的第85百分位数在第五组数据中，

答案第1页，共16页

设这组数据的第85百分位数为加，

则有0.7+5x0.005（机-80）=0.85,

故〃?=86,即估计这组数据的第85百分位数为86分，故C错误.

故选：C.

5.B

【分析】先根据叼满足的条件画出圆/+/=1,再设左=匕1,利用上的几何意义求最值,

只需求出过定点尸（1,2）的直线是圆Y+/=1的切线时,直线尸。的斜率取得最值，从而得到左

的最小值.

【详解】作出简图如下图所示：

设左=匕1,则＞-2=左（》-1）表示恒过定点尸。,2）的直线尸。上去掉点尸（1,2）的部分，要

x-1

求T的最小值，则转化为求恒过定点P（l,2）的直线PQ的斜率k最小,

因为实数X，y满足/+/=1,所以当直线尸。是圆Y+/=1的切线时，左取得最值，

则此时圆/+/=1的圆心。（0,0）到直线y-2=Mx-l）的距离d=解得左=：,

过点P的直线X=1也是圆的切线，但X=1的斜率不存在，所以二最小值为3.

X-14

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，关键在于将三转化为直线的斜率，从直

x-1

线与圆相切时取得最值，属于中档题.

6.A

【分析】先利用正弦定理边化角整理求得5,在将条件中的向量等式两边平方可求得C,进

而可求A.

D

【详解】因为6sinC=ccos—,

2

答案第2页，共16页

由正弦定理得sinBsinC=sinCeos-,

2

又sinCW0,所以sin5=cos—,

2

BBBB

所以2sin—cos一=cos一,又cos一。0,

2222

所以sin与=1,因为0＜与＜£,

2222

所以《=BP3=?

263

又|0+行|=|0-屈|两边同时平方得+赤2+20.屈=02+无2-2刀.而，

JT

即05•赤=0，所以。4_LC8,C=5，

,兀兀兀

A=71------=—.

326

故选：A.

7.D

【分析】由已知条件写出数列的前若干项，观察发现此数列周期为3,再利用数学归纳法证

明猜想，从而可求得答案.

【详解】依题意，若4=0,等价于尸⑺为偶数，若。"=1,等价于尸⑺为奇数，

%—1,。2=1，。3=0，。4=1，。5=1，。6=03，，，

l,n=3k-2

猜想：?=＜1,〃=3左一1,左EN*,

0,n=3k

当左=1时，％=1，&=1，“3=0成立；

假设当左=?Wl（meN*）时，a3m_2=1,a3„,_1=L%叫=0成立，

则下（3加-2）,尸（3机-1）为奇数，F（3m）为偶数;

当左=机+1时，则尸（3加+1）=尸（3加-1）+尸（3加）为奇数，

F（3m+2）=F（3m）+F（3m+l）为奇数，F（3m+3）=F（3加+1）+尸（3机+2）为偶数，

故%m+i=1，%m+2=1,%，"+3=0符合猜想,

答案第3页，共16页

\ji=3k-2

因此=T，"=3左-1#eN*,a3k_2+a3k__x+a3t=2,左eN*,

Q,n=3k

所以数列｛%｝的前2024项的和为674((71+%+%)+%+%=674x2+1+1=1350.

故选：D

【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和,

利用递推关系求数列中的项或求数列的和：

(1)项的序号较小时，逐步递推求出即可；

(2)项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.

8.A

【分析】构造函数Mx)=e:(x+1),求导确定其单调性，根据单调性确定e°。1.04的大小,

通过对数函数的性质确定lnL04,1.04的大小，最后根据“X)的单调性得答案.

【详解】因为/(x)是定义域为R的偶函数，且在(-巴0)上单调递减，

所以在(0,+“)上单调递增；

lnl.04<lne=l<1.04,即Ini.04<1.04；

令/z(x)=eJ-(x+1),

当x>0时，h'^x)=er-1>0,则单调递增，

所以MO.O4)=e°°4-(o.O4+i)=e°g-LO4>//p)=0,

即e°04>1,04,

所以e°°4>1,04>lnl.04.

而/(x)在(0,+司上单调递增，

故有)(1111.04)</(1.04)</卜°6),即"6<c.

故选：A.

9.BC

【分析】根据导数的定义可判断A的正误，根据导数的四则运算可判断AD的正误，根据复

合函数的导数的运算规则可判断C的正误.

答案第4页，共16页

・、注kn、r_LF，/cos'、,-xsinx-1xcosx-xsinx-cosx,,.

【详解】对于A,(——)=----------2---------=---------2-------，故A4错A+4误.

XXX

对于B,+⑴=r(1)=2,故B正确.

-0Ax

1021

对于若/'‘(/)=1,贝即/=彳，故c正确.

2x+12x+lZXQ+12

11Q

对于D,7'(无)=2x+3/'(2)+—,故/'(2)=4+3/'(2)+彳，故八2)=—,故D错误.

x24

故选：BC.

10.AC

【分析】利用周期公式可判断A正确；由平移规则可求判断B错误；由余弦函数图像性质

兀12兀

71----<—X——

22。

TimTT

可得-+->-n+2kn,k^Z,解不等式可判断C正确；根据零点个数可求得

26

71

coil+—<2左兀,keZ

6

兀7T兀__.7

/3WOTT+V〈5兰，即可得。的取值范—围.是4-，41,可得D错误.

【详解】对于A,若/（X）的最小正周期？=、，可得7=1=1,可得。=4,即A正确;

对于B,当0=2时，可得/（x）=cos[2x+\,〃x）的图象向右平移看后得到

g（x）=cos（2（x-[）+e[=cos[2xq]即B错误；

对于C,由0>0可知若/（X）在区间（!■,[上单调递增，可得0尤+巳€（詈+2,0兀+

7112K

71----<—X——

22。

a><2

TICD兀、

因此需满足<-----1—2—兀+2左兀,左£Z,角牛<71

26---\-^k<a)<-----F2k

兀I36

coil+—<2攵兀,keZ

6

511

显然当k=1时符合题意，即可得,所以C正确;

3~6

7171

对于D,当xe[0,可时,S+《£一,(DTI-\----,

66

若/（x）在区间[0,可上有两个零点，可得+解得。V0<£；

26233

即0的取值范围是所以D错误；

故选：AC

答案第5页，共16页

11.AC

【分析】找到过B,E,厂三点的平面判断A,根据题意，建立适当的空间直角坐标系，求

出平面B斯的法向量，结合直线与平面的平行和垂直关系判断BD,找出点尸的轨迹，即可

判C.

【详解】对A,连接万G，3G，/。，E,尸分别是棱44，4。的中点，

则EF//AD，又,故EF//BC,,

故过B,E,厂三点的平面截正方体所得截面为四边形8所G，且为梯形，故A正确;

根据题意，以点。为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、了、z轴建立如图所示

的空间直角坐标系,

则3(1,1,0)、E(l,0,；)、尸(1,0/)，2(0,0,1),C"0,1,1),

/2.

设点P(a,b,0),其中04/41,

fiE=(0-l,1),而=(一；,0,；),

m-BE=-y-\■—z=0

设平面BE厂的法向量为比=(x),z),由，2

--*

m-EF=——x+—z=0

122

取z=2,可得而=(2,1,1),

答案第6页，共16页

对B,q?=(a,/7-l,-l),若存在点P,使得GP，平面尸，则彳//碗，

a—24

则甲=4获，即卜-1=2,无解,故不存在点夕，使得G尸，平面5斯，B错误；

—1=2

对C,易知_L平面48C2BPU平面ZBCQ,贝!J64_LAP,

若点P到直线BB,与到直线AD的距离相等，则b=BP=[("一?+牛-咪,

平方整理得(。-炉-26+1=0,则点尸的轨迹为抛物线的一部分，C正确；

对D,取=(a,b,-l),由题意可知，，尸〃平面AEF,则方R加=2a+b-2=0,

令b=0,可得。=1；令6=1,可得“=g,

易知点P的轨迹交线段于点/(1,0,0),交线段BC的中点M(g,l,0),

即尸点轨迹为线段

22

因此点P的轨迹长度为|AM^J(l-ly+(0-1)+(0-0)=。，故D错误.

故选：AC

【点睛】关键点点睛：本题考查截面问题和线面关系，关键是利用空间向量运算求解.

12.{x|0<x<2}

【分析】解指对数不等式化简集合M,N,再利用集合的交集运算即可得解.

【详解】因为M=,已>1}=卜,>2。}=5上>0},

N=|x|log2x<1}=1x|log2x<log22j=1x|0<x<2},

所以McN={x[0<x<2}.

故答案为：{x|0<x<2}.

2,

13.-/0.4

5

【分析】由互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式求解.

【详解】3个人中至少2人在规定时间内完成任务，即在规定时间内3人中恰有2人完成任

2212212212212

务或3人者B完成任务.»^P=|x|x(l-l)+|x(l-1)xl+(l-1)x|xl+|x|xl=|.

答案第7页，共16页

2

故答案为：

52

14.-/I-

33

【分析】根据题意得到耳M是线段与P的垂直平分线，从而得到|尸巴卜2c,再利用

tan/N耳0=（推得|尸耳|=46,结合双曲线的定义得到关于。也c的齐次方程，进而得解.

【详解】如图，直线片P的斜率为

由2询=/+丽，得点”为尸片的中点，

又硒工扉,所以是线段片尸的垂直平分线，所以忸用=|££|=2c,

过点。作ON，尸乙于点N,由已知得tan/NFQ=1,

所以sin/N/O=cesNNFQ-tanNNFQ=

cbc

ON

所以=sinNNFQ=：,即|ON|=a,所以=Jc?_力=°,

OF,

又ON"MF.。为耳片的中点，所以|孙|=2|明|=26,所以|尸周=46,

由双曲线的定义可得1mH尸闾=4b-2c=2a,即2b=c+a,

所以4〃=（c+a）2,可得4（，-叫=匕+4,整理得3c：-2明-5力=0,

即3e2-2e-5=0,解得e=g或e=-l（舍去），

hn

又题中直线与C的右支有交点，所以即/>/,

ab

*

所以02—/>/,即C2>2/,所以斗>2,即e>也，

答案第8页，共16页

所以C的离心率为g.

故答案为：

【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：

①求出a，c,代入公式e=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于a/,c的齐次式，结合〃=/一/转化为a,c的齐次式，然后

等式（不等式）两边分别除以“或力转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e

的取值范围）.

2

15.（l）a„=6/7-1；Sn=3n+2n；

【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前〃项和;

（2）利用裂项相消法求和.

【详解】（1）设｛%｝的公差为d,因为工=5a3=85,所以4=17,

又4=741，所以17+34=7（17—24）,解得d=6,

所以%-a3+(〃-3”=17+(〃-3)x6=6〃一1,

几(％+〃〃)n(5+6F?-1)

2

二3?+3?

22

7555/11、

b=-------=------------------=------------------

〃anan+\(6〃-1)(6〃+5)6(6〃-16〃+57

由"5nli11111

〃6(51111176n—76n-\6〃-16〃+5

6156n+5)6/7+5

16.(1)/(x)=x3—2x2+x+1(2)(—°0,1)U(^y,+00J

【解析】(1)根据了")=0,1(1)=1，可得a，6可得结果.

（2）根据等价转换的思想，可得〃力=机，利用导数研究函数的单调性，并比较“X）

的极值与〃，的大小关系，可得结果.

【详解】（1）由/''（x）=3办2+2bx+l,

答案第9页，共16页

有/''⑴=3a+2b+l=0,

又有/6=a+b+2=l,

解得：a=l,b——2,

故函数〃x)的解析式

为f(x)=x3—2x2+x+l

(2)由(1)有可知：

/'(x)=3x2-4x+1=(x-l)(3x-1)

故函数的增区间为1-哈£|,(1,+«)),

减区间为心1],

所以〃x)的极小值为〃1)=1,

极大值为=

由关于X的方程/(X)-机=0有一个实数根,

等价于方程/'(x)=m有一个实数根，

即等价于函数＞=/(%),〉=m的图像只有一个交点

实数加的取值范围为(-*1).*,+"

【点睛】本题考查根据极值求函数的解析式，还考查了方程的根与函数图像交点的等价转换,

属基础题.

17.(1)证明见解析

⑵叵

1

【分析】(1)取的中点K,连接PK,BK,可证尸K,平面/BCD,根据判定定理可证平

面平面/8C。；

(2)以K为坐标原点O,K2,KP所在直线为x,%z轴建立空间直角坐标系，利用线面角的

向量公式可求线面角的正弦值.

【详解】(1)证明：如图，取的中点K,连接PK,BK,

答案第10页，共16页

；AP/。为正三角形，AD=2,：.PK=4i且PK1AD.

；AD=2BC=2,K为AD的中点，:.DK=BC,

又•.•底面4BCD为直角梯形，ADHBC於DKIIBC,故四边形3KDC为平行四边形,

而4D_LDC,所以四边形8Koe为矩形，BK1AD,BK=CD=43.

•••PB=瓜;.PK2+BK2=PB2,:.PK1BK.

PKVAD,BKoAD=K,BK,u平面ABCD,PK_L平面ABCD.

:/次匚平面尸/。，二平面平面NBCD.

（2）由（1）得PK；D,PKLKB,由（1）又可得BKL4D,

如图，以K为坐标原点KB,KP所在直线为x）,z轴建立空间直角坐标系,

则尸（0,0,百）,8（0,百,0）,。（一1,百,0）,。（一1,0,0）,,

CD=（0,一6,0）,丽=（一1,0,一同前=（一：,一手，亭.

设平面尸CZ）的法向量为〃=（x,y,z）,

则)=O,z=T«-(V3,0,-l),

设四与平面PCD所成的角为0,则

sin。=

7

BM与平面所成角的正弦值为叵.

7

18.（1）—+^=1

「63

（2）证明见解析

答案第11页，共16页

(3)存在；A=1

【分析】(1)利用点在椭圆上和焦距列方程组解出即可；

(2)设出两点坐标，表示出斜率匕、k2,并设出直线方程与椭圆联立，消去V,表

示出韦达定理，代入《+&的表达式中化简即可;

(3)解方程组分别求出直线的交点瓦尸坐标，再求出瓦尸到直线C。的距离，结合已知面积

关系表示出两三角面积的方程，再利用匕+£=-2代入化简即可.

【详解】(1)因为椭圆过点次2刀，焦距为26,

—r+—r=1fa2=6

所以/6,管,

a2-b2=3W=3

所以椭圆的标准方程为当+占=1.

63

(2)

直线的斜率一定存在，设为>=左卜-3),

工+匕=1

则63，消去丁得至U(2/+l)/-12/+1842—6=0,

y=左(％_3)

△=(12/)2-4(2/+1)(18/-6)>0,

12k218左2-6

士+0方'中2=不订，

答案第12页，共16页

k[+k?

—

女（国一3）—1k（x231

再一2%2-2

后[2X]X?-5（X]+x2）+12]-自+x2）+4

XjX2-2（X[+x2）+4

-12-2+8产+4

2k2+1_______

―18左2-6-24左2+812+4

2r+1

_-4k2+4

2k2-i

=-2

故匕+总是定值.

设存在实数4,使“CDE—CDF恒成立,

U（7）nL（x-2）=

由

x=3x=3

设E到直线。。的距离为人，咒到直线s的距离为4，

则4」3"("1)-332」3*%+1)-31①

，左2十1，左2+1

因为S丛CDE=4%CDF，所以；|。何2=；“他、4,②

把①代入②并化简可得住+1|=川优+1|,

由上问可知/+鱼=-2=＞左2=-2-左，代入上式可得|左+1|=川左1+1],

所以2=1.

【点睛】关键点点睛：

①求曲线的标准方程常用待定系数法和曲线的性质列方程组求解；

答案第13页，共16页

②证明斜率之和为定值时，首先用曲线上的点表示出斜率，再直曲联立，利用韦达定理化简

斜率之和的表达式；

③解决三角形面积关系时先用坐标表示出三角形面积，再利用韦达定理化简.

19.(1)答案见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)求定义域，求导，分。=1和三种情况，得到函数递增区间；

(2)由⑴得到/'(x)的单调性，求出ga)=〃x)+/(2_x)=ln[l_(x-l)2]+a-l)2,构

造尸(无)=lnx-x+l(尤>0),求导得到其单调性，求出InxVx-l,令=fe[0,1),则

ln(l-/)+f<0,所以g(x)=/(x)+/(2-x)V0恒成立，不妨设0<巧<1<%,则

/(x1)+/(2-x1)<0,即/(尤2"/(2-再)，结合〃x)在(0,+8)单调递增，得到答案；