2025年高三一模数学试题及答案 (二)

7.记非常数数列｛%｝的前n项和为S”,设甲：｛%｝是等比数列；乙:S.=B%+C（B#0,1,

且CW0）4iJ（）

A.甲是乙的充要条件B.甲是乙的充分不必要条件

C.甲是乙的必要不充分条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

8.已知（（）,£■）,sinacos（与+a）—sin随+—cosa=—"，且3sin^=sin（2a+/3）,

高三数学则a+B的值为（）

而匹

八AT—2B,—6C—4D3

a本卷满分150分，考试时间120分钟

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

注意事项：项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置。9.已知一组数据©，生，…，皿。23是公差不为0的等差数列，若去掉数据为皿，则所剩下的

2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂;非选择题答案必须使用0.5毫米数据的（）

黑色签字笔书写,绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚。A.平均数不变B.中位数不变

3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试C.标准差不变D.极差不变

题卷上答题无效。保持卡面清洁，不折叠、不破损。10.根据《中华人民共和国噪声污染防治法》,城市噪音分为工业生产噪音、建筑施工噪音、

交通运输噪音和生活环境噪音等四大类。根据不同类型的噪音，又进一步细化了限制

而一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有标准。通常我们以分贝（dB）为单位来表示声音大小的等级,30〜40分贝为安静环境，

*一项是符合题目要求的.超过50分贝将对人体有影响,90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱

等疾病.如果强度为。的声音对应的分贝数为（）（）那么满足:）

1.已知集合A={尤|-l<x<3},B={x€^|x2-4x<0}AAB=()f0dB,"u=10X

A.{x|0<x<3}B.{x|-l<x<3}加丁冬诵•对几项生活环境的分贝数要求如下，城市道路交通主干道：60〜70dB,商

1z\IV

C.{1,2}D.{0,1,2}

业、工业混合区：50〜60dB,安静住宅区、疗养院：30〜40dB.已知在某城市道路交通

若为虚数单位，复数，则等于（

2.iz=?Z)主干道、工商业混合区、安静住宅区测得声音的实际强度分别为s,5，则（）

A.vi

A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i

较B.〃2>100。

3.已知。=（1,0）,|切=1,|。一"=1,则。与力的夹角为1)

C.若声音强度由功降到q,需降为原来的看

A.5B号UC三D.专

30

D.若要使分贝数由40提高到60,则声音强度需变为原来的100倍

将半径为圆心角为春支的扇形卷成一个圆锥的侧面，则圆锥的体积为（）

4.3,11.已知/（力）是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意z，vGR都满足

/（幻一2=/（%+山一/3）,且/Q+1）为偶函数，则下列说法正确的是（）

A.-72KB.当^欠C.nD.

A./（0）=2BJCc）为奇函数

由C"Cr）关于点（0,2）对称D.S/（n）=46

5.设函数/⑺=优〜+(〉)且后1)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是()n=l

A.(0,1)B.[2,+oo)12.已知正四棱锥的侧棱长是£,正四棱锥的各个顶点均在同一球面上，若该球的体积为

C.(0,l)U[2,+oo)D.(0,-1)UL2,+oo)告n,当工€［乌，同时，正四棱锥的体积可以是（）

设函数f（£>=（））的导函数3的最大值为则"h）在

6.coscx+f-2U>02,A,—16B,—4CG—5UD—3

彝［一］■，会上的最小值为（）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

*13.2024年第6届U23亚洲杯将在卡塔尔举行.现将甲、乙、丙、丁四名志愿者分配到6个

A.g—2B.-1C.一§-2D.-3项目中参加志愿活动，且每名志愿者只能参加1个项目的志愿活动，则有且只有3人

分到同一项目中的情况有种.（用数字作答）

高三数学试题第1页（共4页）高三数学试题第2页（共4页）

14.若将上底面半径为2,下底面半径为4的圆台型木块，削成体积最大的球，则该球的表20.(12分)已知正项数列｛©｝的前"项和为S,,2卮=@+1；数列伉｝是递增的等比数

面积为.列,公比为q,且优也的等差中项为10,d,6s的等比中项为8.

15.设函数/(1)=2近11(皿+1)+1(3>0)在区间(0,兀)内恰有两个零点，则s的取值范(D求｛%｝,｛〃,｝的通项公式；

围是___________1为奇数，

(2)设c”=l3田跑71为｛藻)的前〃项和，若72n+2〃2—九+3)/〃,能成立，求

16.函数fCz)=sinm+ln|2i—5|的所有零点之和为.|犷，〃为偶数，

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

实数；I的最大值.

17.(10分)在中，内角AJ3tC的对边分别是a,6c,已知a8sB+6cosA—2c8sB=0.

(D求内角B的大小；

(2)若△ABC的面积为g皿=2°,就=费京,求线段BM的长.

21.(12分)某学校新校区在校园里边种植了一种漂亮的植物，会开出粉红色或黄色的花.

这种植物第1代开粉红色花和黄色花的概率都是十，从第2代开始，若上一代开粉红

18.(12分)某班级为了提高学习数学、物理的兴趣，组织了一次答题比赛活动，规定每位

学生共需回答3道题目.现有两种方案供学生任意选择，甲方案：只选数学问题;乙方色的花，则这一代开粉红色的花的概率是,，开黄色花的概率是看;若上一代开黄色的

案:第一次选数学问题,以后按如下规则选题，若本次回答正确，则下一次选数学问题,

若回答错误，则下一次选物理问题.数学问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0-花,则这一代开粉红色的花的概率为得，开黄色花的概率为4.设第n代开粉红色花的概

分;物理问题中的每个问题回答正确得30分,否则得0分.

率为P”

已知A同学能正确「可答数学问题的概率为能正确卜，I答物理问题的概率为且能(1)求第2代开黄色花的概率；

正确回答问题的概率与回答顺序无关.(2)证明：自奈普<2.

i=i5P,P；+i•

(D求A同学采用甲方案答题，得分不低于100分的概率；

(2)A同学选择哪种方案参加比赛更加合理,并说明理由.

22.(12分)设f(£)=ai—(a+l)lnx—其中a>0).

19.(12分)已知直三棱柱ABGAiBiG中，侧面为正方形,AB=BC=2,E,F分x

别为AC和CG的中点,D为棱上的点，设BQ=帆,(1)讨论f(z)的单调性；

(1)证明:BFJ_DE；(2)设以尤)=>沙一/⑴，若关于］的不等式gGO'az+Q+BMnz+!+l恒成

(2)当m为何值时，平面BBiGC与平面DEF的夹角的余弦值

最大.立,求实数a的取值范围.

C

高三数学试题第3页(共4页)高三数学试题第4页(共4页)

=2cos(a+/3)sina,

tan(a+/3)=2tana=1.又0<a+j8<会，/.a+/3=~^

二、多选题

一、单选题9.ABD解析：设%I,%2，…，%2023的平均数为%,

1.C2023(町+%2023)

2.A可知能…十…+还2

」2023二%1012，故A正确.

3.C角翠析：I。一)|2=/+/-2。•)=i+i—2。•b=2a-b=l,2023

:.a♦b=3a•b=\a\\b\cos<«,/>>=cos〈a,力〉cos<a,b)=-^~.新数据的中位数为町°”；孙°了「盯012，故B正确.

又•「〈”,〃〉e[0,IT]<a,b>=-y.

4.B解析：扇形的弧长C=2%则圆锥底面半径r=l,母线/=3,圆锥的高4=2豆，所以

体积卜二竽7T，故选B.

5.B解析：当。>1时,g(%)=%2-ax+1在区间(0,1)单调递减，则母21,解得心2.当

0<«<1时，需要g(%)-ax+1在区间(0,1)单调递增，显然不满足要求，故选B.

6.D解析:•「/(%)=-①sin(①％+卷)的最大值为2,.•.3=2.故答案为：ABD.

10.AD解析：由题意可知,60wl0xlgn^产V70,

/(%)=cos(2%+*)-2,%e[-y,y]2%+京e[一亭哥，

即6W%x；o“W7,得IO'WAWKTS,

cos(2%+*)e[-1,1],即/(%)61-3,-1]/(%)的最小值为-3.

同理可得io-'w和vKF'io-vgwio-*,

7.A解析：若Sn=B册+C,则S…=Ban_1+C(九分2),由此可知A正确,B错误；

aBa

n=(n-册.1),(5-1)0n=电卬

./8卢0,1,10000.W志,c错误;

——=1/=0,数列｛%,｝是以f"y为公比的等比数列.

当声音强度的等级为60dB时，有10x1g].：0々2=60,

an_io—lD—1

若数列｛册｝为等比数列，且则5"=吗二工)=卢一-卢一•q\

即1g—Jr=6,得一=106,

1—qi—q1-q1xlO-121xlO-12

此时对应的强度0=1。6x10-12=1()-6.

当声音强度的等级为40dB时，有IO*%x：0_]2=40,

此时吕二-19一声0,1,C=m—XO,所以甲是乙的充要条件，故选A.

i-q1—q

即1g------J7=4,得------7T-=104,

8.C解析:由题意得sinacos(争+a)-sin(学+a)3.61xio-121xio-12

cosa—,sinasina-cosacosa

此时对应的强度。=1()4xW12=10-

1A-6

y,cos2a-sin2a=y

60dB的声音与40dB的声音强度之比为产了=1()2=ioo,D正确.

2.11

cos2a+sin2a=1,_0_ae(0受),cosa=—,sinatana=—.故选:AD.

底有211.ACD解析：令％=y=0，则/(0)=2,A正确；

由3sin0=sin(2a+0)得3sin[(a+/3)-a]=sin[(a+j8)+a],由/(%+1)为偶函数知/(%)关于直线x=1对称，令y=-%得/(%)-2=/(0)-/(-x),

M]73sin(a+0)cosa-3cos(a+0)sina=sin(a+j8)cosa+cos(a+j8)sina,sin(a+/3)cosa即/(%)+/(-％)=4，故/(%)关于点(0,2)对称，C正确，B错误；

高三数学参考答案第1页(共8页)高三数学参考答案第2页(共8页)

由已知可得/(%)的周期为4,令％=y=2，则/(2)=2,观察图象可知，函数y=sinTTX.y=-In12%-5I的图象由6个公共点，其横坐标依次为

"(1)+/(2)+/(3)+/(4)=/(1)+/(2)+/(-1)+/(0)=8,

町，%2,%3，%4/5，46，这6个点两两关于直线%=:■对称，有41+%6=X2+%5=%3+%4=5,

/(D+/(2)+/(3)=/(1)+/(2)+/(-1)=6,

23

贝寸%1+%2+%3+%4+%5+%6=15,所以函数/（%）=simr%+InI2%-5I的所有零点之和为

故纣5)=8X5+6=46,D正确.故选ACD.

15.

12.BD解析：因为球的体积为主力,所以球的半径为r=l.四解答题

17.解：(1)因为acosB+bcosA-2ccosB=0,

设正四棱锥的底面边长为2a,高为瓦则h2+=x2,即2a之=x2-h2,所以由正弦定理边化角得sinAcosB+sinBcosA-2sinCeosB=0,.........1分

(h-r)2+(立a)?=r2,h=y,所以sin(A+B)-2sinCeosB=0,...........................................2分

所以sinC-2sinCeosB=0.

「•==y(^2=-|-(^2-=y(%4_》)，因为sin。声0,所以cosB=:..............................................4分

令V=g(4%3一5%5)=0,得#=与

因为8G(0,F),所以.............................................5分

山28j.口164128、64

x——nV=—(z——)——⑵因为△48C的面积为冬8

当3'max3〈927781',

„在a1,11、7

当”=万时尸TZ=至（了一豆”贿所以S=-^-acsinB-号ac=?，所以ac=2.

当“=/时，/=*,.•.正四棱锥体积Ve1斜因为a=2%所以c=1,a=2,................................................7分

所以6=\/ac—2accosB=J1+4-2x2x：二",......................8分

mJ746464

71696'58081'

所以H=/+。2,即△43。为直角三角形，

32

所以正四棱锥的体积可以是本,年,故选B、D.因为南二畀，所以4M二亨，..........................................9分

三、填空题

13.120解析：可分三步完成，第一步，可从四名志愿者中选取三名志愿者，有C；种选法；所以二苧.........................................................10分

第二步，从6个项目中选取2个项目有C；种不同的选法；

A

第三步，把志愿者分配到两个项目中有A；种分配方法；

故共有C；C；A；=120（种）不同的分配方法.

14.32仃解析:球的外切圆台的轴截面就是圆内切于等腰梯形.设球的半径是％，等腰梯形

的高为2%,等腰梯形的腰为6,贝寸22+（2%尸=62,所以42=8,所以球的表面积S=32F.B-----------------C

15.（"I",?]解析：由题知0>0,又因为0<%<F,所以,<5+9<<W1T+[.18.解：（1）张同学采用甲方案答题，得分不低于100分的情况为至少答对两道试题，

\2oJ333所以其概率为p=亡（：）x~i~+（!）=多.........................3分

要满足函数f（%）在区间（0,TT）内恰两个零点，贝”[IT<O）TT+JW•7T,解得j<sW乌.

oJo2O（2）张同学选择乙方案参加比赛更加合理.理由如下：

16.15解析：由/（%）=0=simr%=一In12%-51,显然夕=simr%与y1=-In12%-51的图象都若采用甲方案,则其得分X的可能取值为0；50,100,150,

关于直线%="|■对称.在同一坐标系内作出y=sinir%,y=-In12%-51的图象，p（x=0）=信/*,p（x=50）=c；（y）2xy=H=y^（^=100）=c3（y）'xy

44—150）=什）吟.........................................5分

所以X的概率分布列为

X050100150

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8421因为后•DE=0,

rD

279927所以昴_L反，即...............................................5分

...............................................................................................................................................6分(2)解:易知平面8与G。的一个法向量为%=(2,0,0).....................................6分

设平面的法向量

所以X的数学期望为E(X)=0+50xy+100xy+150x±=?00+^0+50=DEFn2=(%,y,z),

苏=(炭=(1-加/，-2),

50.7分

若采用乙方案,则其得分Y的可能取值为0,30,50,80,100,150,n2,EF=0=-x+y+z=0,

2112222212124n2•DE=0=^(1-m)x+y-2z=0,

所以P(Y=0)=xx=jP(y=30)"XX+XX=

fTT^TTTTTT27=y)令z=2-zn,贝1]%=3,y=l+m,

P(y.)=ixoxi=-o,P(y=0)=ix9x99x9x148，P(y=100)=n=(3,1+m,2-m)...................................................................................................9分

=50yyy8yyy+yyy设城2面与平面/)£尸所成二面角的平面角为仇则

八公

1122D,v1111cos0=lcos〈n,n)I=I----/$一|,

33327，'733327,}2

2A/2TTI2-2m+14

所以r的概率分布列为i97

当机二了时,2/-2zn+14取最小值为了，................................11分

Y0305080100150

242821此时cos6取最大值为号，此时根=。...................................12分

P

27~927272727

20.解：(1)由2冏=。”+1可得4s“=(%+1)二

...........................................................................................................................................io分

当心2时,4S”1=(册_1+1)2,两式相减得4册=%2_册]2+2(Q“Q.2_

所以y的数学期望为E(y)=0+30Xy+50+80x^+100x^+150x1=

=2(%+«„_)),

i^-53.7...................................................................................................................11分即(&+*)(*-*)=2(七+*)•..................................1分

%①一%-1二2(九｛七｝是等差数列.........................2分

因为E(Y)>E(X),所以张同学选择乙方案参加比赛更加合理................12分

由2=«1+1,得2=%+1,ax=1,.*.tzn=l+(ra-l)x2=2n-1.…3分

19.(1)证明：因为直三棱柱48。-4出心，班,l^ABC,.-.AB±BB,

t由斯上阳仅2+%=20仅2+4=20仅2=4,(b2=16,人

又4圈_LBF,所以所以48_L平面BCG为,

\bxb5=64,