上海市青浦区2023届高三年级下册4月学业质量调研数学试卷（解析版）

2023学年青浦区第二学期高三年级学业质量调研

数学试卷

（时间120分钟,满分150分）2024.04

学生注意：

1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分.

2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题.

3.可使用符合规定的计算器答题.

一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答

题纸的相应位置直接填写结果.

1.不等式1*一2]>1的解集为.

【答案】（―8,1）U（3,4W）；

【解析】

【分析】根据绝对值的定义分类讨论解一元一次不等式组得出结果.

x-2>0fx-2<0

【详解】卜―2|>1=或1Z、

x—2>1—(x—2)>1

即x>3或x<l,所以不等式|x—2|>1的解集为{x|x<l或x>3},

故答案为：（-0。/）一（3,+8）.

2.已知向量a=(-1,1),b=(3,4),则<a,b>=

72

【答案】arccos——

10

【解析】

【分析】由向量的数量积公式求两个向量的夹角即可.

7a♦b—3+4A/2.

【详解】由向量的夹角公式得cos<a,b>=丽=不万=—,又因为<a,b>e[0,兀],

72

所以<a,6〉=arccos——

10

故答案为：arccos

10

3.已知复数2=—贝Ulmz=

1-1

【答案】~##2.5

2

【解析】

【分析】根据复数的运算法则求出Z,再写出复数的虚部即可.

5i(l+i)55.

【详解】(l-i)(l+i)-221

Imz=—,

2

故答案为：一.

2

4.1«+宁］的二项展开式中的常数项为.

【答案】160

【解析】

【分析】由二项式定理得展开式的通项公式，代入厂=3可求出结果.

展开式中常数项，必有3—厂=0,即厂=3,

所以展开式中常数项为看=23或=8x20=160.

故答案为：160

5.设随机变量《服从正态分布N(2,l),若PC<a—3)=PC>1—2a),则实数a=

【答案】-6

【解析】

【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式计算即得.

【详解】由正态分布的对称性，得(a—3)+(1-2a)=4,所以“=-6.

故答案为：-6

6.椭圆二+丁=1(。〉1)的离心率为也，则。=

a'2

【答案】2

【解析】

【分析】直接根据椭圆方程得出离心率公式，则。可求.

【详解】由题意得椭圆离心率为之二1=@,

a2

解得。=2,

故答案为：2.

7.已知直线乙的倾斜角比直线4：V=xtan80°的倾斜角小20°,贝!J乙的斜率为.

【答案】也

【解析】

【分析】根据直线方程求出直线6斜率为tan80?,由此确定直线4倾斜角80?,结合已知条件求得直线

倾斜角为60。，由此即可求得直线4的斜率.

【详解】由直线6方程：y=；vtan80?得4的倾斜角为80?,

所以4的倾斜角为60。，即4的斜率为tan⑥0?「

故答案为：5

8.己知/(x)=lgxT,g(x)=lgx-3,若+=+则满足条件的x的取值范

围是.

【答案】(0,10][1000,笆)；

【解析】

【分析】由绝对值等式可知/(x)g(x"o,代入函数后解不等式再结合对数的运算和取值范围求出结果

即可.

【详解】因为|/(x)|+|g(x)|=|/(x)+g⑸,

所以/(x)g(x)N0,即(Igx-l)(lgx-3)?0,

解得IgxWl或lgx33,

所以x的取值范围是(0,10][1000,+8),

故答案为：(0,10][1000,”).

(x-1)3,0＜x＜2,

9.对于函数＞=/(%),其中/(%)=2，若关于x的方程/(%)=履有两个不同的根，则

一,%22

实数左的取值范围是.

【答案】

【解析】

【分析】将方程有两个不同的根，转化为函数图象有两个不同的交点，观察图象可得答案.

【详解】将函数y=V向右平移1个单位得到y=(%—1)3,

作出函数y=/(x)的图象如下：

要关于X方程/(%)=履有两个不同的根,

则函数y=/(x)和函数y=Ax有两个不同的交点,

当y=6过点(2,1)时，k=三,

所以当函数＞=/(尤)和函数y=Ax有两个不同的交点时，0＜发＜/

10.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数字，设“取到的2个数字之和为偶数”为事件A,“取到的2个数字均为

奇数”为事件B,则P(B\A)=

3

【答案】一##0.75

4

【解析】

【分析】利用互斥事件的概率及排列组合计算公式求出事件A的概率，同样利用排列组合计算公式求出事

件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解.

【详解】P(A)=G|J,=|，°(㈣=

3

由条件概率公式得P（叫A）=，箸=与=；.

5

3

故答案为：一.

4

11.如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深8cm,上口宽6cm,若以30cm3/s的匀速往杯中注

水，当水深为4cm时，酒杯中水升高的瞬时变化率丫=cm/s.

3兀

【解析】

【分析】计算出当水深为4cm时，水的体积，然后除以流速可得出时刻％的值，设水的深度为〃cm,求出

关于/的函数表达式，利用导数可求得当水深为4cm时，水升高的瞬时变化率.

【详解】设/时刻水的深度为〃cm,水面半径为「cm,则」=—,得r=）h,

r38

所以当水深为4cm时，酒杯中水面的半径为3cm,此时水的体积为丫=工兀义伫］乂4=3兀，

23<2；

71

设当水深为4cm的时刻为％,可得30。=3兀，可得办=记,•；

I

又由题意可得30.=1兀//zxh=-7ih3,贝！1/

33（8J64

1

所以〃=卜『2『涓，

12

所以当”2时，忏“」/%］寸立r=竺（加八

;)■

10371JUoJ3兀\

40

故答案为：—.

3兀

12.如图，在棱长为1的正方体ABCD-\BXCXD,中，尸、Q、R在棱AB、BC、BB［上,且

PB=-,QB=-,RB=-,以PQH为底面作一个三棱柱PQR—，使点42/分别在平面

234

AADDpDQCG、A4GA上，则这个三棱柱的侧棱长为.

12

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系写出点的坐标，根据三棱柱中向量相等得到;坐标，进而得到的坐标,

从而得到侧棱尸耳.

以。为原点，以所在直线为羽轴，建立空间直角坐标系,

尸］，。）e［|i,oj,R|M,"片（不。，4）,2（o,%当），4（4%/），

则尸0,尸R='4Q=（—x"2，°）,KRzj

由三棱柱可知4Q=PQ,即（f=n，°］，所以%=g1

（1M13

PR=PR,即（°，为，—Zi）=[0,/qJ，所以为=/，%=Z'

所以4G,o,j,所以西=W，|），

故答案为：边回.

12

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且

只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.函数y=3x+^（x>0）的最小值是（）

A.4B.5C.3拒D.273

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本不等式即可得解.

【详解】因为x>0,

所以y=3x+->23x--=2A/3,

X\X

当且仅当3%=l，即％=立时，等号成立.

x3

则y=3x+^（x>0）的最小值是2也.

X

故选：D.

14.已知点尸（2,20）是抛物线C：y2=2px（p>。）上一点到抛抛物线C的准线的距离为d,M是x轴上一

点,则“点M的坐标为。,0）”是“d=|9|"的（）

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C,充要条件D.既不充分也不必要条件，

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可知抛物线c的焦点/。,0）.易知充分条件成立，结合图形，举例说明必要条件不成立,

即可求解.

【详解】由题意知，将点P(2,20)代入方程V=2°x,即8=4，，得p=2,则抛物线C的焦点厂(1,0).

当点M的坐标为(1,0)时，点M与抛物线的焦点重合，由抛物线的定义知必有d=|PM|；当d=时,

点M的坐标不一定为(1,0),理由如下：

如图，连接PF当|PF|=|PM|时,d=\PF\=\PM\.

因此“点M的坐标为(1,0)”是“2=|?闾”的充分不必要条件.

故选：A.

15.设S”是首项为〃1，公比为9的等比数列｛4｝的前〃项和，且S2023Vs2025<%)24,则().

A.q〉0B.q>0C.此人同D.闻<同

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意算出。2024>—。2025〉0,可得-1<“<0且q<。，由此对各项的结论加以判断，即可得

结论.

【详解】§2023<^2025<^2024,

$2025—$2023>°,^2025—^2024<0，即。2024+°2025>。且。2025<°,

二•生024>—“2025>0，且02024>0，两边都除以。2024，得1>一夕>0,可得一l<q<0.

对于A,由出025=<0，可得囚<0,故A项不正确;

对于B,由于-1<“<0,所以q>0不成立，故B不正确;

n

l-a

对于C,因为-所以0<l—9〃<1—9,可得0<一^-<1.

1—9

结合S“二。：：："),可得禺二/出^^目q|,故C正确；

对于D,根据—l<q<0且6<0,当q=-1,"=—；时，|Sj=l〉M=(,

此时|S』<M不成立，故D不正确.

故选：C.

16.如图，已知直线、=丘+5与函数y=/(x),xe(O,4s)的图象相切于两点，则函数y=/(九)一区有

y=kx+m

A.2个极大值点，1个极小值点B.3个极大值点，2个极小值点

C.2个极大值点，无极小值点D.3个极大值点，无极小值点

【答案】B

【解析】

【分析】作出与直线>=近+根平行的函数/(x)的所有的切线，即可观察得到了'(X)与左的大小关系的不

同区间，进而得出尸(x)=/'(x)—左的正负区间，得出厂(%)的单调性，进而得到厂(左)的极值情况，从

而判定各个选项的正确与否.

F(x)=f(x)—kx^F'(x)=f(x)-k,

作出与直线尸爪+加平行的函数/(x)的所有切线,各切线与函数/(x)的切点的横坐标依次为a,b,c,d,e,

/(x)在a,4c,d,e,处的导数都等于左，

(O,a),(Z?,c),(d,e)上，/'(%)>左,Ff(x)>O,F(x)单调递增，

在(a,/?),(c,d),(e,+oo)上，/1%)<0,尸(力<0,歹(%)单调递减，

因此函数/(%)=/(%)-近有三个极大值点，有两个极小值点.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：解决问题的关键所在是作出与直线、=丘+加平行的函数/(x)的所有的切线，由此

观察图象即可顺利得解.

三.解答题(本大题共有5题，满分78分)，解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的

步骤.

17.对于函数y=/(x),其中y(x)=2sinxcosx+2j§cos2x-6,xeR.

(1)求函数y=/(X)的单调增区间；

(2)在锐角三角形ABC中，若/(A)=l,ABAC=求，WC的面积.

5兀7C

【答案】(1)ku―――,kn+，(kEZ)

1212'7

(2)叵.

2

【解析】

【分析】(1)由二倍角正弦、余弦公式及辅助角公式化简了(幻，根据复合函数的单调性求出结果;

(2)由(1)及条件求出角A,根据数量积的定义及三角形面积公式可得结果.

【小问1详解】

/(x)=2sinxcosx+2A/3COS2X-四=2sinxcosx+^(2cos2%-1)

=sin2x+A/3COS2X=2sin2x+—

I3

令K=2%+三,则〃〃)=2sin〃，函数K=2x+g为增函数,

当“平人”也+不,0Z时函数%)=2sin“为增函数,

JIJITTTT

即2hi——W2x+—W2E+—,左GZ,得ku------WxWkn+—,kGZ,

2321212

5兀兀

所以函数/(尤)的单调增区间是ku--—,lai+—，(左eZ).

L1212j''

【小问2详解】

(2)由已知/(A)=2sin[2A+1]=l,所以sin[2A+5]=；,

I--.、r八.7CLr-1、1兀—47t4jCDllr\A兀5兀Lr-1、t4兀

因为0<A<一,所以7<2人十不<—,即2AH———,所以A=一，

2333364

又45・40=,5,4。卜054=忘，所以，©-，。卜？，

所以ABC的面积S=』|AB|」AdsinA=Lx2xYI=交.

2111।222

18.如图，三棱柱ABC-4与£是所有棱长均为2的直三棱柱，D、石分别为棱A3和棱A4的中点.

（1）求证：面面

（2）求二面角片-CD-E的余弦值大小.

【答案】（1）证明见解析

⑵叵

10

【解析】

【分析】（1）根据等边三角形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的性质、线面垂直的判定定理、面面

垂直的判定定理进行证明即可；

（2）方法一：根据二面角定义，结合（1）的结论、线面垂直的性质，结合余弦定理进行求解即可；方法

二：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【小问1详解】

D为棱A3中点，为正三角形，二45,8.

又三棱柱ABC-4瓦。]是直三棱柱，

.."，面ABC,又CDu面ABC,

而AB惧=A,AB,朋u平面ABB】A，

\CD八面ABB]A，CDu面BCD,

，面BQ1面ABB^；

【小问2详解】

由（1）得面3]D,DEu面A5AA，

.•.CDLBRCDLED,

是二面角4—CD-E的平面角,

在_ABC中，CD=®,BQ==岔ncosZB.DE=旧+/二行=—

'歌「jio

，二面角4—CD—E的余弦值为迎

10

方法二：以。为原点，建立直角坐标系如图:

则D(0,0,0),B(l,0,0),C(0,A0),B1(1,0,2),E(-l,0,1),

.­.DC=(0,百⑼,DB[=(1,0,2),DE=(-1,0,1),

设平面gCD、平面CE>£的法向量分别为勺,〃2，

々-DC=My[=0

.•・々可以是（2,0,—1）

nx-DBl=再+22]=0

n2•DC-6y2-0

，%可以是（1,0,1）,

n2•DE=-x2+z2=0

4•%_A/10

/.COS(〃],〃2

10

••・二面角4—CD—E的余弦值为强.

10

19.垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率.目前上海社区的垃圾分类基

本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾.某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，

随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和8等级，得到如下列联表：

男生女生总计

A等级402060

8等级202040

总计6040100

(1)根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关(规定：显著性水平夕=0.05)?

2

附：力2=；-----(ad、Jc)--------；其中“=a+〃+c+d,P(/>3,841)«0.05.

(a+b)(c+d)(a+c)("+d)V7

(2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛.每局比赛由二人参加，主持

人A和8轮流提问，先赢3局者获得奖项并结束比赛.甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概

率为主持人B提问甲赢的概率为:，每局比赛互相独立，且每局都分输赢.现抽签决定第一局由主持

人A提问.

(i)求比赛只进行3局就结束概率；

(ii)设X为结束比赛时甲赢的局数，求X的分布和数学期望E(X).

【答案】(1)无关(2)(i)—；(ii)分布列见解析，—

18108

【解析】

【分析】⑴计算/的值，再与3.841进行比较即可得结论；

(2)(i)由相互独立事件概率的乘法公式可直接求出答案；

(ii)先由相互独立事件概率的乘法公式求出P(X=0),尸(X=l),尸(X=2),则分布列可得，再由期望

公式求数学期望即可.

【小问1详解】

提出原假设“0：学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，

确定显著性水平夕=0.05,由题意得，a=40,b=c=d=20

22

2_n(ad-bc)_100x(40x20-20x20)_25

守,(a+Z?)(c+d)(Q+c)仅+d)60x40x60x409'

由尸(力233.841)^0.05,且,<3.841,

所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关.

【小问2详解】

2122

(i)比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为=§

1

比赛只进行3局就结束,乙赢得比赛的概率为P2=

18

215

故比赛只进行3局就结束的概率为pi+P?=-+—=—；

(ii)X的可能取值为0,L2,3,

故尸（）

X=O,即进行了3场比赛,且乙赢得比赛,X=0=2><L><L=L

'732318

X=l，即进行了4场比赛，且乙赢得比赛,前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢,

111111111215

故尸（X=1）=jX—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—

2323232323236

X=2,即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中,甲赢得2场比赛，乙第5场赢,

故尸（X=2）=g11112121121111

X——X—X—X—+——X—X——X—X—+—X——X—X—X—+

23233232332323

11211111111121113

—X—X—X—X—+—X—X—X—X—+—X—X—X—X—=--------,

323233232332323108

X=3,即最后甲赢得比赛，由概率性质得

1337

P（X=3）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=2）=1-----

'）'）'''）183610854

所以分布为

X0123

151337

P

183610854

151337263

故数学期望为E（X）=0x—+lx二+2义一+3x3

'/183610854108

20.已知双曲线「：土-匕=1,耳，工分别为其左、右焦点.

(1)求百，工的坐标和双曲线「的渐近线方程；

(2)如图，P是双曲线「右支在第一象限内一点，圆。是耳工的内切圆，设圆与「耳，PF2,4工分

别切于点。，E，F,当圆C的面积为4兀时，求直线「心的斜率；

(3)是否存在过点心的直线/与双曲线E的左右两支分别交于A,B两点，且使得/片43=/片84,若

存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴耳(—3,0),1(3,0),y=土叵x

2

4

(2)

(3)存在,

-13

【解析】

【分析】(1)直接根据题干给的双曲线的标准方程求得答案;

(2)由双曲线的定义以及切线的性质可得圆的半径r=2,再借助于点到直线的距离公式求直线「工的斜

率;

(3)假设存在直线/,由/445=/丹氏4得闺旬=|耳目，取A5的中点M，则心也•瓦叫=T，进而得

22

%.工=1

45

%+N：=9;又利用＜,,得4/9=5焉9-15%，于是联立方程组可得M的坐标，从而得到直线/的

X2y2_]

彳一二

斜率并得出直线/的方程.

【小问1详解】

22

因为双曲线F:匕一匕=1,所以/=4/2=5,所以c=3,

45

即月(一3,0),可(3,0),

所以双曲线r的渐近线方程是y=±9x;

【小问2详解】

由题意可知|即|=|尸E|,\FlD\=\FlF\,\F2F\=\F2E\,

所以|「耳|-|%|=（|尸£>|+|。耳I-（|「用+|%|）=|。耳IT巡卜|鹏|一|%|=2.=4,

.•.F（2,0）,即尸是椭圆右顶点

设圆C的半径为厂”>0）,因为圆C的面积为4兀，贝|兀产=4兀，即r=2,

CFl^F,,

••・设直线尸区的斜率为左，则直线「工的方程为y=©x—3）,即依-y-3左=0,

由圆心C到直线PF2的距离等于圆的半径,

可得艮va=2.

4

解得直线P玛的斜率为左=§

【小问3详解】

假设存在过点工的直线/与双曲线E的左右两支分别交于A,B两点，且使得/片45=/片84,

设A（X1,%）,8（%，为），AB中点为,又与（一3,0）,月（3,0）,

由/片45=/耳84,可知△KAB等腰三角形，|片4|=|片例，且直线/不与x轴重合,

于是与即耳居,

y0y0T,君+火=9⑴，点A,3在双曲线「上,

因此化与”'^MF2=—1，

x0+3尤o-3

22

Ui①

45

所以

22

工一二=1②

145

①一②化简整理得：之七匹.土』5%X-月_5

无（+%%-%4，x0xi-x24

5VnVn500

则坛M-L=7,可得广,』=£，4尤=5焉一15不⑴）,

4毛毛—Jq

+‘°29,=>3XQ-5x-12=0,得％0=-3或％o=3（舍

联立（I）（II）得0所以

=5%0—3

J4.时

M——,±-----

33

所以直线/的方程为y=土店（尤-3）.

13

【点睛】关键点点睛：针对类似于/445=/片84的角度问题，一般情况下会转化垂直问题，再结合垂

直时的斜率之积为T即可解决问题.

21.若无穷数列｛4｝满足：存在正整数T，使得％,+7=%对一切正整数〃成立，则称｛q,｝是周期为T的周

期数列.

（其中正整数机为常数，«eN,n>l）,判断数列｛q｝是否