浙江省杭州2023-2024学年高二年级下册3月月考数学试题（含答案解析）

浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二下学期3月月考数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线6x-3y+4G=0的倾斜角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.若直线平面a,直线/的方向向量为平面a的法向量为刃，贝!]()

A.a=(1,0,1),6=(1,0,-1)B.a=(1,1,1),b=(1,1,-2)

C.a—(2,1,1),b=(—4,—2,—2)D.a=(1,3,1),b=(2,0,—1)

3.有一组样本容量为10的样本数据为：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,则该样本中

()

A.中位数与平均数的值不同B.第70百分位数与众数的值不同

C.方差与极差的值相同D.方差与标准差的值相同

4.已知二项式(34-：)的展开式中，所有的二项式系数之和为32,则该展开式中x的

系数为()

A.-405B.405C.-81D.81

5.若直线y="+2左与曲线y=有两个不同的交点，则左的取值范围是()

A.[-44]B-[°4)C.N，码D.[0,6)

6.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后,

反射光线经过抛物线的焦点.过点P(2板,5)且平行于了轴的一条光线射向抛物线

C:Y=4J，上的A点，经过反射后的反射光线与C相交于点3,贝研/a=()

79

A.-B.9C.36D.-

22

7.如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为

“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为()

A.530B.502C.503D.505

8.已知函数/(%)=——3xlnx+J若V机，〃£(0,+co),且加W〃时，都有

试卷第1页，共4页

叫)？⑺>0,则实数a的取值范围是()

mn-nm

A.B.C.(-℃,-2)D.(-oo,-2]

二、多选题

9.数列｛与｝是首项为1的正项数列，。用=2%+3,5,是数列｛与｝的前"项和，则下列

结论正确的是()

A.%="B.数列+3｝是等比数列

+i

C.%=4〃-3D.Sn=2"-n-2

10.已知函数/(x)=(x+l)e*的导函数为/'。),则()

A.函数/⑴的极小值点为-1B.广(-2)=0

e

C.函数“X)的单调递减区间为(-8,-2)D.若函数g(x)=/(x)-a有两个不同的

零点，则。］-5，+oo)

11.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个

顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面

的截面，得到所有棱长均为。的截角四面体，则下列说法正确的是()

A.ABVCG

B.二面角8-五/7-K的平面角余弦值为!

C.该截角四面体的外接球表面积为日囱2

D.该截角四面体的表面积为66/

三、填空题

12.已知z=a+历］。力^氏)，其中i为虚数单位.若2+i=(l+i)z,则。=:

试卷第2页，共4页

Izl=-

13.为备战第47届世界技能大赛，经过层层选拔，来自/,B,C,。四所学校的6名

选手进入集训队，其中有3人来自/学校，其余三所学校各1人，由于集训需要，将这

6名选手平均分为三组，则恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有种.(用

数字作答)

14.如果两个函数存在零点，分别为/，若满足W一?则称两个函数互为“〃

度零点函数若〃x)=ln(尤-2)与g(x)=&-lnx互为“2度零点函数”，则实数。的取

值范围为.

四、解答题

15.已知函数f｛x)=xi+'3x1-ax^x=\处取得极值.

(1)求。的值；

(2)求/(x)在区间［—4,4］上的最大值和最小值.

16.已知各项均为正数的等差数列｛%｝的公差为4,其前〃项和为工，且2%为邑,S3的

等比中项.

(1)求｛。”｝的通项公式；

4

(2)设"=——,求数列也｝的前"项和1.

anan+l

17.如图，在多面体/8CAE厂中，四边形是边长为2的正方形，EF//AD,

AE=2EF=2,/FAD=120°，平面ADFE±平面ABCD.

(1)求证：BD1CF；

⑵求平面/砥与平面BDF所成锐角的余弦值.

18.已知函数/(x)=x+^——-Inx(a<0).

x

⑴当。=-1时，求曲线y=在点(1J。))处的切线方程;

试卷第3页，共4页

⑵求函数了=〃x)的单调区间；

(3)若对Vxe[e,+s)(e为自然对数的底数)，/(x)〈尤-里恒成立，求实数。的取值范围.

19.已知双曲线C的中心为坐标原点，右焦点为(近,0),且过点(-4,3).

⑴求双曲线C的标准方程；

⑵已知点过点(1,0)的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点M,N,直线/N

与双曲线。交于另一点尸，设直线加小,3的斜率分别为匕,右.

(i)求证：%+色为定值；

(ii)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】求出直线氐-3y+46=0的斜率，进而可得出该直线的倾斜角.

【详解】因为直线瓜-3了+46=0的斜率为左=1,因此，该直线的倾斜角为30。.

故选：A.

2.C

【分析】由题可得：//，，根据空间向量共线的判定依次判断即可.

【详解】因为直线平面直线/的方向向量为平面。的法向量为B，所以册/♦，

对A,—-,二.不平行；对B,不平行；

1-111-2

对C,*.*—-=--=—->a/1b»故C正确；对D,丁7。-花不平行.

-4-2-22-1

故选：C.

3.D

【分析】根据给定的样本数据，分别求出平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差、第

70百分位数，再逐项判断作答..

【详解】依题意，样本平均数户=3,中位数为3,A不正确；

4+4

因10x70%=7,于是得第70百分位数是一1二4,众数为4,B不正确；

2

样本方差？=(1-3)2+2X(2-3)2+3X(3-+4x(4-1，极差为4_1=3)c不正确，

10

样本标准差J/=l，D正确.

故选：D

4.A

【分析】利用展开式二项式系数之和求出〃，再利用展开式的通项公式求解即可.

【详解】由二项式卜五-：］的展开式中，所有的二项式系数之和为2"=32,可得〃=5,

贝力=(36-口，

5T/1Y5-3r

其展开式的通项公式为&i=C>(3⑸一卜提=(-1丫炉.，亍(r=0,l,2,…,5),

答案第1页，共13页

令早一1,解得/*=1,则其该展开式中X的系数是（_1.35，C=-405.

故选：A.

5.B

【解析】联立直线的方程和曲线的方程，根据判别式大于零列不等式，解不等式求得左的取

值范围.

【详解】由于y=,1—炉>o,所以1——之0,-l<x<l.y=kx+2k=k（x+2）,要使直线和

y=kx+2k

曲线有交点，则左20.由,,一r（x+2）2=l-x2,即（1+VV+4左、+4左2-1=0,

y=yjl-x

fA>0116rt-4（l+r）（4公_1）>0\k2<-

由于直线和曲线有两个交点，故，、八，即I八’，即3,解得

屋0

0<k<—.

3

故选：B

【点睛】本小题主要考查根据直线和曲线的交点个数求参数的取值范围，属于基础题.

6.D

【分析】首先求出直线48的方程为y='x+l,将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式,

则得到"+%=g,最后利用焦点弦公式即可.

【详解】令x=20，则y_（2））

4

则点A的坐标为（2拒,2）,C的焦点为尸（0,1）,

则七/=第=字，所以直线的方程为了=孝》+1,

与抛物线方程f=4y联立，消去了得卡-亚x-4=0，由韦达定理得巩+/=也，

所以几+yB=字（/+xB）+2=1,

9

所以由抛物线的定义得|/为=乃+乃+2=5.

故选：D.

答案第2页，共13页

【解析】根据题意，分别得到“上升”的正整数包含：两位数有C；个，三位数有C；个，L,

九位数有个，再由组合数的性质，即可求出结果.

【详解】由题意，“上升”的正整数包含：两位数有个，三位数有C；个，L,九位数有

个，

则所有“上升”的正整数的个数为

C；+C；+C；+…+C；=29-C：Y=502,

故选：B.

8.D

【分析】令g(x)=*h由定义得出其单调性，进而得出204/-3/在(0,+与上恒成立,

再由导数得出力(力=尤3-3尤2的最小值，即可得出实数a的取值范围.

【详解】令g(x)=^=x—31nx+二

XX

因为V加，«e(0,+co),且加w〃时，都有」(：)一""俏)>0,

mn-nm

/(m)f(n)

即V机，«e(0,+oo),且加片”时，都有m—n,0，

m-n

所以g(x)在(0,+s)上单调递增，

即g'(x)=1-j一?20在(0,+巧上恒成立,BP2a<x3-3x2在(0,+刈上恒成立.

令访(x)=X3-3x?,xe(0,+co),所以〃(x)=3x?-6x=3x(x-2),

令〃(x)>0,解得x>2,令”(x)<0,解得0<x<2,

所以〃(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

所以"(x)min="(2)=-4,所以2°<-4,即04一2.

答案第3页，共13页

故选：D.

9.AB

【解析】由已知构造出数列g"+3｝是等比数列，可求出数列｛%｝的通项公式以及前〃项和，

结合选项逐一判断即可.

【详解】。华=2%+3,+3=2(%,+3),.•.数列｛a“+3｝是等比数列

+1

X*/=1,+3=(%+3)2=“，an=2"—3,/.a3==13,

.4(1-2"),

,,S=-------------3n=2,1+i—3»-4.

1-2

故选：AB.

10.BC

【分析】求出函数的导数，即可判断B,判断函数的单调性，确定函数极小值点，判断A,

C；将函数g(x)=/(x)-a有两个不同的零点，转化为直线>与y=/(x)的图象有2个交

点，数形结合，求得°的范围，判断D.

【详解】由/(x)=(x+l)e",得八x)=(x+2)e;则洋(-2)=0,B正确;

令/'(无)<0,贝ljx<—2,4rW>0,贝！|x>-2,

故/(刈在(-oo,-2)上单调递减，在(-2,+oo)上单调递增，

故/⑴的极小值点为x=-2,且极小值为/(-2)=-1，A错误，

e

递减区间为(-'-2),C正确；

若函数g(无)=/(尤)-“有两个不同的零点，即直线>与了=/(尤)的图象有2个交点，

当x<T时，/(x)<0,当尤>-1时，/(x)>0,当x趋向于负无穷时，/0)趋近于0,

作出函数的图象，

结合图象可知当时，直线>与了=/(尤)的图象有2个交点,

答案第4页，共13页

故函数g(x)=〃x)-a有两个不同的零点，则D错误，

故选：BC

11.ABC

【分析】根据题意还原正四面体，根据正四面体的几何性质，结合平行关系即可判断A,由

二面角的定义，结合几何法，由余弦定理即可求解B,设外接球的球心为。，“3C的中心

为O',△样。的中心为0”,再根据题意得截角四面体上下底面距离为-逅。=歧。，

33

所以一+JR?一。”由=噂，即.一［+9一/=半编即可求解半径，进而

判断C,对于D：因为截角四面体由4个边长为。的正三角形，4个边长为。的正六边形构

成，求面积即可判断.

【详解】对于A,先证明正四面体的对棱互相垂直.如图在正四面体/BCD中，A8LC7),证明

如下：取CD中点为。，连接08,/。，

由于四面体为正四面体，所以ABCDQ/C。均为等边三角形，故

CD_LBO,CZ>_LNO,/OcOB=0,80,40u平面/O8,

所以CD_L平面/O3,

N3u平面/OB,故ABLCD,

还原正四面体如下图:

答案第5页，共13页

因此在截角四面体中，ABHNQ，在正四面体SNP0中，SPLNQ,所以故A正

确,

由于截角四面体的特征可知：六边形ABDEKJ,六边形EFHILK和六边形BCGHFD均为边

长为。的正六边形，

所以"，切,2尸，我,故Z8尸K即为二面角8-FH-K的平面角，由正六边形的性质可

得KF=6a=BF,BK=2a,

b,、，BF2+KF2-BK23a2+3a2-4tz21,,一日

所以cosZBFK=---------------=----产__=-,故B正确，

2BF-KF2xWxga3

对于C,设外接球的球心为O,AA8C的中心为。，ANP0的中心为0”,

因为截角四面体上下底面距离为血0-如。=亚°,所以奴-0Y+&2-0W=2a

------1

333

r^i22A/6手a-J及2_/,

所以+7R—Q-------a，所以

3

所以小一式=9/+尺2一^R2-a2,所以火2=2/

3338

所以成="皿

5=422,故C正确;

2

对于D,由正四面体S-储。中，题中截角四面体由4个边长为。的正三角形，

4个边长为。的正六边形构成，故S=4x」la2+4x6x立/=76",故D错误;

44

故选：ABC

【点睛】解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何

问题求解，其解题思维流程如下：

(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心

到接点的距离相等且为半径；

(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元

素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

12.3叵

22

【分析】由复数相等2+i=(l+i)z,即可求z,进而得到实部及复数的模；

【详解】2+i=(l+i”，知：z=-=---z-a+ftz,故a=3；

''1+z222

答案第6页，共13页

【点睛】本题考查了复数的概念，根据复数相等，结合复数除法求复数，属于简单题;

13.9

【分析】利用间接法，结合平均分组法即可得解.

【详解】将这6名选手平均分为三组,有y种分组方案，

其中来自/学校的3名选手都不在同一组，有A；=6种分组方案，

所以恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有15-6=9种.

故答案为：9.

14.

I2eJ

【分析】求出函数/(无)的零点为3,根据题中定义可得出函数g(x)的零点的取值范围是

(1,5),进而可得出方程.=竽在xe(L5)有根，构造函数〃卜)=竽，其中x«l,5),求出

函数〃(力在区间(1,5)上的值域，即为实数。的取值范围.

【详解】令/(x)=ln(x-2)=0,可得x=3,

设函数g(x)的零点为看,贝“尤。-3|<2,解得l<x0<5.

由g(x)=O,可得"2一mx=O,得。=号，即方程。=号在x«l,5)有根，

令〃(x)=g,其中xe(l,5),贝奥")=匕泻，令〃(司=0,可得>及.

当时,、(x)>0,此时，函数〃(x)单调递增;

当八<x<5时,〃(x)<0,此时，函数，(x)单调递减.

所以，3)而=〃(八)=>又Mg。，M5)=£.

所以，函数〃(x)在区间(1,5)上的值域为长，.

因此，实数。的取值范围是.

I2eJ

故答案为：fo,^-.

I2e」

答案第7页，共13页

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

15.(1)9；(2)最大值为76,最小值为一5.

【分析】(1)求出导函数，利用/(©在x=i处取得极值，r(i)=o,求解。即可.

(2)求出/'(x)=3—+6x-9.判断导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解极值，求解

端点值，推出最值即可.

【详解】解：(1)因为/0)=/+3工2一办,

所以f'(x)=3X2+6X-47.

因为/(X)在X=1处取得极值，

所以/'⑴=0,即3+6-°=0,解得。=9

经检验，符合题意.

(2)由(1)得/'(外=三+3无2

所以/(*=31+6XT9.

令f\x)>0,得-4<-3或1<x・4；

令人(x)<0,得一3〈尤<1.

所以"X)的单调递增区间为[-4,-3),(1,4],单调递减区间为(-3,1).

所以"X)的极大值为/(-3)=27,极小值为〃1)=-5

又〃-4)=20,"4)=76,

所以/⑴</(T)</(-3)</(4)

所以/(x)的最大值为76,最小值为-5

16.⑴4=4〃_2

答案第8页，共13页

【分析】（1）根据题意列出方程求出生,即可求得答案；

4

（2）由（1）可得”=——的表达式，利用裂项相消法求和，即可求得答案.

%*

【详解】（1）由题意知｛%｝为各项均为正数的等差数列，公差为4,

3x2

a?=%+4,*S*2=2（%+2）,S3—3%~\———x4=3（q+4）,

2出为邑,国的等比中项，即44=8283,即4（%+4）2=6（%+2）（%+4）,

即(q+4)(。1—2)=0,.*.ax=2或％=—4(舍去),

故4=2+4(〃—1)=4〃-2；

（2）由（1）得b〃=---:if3袅与

777If.11111

故7=h+4H---卜b”=—1---1------1---1-----------

"12"2^33537-12?+1

=U1--1kn

5(2n+\)2w+r

17.(1)证明见解析

(2)回

4

【分析】（1）连接/C、AF,推导出4F_L4）,利用面面垂直的性质可得出481平面/加E,

可得出/尸_1/8,推导出/F_L平面48c。，可得出AD_LN尸，利用正方形的性质可得出

BDLAC,可得出2。1平面/CF,再利用线面垂直的性质可证得结论成立；

（2）以点A为坐标原点，AB.AD、/尸所在直线分别为X、了、z轴建立空间直角坐标系,

利用空间向量法可求得平面ABE与平面BDF所成锐角的余弦值.

【详解】（1）证明：连接/C、AF,

因为四边形48c。为正方形，则助，NC,ABLAD,

因为跖=1,AE=2,ZEAD=120°,EFHAD,则N/M=60°，

由余弦定理可得/尸2=£尸2+/£2-2/石・斯（；。560°=1+4-2*1*2*1=3,

2

所以，AF2+EF2=AE2>则/尸_LEF,则”_L/。，

因为平面ADFE±平面ABCD,平面ADFEA平面ABCD=AD,AB1AD,

ABu平面ABCD,则AB1平面ADFE,

答案第9页，共13页

因为4Fu平面4DEE,则“尸_L4B,

因为A8c/D=N,AB、ADu平面48cD,则/尸_L平面48cD,

因为ADu平面48cD,则

因为/尸P|/C=/,AF、/Cu平面NCF,则5。1平面/C/，

因为CFu平面/CF,则&）_LCF.

(2)解：因为/尸J_平面/8C。，ABLAD,以点A为坐标原点，

AB.AD,N厂所在直线分别为x、了、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

则/(0,0,0)、3(2,0,0)、0(0,2,0)、网0,0,6)、

设平面Z3E的法向量为克=(匹,必,句),Z8=(2,0,0),/£=(0,-1,@,

m-AB=2x,=0/f-\

则一广，取4=1,可得比=0,百,1,

m-AE=—yr+yJ3zl=0

设平面BZ）下的法向量为坂=5,％/2）,丽=（2,-2,0）,。尸=（0,-2,G）,

n♦DB=2X-2y2=0

2,取名二百，可得力二(百,行,2),

n-DF=-2y2+yfiz2=0

m-n5_V10

所以cos成力二

|m|-|H|2VW-4

因此平面ABE与平面BDF所成锐角的余弦值为眄.

4

18.(1)2%+'一5=0；

(2)答案见解析;

（3）（-五,0）

【分析】(1)先求导，再求得切线斜率与切点，进而可求切线方程;

答案第10页，共13页

1

(2)先求导，得八加—祝子"-)],注意进而利用导数与函数的单调

性的关系，求得了(x)单调区间；

(3)将题中不等式转化为/<xlnx恒成立，即。2<(xlnxhn，再构造函数g(x)=xlnx(xNe),

求得g(x)的最小值，进而可求得。的取值范围.

7?1

【详解】(1)当〃=—1时，/(x)=x+—Inx,则/(x)=l—三一一，

XXX

71?

^i=r(l)=l----=-2,又/⑴=1+T一lnl=3,

所以曲线V=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程为：y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.

(2)因为/(%)=%+―--Inx(x>0),

2

所以/'(X)二]4("1)j_=x-x-a(a-1()—.)[」+(〃T)],

v7x2xx2x2

因为a〈0,所以a<O<l—a,

令*x)〉0,得x>l-a；令八x)<0,解得0<x<l-a；

所以V=/(x)的单调递增区间为(1-。,+s)，单调递减区间

(3)由/—得XH———--Inx<x—,BPa1<xlnx,

XXX

所以对立€卜,也)，恒有〃“<无一£成立，等价于对Vxe[e,y)，恒有/<xinx成立，即

a2<(xlnx)min，

令g(x)=xlnx,xG[e,+oo),贝iJg'(x)=lnx+121ne+l=2〉0,

故g(x)在[e,+8)单调递增,所以g(x)1nhi=g(e)=elne.=e,

所以/<e,HP—Ve<a<Ve,

又a<0,故-V^<a<0，即。€卜八,0).

【点睛】本题综合考查利用导数求函数的切线方程，求函数的单调区间，利用导用求不等式

恒成立时参数范围.第(3)问中不等式恒成立的等价转化是解本题关键也是难点，最后用

分离参数法求参数范围.

答案第11页，共13页

（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析，（4,9）

【分析】（1）设出双曲线方程，结合c=V7,将点（口,3）代入，求解即可；

（2）（i）由题意易得直线/的斜率存在，设m（国,%）直线/的方程为'=左（》-1）,

联立直线/与双曲线方