浙江省2023-2024学年高二年级下册4月联考数学试题 含解析

浙江培优联盟2023学年第二学期高二4月

数学试题

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知集合A={HTMX«2},5={-1,023},则AB=（）

A{-1,0,1}B.{-1,0,2}C.{-1,1}D.{-1,0,1,2}

【答案】B

【解析】

【分析】直接求交集即可.

【详解】集合A={x|-14尤＜2},3={-1,0,2,3},则AB={-l,0,2},

故选：B.

)

2.已知复数2=二,其中i是虚数单位，则之的虚部为（

2-i

3311

A.-B.--C.一D.——

5555

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数运算法则及共辗复数的定义判定即可.

1+i（l+i）（2+i）l+3i_l-3i3,1_

【详解】易知z=不［=-11+E，，Z的虚部:

2-i（2-i）（2+i）5555

故选：B.

3.在等比数列{a“}中，公比“=2且％+出=1，贝（）

84

A.-B.-C.8D.4

33

【答案】A

【解析】

【分析】利用等比数列的通项公式结合已知条件求出q=；,再利用等比数列的通项公式求出应即可•

【详解】根据等比数列的通项公式，由4+。2=1，可得q+q•q=1,即3%=1,

138

解得“1=3，所以"4==m.

故选：A.

4.过点（4,—Q）且与双曲线!一1

=1有相同渐近线的双曲线方程是（）

22222222

A,乙-土=1B.土”L=1c.匕-土=1D.土-上=1

12912（）912912

【答案】B

【解析】

22

【分析】根据渐近线相同可设所求为亍_tC0）,将点（4,一⑹代入求得t即可得解.

2J2

【详解】因为所求双曲线与双曲线匕=1有相同的渐近线，所以设其方程为土―=

4343'

又点（4,-君）在双曲线上，所以3=S解得/=3,

工3

22

则双曲线方程为工-匕=1.

129

故选：B.

5.下列求导运算正确的是（）

A.（e?j=2eB.[（2X+7）2]'=2（2X+7）

D（luxA_1-lnx

C.（cos2x）=2sin2x

<XJX

【答案】D

【解析】

【分析】利用求导法则进行计算，对四个选项一一作为判断.

【详解】A选项，=0,A错误;

B选项，［(2%+7)2］=2(2%+7>2=4(2x+7)，B错误；

C选项,(cos2%)=-sin2x-(2x)=—2sin2%,C错误；

D选项，［也［=x(h4-(x)'lnx=a,D正确.

IXJx2X2

故选：D.

6.韩愈的《师说》中写道：“李氏子蟠，年十七，好古文，六艺经传皆通习之，不拘于时，学于余.余嘉其

能行古道，作《师说》以贻之."六艺具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在

周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节课程，连排六节，贝『'数"排在前两节，“书”

不排在首尾两节的排课方法种数为()

A.84B.96C.168D.204

【答案】C

【解析】

【分析】分“数”排在第一节和“数”排在第二节两种情况讨论求解.

【详解】解：“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排课方法可以分两类：

①“数”排在第一节，“书”排在第二、三、四、五节，则有4A：种排法；

②“数”排在第二节，“书”排在第三、四、五节，则有3A：种排法.

故“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排法共有7A：=168种，

故选：C.

7.(x+1)"=%+q(x+2)+2(％+2)~+,+%o(x+2)i°,则a。=()

A.180B.-180C.45D,-45

【答案】C

【解析】

【分析】变形得到(x+l)i°=(x+2-1)］。，利用二项式定理得到通项公式，求出答案.

【详解】(x+=(x+2—，(x+2—1严的展开式通项为C；0(x+2y°一'•(―1丫，

令10—厂=2,解得r=8,故4=60=45.

故选：C.

8.圆锥的底面半径为出，高为2,点C是底面直径A3所对弧的中点，点。是母线PB的中点，则异面直

线A5与CD所成角的余弦值及CD与底面所成角的正弦值分别为（）

A4M^/285D历V285「4M2M652M

19'1919'1919'1919'19

【答案】D

【解析】

【分析】设底面圆心为。，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】设底面圆心为。，分别以OCO5OP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则C（也,0,0）,网0,百,0）,尸（0,0,2）,00,#,1

所以03=（0,班,0）,8=OP=（0,0,2）.

3

OB-CD不

cri.cosAB,CD-cosOB,CD=1----n-----1=--------/=

所以OBC£>r、2）-Y19

6x卜用+图+F

所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为叵.

19

因为底面。，所以底面。的一个法向量为。？=（0,0,2）,

OPCD

sin。=

设CD与底面所成的角为。，则OP^CD

所以CD与底面所成角的正弦值为2叵.

19

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.己知函数/(x)=—4x,则()

A.“X)有3个零点B./(%)在原点处的切线方程为丁=一％

C.”力的图象关于点(0,0)对称D./⑴在［0,3］上的最大值为4

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A：令/(尤)=0直接解方程即可；对于B：求导，利用导数的几何意义求切线方程；对于C：

确定奇偶性即可；对于D：求导，确定单调性，根据单调性求最值.

3

【详解】对于A,f(x)=jX-4x=0,则玉=0,%=26,*3=—26,正确；

对于B,/'(%)=f—4#=/'(0)=-4,/(%)的图象在原点处的切线方程为丁=-4%,错误；

1a1

对于C,由x)=§(—x)—4(—x)=—+4%=一/(力得"X)为定义在R上的奇函数，可知f(x)

的图象关于点(0,0)对称，正确；

对于D,/'(x)=/—4=(x+2)(x—2)J(x)在［0,2］上单调递减,在［2,3］上单调递增，又

/(0)=0,/(3)=-3,所以〃龙)在［0,3］上的最大值为0,错误.

故选：AC.

10.设数列｛4｝是各项均为正数的等比数列，则()

A.%，的,%是等比数列B.｛矶是等比数列

C.｛1g%｝是等比数列D.1二-是等比数列

4一

【答案】ABD

【解析】

【分析】设公比为q(qwO)，A选项，根据等比数列通项公式基本量计算出《=%•%，A正确；BD选项，

根据等比数列的定义作出判断；C选项，举出反例.

【详解】设等比数列｛4｝的首项为外,公比为q(qwO).

对于A,a；=(qq4)=《/,%.%==吊.，

所以《=%・%，则。3，。5，。7成等比数列，A正确；

对于B,因为智=心所以｛矶是等比数列，B正确；

册

对于C,不妨设等比数列｛4｝为4=1,则lga〃=o,不是等比数列，C错误；

1

对于D,因为牛=上匚=!，所以是等比数列，D正确.

a

±n+1qUJ

an

故选：ABD.

11.抛物线9=2加（"〉0）的焦点为尸，抛物线上一点P（U）到焦点产的距离为2,过焦点产的直线/与

抛物线交于A,3两点，下列说法正确的是（）

A.p=lB.若直线/的倾斜角为工，贝1=8

411

11,

C.西+西=1D.若=在x轴的上方，则直线AB的斜

率为2a

【答案】BCD

【解析】

【分析】由抛物线的概念求出0,判断A；直曲联立求出过焦点的弦长，判断B；设出过点尸的直线方程，

直曲联立，由抛物线的性质表示出|4同、忸同，然后代入西+西，化简可得，判断C;由抛物线的概

念，算出直线A3倾角的正切值，即可判断D.

【详解】对于A,l+"=2,p=2,错误.

2

y=x-l,

对于B,直线/的方程为y=x-l,由\“得/―6%+1=0.

y=4x

设%），则%+々=6,故|45|=%+%2+°=8,正确.

对于C,设过点产的直线方程为丁=左（九-1）,代入抛物线方程，得左2（X—1）2=4X,

化简后为左2寸—（2左2+4）X+K=0,设4（%,％）,5（孙％），则有%%2=1-

根据抛物线性质可知，|”|=%+1,忸同=9+1,

1+1再+1+%2+1再+%2+2Xj+x+2]

2正确.

|AF|\BF\(XJ+1)(X2+1)+x2+XJXJ+1+x2+2

对于D,过A,3分别向准线作垂线，交于点G、H,过8作BCLAG于点C,

不妨设|网|=1,贝“3知=|BF|=1,|AF|=\AG\=2,\AB\=3,\AC\=1,\BC\=2V2,

BC「

在.ABC中，r直线A3的斜率为2a，正确.

AC

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(2x-3＞展开式中V项的系数是.

【答案】720

【解析】

【分析】利用二项式定理计算即可.

【详解】根据二项式定理可知：Cfx(2x)3x(-3)2=720x3.

故答案为：720

13.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概

率是.

54

【答案】——

125

【解析】

3

【分析】每次取到黄球的概率均为w,利用〃次独立重复试验中事件A恰好发生七次的概率计算公式能求

出3次中恰有2次抽到黄球的概率.

【详解】袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，

3

每次取到黄球概率均为1，

A3次中恰有2次抽到黄球的概率为:

【点睛】本题考查概率的求法，考查几次独立重复试验中事件A恰好发生人次的概率计算公式等基础知

识，考查运算求解能力，是基础题题.

14.若函数"%）=（如2—%）/在［1,3］上存在单调递增区间，则的取值范围是

【答案】

【解析】

【分析】由题意得/4或＞0在区间［1,3］上有解，参变分离得到桃〉,换元后利用对勾函数性

质求出8。）.=8（4）=丁，得到答案.

［详解］/（%）=（rwc-x^ev,则/'（尤）=e'（mx2+2如_尤_1）.

函数/（%）在区间［1,3］上存在单调递增区间，只需/"）＞。在区间［1,3］上有解,

即mx?+2mx-x-1＞0在区间［1,3］上有解，

YI1A%+1A

所以吊＞2°在区间［L3］上有解,所以血〉2.

X+2x1%+，XJmin

X+l_X+l_%_1

令1+1=%/£［2,4］，贝IJ%2+2%一（元+1）2—1—/2—1—

t

令g（/）="；,所以g⑺在［2,4］上单调递增，所以g（%x=g（4）=，，

44（4

即=—,所以机〉二，所以实数用的取值范围是|+8

故答案为：,+°°j

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知等差数列｛4｝的前几项和为S”，满足q+%=4,S5=15.等比数列也｝满足片=々,/=3%.

（1）求｛4｝,｛2｝的通项公式；

（2）若c“=a,jb”,求数列｛qj的前几项和T“.

【答案】（1）a“=n，bn=3"-'

⑵3+小’

【解析】

【分析】（1）设｛4｝的公差为d,｛〃｝的公比为q,根据题意，列出方程组，求得知义伪国的值，即可求

解；

（2）由（1）得到g=%.2=〃x3i,结合乘公比错位相减法求和，即可求解.

【小问1详解】

。]+q+2d—4

设｛4｝的公差为d,｛2｝的公比为q,贝卜5。1+3|&〃=15解得—1,47—1,

所以数列｛an｝的通项公式为4=1+-1）义1=〃,

1

解得伪=1,q=3,所以数列也｝的通项公式为bn=3"-.

小问2详解】

由(1)知4=〃，a=311,可得g=%,•a="X3"T,

所以7；=1X3°+2X31+3X32++nx3"-1,贝U3%=1x31+2x3?++(n-l)x3,,-1+wx3n.

]—3〃1(1、

两式相减，nJ^-27；=1+1X31+1X32++Ix3^-nx3"=yy-nx3"=--+!--»IX3,1,

所以T”=；+

16.在ABC中，。，dc分别是角A,3,C的对边，且满足瓶。—百ccos3+/?sinC=0.

（1）求角C的大小；

（2）若c=2j§,。为A3的中点且|CD|=J5,求JRC的面积.

【答案】（1）c=—

3

⑵B

2

【解析】

【分析】(1)根据正弦定理及正弦的和角公式化简计算即可;

(2)由余弦定理及三角形面积公式计算即可.

【小问1详解】

因为y/3a-V3ccosB+Z?sinC=0，

由正弦定理可得GsinA-A/3sinCcosB+sinBsinC=0.

又因为在^ABC中，有sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以6(sinBcosC+cosBsinC)-^sinCcosB+sinBsinC=0,

化简得百siaBcosC+sinBsinC=0-

因为0<_8<兀，所以sinfiwO,

所以限osC+sinC=0，于是tanC=—JL

因为0<C<7i,所以C=N.

3

【小问2详解】

由。为A3的中点，可得6.

又/ADC+NBDC=71,所以COSNADC+COS/BDC=0,

在.ACD和△BCD中,

根据余弦定理从而可得阴+(>)-4+(码+(⑹"

=0=。2+/=10-

273x722百x收

Z72+A2-C2-2

又cosC=<^—,所以必=2,

lablab

可得SABC=J〃bsinC=—^~

ADB

17.在三棱柱ABC-A31cl中，A5=AC=1,A4=6,43,4。，4。_1_平面43。,£是用。的中点.

(i)证明：直线44,平面阴c；

(2)求平面AEB与平面A&GC夹角的正弦值•

【答案】(1)证明见解析

(2)

5

【解析】

【分析】(1)先证明A3工平面AB。，再结合A4〃A3可得结论;

(2)以。为原点，直线C4为x轴，直线C4为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解面

面角.

【小问1详解】

由用C,平面ABC,ABi平面ABC,得ABLBC，

因为AB_LAC,CB]CAC=C,C5],ACu平面9C,

所以A3工平面AB。,

又因为所以44,平面阴C；

【小问2详解】

以C为原点，直线C4为x轴，直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则C（O,O,O）,A（1,O,O）,5（LLO）.

又BC-^2,BB]=AAy=y/3,

所以C5i=1,与（0,0,1）,40,0,CA=（1,0,0）,

则AA=3耳=（―1,一1,1）,AE=1-1,0,1）,AB=（0,1,0）.

设平面AE3的法向量为机=（%,%,zj,

X=0，

AB=0,即｛1c令占=1，

则,得加=（1,0,2）.

m-AE=0,f+-Z1=0,

设平面A41GC的法向量为“=（%，%，22），

n-CA=0,f=0,/、

则即1'八令%=1,得H=（0,1,1）.

n-A\=0,1-9-y2+z2=0,

设平面AEB与平面MGC的夹角为。,

\m-n\2J1Q

则cos8=—=厂厂=，所以sin0=、2斤,

\m\\n\J5x,255

故平面AEB与平面MGC夹角的正弦值为叵.

5

18.己知椭圆。：・+/=1（。〉6〉0）的离心率为/,右焦点为产，圆0:必+/=/,过户且垂直于无

轴的直线被圆。所截得的弦长为2M.

（1）求C的标准方程；

（2）若直线/：y=Ax-2与曲线C交于A,3两点，求一。钻面积的最大值.

22

【答案】（1）—+^=1

43

（2）8

【解析】

【分析】（1）由己知分别求出a、b即可得到C标准方程;

（2）通过直曲联立，求出弦长，再由点到直线距离公式求出原点到直线A5的距离,

代入三角形面积公式，利用不等式求出；Q4B面积的最大值.

【小问1详解】

设椭圆C的半焦距为c（c>0）,过F且垂直于x轴的直线被圆。所截得的弦长为2G，

则2，/“2=26，又a?一从=c2,e=g,

4=2

解得<

b=y/3

所以C的标准方程为三+汇=1.

43

【小问2详解】

设人（%，％），5（9,%），

y=kx-2

联立直线/与椭圆C的方程y2_，可得（3+4左2）f—16日+4=0,

---1----1

1

所以石+々=^^,Xm=Mr，A=16（12/—3）>0,得上92>—.

4

,2

又原点到直线AB的距离d=/

J1+左2

2

所以|+左2|x1-x2|=A/1+kJ（X]+々）2—=J1+42,4』""3~~，

3网公4收/门

所以S

AOB2113+442

令，4左2一1=90），则软2=1+」,

qJ亚4®4R

所以“八。8-RZ--丁1-"J,当且仅当/=2时，等号成立，

即当左=±@时，Q4B的面积取得最大值指.

2

19.一般地，设函数/(%)在区间［。回上连续，用分点“=/<为<.<<x,.<<xa=b将区间

［a,可分成〃个小区间，每个小区间长度为©(加;二七一七_1),在每个小区间［七_1，%］上任取一点

§(z=l,2,,n),作和式5“=£/侑)©='/信)(王—七.1).如果Ax无限接近于0(亦即

1=11=1

〃一转)时，上述和式S.无限趋近于常数S,那么称该常数S为函数/(%)在区间［a,可上的定积分,

b

记为S=f7(x)d%.当时，定积分J7(x)dx的几何意义表示由曲线y=/(%),两直线

a

x=a,x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积.如果八%)是区间［a,可上的连续函数，并且

b

尸(%)=/(X)>那么「(%)也=/(%)［=F(/?)-F(a).

a

(1)求((e*+xjdx；

⑵设函数/(x)=ln(x+l),g(x)=j^'(x)(x20).

①若f(x)>〃zg(x)恒成立，求实数rn的取值范围;

②数列｛aa｝满足q=l,a“=g(a“_i),利用定积分几何意义，证明：£q<ln〃<£①.