江苏省盐城市2022-2023学年高二年级下册学情分析考试(一)数学 含解析

江苏省响水中学2023年春学期高二年级学情分析考试（一）

数学试题

考生注意：

1.试卷分第I卷和第II卷，共4页.

2.满分150分，考试试卷120分钟.

第I卷选择题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.若J",则A；=（）

A.30B.20C.12D.6

【答案】A

【解析】

【分析】先由组合的运算公式计算出〃的值，再代入A：中，由排列公式即可计算出结果.

【详解】若C；=15,若1=15,〃（〃-1）=30,〃=6,

Ag=6x5=30

故选：A.

2.如图，在四面体O—A5c中，G1是ABC的重心，G是OG］上的一点，且OG=2GG「若

OG=xOA+yOB+zOC,贝U（x,y,z）为（）

(222)

B.〈3'3'3

222

D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间向量线性运算进行计算，用。4。民。。表示出OG.

【详解】因为E是5c中点，所以OE=g(Q3+OC),

2

G1是，ABC的重心，则AG】=-AE,

--------2-2一―-

所以AG=§AE=§(OE—OA),

因为OG=2GG]

2224

所以OG=§OG=§(OA+AG)=§OA+g(OE—QA)

2422222

=-OA+-OE=-OA+-(OB+OC)=-OA+-OB+-OC,

9999999

.•一2

若OG=xOA+yOB+zOC,则x=y=z=§.

故选：D.

【点睛】本题考查空间的向量的线性运算，掌握向量线性运算的运算法则是解题关键.

3.已知a=(2,0,1),匕=(3,2,—5),则向量匕在向量i上的投影向量是()

1111

A.-(3,2,-5)B.—(3,2,-5)c.-(2,0,1)D.—(2,0,：

□JOJJo

【答案】c

【解析】

【分析】先求出向量人在向量〃上的投影，再求解向量人在向量。上的投影向量即可.

【详解】因为々=(2,0,1),b=(3,2,-5),

,_4日,,,,a-b2x3+0x2+lx(-5)逐

则nI向堇/?在向重〃上的n投HZ影为=------,4]------=，

所以向量b在向量力上的投影向量是李x£=李乂3。=:。=2(2,0,1).

故选：C.

4.若/('=一；d+引11(2。4)在(—2,+8)上是减函数，则实数b的范围是()

A.(-oo,-l]B.(TO,0]C.(-1,0]D.[-1,4W)

【答案】A

【解析】

【分析】由函数的单调性，将问题转化为导函数小于等于零恒成立的问题，从而进行处理.

【详解】因为/(x)=—gx2+bln(2x+4),

A

故可得/''（%）=—x+—

八十乙

因为〃龙）在区间（—2,”）是减函数，

故—X+——40在区间（—2,-+W）上恒成立.

因为1+2>0,故上式可整理化简为

b<九（1+2）在区间（一2,+8）上恒成立，

因为y=x（x+2）在区间（—2+8）上的最小值为—1,

故只需

故选：A.

【点睛】本题考查根据函数的单调性，利用导数求解参数范围的问题，属基础题.

5.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体

验课程，每天开设一门，连续开设6天，则（）

A.从六门课程中选两门的不同选法共有30种

B.课程“书”不排在第三天的不同排法共有720种

C.课程“礼”、“数”排在不相邻两天的不同排法共有288种

D.课程“乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有576种

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答.

【详解】对于A,从六门课程中选两门的不同选法有=15（种），A选项不正确；

对于B,除第三天外的5天中任取1天排“书”，再排其他五门体验课程共有5A；=600（种），B选项不

正确；

对于C,“礼”“数”排在不相邻两天，先排其余四门课程，再用插空法排入“礼”“数”

则不同排法共有用用=480（种），C选项不正确；

对于D,六门课程的全排列有A：=720（种），“乐”、“射”、“御，排在都相邻的三天的不同排法有

A；A：=144（种），贝广乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有720-144=576（种），D选项

正确.

故选：D

析出％=e时，函数取得最大值/'(e)=：,可得C最大，然后结合函数单调性即可比较大小.

【详解】设/'(X)♦，则r(x)=W^,

当%>0吐/'(力<0,函数单调递减，当0<x<e时,制x)>0,函数单调递增,

故当％=e时，函数取得最大值〃e)=1,

in-

2(2-ln2)劣=?=牛=/(4),c=：=/(e),

因为a=-------；-----_2_fen

2

ee、2)

T

eJ<4,

2

仆2、

当％>e时,r")<。,函数单调递减，可得〃4)<y—</(e),

I2J

即6<Q<C.

故选:C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知空间中四点A(l,1,0),8(0,1,2),C(0,3,2),£)(-1,3,4).下列说法中，正确的有

()

A.ABLBCB.AB//CD

C.A,B,C三点共线D.A,B,C,。四点共面

【答案】ABD

【解析】

【分析】首先求出向量A3，BC，AD<CD，AC的坐标.根据A3-3C=0可判断选项A；根据

A3=Cr>可判断选项B；根据ABH2AC可判断选项C；设AC=443+,求出；I和〃的值，从

而可判断选项D.

【详解】易知AB=(—1,0,2),BC=(0,2,0),AD=(-2,2,4),CD=(-1,0,2),AC=(-1,2,2),

因为A3・3C=0，所以AB±BC<故选项A正确；

因为A3=CD，且A3,C,D四点不共线，所以A5〃CE>,故选项B正确;

因AB/XAC，所以A，B,C三点不共线，故选项C错误；

易知当AC=/LAB+4A。时，A,B,C,。共面,

即(-1,2,2)=2(-1,0,2)+〃(—2,2,4),所以(-1,2,2)=(-2-2〃,2〃,22+4〃)，

-2-2//=-1

2=-1

.•.<2〃=2,解得，，

22+4//=2=

AC^-AB+AD>所以A，B,C,。共面，故选项。正确.

故选：ABD.

10.下列等式正确的是()

H7+1

A.C：=^-c：+1B.ATH然二

n+1

k

C.A：=nA：；D.nCn=(k+1)C俨+kC：

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据排列组合数的计算公式依次对选项整理变形，分析可得答案.

n\m+\(n+1)!加+1-加+1

【详解】根据组合数公式得C：----------------------二------------X--------------------------------则-4错误；根据

—n+1(m+l)!(n—m)!

(”+1)!n\n\/1八(n-l)!*m-\,

排列数公式得A；；；-A；22

；---------(n+l-l)=?r.----------=nAn_x,则B正

(n—m)!(n—m)l(n—m)!

九1(〃一1)11

确；根据排列数公式得A：=；~—=H-y—^-=nA'^,则C正确；根据组合数公式得

(n-m)!(n-m)!

(k+l)C/=

kk

(k+1)nQ-kc=(n-kY___—___=____________

(左+1)![“一(左+1)]!kl[n-(k+l)]l'""k!(n—k)!kl[n-(k+l)]l

nC^=(k+1)C产+kC,则。正确.

故选：BCD

11.在棱长为2的正方体ABC。—中，点、M,N分别是棱2C和CC1中点，下列结论正确的是

()

A.MN[BQ

B,直线MN与平面平行

C.点N到面的距离为如

2

D.平面AMN截正方体所得截面的面积为3后

【答案】AC

【解析】

【分析】在正方体中建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算进行判断；A,计算肱V-4。即可；B,

求出平面4G。的法向量为力=(x,y,z),计算”.MN即可；C,求平面人用”的的法向量为

n'=(a,b,c),计算点N到面A与”的距离即可；D,作出面AMN截正方体所得截面，求其面积即可.

【详解】如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标，

则D(O,O,O),M(1,2,0),N(0,2,1),A(2,0,0),A(2,0,2),B,(2,2,2),Q(0,2,2),

对于A,w=(—1,0,1),4。=(—2,—2,—2),

则ACV-4力=(—l,0,l)・(—2,—2,—2)=0,故MNLBQ,即MNLBQ,故A正确;

对于B,MN=(-1,0,1)，设平面4G。的法向量为n=(x,y,z),

期=(2。2)3=(0,2,2),

n-D\=2x+2z=0

则《贝何取〃,

n-DC】=2y+2z=0

而=1>(—1,0,1)=—2/0,故直线MN与平面46。不平行，故B错误;

对于C,设平面4片”的的法向量为〃'=(a,仇c),

AB；=(0,2,2),MB】=(1,0,2),

n'-AB,=26+2c=0

贝U，cc可取，=(—2,—1,1),

n-MB]=a+2c=0

而MN=(—1,0,1),故点N到面的距离为d.'=5=当,故C正确;

对于D,平面截正方体所得截面为如图等腰梯形MN2A,

则MN=41ADi=26,AM=5,高为卜吟)2=哼,

故其面积S=^x(、历+3jl)x£2=?,故D错误，

222

故选:AC.

12.已知函数〃x)=e、—asinx,则下列说法正确的是().

A.当。=0时，过原点作曲线y=/(x)的切线/,贝门的方程为丁=叱

B.当a=l时，"％)在(0,+。)上单调递增

c.若“X)在［-万,万)上单调递增,则。<缶常

D.当a=-l时，“X)在，兀?上有极小值点

【答案】ABD

【解析】

【分析】设切点坐标并求导及导数的几何意义可求得切线方程，运用导数研究函数的单调性、极值点.

【详解】当a=0时，/(x)=ev,设切点为仇e)/,(x)=ev,k=em，

所以/:y—e根"根)，

又/过原点，贝U—e"=e"(—加)，解得根=1,所以/的方程为丁=叱，故A正确;

当a=l时，/(x)=ex-sinx,/r(x)=ex-cosx,

当%>0时，e*>l，-l<cosx<L所以用工)>0,

所以/(力在(0,+“)上单调递增，故B正确；

fr(x)=ex-acosx,若/(%)在卜^•仁)上单调递增，

则/'(%)之。在［-1，日］上恒成立，即a<——在上恒成立,

122Jcosx122J

令，(》)=上，则〃(「MT,

cosxcosX

令"(x)=0,得了=一:，当xe，5，—；］时，〃(x)<0,妆x)单调递减，

(jrJT］

当.［一］，5)时，/i'(x)>o,妆龙)单调递增，

所以丸(%心=丸］—智=缶一手，所以“<缶已故C错误；

当。=-1时，/(x)=e'+sinx,/'(x)=e“+cosx,

令0(x)=/'(%),则0'(x)=eX—sinx,

当时，sinx<0,所以0'(x)=e*—sinx>0,

所以0(x)=/'(x)在，兀,一^］上单调递增,

又/'(一7i)=eF—1<0,/'(4］=ef〉0,

所以由零点存在定理可知，存在唯一的毛e［-私一,使得/''(Xo)=O，

,

当xe(一匹飞)时,/(%0)<0,〃尤)单调递减，

当时，/(%())>0,/(%)单调递增，

所以了(%)在[-兀，-3上有极小值点，故D正确.

故选：ABD.

第II卷非选择题

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知a=[x,|>3],Z?=(-l,y,2),若。与6共线，贝U%+y=.

【答案】-'##-0.5

2

【解析】

【分析】由向量共线的坐标表示得出的值.

【详解】因为a与6共线，所以(―Ly,2)=|卜;,|,3]=1|x,L2)所以x=—|,y=l,则x+y=-j

故答案为：—

2

14.把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有种.

【答案】6

【解析】

【分析】元素相同问题用隔板法.

【详解】利用隔板法：由题可知使每个小朋友都能分到小球的分法有Cj=6种.

故答案为：6.

15.平行六面体ABC。-A耳G。中，以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60，求

BDt-AC的值是.

【答案】1

【解析】

【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出3。,AC,再根据空间向量的数量积的运算，即可

求得答案.

【详解】由题意得明=班+4)+£>0]=AD—AB+A4,,AC=AB+AD

----2-2

则8nAe=(AD—AB+AAXAB+ADQALT—AB+A4,AB+A^AD

=l-l+lxlxcos60+lxlxcos60=1,

故答案：1.

D

32

16.已知/(%)=—lnx+9—ex+4,g(x)=—x-x+2,若VX]£(O,1],Bx2e[-l,l],都有

JC3

g(无2)之/(%),则。的取值范围为.

【答案】

【解析】

【分析】先利用导数求出函数g(x)=gx3—x2+2,xe[—1,1]的最大值，将问题转化为

〃Wxlnx+e/一2%在(0/恒成立，构造函数ZzOOflnx+e/-2x(0<x41),利用二次求导确定该函数

的单调性和最值问题.

【详解】因为g(x)=；x3—V+2,xe[-l,l],

所以g'(x)=x(x—2),

当一l<x<0时，g'(x)>0,当0cx<1时，g'(x)<0,

即g(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

所以g(x)max=g(°)=2；

f(x)=-ln%+--ex+4W2在(0,日恒成立，

x

即aWxlnx+ex2-2x在(。/卜恒成立，

令/z(x)=xlnx+ex2-2x(0<x<1),

贝！J〃(x)=lnx+2ex-1,

令祖(x)=〃(x)=lnx+2ex-1,

则加(%)=工+2e>0恒成立,

x

所以〃'(X)在(0』单调递增，—2+：—1<0,〃⑴=2e—1>0,

故存在/6(0』］,使得0<%</，//(x)<0,

x0<x<l,”(x)>0,

即”)=1叫)+2exo-l=O,解得/=，,

所以〃(%)而n=/zjL]=_L+ejL]-2?-=-—，

Je)ee

2(2"

所以一—，即aw|—oo,——.

eIe」

故答案为：]一%—.

【点睛】方法点睛：在处理不等式恒成立问题时，往往转化为求函数的最值问题，如:

(1)对于函数f(x)、g(x),若IXX]wD,3%e”,都有g(x2)>/(Xj)

OgOOmax2/(X)1mx;

(2)对于函数/(%)、g(x),若Vx,eM,都有g(x2)>/(xj

Og(X)minN/(x)max.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17解方程：

(1)3A：=2A：+i+6A]

(2)q=c*.

【答案】(1)尤=5

(2)九=1或x=2

【解析】

【分析】(1)根据排列数公式即可求解；

(2)根据组合数和组合数的性质即可求解.

【小问1详解】

-3A：=2A;+1+6A;,.-.x23且xeN+,

3x(x-l)(x-2)=2x(x+l)+6x(x-l),化简，得3f—17%+10=0，

解得工=5/=|(不合题意，舍去)，

二.1=5

【小问2详解】

依题意，有x=5x—4①或x+5x-4=8②，

解①得x=l,解②得x=2.

经检验，%=1或x=2都符合题意.

x=1或尤=2

18.已知向量a=(—2,—1,2)1=(—1/,2)]=(苍2,2).

(1)求卜-2司；

(2)当同=2a时，若向量履+b与c垂直，求实数x和左的值；

(3)若向量c与向量共面向量，求工的值.

【答案】(1)V13

(2)x=0,k=—3

1

(3)x=——

2

【解析】

【分析】(1)根据空间向量的模长公式求解即可.

(2)根据空间向量的加法和数乘运算，可得坐标表示，根据空间向量垂直的坐标计算公式，求解即可.

(3)根据向量共面定理，建立向量e与向量出。之间的表示，可得方程组，求解即可.

【小问1详解】

a=(-2,-1,2),1=(-1,1,2),

tz-2Z>=(-2,-1,2)-2(-1,1,2)=(0,-3,-2),

.•.|a-2Z?|=A/9+4=V13.

【小问2详解】

因为|c|=272,

所以+2?+2?=20，解得了=0，

因为左a+5=(-2左一1,1—左,2k+2),且向量左。+力与°垂直,

所以(hz+6)-c=0,4=(0,2,2)

即2—2左+4左+4=2左+6=0,

k=-3.

所以实数X和左的值分别为。和-3；

【小问3详解】

解:设c=Xa+/zZ;eR),

则(须2,2)=2(-2,-1,2)+〃(-M,2)

113

解得，x=—,2=—,//=—

222

-13-

即c=——a+—b,

22

所以向量2与向量a，Z?共面.

19.如图，在长方体ABC。—A4GR中，8。=4,46=8与=2,点E是8月的中点.

(1)求与AE所成角的余弦值；

(2)求BQ与平面ACE所成角的正弦值.

【答案】(1)早工

30

⑵迦

21

【解析】

【分析】(1)根据长方体以A为原点，AB,AD,M为羽％z轴建立空间直角坐标系，求解按

照异面直线夹角余弦公式求解BD｝与AE所成角的余弦值即可;

(2)由(1)求平面ACE的法向量与直线BQ的方向向量8。，再利用空间向量坐标运算解求得BQ与

平面ACE所成角的正弦值.

【小问1详解】

在长方体ABC。—A4GR中，BC=4,AB=BB］=2,如图，以A为原点，AB,A。,9为乂Xz轴

则4（0,0,0）,3（2,0,0）,C（2,4,0）,。（0,4,0）,4（0,0,2）,4（2,0,2）,G（2,4,2）,〃（0,4,2）,矶2,0,1）,

BD^AE-4+0+2A/30

所以=（一2,4,2）,AE=（2,0,1）,则cosBD,,AE=

忸川口石12ax小30，

则BDI与AE所成角的余弦值为叵；

30

【小问2详解】

设平面ACE的法向量为〃=z),又前=(2,4,0),荏=(2,0,1),BDj=(-2,4,2),

ACn=02x+4y=0x=-2y/、

所以《nnz=2,令A'则力=(一2」，4)

AE•〃二02x+z=0

BD,-n4+4+84^44V14

所以cos3。,n=।---------故。与平面所成角的正弦值为

网.同2nx0T(p,6ACE

21

20.已知函数/(%)=lnx+3,6ZGR.

(D当a=2时，求曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程;

3

(2)若函数"%)在［l,e］上的最小值是万，求°的值.

【答案】（1）x+y—3=0

（2）a=yjc

【解析】

【分析】(1)利用导数与切线斜率的关系求解即可；

(2)利用导数讨论函数在区间上的单调性即可求解.

【小问1详解】

2

当a=2时，/(x)=lnx+-,/(1)=2,

所以切点为(1,2),

1o

广(力」-彳，贝2=-1,

XX

所以切线方程为y—2=—(x—1),即x+y—3=0.

【小问2详解】

\1ax-a

f(町=-----T=J-J%>0，

xxx

若则/■'(X)»0在［l,e］上恒成立，

所以了(%)在［l,e］上单调递增，

3

所以/(x)min=/(1)=。=5,不满足题意；

若l<a<e,令/<x)<0,解得lWx<a,令制x)>0,解得a<xWe,

所以函数/(%)在［1,。)单调递减，(a,e］单调递增，

所以/(x)mm=/(a)=lna+l=Q，解得a=五,满足题意；

若aNe,则/'(无)W0在［l,e］上恒成立，

所以"%)在口，百上单调递减，

所以/(力皿=/化)=1+—“=彳3，解得“=p?不满足题意，

综上，a=-\/e.

21.如图，在四棱锥P—A6CD中，底面ABC。是边长为2的菱形，△E4。为等边三角形，平面八4£>_1_

平面ABCDPBLBC.

（1）求点A到平面PBC的距离;

（2）E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABC。所成的角的正弦值为乂型，求平面ADE与平面

10

A2C。夹角的余弦值.

【答案】（1）显

2

⑵好

5

【解析】

【分析】（1）取AD中点。，连接08,0P.通过证明OP±OB,AD±OB,可得。3=百，PB=5

后由等体积法可求得点A到平面PBC的距离；

（2）由（1）,如图建立以。为原点的空间直角坐标系，由直线AE与平面A8CD所成的角的正弦值为迫0,

10

（2百2/-）

可得E--,^,-73.求得平面A0E的法向量后，利用空间向量可得平面A0E与平面A3CO夹角的余

I333J

弦值.

【小问1详解】

取中点O,连接08,OP.

：.为等边三角形，，OPLAD,。4=1,OP=布.

又；平面B4DJ_平面A8CD平面Q4Dc平面ABCD=AD,

OPu平面PAD,：.OPJ"平面ABC.

又•/OBu平面ABCD,：.OPLOB.

'：PB±BC,：.BC//AD,：.PB±AD.

又OPu平面尸08,

PBu平面POB,OPPB=P,：.AD±平面POB.

又平面POB,，AD_LO8.

：.OB=BPB=4^>

设点A到平面PBC的距离为h,

则匕l-PBC=/-ABC即lS&PBC,"=4S&ABC'0P，：,人=造；

332

由(1),分别以。4OB,OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则

P(0,0,百)，C(-2,后0),4(1,0,0)，。(—1,0,0),PC=(--2,百,一间，OP=(0,0,73),

AD=(-2,0,0).

UULuum

设PE=2PC(0<2<1),则PE=(-22,V32,-V32),

OE=OP+PE=(-2A,收，g-A/32).

得后卜2尢收，A/3-而)，则AE=(—24—1,6/1,省—四)

又OP,平面ABC,则取平面A8CD的法向量4=(0,0,1).

设AE与平面4BC。所成的角为。，则

.A/AP\___________________________V30

sin6-cos(AE,r\)=/==----

22210,解得

'^(-22-1)+32+(73-V32)3

则小"污,

^333JAE=(U3，34^3j