黑龙江省哈尔滨市萧红中学校2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（含答案解析）

黑龙江省哈尔滨市萧红中学校2023-2024学年八年级下学期

月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在Y/BCD中，44=55。,/。的度数是（）.

A.55°B.110°C.125°D.135°

【答案】A

【分析】

本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角相等是解决问题的关键.由平行

四边形的对角相等即可得出结果.

【详解】

解：••,四边形A8CD是平行四边形，

NC=N4=55°；

故选：A

2.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）.

A.2,3,4B.5,6,7C.6,8,10D.5,24,25

【答案】C

【分析】

本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的

长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.判断是否为直角三角形，只要验证两小

边的平方和等于最长边的平方即可.

【详解】

解：A、22+32=13^42,故不是直角三角形，错误；

B、5?+6。=61片72,故不是直角三角形，错误；

C、62+82=100=102,故是直角三角形，正确；

D、52+242=576/25"故不是直角三角形，错误.

故选：C.

3.下列四组条件中，不能判定四边形/8CD是平行四边形的是（）.

A.AB=CD,AD=BCB.AB//CD,AD=BC

C.AB\\CD,AD\\BCD.AD//BC,AD=BC

【答案】B

试卷第1页，共22页

【分析】

此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理.根据平

行四边形的判定定理分别进行分析即可.

【详解】

解：A、AB=CD,AD=BC,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边

形/BCD为平行四边形，故此选项不合题意；

B、AB//CD,AD=BC,不能判定四边形/BCD是平行四边形，可能是等腰梯形，故此

选项符合题意；

C、AB\\CD,AD\\BC,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形

/BCD为平行四边形，故此选项不合题意；

D、AD〃BC,AD=BC,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形

/BCD为平行四边形，故此选项不合题；

故选：B

4.下列命题中，其逆命题是真命题的是（）.

A.平行四边形的对角线互相平分B.对顶角相等

C.同位角相等D.若〃=6,则/二〃

【答案】A

【分析】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不

大.写出原命题的逆命题后判断正误即可.

【详解】解：A、逆命题为对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，

本选项符合题意；

B、逆命题为相等的角为对顶角，错误，是假命题，不符合题意；

C、逆命题是相等的角是同位角，错误，是假命题，不符合题意；

D、逆命题为如果/=°2,那么“=错误，是假命题，不符合题意.

故选：A

5.如图，以直角三角形三边服6、c为边，向外作正方形，其中c是斜边，三个正方形

的面积分别为耳、S2、S3,若E=16，邑=9,则邑值为（）.

试卷第2页，共22页

A.3B.4C.5D.25

【答案】D

【分析】

本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键.根

据勾股定理得，c2=a2+b2,再利用正方形的面积公式可得答案.

【详解】

解：在直角三角形中，由勾股定理得，c2=a2+b2,

S3=S2+Sx,

,/=16,邑=9,

:.S3=16+9=25,

故选：D

6.如图，有一根电线杆在离地面9米/处断裂，电线杆顶部C落在离电线杆底部3点

A.12B.15C.21D.24

【答案】D

【分析】

此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，

画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.在直角三角形N8C中利用勾股定理

求出/C的长，进而得出答案.

【详解】

解：由题意可得：在RtZX/BC中，/3=9米，8c=12米，

AC=^AC2+BC2=122=15（米），

故这根高压电线杆断裂前高度为：9+15=24（米）.

试卷第3页，共22页

答：此电线杆原来长度为24米.

故选：D

7.如图，在Y48CD中，对角线NC、8。相交于点=4,点£是3C边中点，则OE

的长为（）.

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【分析】

此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，正确得出是。8C的中

位线是解题关键.直接利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理得出EO的长.

【详解】

解：・•・在Y4BCD中，对角线/C,8。相交于点。，

点。是NC的中点，

又••,点E是BC的中点，

EO是“3C的中位线，

:.EO=-AB=2.

2

故选：B

8.如图，己知△43。，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；

②以点。为圆心，NB长为半径画弧；③两弧在2。上方交于点C,连接BC,DC.可

直接判定四边形N3C。为平行四边形的条件是（）

A.两组对边分别平行B.两组对边分别相等

C.对角线互相平分D.一组对边平行且相等

【答案】B

试卷第4页，共22页

【分析】

本题考查尺规作图及平行四边形的判定，涉及尺规作图作相等线段，再由平行四边形的

判定即可得到答案，熟记尺规作图及平行四边形的判定是解决问题的关键.

【详解】

解：由作图知，BC=AD,CD=AB,

，四边形ABCD为平行四边形，

综合四个选项，判定四边形ABCD为平行四边形的条件是两组对边分别相等，

故选：B.

9.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm,AD=8cm,AC、BD相交于点O,OE±BD

交AD于E,则AABE的周长为（）.

A.12cmB.14cmC.16cmD.28cm

【答案】B

【分析】利用平行四边形的性质结合OEJ_BD可得E0是BD的垂直平分线，再利用线

段垂直平分线的性质可得BE=DE,然后可得4ABE的周长.

【详解】：四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点0

.,.BO=DO

XV0E1BD

；.BE=DE

VAB=6cm,AD=8cm,

AABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+ED=AB+AD=14cm

故选：B.

【点睛】本题考查了平行四边形、垂直平分线的知识；解题的管家你是熟练掌握平行四

边形、垂直平分线的性质，从而完成求解.

10.如图，口/BCD的对角线交于点平分NA4D交3C于点£,且//DC=60。,

AB=3BC,连接OE,下歹I］结论:®ZCAD=30°；②S/BCD=AB,AC；③OB=4B；®OE=-BC,

24

成立的个数有（）

试卷第5页，共22页

D

---------E----------

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】由四边形是平行四边形，得到//8C=//£>C=60。，NR4D=120°,根据

AE平分/BAD,得到/A4E=NE4D=60。推出△/BE是等边三角形，由于4B=g2C,得

至1」NE=/8C,得至是直角三角形，于是得到/C4D=30。,故①正确；由于NCL/瓦

得至Ij故②正确，a®AB=^BC,OB=mBD,SLBD>BC,得至U/3V

OB,故③错误；根据三角形的中位线定理得到。于是得到O£=)8C,故④正

24

确.

【详解】解：•••四边形/BCD是平行四边形，

AZABC=ZADC=60°,ZBAD=nO°,

；4E平分/B4D,

：.ZBAE=ZEAD=60°

^\ABE是等边三角形，

：.AE=AB=BE,

'：AB=^BC,

：.AE=^BC,

:./BAC=90。,

：.ZCAD=30°,故①正确；

'：AC±AB,

：.SaABCD=AB'AC,故②正确，

11l

"：AB=-BC,OB=-BD,S.BD>BC,

：.AB<OB,故③错误；

,:CE=BE,CO=OA,

：.OE=^AB,

:.OEJBC,故④正确.

4

故选C.

试卷第6页，共22页

【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与

性质.注意证得△/2E是等边三角形，OE是△4BC的中位线是关键.

二、填空题

11.四边形48CD中，AB//CD,AB=3,当CD=时，这个四边形是平行四边形.

【答案】3

【分析】

此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定方法是解题关键.直接

利用平行四边形的判定方法得出N3=CD时可得出这个四边形是平行四边形即可得出

答案.

【详解】

解：•.•当=48〃CD时，四边形/BCD是平行四边形，

.•.当CD=/B=3时，这个四边形是平行四边形.

故答案为：3

12.如图，在口48CD中，对角线/C,AD交于点。，若/。=3,则NC=—.

【答案】6

【分析】根据平行四边形的性质，可得结合题意即可求得/C.

【详解】•••四边形/BCD是平行四边形，

AO=CO,

AO=3,

\AC=2AO=6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，理解平行四边形的性质是解题的关键.

13.如图，AD//BC,BD平分/ABC,AD=4cm,则4B=cm.

A___________D

/\

/\

/\

\

-----------------

【答案】4

【分析】

本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的

试卷第7页，共22页

性质可证△43。是等腰三角形，从而可得=即可解答，熟练掌握根据角平分

线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键.

【详解】

解：■:AD//BC,

：.ZADB=ZDBC,

BD平分/ABC,

：.ZABD=ZDBC,

NABD=NADB,

AB=AD=4cm,

故答案为：4.

14.如图，Y48c。中，点£在3C上，SLCD=CE,连接。E,过点A作加，小，垂

足为尸，若4D/F=48。，则/C的度数为.

【答案】96°/96度

【分析】

考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等得到相关结

论，难度不大.首先根据加_1座，/CU尸=48。得到44。£=90。-/。4尸=90。-48。=42。，

然后利用四边形ZBCD是平行四边形得到=尸=42。，再根据CD=CE,得到

NCDE=NDEC=42。,从而利用三角形的内角和定理求得

ZC=180°-NDEC-ZEDC=180。一42。-42。=96。艮fl可.

【详解】

解：­■•AFVDE,NDAF=48°,

ZADE=90°-ZDAF=90°-48°=42°,

•••四边形/BCD是平行四边形，

NCED=ZADF=42°,

■：CD=CE,

ZCDE=ZDEC=42°,

ZC=180O-ZDEC-ZEDC=180°-42°-42°=96°,

故答案为：96°

15.在“BC中，AB=AC,是3C的中线，若48=10,BC=12,则/。长为.

试卷第8页，共22页

【答案】8

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，由等腰三角形的性质，得到/。是

3c边上的高，再由勾股定理即可求出的长，掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

【详解】解：如图，

VAB=AC,是3C的中线，

AD1BC,BD=-BC=6,

2

在RtZXNB。中，Z8=10,BD=6,

由勾股定理，得AD7AB2-B。=402-6?=8,

故答案为：8.

16.如图，实心圆柱的底面周长为30cm,高为8cm.蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬

到点B的最短路程是_____厘米.

【答案】17

【分析】

沿过A点和过8点的母线剪开，展开成平面，连接42,则长时蚂蚁在圆柱表面从

点A爬到点3的最短路程，求出/C的长，在中，根据勾股定理，即可求解，

本题考查了，平面展开最短路径，勾股定理，解题的关键是：通过展开图找到最短路径.

【详解】解：沿过A点和过B点的母线剪开，展开成平面，连接

试卷第9页，共22页

则AB长时蚂蚁在圆柱表面从点A爬到点B的最短路程,

/.AC=gx30=15（cm）,

在RtA^5C中，AB=ylAC2+BC2=7152+82=17（cm）,

故答案为：17.

17.在RtZXABC中，ZC=90°,AB=3,则+2C?+/C?=.

【答案】18

【分析】本题考查了勾股定理.根据勾股定理求得/C2+J8C2=4B2=9,代入式子即可

求解.

【详解】解：•..在RtZ\/8C中，ZC=90°,AB=3,

：.AC2+BC2=AB2=9，

/.AB2+AC2+BC2=2AB2=18.

故答案为：18.

18.如图，矩形纸片48c。的长4D=9cm,宽48=3cm,将其折叠，使点。与点B重

合，那么折叠后DE的长为.

D'

【答案】5cm

【分析】

本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理以及正方形的面积；熟练掌握矩形和翻折

变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键.设。£长为xcm,则

/E=（9-尤）cm,BE=xcm,根据勾股定理得出NE?+/勿=,即（9-尤＞+3?=x?,

解方程求出x,即可得出的长.

【详解】

设DE长为xcm,则4E=（9-x）cm,BE=xcm,

••・四边形43c。是矩形，

二.=90°,

试卷第10页，共22页

根据勾股定理得：AE2+AB2=BE2，

即（9-x）2+32=x2,

解得：x=5,

即DE长为5cm,

故答案为：5cm

19.已知直角三角形两边分别为3cm和4cm,则其斜边长为—cm.

【答案】4或5

【分析】

直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为4cm的边是否为斜边，所以要讨论（1）

边长为4cm的边为斜边；（2）边长为4cm的边为直角边.

【详解】

解：（1）当边长为4cm的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为4cm；

（2）当边长为4cm的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为F7cm=5cm，

故该直角三角形斜边长为4cm或5cm,

故答案为：4或5.

【点睛】

本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，解题的关键是利用分类讨论思想进行解答.

20.如图，在中，AB=AC,BC=1273,CD=20,ZADB=30°,ZCAD=3ZBAL,

则BD的长为.

【答案】4币

【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，设

N氏W=a,根据导角得出/<:8。=60。+&,以为边向右作等边三角形尸4,以BC

为边作等边三角形△BC。，连接PC,得出5石〃。C进而可得/8C£=30。，进

而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解.

试卷第11页，共22页

【详解】解：VAB=AC,ACAD=3ABAD

设/BAD=a，则/CAD=3a,ABAC=4a,ZACB=ZABC=1(180°-ABAC)=90°-2a,

ZAFB=NFAC+NFCA=NFBD+/BFD

：.3a+90°-2a=ZCBD+30°

・・・/CBD=60。+a

以为边向右作等边三角形△87%,以为边作等边三角形△5。。，连接力。，PC,

,:AB=AC,BQ=CQ,AQ=AQ,

：.^ABQ^ACQ

：.AAQB=AAQC=1(360°-60°)=150°,

NABQ=180。-150。—2a=30。-2a,

ZPBC=/ABC-60°=90°—2a—60。=30。—2a,

又「AB=BP,BQ=BC

AABQ^APBC

：./BCP=ABQA=150。，ZBPC=ZBAQ=2a,

AC=AB=AP

：.ZAPC=/ACP=60°+ZBPC=60°+2a,

又ZACQ=NABQ=30。—a

.・・ZQCP=ZQCA+ZACP=90°

试卷第12页，共22页

过点3作BELDC于点£,则BE〃0c

贝ljNCBE=NACB=60°

NBCE=30°

BE=；BC=673,EC=y^BC2-BE1=18，

：.DE=DC-EC=2

在R3BDE中，BD=^BE2+DE2==46,

故答案为：477.

三、解答题

21.先化简（1-一二］一王广，再在1，2,3中选取一个适当的数值作为x的值，代入

IX-1）X-1

求值.

【答案】叶Y+1,当尤=3时，原式=4；

x3

【分析】

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.先

根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将使分式有意义的尤的值代入计算可

得.

【详解】

x-11x2-l

解：原式=

x—1x—1)x~-2.x

尤-2g(尤+l)(x-l)

x-1x(x-2)

_x+1

=9

X

•.•x=0或±1或2时，分母为0,

..x=3,

―3+14

则原式=亍=3

22.如图（1）,一个梯子NB长5米，顶端A靠在墙/C上，这时梯子下端3与墙角C距

离为3米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图（2）,测得8E长为1米，则梯子顶端A

下落了多少米?

试卷第13页，共22页

本题考查的是勾股定理的应用，先根据勾股定理求出NC及EC的长是解答此题的关

键.在中，根据勾股定理求出的长，由于梯子的长度不变，在Rt/XCDE中，

根据勾股定理，求出CE的长，从而即可得出答案.

【详解】

解：・••在RtZ\48C中，

/3=5米，3C=3米，

AC=y/AB2-BC2=V52-32=4米，

在RtzXCDE中，

DE=AB=5^i,CE=BC+8E=3+1=4米，

:.CD=ylDE2-CE2=V52-42=3米，

AD=AC-CD=4-3=1^:.

答：梯子顶端A下落了1米.

23.图①、②均是6x6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为

1,点4C在格点上.在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上.

⑴在图①中画出以/C为底边的等腰直角三角形4BC；

⑵在图②中作平行四边形NCMN,使Y/C&W的面积为12.

试卷第14页，共22页

【答案】(1)见解析

⑵见解析

【分析】

本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形的定义及平行四边形的性质等知识,

解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.

(1)根据等腰直角三角形的定义画出图形即可；

(2)利用平行四边形的性质作图即可.

【详解】(1)

图①

(2)如图②中，四边形/CMN即为所求.

图②

24.在Y/3CD中，E、尸分别是/民的中点.

(1)如图1,求证：四边形E8FD是平行四边形；

⑵如图2,连接N足CE,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中面积为

试卷第15页，共22页

Y/BCD面积一半的所有的三角形和四边形.

【答案】(1)见解析

(2)面积为Y/BCD面积一半的所有的三角形有,ACDE,面积为Y/BCD面积一

半的所有的四边形有四边形/ECF,四边形座7加，

【分析】

此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了平行四边形的性质与判定，综

合性比较强，对于学生的能力要求比较高.

(1)首先了利用平行四边形的性质和中点的性质得到,/台〃。，AB=CD,由此即

可证明；

(2)由题目提供的条件直接回答即可解决问题.

【详解】(1)

证明：•••四边形/BCD为平行四边形，

AB//CD,ABCD,

;E、尸分别是平行四边形4BCD的边48、。。的中点，

:.BE//DF,BE=DF,

，四边形EBFD是平行四边形；

(2)

解：由题意得面积为Y48co面积一半的所有的三角形有△4RF,ACDE,面积为

Y48co面积一半的所有的四边形有四边形NECV,四边形3£。尸，

25.某服装店用5400元购进一批某款式T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，该服

装店又用5760元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第

一批多了6元.

(1)第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？

(2)该服装店以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出;时，出现

了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于540元，剩余的T恤衫每

件售价至少要多少元？(利润=售价-进价)

【答案】⑴第一批T恤衫每件的进价是90元；

(2)剩余的T恤衫每件售价至少要75元.

【分析】

试卷第16页，共22页

本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，

根据利润作为不等关系列出不等式求解.

(1)设第一批T恤衫每件进价是x元，则第二批每件进价是(x+6)元，再根据等量关系:

第二批进的件数=第一批进的件数可得方程；

(2)设剩余的T恤衫每件售价V元，由利润=售价-进价，根据第二批的销售利润不低

于540元，可列不等式求解.

【详解】(1)

设第一批7恤衫每件进价是x元，由题意，得

5400_5760

=~，

xx+6

解得x=90,

经检验尤=90是分式方程的解，符合题意.

答：第一批T恤衫每件的进价是90元；

(2)

设剩余的T恤衫每件售价J元.

由(1)知，第二批购进喋=60(件).

21

由题意，^#120x60x-+yx60x--5760>540,

解得了275.

答：剩余的7恤衫每件售价至少要75元.

26.填空及解答：

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最

重要的工具之一，也是数形结合的纽带之T,它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，

更因为应用广泛而使人入迷.

(1)图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为c的小正

方形，请借助图1来验证勾股定理.

图1

证明：由等面积法知：$大正方形=45直角三角形+S小正方形

试卷第17页，共22页

图3

(2)应用勾股定理

应用场景1—在数轴上画出表示无理数的点.

如图2,①在数轴上找出表示2的点G,过点G作直线/垂直于数轴，在/上取点尸，使

FG=\,以原点。为圆心，。尸为半径作弧，则弧与数轴的交点£表示的数是.

②在数轴上找出表示4的点A,过点A作直线/垂直于数轴，在/上取点8,使/2=2,

以表示数1的点。为圆心，DB长为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是.

应用场景2——解决实际问题.

如图3,某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m,将它往前推2m

至C处时，即水平距离。=2m,踏板离地的垂直高度CF=1.5m,它的绳索始终拉直,

求绳索/C的长.

1

【答案】(1)4xjab+/=(。+6)9,c2=a2+b~

(2)应用场景1：①石，②旧+1；应用场景2：绳索/C的长为2.5m.

【分析】

本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结

合思想的应用.

(1)结合图形可知得到c2=I+〃；

(2)应用场景1：①根据勾股定理求出0尸，根据实数与数轴解答即可；

②根据勾股定理求出DB，根据实数与数轴解答即可；

应用场景2：设秋千的绳索长为xm,根据题意可得4)=(x-l)m,利用勾股定理可得

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22+(X-1)2=X2,即可得到结论.

【详解】(1)

证明：由等面积法知：S大正方形=45直角三角形+S小正方形

4x；a6+c;2=(a+6『

Ac2=a2+b2,得证.

故答案为4x—ab+c2=(a+b)2,c2=a2+b2.

(2)应用场景1：

①在Rt^OE尸中，

OF=yJOG2+GF2=，2?+仔=石，

OE=石，

...点£表示的数是指，

故答案为：Vs；

②在RtA0R4中，

,DB=>/DA2+AB2=力。+22=V13'

OC=厢，

•・・点C表示的数是旧+1,

故答案为：V13+1;

应用场景2：

■:CF=1.5m,BE=0.5m,

/.DB=Im.

设秋千的绳索长为xm,根据题意可得/O=(x-l)m,

利用勾股定理可得22+(x-l)2=X2.

解得：x=2.5.

答：绳索ZC的长为2.5m.

27.已知，在四边形48co中，AD//BC,ZABC=ZADC,AD=3,AB=^0.

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(2)如图2,点£在8C的延长线上，连接DE,若43。=90。一^/。①)，且Y/BCD的

面积为9,求。E的长度.

(3)如图3,在(2)的条件下，动点